专题07函数单调性（5基础题型+9提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教B版2019必修第一册）

专题07 函数单调性归类 经典基础题 题型1 图像判定单调性 1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建泉州·期中）如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 3．（21-22高一上·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．当时，有两个不同的值与之对应 D．当、时， 4.（多选）（23-24高一上·山东聊城·期中）如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上不是单调函数 5．（22-23高一上·北京·期中）偶函数定义域为，其部分图象如图所示，写出所有的单调增区间 ． 题型2 画图法求单调性 1．（22-23高一上·广东东莞·期中）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．∪ C．和 D． 3．（21-22高一上·福建三明·期中）函数f（x）＝|x－2|·（x－4）的单调递减区间是（ ） A．[2，4] B．[2，3] C．[2，＋∞） D．[3，＋∞） 4.（多选）（21-22高一上·广东阳江·期中）已知函数，，构造函数，那么关于函数的说法正确的是（    ） A．的图象与x轴有3个交点 B．在上单调递增 C．有最大值1，无最小值 D．有最大值3，最小值1 5．（23-24高一上·河北石家庄·期中）函数在区间上的最小值为 ． 题型3 复合函数单调性 1．（20-21高一上·四川巴中·期中）的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·江苏常州·期中）若函数则，该函数的单调递减区间是（    ）． A． B． C． D． 3．（2020高二·浙江·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4.（多选）（23-24高一上·福建福州·期中）关于函数的结论，下列说法正确的有（    ） A．的单调减区间是 B．的单调增区间是 C．的最大值为2 D．没有最小值 5． （21-22高一上·河北邯郸·期中）函数的单调增区间是 ，值域是 . 题型4 单调性求最值与值域 1．（23-24高一下·广东广州·期中）对任意实数，规定取 三个值中的最小值，则函数（    ） A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，最小值1 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东江门·期中）函数，的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 4.（多选）（23-24高一上·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数在上的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域是 5．（23-24高一上·山东聊城·期中）对于任意实数a，b，定义设函数，，则函数的最小值为 ． 题型5 抽象函数单调性 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 2．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 优选提升题 题型01单调性求参数 1．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川内江·期中）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（多选）（22-23高一上·湖南衡阳·期中）已知函数在上单调递减，则a的取值范围错误的是（    ） A．0<a B． C．0<a D．0<a 5.（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 题型02分段函数型单调性求参 1．（22-23高一上·湖北恩施·期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（多选）（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数满足对任意，都有成立，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D．0 5．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数不是单调函数，则实数的取值范围是 . 题型03 特殊函数单调性 1．（23-24高一下·湖南·期中）已知函数的值域为，且在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南·期中）函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·吉林长春·期中）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（多选）（22-23高一上·广东珠海·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 . 题型04 构造型单调性“公式” 1．（23-24高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的函数满足：，，当时，有则称函数为“理想函数”.根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 4.（多选）（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数满足对，当时，不等式恒成立，则称在上为“平方差减函数”，则下列函数中，在上是“平方差减函数”有（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知的定义域为，对任意的、，且都有且，则不等式的解集为 . 题型05复合函数型单调性求参 1．