精品解析：上海市嘉定区第二中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷

嘉定二中2022学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 命题人：高二数学组 2022年10月 一、填空题（本大题满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分） 1. “”是“”______________条件．（填：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） 【答案】充分不必要条件 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为由可推出，所以“”是“”的充分条件， 当时，满足条件，但不满足关系，所以不能推出，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要条件. 2. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元二次不等式的方法进行求解即可. 【详解】， 因为一元二次方程的判别式， 二次函数的开口向上， 所以不等式的解集为空集， 故答案为： 3. 已知全集，设集合，，则_________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义即可得到答案. 【详解】由题意，，所以. 故答案为：. 4. 已知集合或，若，则实数a的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】因为，故， 又集合或， 所以， 解得：或， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 5. 已知为常数，函数为幂函数，则的值为______; 【答案】或1 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可得，解方程即可. 【详解】解：因为函数为幂函数，则， 即，解得或. 故答案为：或1. 6. 已知，为正数，化简_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算公式即可求出结果. 【详解】原式． 故答案为：． 7. 若，，用、表示，则______; 【答案】## 【解析】 【分析】利用对数的运算性质化简可得结果. 详解】由题意可得. 故答案为：. 8. 已知为常数，若关于的方程有两个实数根，且，则的值为_______: 【答案】. 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，结合题意列出方程，即可求得的值. 【详解】由题意，关于的方程有两个实数根， 则满足，解得， 又由， 因为，可得，即， 解得或（舍去），即的值为. 故答案为：. 9. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为______; 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合，由，得或或，分别求解的值即可. 【详解】解：集合，因为集合，且， 所以或或， 当时，，当时，，当时，， 故的所有取值构成的集合为. 故答案为：. 10. 设，方程的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式等号的成立条件可求解. 【详解】因为， 又，当且仅当时等号成立， 则可解得或， 所以方程的解集为. 故答案为：. 11. 设为实数，关于的不等式组的解集为A，若，则的取值范围是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据，建立不等式求解即可求解. 【详解】解：由题意，，则或，解得或. 故答案为： 12. 设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有___________个元素. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知有4个元素，根据集合的新定义，设集合，且，，分类讨论和两种情况，并结合题意和并集的运算求出，进而可得出答案. 【详解】解：由题可知，，有4个元素， 若取，则，此时，包含7个元素， 具体如下： 设集合，且，， 则，且，则， 同理， 若，则，则，故，所以， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍去； 若，则，故，所以， 又，故，所以， 故，此时， 若，则，故，故， 即，故， 此时，即中有7个元素. 故答案为：7. 二、单选题（每题5分，共20分） 13. 已知，则最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 详解】利用基本不等式求出最小值. 【点睛】因为，所以，由基本不等式可得：， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4. 故选：A 14. 用反证法证明命题“已知，为实数，若，则，中至少有一个小于3”时，提出的假设为（ ） A. ，都小于3 B. ，都不小于3 C. ，都大于3 D. ，中至多有一个不小于3 【答案】B 【解析】 【分析】“至少有一个小于”的否定是 “都不小于” 【详解】假设结论不成立，“至少有一个小于”的否定是 “都不小于”， 即，都不小于3 故选：B 15. 已知且，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得，即得. 【详解】令， 则，，又， ∴，即， ∴. 故选：C. 16. 若关于x的不等式的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可. 【详解】由， 当时，不等式的解集为空集，不符合题意； 当时，不等式的解集为：， 要想关于x的不等式的解集中恰有三个整数， 只需满足，即， 当时，不等式的解集为：， 要想关于x的不等式的解集中恰有三个整数， 只需满足，即, 综上所述：， 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知集合，. （1）若全集，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集得定义即可得解； （2）由，可得，分和两种情况讨论即可得解. 【小问1详解】 解：由， 得或； 【小问2详解】 解：因为， 所以， 当时，则，得， 当时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 18. 解不等式组：. 【答案】或 【解析】 【分析】分别解出绝对值不等式与分式不等式，再取两不等式的解集的交集. 【详解】解：因为， 对于，即或，解得或， 对于，即，即，等价于，解得， 所以不等式组的解集为或. 19. “高质量发展”已逐渐成为人们的共识.发展的同时更要重视生态环境的保护，2020年起，某政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭.