专题05 函数单调性和奇偶性的应用（5大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题05 函数单调性和奇偶性的应用 经典基础题 题型1 求函数单调区间 1．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）判断函数的单调递减区间并加以证明. 2．（22-23高一上·河北邢台·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．（19-20高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数在R上单调递减，则的单调递增区间为 A． B． C． D． 4．（22-23高三上·江西九江·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 5．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）某直线图像经过与两点，则直线斜率与该直线的函数的单调性为（    ） A．2，单调递增 B．，单调递增 C．，单调递减 D．2，单调递减 题型2 根据函数单调性求范围 6．（22-23高一上·辽宁·期中）若函数在上是单调函数，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 7．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）设函数，当为增函数时，实数的取值范围 . 8．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）已知是定义在上的单调函数，且，，则 ． 9．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是 . 10．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 11．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数. (1)当时，函数在上单调，求的取值范围； (2)若的解集为，求关于的不等式的解集. 题型3 单调性和函数的最值 12．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高一上·辽宁·期中）已知（常数），则正确的选项为（    ） A．当时，在R上单调递减 B．当时，没有最小值 C．当时，的值域为 D．当时，，，有 14．（21-22高一上·辽宁·期中）已知函数，若的最小值为，则实数的值可以是（ ） A． B．1 C．0 D．2 15．（21-22高一上·辽宁·期中）下列函数求值域正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 16．（22-23高一下·辽宁铁岭·期中）已知，则的最小值为 . 17．（23-24高一上·辽宁·期中）已知为二次函数，且，． (1)求的解析式： (2)若，试求的最小值． 18．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数，， (1)若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若不等式对及都成立，求实数的取值范围. 19．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）设函数，． (1)若在上是单调函数，求的取值范围； (2)在（1）的条件下求在上的最大值． 题型4 利用函数单调性解不等式 20．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．若，则不等式的解集为 21．（23-24高一上·辽宁大连·期中）定义在上的函数满足，且，，则不等式解集是 . 22．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）已知函数. (1)用单调性的定义判断在上的单调性，并求在上的值域； (2)若函数的最小作为，且对恒成立，求的取值范围. 23．（17-18高一上·江苏南通·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于t的不等式． 24．（23-24高一上·辽宁阜新·期中）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义证明； (2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明． 25．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数是定义在上的偶函数 (1)写出实数满足的条件． (2)利用函数单调性定义证明在单调递增． 26．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数． (1)求的解析式； (2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明． 题型5 函数奇偶性的定义 27．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）以下函数的图象不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   29．（22-23高一上·辽宁抚顺·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高一上·辽宁·期中）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B． C． D．函数的值域为 32．（22-23高一上·辽宁大连·期中）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．关于的不等式的解集为 C．函数在上是增函数 D．函数的图象的对称中心是 33．（22-23高一上·辽宁鞍山·期中）已知， (1)求证：是偶函数； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 优选提升题 题型01 函数奇偶性的应用 34．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 35．（22-23高一上·辽宁铁岭·期中）已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则函数解析式为 . 37．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则时， ． 38．（23-24高一上·辽宁·期中）已知定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)在坐标系中作出函数的图象； (3)利用图象解不等式． 39．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.    (1)求函数的解析式； (2)在给定的坐标系下作出函数的图象，并根据图象指出的单调递增区间； (3)求在区间上的最值. 40．（22-23高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数． (1)求的解析式； (2)已知，对任意的，恒成立，求的最大值． 题型02 利用奇偶性和单调性求参数 41．（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 42．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）函数是奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（23-24高一上·辽宁大连·期中）设函数，若是奇函数，则（ ） A． B． C． D． 44．（22-23高一上·辽宁铁岭·期中）函数，是偶函数，（    ） A．4 B．1 C．4或1 D．其他值 45．（22-23高一上·辽宁·期中）已知函数为奇函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 46．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）已知是定义在上的奇函数，则 ， ． 47．（22-23高一上·辽宁·期中）若，是奇函数，则的解集为 ． 48．（22-23高一上·湖北宜昌·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为 ． 49．（9-10高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数，是偶函数，则a+b= . 题型03 根据函数的单调性和奇偶性解不等式 50．（23-24高一上·辽宁·期中）已知定义在上的函数满足，且函数的图象关于点中心对称，对于任意，，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 51．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）若函数满足：是偶函数，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为 53．（23-24高一上·辽宁大连·期中）若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为 . 54．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知为奇函数 (1)求实数a的值； (2)当时，求函数的单调递减区间并证明； (3)若对于任意，，恒成立，求实数m的取值范围． 55．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）已知函数，. (1)证明：函数在上单调递增； (2)证明：函数为奇函数； (3)求不等式的解集. 56．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式． 