（23-24高三上·陕西汉中·期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在上单调递减，那么实数的取值的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·江西赣州·期中）已知且在，上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B．0， C．， D．， 4.（多选）（21-22高一上·浙江温州·期中）对于函数（，为常数），下列结论正确的是（    ） A．当时，为递增函数 B．当时，函数的最小值是2 C．当时，关于的方程有唯一解 D．当时，函数单调区间与函数单调区间相同 5．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数在（1，2）上单调递减，则a的取值范围为 . 题型06函数最值求参 1．（22-23高一·四川成都·期中）已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D． 4.（多选）（21-22高一上·河北邯郸·期中）若函数在[0，2]上的最大值为2，则a的取值可以为（    ） A．1 B．3 C． D． 5．（2024·吉林长春·模拟预测）记表示在区间上的最大值，则取得最小值时， . 专题07恒成立型求参 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）若对任意恒成立，其中a，b为整数，则不可能取值（    ） A．-7 B．-6 C．-5 D．-17 2．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·河北衡水·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（多选）（22-23高一上·河北承德·期中）记函数在区间上单调递减时实数的取值集合为，不等式恒成立时实数的取值集合为，则 A． B． C． D．“”是“”的必要不充分条件 5．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 专题08能成立型求参 1．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）若存在，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期中）若存在，使不等式成立，则实数a的（    ） A．最大值是－2 B．最小值是6 C．最小值是－2 D．最大值是6 3．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（多选）（22-23高一·全国·期中）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．，恒成立，则a的取值范围是 B．，，则a的取值范围是 C．，，则a的取值范围是 D．，， 5．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围为 . 专题09双变量型求参 1．（22-23高一上·全国·期中）若对，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·海南·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（多选）（22-23高一上·山东淄博·期中）已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有．若对所有恒成立，则实数m的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，，若，，使得，则的取值范围是 . 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 函数单调性归类 经典基础题 题型1 图像判定单调性 1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象直接得到其单调增区间. 【详解】根据图象知的单调递增区间为， 故选：D. 2．（23-24高一上·福建泉州·期中）如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【答案】C 【分析】由函数图象确定定义域和值域，单调性判断各项的正误. 【详解】由图知：的定义域为，值域为，A、B错； 显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对； 显然，对应自变量x不唯一，D错. 故选：C 3．（21-22高一上·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．当时，有两个不同的值与之对应 D．当、时， 【答案】D 【分析】利用图象可判断ABC选项的正误，由图象可得出函数在上的单调性，可判断D选项的正误. 【详解】对于A：由图象可知：函数在没有图象，故定义域不是，故A错误； 对于B：由图象可知函数的值域为，故B错误； 对于C：由图象可知，当时，有个不同的值与之对应，故C错误； 对于D：由图象可知函数在上单调递增， 所以，当、时，不妨设，则，则，故D正确. 故选：D. 4.（多选）（23-24高一上·山东聊城·期中）如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上不是单调函数 【答案】ABD 【分析】根据函数的图象，即可得出函数的单调性，说明A、B、D项；结合具体点的大小，即可说明C项. 【详解】对于A项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故A项正确； 对于B项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故B项正确； 对于C项，由图象可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减， 但是，所以函数在区间上不是单调递减的， 故C项错误； 对于D项，由图象可知，函数在区间上有增有减， 所以，函数在区间上不是单调函数，故D项正确. 故选：ABD. 5．（22-23高一上·北京·期中）偶函数定义域为，其部分图象如图所示，写出所有的单调增区间 ． 【答案】和 【分析】由偶函数的图象关于轴对称可补全图象，然后写出递增区间 【详解】因为函数是偶函数，故图象如图所示 由图可得的单调增区间为和， 故答案为：和 题型2 画图法求单调性 1．（22-23高一上·广东东莞·期中）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数的图象，由此判断出正确答案. 