一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大(不同周价格不同).假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为x，y(单位：元/kg)；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买4kg鸡蛋，乙每周购买12元钱鸡蛋． （1）若x＝8，y＝12，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格； （2）判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠(平均价格低视为实惠)，并说明理由． 【答案】（1）甲:10元；乙:元. （2）乙的购买方式更实惠. 【解析】 【分析】（1）根据题中数据即可求得甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格. （2）作差法即可得出，乙的购买方式更实惠. 【小问1详解】 甲两周购买鸡蛋的平均价格为元; 乙两周购买鸡蛋的平均价格为元. 【小问2详解】 甲两周购买鸡蛋的平均价格为 乙两周购买鸡蛋的平均价格为 因为 所以, 即，所以乙的购买方式更实惠. 20 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）4 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得； （3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可. 【小问1详解】 由恒成立得：对一切实数x恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，，解得：； 综上所述：实数m的取值范围为． 【小问2详解】 ，， ， （当且仅当，即时取等号），的最小值为4． 【小问3详解】 由得：； ①当时，，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 1）当，即时，不等式解集为； 2）当，即时，不等式解集为； 3）当，即时，不等式可化为， ，不等式解集为； 4）当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 21. 符号表示不大于的最大整数（）,例如： （1）已知，分别求两方程的解集； （2）设方程的解集为,集合，若，求的取值范围. （3）在（2）的条件下，集合，是否存在实数，，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据定义直接写出；（2）先求解出集合中表示元素的范围，再根据求解的范围；（3）由可知，根据子集关系求解的范围. 【详解】（1）因为表示不大于的最大整数，时，解得：，所以 ；时，解得：，所以； （2）因为，所以，根据绝对值不等式的几何意义解得： ，又； 当时，，所以成立； 当时， ，若，则有：，解得； 当时，，若，则有：，解得；综上：； （3）因为，所以，且，所以设集合的解集为：，则有：，所以，解得：. 【点睛】（1）对于集合：当时，；当时，； （2）通过集合间的关系求解参数或者参数范围时，如果不能直接得到对应的结果或者计算很麻烦，可以利用数轴去分析集合表示元素间的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 嘉定二中2022学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 命题人：高二数学组 2022年10月 一、填空题（本大题满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分） 1. “”是“”的______________条件．（填：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） 2. 不等式的解集为______． 3 已知全集，设集合，，则_________. 4. 已知集合或，若，则实数a的取值范围为___________． 5. 已知为常数，函数为幂函数，则的值为______; 6. 已知，正数，化简_______． 7. 若，，用、表示，则______; 8. 已知为常数，若关于的方程有两个实数根，且，则的值为_______: 9. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为______; 10. 设，方程的解集是______． 11. 设为实数，关于不等式组的解集为A，若，则的取值范围是_____________ 12. 设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有___________个元素. 二、单选题（每题5分，共20分） 13. 已知，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 14. 用反证法证明命题“已知，为实数，若，则，中至少有一个小于3”时，提出假设为（ ） A. ，都小于3 B. ，都不小于3 C. ，都大于3 D. ，中至多有一个不小于3 15. 已知且，则a的值为（ ） A. B. C. D. 16. 若关于x的不等式的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为（ ） A B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知集合，. （1）若全集，求； （2）若，求实数的取值范围. 18. 解不等式组：. 19. “高质量发展”已逐渐成为人们的共识.发展的同时更要重视生态环境的保护，2020年起，某政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭.一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大(不同周价格不同).假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为x，y(单位：元/kg)；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买4kg鸡蛋，乙每周购买12元钱鸡蛋． （1）若x＝8，y＝12，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格； （2）判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠(平均价格低视为实惠)，并说明理由． 20. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式． 21. 符号表示不大于的最大整数（）,例如： （1）已知，分别求两方程的解集； （2）设方程的解集为,集合，若，求的取值范围. （3）在（2）的条件下，集合，是否存在实数，，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$