第10讲对数函数及其性质（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第10讲 对数函数及其性质 【考纲要求】 1.了解对数函数的定义、图像和性质。 2.初步掌握从实际情境中抽象出对数函数模型解决简单实际问题的方法。 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 . 2．特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以 为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数 为底的对数函数. 3．对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是 共点性 图象过定点 ，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于 对称 4.不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴． 考点一 对数的概念 例1：使有意义的实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式1：对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式2：若有意义，则实数k的取值范围是______. 例2：下列函数是对数函数的是（ ） A． B． C． D． 变式：下列函数表达式中，是对数函数的有（ ） ①； ②；③；④； ⑤；⑥； ⑦. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3：若函数是对数函数，则（ ） A．5 B．-5 C．4 D．2 变式：已知对数函数，则（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 考点二 对数函数的性质 例1：若函数的图像过点，则的值为（ ） A． B．2 C． D． 变式1：若对数函数且）的图象经过点，则实数 . 变式2：函数的图象必过定点（　　） A． B． C． D． 例2：函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 变式：函数的定义域为（ ） A． B． C． D． . 例3：已知，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 变式：函数的值域是（   ）. A．R B． C． D． 例4：函数的单调递增区间是( ) A． B． C． D． 变式1：函数y=是 ( ) A．区间（–∞，0）上的增函数 B．区间（–∞，0）上的减函数 C．区间（0，+∞）上的增函数 D．区间（0，+∞）上的减函数 变式2：已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例5：已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 变式：在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（ ） A． B． C． D． 例6：已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 变式：已知，，，则（ ） A． B． C． D． 综合应用 例1：不等式的解集是________. 变式：实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______． 例2：函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 例3：若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a的值为（ ） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 变式：已知函数是定义域为的偶函数，在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A． B．（1，3） C． D． 例4：函数的图象大致是（ ） A．B．C．D． 例5：已知函数，求函数的定义域，并判断其奇偶性. 变式：已知函数． （1）求的值； （2）求函数的定义域 （3）判断函数的奇偶性，并证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 对数函数及其性质 【考纲要求】 1.了解对数函数的定义、图像和性质。 2.初步掌握从实际情境中抽象出对数函数模型解决简单实际问题的方法。 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 (0，＋∞) . 2．特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 3．对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 4.不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴． 考点一 对数的概念 例1：使有意义的实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，解得，所以实数a的取值范围是. 变式1：对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，解得3<a<4或4<a<5，即a的取值范围是(3，4)∪(4，5). 变式2：若有意义，则实数k的取值范围是______. 【解析】若有意义，则满足，解得. 例2：下列函数是对数函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合. 变式：下列函数表达式中，是对数函数的有（ ） ①； ②；③；④； ⑤；⑥； ⑦. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数； 由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数； 由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数； 由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数； 例3：若函数是对数函数，则（ ） A．5 B．-5 C．4 D．2 【答案】A 【解析】根据对数函数的定义有，解得． 变式：已知对数函数，则（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】由对数函数的定义，可得，解得． 考点二 对数的性质 例1：若函数的图像过点，则的值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由题, . 变式1：若对数函数且）的图象经过点，则实数 . 【答案】2 【解析】将点代入得，解得. 变式2：函数的图象必过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵过定点， ∴， ，故图象必过定点． 例2：函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使函数解析式有意义，需满足解得:. 变式：函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使得函数有意义，只需：且，解得.故函数定义域为. 例3：已知，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在上单调递增，所以，即，所以函数的值域为. 变式：函数的值域是（   ）. A．R B． C． D． 【答案】B 【解析】恒成立，函数的定义域为。设 ，由复合函数的单调性可知函数在定义域上先增后减，函数取到最大值即： 函数的值域为。 例4：函数的单调递增区间是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增。 变式1：函数y=是 ( ) A．区间（–∞，0）上的增函数 B．区间（–∞，0）上的减函数 C．区间（0，+∞）上的增函数 D．区间（0，+∞）上的减函数 【答案】A 【解析】如图所示，函数y=的图象与函数y=的图象关于y轴对称， 所以函数y=是区间（–∞，0）上的增函数． 变式2：已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得或所以的定义域为 因为在上单调递增所以在上单调递增，所以。: 例5：已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】因为函数为减函数，所以,又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即,又因为函数图象与轴有交点，所以，所以. 变式：在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾． 例6：已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】,,,。 变式：已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，，所以. 综合应用 例1：不等式的解集是________. 【答案】 【解析】由在单调递减，因为， 所以 ，解得，，即解集为. 变式：实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】，，解得或. 例2：函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知的定义域为，令，则，函数单调递增，当时，关于单调递减，关于单调递减，当时，关于单调递增，关于单调递增，故的递增区间为． 例3：若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a的值为（ ） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 【答案】B 【解析】∵函数f（x）＝xln（x）为偶函数，x∈R，∴设g（x）＝ln（x）是奇函数，则g（0）＝0，即ln0，则1，则a＝1．故选：B． 变式：已知函数是定义域为的偶函数，在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A． B．（1，3） C． D． 【答案】C 【解析】因为的图象是由的图象向左平移2个单位， 而的图象关于轴对称，故的图象关于直线对称. 由在上单调递减可得在上单调递增， 故即为， 也就是，所以或，解得或． 例4：函数的图象大致是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】,所以舍B; 当时,单调递增，所以舍去CD。 例5：已知函数，求函数的定义域，并判断其奇偶性. 【解析】解：由解得或，所以的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以为奇函数. 变式：已知函数． （1）求的值； （2）求函数的定义域 （3）判断函数的奇偶性，并证明. 【解析】(1)令，则 (2)由题意:，解得，故定义域为； (3)证明：对任意， 由偶函数的定义可得函数为偶函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$