【详解】， 由此画出函数的图象如下图所示， 由图可知，函数的一个单调递减区间为. 故选：A    2．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．∪ C．和 D． 【答案】C 【分析】先对函数化简，然后画出函数图象，结合图象可求出函数的增区间. 【详解】， 函数图象如图所示， 由图可知函数的递增区间为和， 故选：C 3．（21-22高一上·福建三明·期中）函数f（x）＝|x－2|·（x－4）的单调递减区间是（ ） A．[2，4] B．[2，3] C．[2，＋∞） D．[3，＋∞） 【答案】B 【分析】先化简函数的解析式，得到一个分段函数，再作分段函数的图象即得解. 【详解】解：函数， 画出函数的图象，如图所示： 函数的单调递减区间是，， 故选：B 4.（多选）（21-22高一上·广东阳江·期中）已知函数，，构造函数，那么关于函数的说法正确的是（    ） A．的图象与x轴有3个交点 B．在上单调递增 C．有最大值1，无最小值 D．有最大值3，最小值1 【答案】AC 【分析】根据给定条件，作出函数的图象，借助图象逐项判断作答. 【详解】依题意，由解得，则， 作出函数的图象，如图： 观察图象知，函数的图象与x轴有三个交点，在上单调递减，有最大值1，无最小值， 即选项A，C正确；选项B，D不正确. 故选：AC 5．（23-24高一上·河北石家庄·期中）函数在区间上的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】分离常数得到在上单调递增，从而得到最小值. 【详解】在上单调递增， 故当时，取得最小值，； 故答案为： 题型3 复合函数单调性 1．（20-21高一上·四川巴中·期中）的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再换元令，则，求出的单调区间，再利用复合函数单调性的求法得结果 【详解】由，得或，则函数的定义域为， 令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域内为减函数， 所以在上递增，在上递减， 所以的单调增区间为， 故选：C 2．（21-22高一上·江苏常州·期中）若函数则，该函数的单调递减区间是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用二次函数的性质判断的区间单调性，再由根式的性质及复合函数的单调性判断确定的递减区间即可. 【详解】令，若，可得， ∴在上递增，在上递减； 又在定义域上为递减， ∴在上递减. 故选：D 3．（2020高二·浙江·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域以及真数的单调增减区间，根据复合函数的单调性再写出函数的单调减区间即可. 【详解】解：的定义域为：，解得：. 令，对称轴为，单调增区间为，减区间为 为单调递增函数，所以的单调递减区间为. 故选：D 4.（多选）（23-24高一上·福建福州·期中）关于函数的结论，下列说法正确的有（    ） A．的单调减区间是 B．的单调增区间是 C．的最大值为2 D．没有最小值 【答案】BC 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得的单调区间，进而求得的最值. 【详解】由，得， 解得，所以的定义域是， 函数的开口向下，对称轴为， 根据复合函数单调性同增异减可知， 的单调减区间是，A选项错误. 的增区间是，B选项正确. 所以的最大值是，C选项正确. 的最小值是，D选项错误. 故选：BC 5．（21-22高一上·河北邯郸·期中）函数的单调增区间是 ，值域是 . 【答案】 [1，2] 【分析】（1）欲求函数单调递增区间，根据指数函数的单调性，只求函数的单调减区间即可； （2）求出内层函数值域再求外层函数值域得解. 【详解】（1）令，得函数定义域为， 所以在上递增，在递减．根据“同增异减”的原则， 函数的单调递增区间是． （2）由（1）得函数定义域为，所以，， ，即函数的值域为. 故答案为：；. 题型4 单调性求最值与值域 1．（23-24高一下·广东广州·期中）对任意实数，规定取 三个值中的最小值，则函数（    ） A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，最小值1 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】A 【分析】先依次解出不等式、和的解，进而得函数的解析式，再通过研究函数单调性即可得解. 【详解】因为；；， 所以可得， 又将代入得；将代入得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 将代入得，将代入得， 所以函数在处取得最大值为，无最小值. 故选：A. 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变换得到，确定，计算得到答案. 【详解】， ，故，则，故， 即，故的值域为. 故选：D 3．（23-24高一上·广东江门·期中）函数，的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先分离常数，再利用函数单调性求解最值即可. 【详解】， 而的图象由函数图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到， 所以在上单调递增， 所以当时，函数，有最大值为. 故选：B 4.（多选）（23-24高一上·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数在上的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域是 【答案】BCD 【分析】根据二次函数的性质求解值域判断A，根据对勾函数单调性求值域判断B，利用分离常数法求值域判断C，利用换元法求值域判断D. 【详解】对于A，，则当时，， 当时，，所以函数的值域为，错误； 对于B，函数的图象如下:    在为增函数，在为减函数， 故值域为，正确； 对于C，函数，可得其定义域为， 又由，可得 所以函数的值域为，正确； 对于D，设，，则，，所以， ，当时，有最大值2，所以. 故函数的值域为，正确. 故选：BCD. 5．（23-24高一上·山东聊城·期中）对于任意实数a，b，定义设函数，，则函数的最小值为 ． 【答案】1 【分析】首先求解函数的解析式，再求解函数的最小值. 【详解】令，，即，，得， 当，，当，， 所以 当时，单调递减，当时，函数单调递增， 所以当时，． 故答案为： 题型5 抽象函数单调性 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. 【详解】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题. 解题方法主要有： （1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值） （2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性) （3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解. 2．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)，证明见解析； (2)在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令，可得，令，结合已知即可得证； （2）设，令，结合的范围即可判断，得证； （3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得. 【详解】（1）令，则，又，所以． 证明：当时，，所以， 又，所以，所以； （2）在上单调递减． 证明：设，则 ， 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即， 所以在上单调递减； （3）因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为． 3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）由赋值法即可求解， （2）利用单调性的定义即可求证， （3）由函数的单调性，列不等式即可求解. 【详解】（1）令，得，解得； （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减； （3）由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以， 解得或，即的取值范围是． 优选提升题 题型01单调性求参数 1．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想在区间上为单调增函数，则. 故选：B 2．（23-24高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，根据一次函数、二次函数性质运算求解即可. 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意； 当时，因为函数的对称轴为， 若函数在区间上是增函数， 则或，所以或； 综上，，故实数的取值范围是. 故选：D 3．（23-24高一上·四川内江·期中）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义可得在上恒成立，利用参变分离结合恒成立问题可得，再根据复合函数单调性结合二次函数性质可得. 【详解】由题意可知：在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为在上单调递减，则在上单调递减， 且，可得， 又因为在定义域内单调递增，且函数在上单调递减， 可得在上单调递减，则，可得， 综上所述：a的取值范围是. 故选：C. 4.（多选）（22-23高一上·湖南衡阳·期中）已知函数在上单调递减，则a的取值范围错误的是（    ） A．0<a B． C．0<a D．0<a 【答案】BCD 【分析】根据给定的函数，利用单调性结合函数有意义的条件求出参数a的取值范围即可求解作答. 【详解】因为函数在上单调递减，则在处取得最小值，此时取最小， 因此，解得， 所以a的取值范围是，显然选项A正确，选项BCD都是错误的. 故选：BCD 5.（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数写成分段函数，即可得到函数的单调区间，依题意可得，解得即可. 【详解】因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递减，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 题型02分段函数型单调性求参 1．（22-23高一上·湖北恩施·期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 2．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解. 【详解】因为函数，在上单调递增， 当时，由于和均在单调递增函数， 故在上单调递增， 所以，解得， 当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增， 则，解得， 当时，，此时，显然满足在上单调递增， 综上，． 故选：B 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：D 4.（多选）（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数满足对任意，都有成立，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D．0 【答案】AB 【分析】由题意可知函数在定义域上单调递减，由分段函数的单调性可运算求得答案. 【详解】由对任意，，可得函数在定义域上单调递减， 则，即， .故选：AB. 5．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数不是单调函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出对称轴，分与两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】当时，对称轴为， 令，此时，满足要求， 令，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 题型03 特殊函数单调性 1．（23-24高一下·湖南·期中）已知函数的值域为，且在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，结合单调区间确定的取值，再由值域确定的取值即可. 【详解】函数中，，即，则函数的定义域为， 由在上单调递减，得，因此， 由函数的值域为，得，， 显然，否则与在上单调递减矛盾， 因此，此时在上单调递减，符合题意， 所以的取值范围是. 故选：C 2．（23-24高一上·河南·期中）函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解. 【详解】函数 由于在区间上单调递增，所以， 故，平方可得，解得， 当时，函数，图象开口向下，图象关于对称， 由于，所以在上单调递减； 当时，函数，图象开口向上，关于对称， 所以在上单调递减，在上单调递增． 若在区间上单调递增，则有解得． 故选：B． 3．（23-24高一上·吉林长春·期中）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由二次函数的性质得到，再利用分离常数法与反比例函数的单调性得到在上恒成立，进而得到，从而得解. 【详解】因为的对称轴为，开口向下，且在上为减函数， 所以， 因为，且在上为减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立，可得， 综上，. 故选：B. 4.（多选）（22-23高一上·广东珠海·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分离常数后由复合函数单调性判断， 【详解】对于A，，则， 在上单调递减，故A错误， 对于B，，，在上单调递增，故B正确， 对于C，， ， ，而，故在上单调递增，故C正确， 对于D，，，在没有定义，故D错误， 故选：BC 5．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将解析式进行分离变形，即可结合反比例函数的单调性求解. 【详解】由于在区间上是严格增函数， 所以，故， 故答案为： 题型04 构造型单调性“公式” 1．（23-24高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】读懂题意，能把变形为，得出为单调递增函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】函数是定义域为，且对，且，有， 即， 为单调递增函数， ， 整理得到：， 为单调递增函数， 解得：， 故选：C． 2．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 3．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的函数满足：，，当时，有则称函数为“理想函数”.根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用定义判断和证明函数是否为“理想函数”. 【详解】对于选项A：若时，对，，当时， 则， 所以不为“理想函数”，故A正确； 对于选项B：若时，对，，当时， 则， 所以不是“理想函数”，故B错误； 对于选项C：时，例如， 则， 所以不为“理想函数”，故C错误； 对于选项D：若时，对，，当时， 则， 所以为“理想函数”，故D正确； 故选：D. 【点睛】思路点睛：定义型函数，是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情景，定义一个新函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者给出已知函数，再定义一个新概念.解答这类问题的关键在于阅读理解时，要准确把握新定义、新信息，并把它纳入已有的知识体系之中，用原来的知识和方法来解决新情景下的问题。 4.（多选）（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数满足对，当时，不等式恒成立，则称在上为“平方差减函数”，则下列函数中，在上是“平方差减函数”有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据“平方差减函数”的定义可推出，从而构造函数，判断其为单调减函数，由此结合各选项一一判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意知函数为“平方差减函数”， 则满足对，当时，不等式恒成立， 即， 而，则， 令，则， 即在上单调递减， 对于A，，则，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 在上单调递减，故为“平方差减函数”，A正确； 对于B，，则，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减， 则不是“平方差减函数”，B错误； 对于C，，则在上单调递减， 故为“平方差减函数”，C正确； 对于D，，则在上单调递增， 故不是“平方差减函数”，D错误； 故选：AC 5．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知的定义域为，对任意的、，且都有且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】设，由已知可得出，令，分析可知在上单调递增，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】不妨设，由可得， 所以，， 令，则，所以，函数在上单调递增， 由可得， 又因为， 由可得，则，解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 题型05复合函数型单调性求参 1．（23-24高三上·陕西汉中·期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，由此列不等式组求解即可. 【详解】由题意得函数在上单调递减，且在上恒成立， 所以，解得， 故a的取值范围是. 故选；B. 2．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在上单调递减，那么实数的取值的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论、、和情况下，单调性及的正负，综合分析，即可得答案. 【详解】当时，在上单调递增，且， 所以在上单调递减，符合题意， 当时，无单调性，不符合题意， 当时，在上单调递减，且，不符合题意， 当时，在上单调递减，，符合题意， 还需，解得， 综上实数的取值的范围是. 故选：A 3．（22-23高一上·江西赣州·期中）已知且在，上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B．0， C．， D．， 【答案】A 【分析】令，则，讨论，，运用对数函数和二次函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，解不等式即可得到所求范围. 【详解】且在，上是增函数， 若，则在递减， 可得在，递减， 即有，且， 解得且，可得； 若，则在递增， 可得在，递增， 即有，且， 解得且，可得. 综上可得，. 故选：A. 【点睛】本题考查对数函数的图象和性质，注意运用复合函数的单调性：同增异减，考查运算能力，属于中档题. 4.（多选）（21-22高一上·浙江温州·期中）对于函数（，为常数），下列结论正确的是（    ） A．当时，为递增函数 B．当时，函数的最小值是2 C．当时，关于的方程有唯一解 D．当时，函数单调区间与函数单调区间相同 【答案】ACD 【分析】对于A：用单调性的定义进行判断； 对于B：利用基本不等式求出最小值即可判断； 对于C：把方程化简后利用判别式即可判断； 对于D：利用复合函数的单调性满足同增异减进行判断. 【详解】对于A：对于函数（，为常数）， 任取，则 因为，， 所以，所以， 所以为递增函数.故A正确； 对于B：当时，（当且仅当，即时取等号），即函数的最小值是.故B错误； 对于C：关于的方程即为，整理得：， 所以. 当时，，两根之积未,所以有唯一正根.故C正确； 对于D：当时，函数在上单减，在上单增. . 令，所以外函数在上单增，而内函数在上单减，在上单增，由复合函数的单调性满足同增异减，可知：函数在上单减，在上单增.故D正确. 故选：ACD 【点睛】判断函数单调性的方法： （1）定义法证明函数单调性的步骤：①取值；②作差；③定号；④下结论． （2）图像法； （3）复合函数法； （4）导数法. 5．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数在（1，2）上单调递减，则a的取值范围为 . 【答案】（2，3] 【分析】分析可知函数在（1，2）上单调递减，所以，且对任意的，恒成立，可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】令，因为，所以为减函数，故函数为单调递减，所以 即 又在恒成立，故，所以 综上所述，实数的取值范围是（2，3]. 故答案为：（2，3]. 题型06函数最值求参 1．（22-23高一·四川成都·期中）已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数在处取到最小值计算即可. 【详解】因为时，， 所以要使是的最小值，则， 又当时，， 当且仅当时取等号， 所以，又因为， 所以. 故答案为：C 2．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可. 【详解】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故选：C. 3．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】画出的图象，分，和三种情况，画出的图象，数形结合得到取得最小值的点，进而求出该点坐标，得到答案. 【详解】令，定义域为，令，得， 且在上单调递增， 画出函数图象如下：    则的图象如下：    若，则，画出的图象如下，    显然最小值为2，不合题意， 若，则画出的图象如下：    显然函数在点取得最小值， 令，解得，正值舍去， 令，解得， 若，则画出的图象如下：    显然函数在点取得最小值， 令，解得，负值舍去， 令，解得， 综上，. 故选：B 4.（多选）（21-22高一上·河北邯郸·期中）若函数在[0，2]上的最大值为2，则a的取值可以为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】AC 【分析】根据二次函数的性质对参数a分类讨论求出函数的最大值，令，解出a的值即可. 【详解】若a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增， ，解得a=1（舍去）或a=3（舍去）. 若a>0时，， 当即a>4时，，解得a=3（舍去）. 当x>a时，令，解得. 当即时，，解得. 当即时，.解得. 故选：AC 5．（2024·吉林长春·模拟预测）记表示在区间上的最大值，则取得最小值时， . 【答案】/0.125 【分析】根据题意，取得最小值，即为在区间上的最大值取得最小值，先用分段函数表示在区间上的最大值，再根据图象求分段函数的最小值即可. 【详解】取得最小值， 即为在区间上的最大值取得最小值， 因为的对称轴，且， 所以的最大值为或， 当时，即， 所以 ， 当时，取最小值，最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查 函数的最值，关键在于理解题意，取得最小值，即为在的最大值取得最小值，所以先要将的最大值表示出来，再用分段函数的性质即可. 专题07恒成立型求参 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）若对任意恒成立，其中a，b为整数，则不可能取值（    ） A．-7 B．-6 C．-5 D．-17 【答案】A 【分析】当时明显不恒成立，当时，设，作出符合条件的的图像，根据图像列式计算即可. 【详解】当时，由可得对任意恒成立， 明显当时不成立； 当时，由对任意恒成立， 设，作出的图像如下： ， 由图可知，又a，b为整数， 或或， 由此可能的取值为或或， 故选：A. 2．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论函数的最小值，进而求解. 【详解】当时，，对称轴为， 若，则函数在上单调递减，则恒成立； 若，则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，所以. 综上所述，当，时，恒成立. 当时，， 所以，即. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 3．（22-23高一上·河北衡水·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由解析式得到在上单调递增，由于，结合可得到在，恒成立，即可得到答案． 【详解】， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，且， 所以，所以，即在，恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是 故选：B 4.（多选）（22-23高一上·河北承德·期中）记函数在区间上单调递减时实数的取值集合为，不等式恒成立时实数的取值集合为，则 A． B． C． D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【分析】根据二次函数的单调性求出，根据不等式恒成立求出集合，根据集合和集合可得答案. 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以，解得，即，A错误； 不等式恒成立等价于， 当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，所以，即，C正确 因为，，所以，是的真子集，故B错误； 所以“"是""的必要不充分条件，D正确. 故选：CD. 5．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】原不等式可化为，设，只需求出在时的最小值，即可得出答案. 【详解】原不等式可化为，设， 则， 当且仅当，且，即时，函数有最小值为， 因为恒成立，所以. 故答案为：. 专题08能成立型求参 1．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）若存在，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数得在上有解，从而，利用对勾函数的单调性求得最值即可求解. 【详解】因为存在，有成立， 所以在上有解，所以， 记，，令，则，， 由对勾函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，的函数值为，当时，的函数值为，且, 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 2．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期中）若存在，使不等式成立，则实数a的（    ） A．最大值是－2 B．最小值是6 C．最小值是－2 D．最大值是6 【答案】A 【分析】根据x范围，求解不等式能成立问题，转化为，求出实数a的最大值. 【详解】因为存在，使不等式， 所以，其中为的最大值， 时，，所以， 而，当且仅当时取等号， 所以 所以 故选：A 3．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用换元法，构造新函数，利用新函数的最值进行求解即可. 【详解】令，所以， 设，， 函数在时，函数单调递减，在时，函数单调递增， 因为，，所以函数在时，最大值为， 要想不等式在区间上有解，只需， 故选：C 4.（多选）（22-23高一·全国·期中）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．，恒成立，则a的取值范围是 B．，，则a的取值范围是 C．，，则a的取值范围是 D．，， 【答案】AC 【分析】利用函数的单调性讨论最值，再根据恒成立问题或能成立求解即可. 【详解】对于A，因为单调递减，所以， 又因为恒成立，则a的取值范围是，故A正确； 对于B，因为单调递减，所以， 又，，则a的取值范围是，故B错误； 对于C，在单调递减，单调递增， 所以 所以， 因为，，所以a的取值范围是，故C正确； 对于D，由上述过程可知，， 则不能保证，，， 例如：当时，不存在，，故D错误. 故选:AC. 5．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，构造函数，求解函数的最小值即可求解. 【详解】因为不等式有实数解，所以有实数解， 所以，记， 则，当时，， 当时，，此时函数单调递减，所以， 当时，，此时函数单调递增，所以， 综上，函数取最小值为，所以，解得， 所以. 故答案为： 专题09双变量型求参 1．（22-23高一上·全国·期中）若对，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，利用对勾函数的单调性可求得，从而将问题再转化为恒成立，然后分情况求的取值范围. 【详解】， 即对，使不等式成立， ∴， ∵对勾函数在上单调递增，． 恒成立， 的对称轴，∴，解得， 或，无解，或，无解，综上， 即的取值范围为．故选：C． 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对，，使得，由包含关系列不等式求解. 【详解】解：， 令，则， 由对勾函数的性质得：m在上递减，在上递增， 所以，则， 易知在上递增，则， 因为对，，使得， 所以，解得， 故选：A 3．（22-23高一上·海南·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题化为在上值域是值域的子集，利用二次函数性质求值域，讨论、、结合一次函数性质求值域，即可确定参数范围. 【详解】要使对任意的，总存在，使得成立， 即在上值域是在上值域的子集， 开口向上且对称轴为，则上值域为； 对于： 当时在上值域为， 此时，，可得； 当时在上值域为，不满足要求； 当时在上值域为； 此时，，可得； 综上，的取值范围. 故选：D 4.（多选）（22-23高一上·山东淄博·期中）已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有．若对所有恒成立，则实数m的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先根据题目给出的条件，判断是定义在区间上的单调函数，求出其最大值，代入中解出m的取值范围即可. 【详解】不妨令 ， 对任意都有在上单调递增， 对所有恒成立， 对所有恒成立， 对所有恒成立，令 故只需解之： 故选：AD 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 5．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，，若，，使得，则的取值范围是 . 【答案】/ 【分析】由题意可得.后确定最小值，通过讨论确定函数的单调性进而确定最小值，计算即可得答案. 【详解】因为函数，，若，，使得，所以， ，令， 因为，所以， 因为在上单调递减，所以在上的最小值为， 的对称轴为， 当时，即，在区间上单调递增， 所以的最小值为，所以，解得； 当时，即，在区间上单调递减， 所以的最小值为，所以，解得； 当时，即，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为，因为成立，所以； 综上所诉：的取值范围是. 故答案为：. 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$