57．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知定义在R上的函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)解不等式； (3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围． 题型04 根据函数的单调性和奇偶性比较大小 58．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数是偶函数，它在上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 59．（22-23高一上·辽宁·期中）已知函数的图像关于对称，且对任意的，，总有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 60．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数是R上的偶函数，当时，恒成立.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 61．（21-22高一上·辽宁大连·期中）已知定义在上的奇函数在满足，且区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 62．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）函数在上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 63．（15-16高一上·辽宁大连·期中）若对于任意实数x，都有f(-x)=f(x)，且f(x)在（-∞，0]上是增函数，则 A．f(-)<f(-1)<f(2) B．f(-1)<f(-)<f(2) C．f(2)<f(-1)<f(-) D．f(2)<f(-)<f(-1) 64．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．在上为减函数 D． 65．（19-20高一上·辽宁·期中）已知函数，,都有成立，且任取，，以下结论中正确的是（ ） A． B． C． D．若则 66．（22-23高一下·辽宁铁岭·期中）函数的定义域为R，为奇函数，且为偶函数，当时，.（1）是锐角的内角，；（2）；（3）；（4）. 则下列不等式成立的编号是________ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数单调性和奇偶性的应用 经典基础题 题型1 求函数单调区间 1．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）判断函数的单调递减区间并加以证明. 【答案】函数的单调递减区间为，证明见解析. 【分析】首先根据对勾函数单调性得到其单调区间，再利用定义法即可证明. 【详解】函数的单调递减区间为，证明如下： 令， 则， 因为， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减，即函数的单调递减区间为. 2．（22-23高一上·河北邢台·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复合函数的单调性求解， 【详解】由得或，即的定义域为， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性得，的单调递减区间为， 故选：B 3．（19-20高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数在R上单调递减，则的单调递增区间为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，在定义域内找到函数内层函数的递减区间即为答案． 【详解】令所以函数的定义域为 根据复合函数的单调性：同增异减,要找的单调递增区间，即找函数的单调递减区间为, 故选C 【点睛】本题考查复合函数的单调性：同增异减．需要注意的是定义域优先原则．属于基础题． 4．（22-23高三上·江西九江·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质求解即可. 【详解】的对称轴为， 因为，所以的图象开口向上， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 5．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）某直线图像经过与两点，则直线斜率与该直线的函数的单调性为（    ） A．2，单调递增 B．，单调递增 C．，单调递减 D．2，单调递减 【答案】C 【分析】直接根据斜率的计算公式以及一次函数的单调性即可得结果. 【详解】由于直线经过与， 所以直线的斜率为， 由于，所以该直线的函数的单调性为单调递减， 故选：C. 题型2 根据函数单调性求范围 6．（22-23高一上·辽宁·期中）若函数在上是单调函数，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 【答案】BCD 【分析】依题意可得在上单调递增，即可得到，解得即可. 【详解】解：因为函数在上是单调函数， 当时，函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，解得，即，故符合题意的有B、C、D； 故选：BCD 7．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）设函数，当为增函数时，实数的取值范围 . 【答案】 【分析】分段函数在R上单调递增，需满足在每一段上均单调递增，且在分段处左端点值小于等于右端点值. 【详解】由于开口向上，对称轴为， 要想为增函数，则要，解得， 故答案为： 8．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）已知是定义在上的单调函数，且，，则 ． 【答案】14 【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求. 【详解】，，是定义在上的单调函数， 则为定值，设，则， ，解得，得， 所以. 故答案为：14. 9．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性分类讨论求解即可. 【详解】当时，，显然该函数在上单调递减； 当时，该函数的对称轴为：， 要想该函数在上单调递减， 只需满足， 综上所述：的取值范围是， 故答案为： 10．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）考虑函数的开口方向和对称轴，建立不等式，解出即可； （2）分类讨论的值，根据开口方向和根的大小解出即可. 【详解】（1）当时，的图像开口向上且对称轴方程为， 要使在上单调递减，需满足， 解得，所以的取值范围为. （2）不等式，即 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 不等式的解为； 当时，不等式化为， 若，即时，不等式的解为或， 若，即时，不等式的解为， 若，即时，不等式的解为或， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解为， 当时，不等式的解集为. 11．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数. (1)当时，函数在上单调，求的取值范围； (2)若的解集为，求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数在上的单调性列不等式，由此求得的取值范围； （2）根据的解集求得的关系式，从而求得不等式的解集. 【详解】（1）当时，的对称轴为直线， 由于函数在上单调，所以或. 解得或. 所以的取值范围是. （2）由于的解集为， 所以所以     所以不等式，即， 所以，，解得或， 所以不等式的解集为. 题型3 单调性和函数的最值 12．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，然后判断函数的单调性，最后利用单调性进行求解即可. 【详解】由二次根式的性质可知：，所以函数的定义域为：， 二次函数的对称轴为：，所以该二次函数在上单调递增， 由函数单调性的性质可知：函数在上单调递增， 因此当时，函数有最小值，最小值为：， 当时，函数有最大值，最大值为：， 因此函数的值域为， 故选：A 13．（22-23高一上·辽宁·期中）已知（常数），则正确的选项为（    ） A．当时，在R上单调递减 B．当时，没有最小值 C．当时，的值域为 D．当时，，，有 【答案】BD 【分析】对A：取特值代入运算，比较函数值大小即可判断；对B：分类讨论，结合函数单调性即可得出；对C：根据单调性求出值域即可判断；对D：分别求出和时的范围即可得出. 【详解】对A：当时，，即， 故在R上不是单调递减函数，A错误； 对B：在上单调递减，则在内没有最小值，且； 令，对，且， 则， ∵，则， ∴，则， 故在上单调递增， 当时，在上单调递减，无最小值， 故在R上没有最小值； 当时，则，故在R上没有最小值； 当时，在上单调递增，则， 故在R上没有最小值； 综上所述：在R上没有最小值，B正确； 对C：当时，由B可知： 若时，； 若时，在上单调递减，则，即； 综上所述：的值域为，C错误； 对D：当时，由B可知： 若时，； 若时，在上单调递增，则，即； ∵，则，，有，D正确. 故选：BD. 14．（21-22高一上·辽宁·期中）已知函数，若的最小值为，则实数的值可以是（ ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】AC 【分析】先由在上单调递减，可得，再判断在上单调递增，可得，从而可求出的范围，进而可求得答案 【详解】当时，，则在上单调递减， 所以， 当时，，在上单调递增， 所以，得， 故选：AC 15．（21-22高一上·辽宁·期中）下列函数求值域正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】对A选项利用零点分段法求出对应区间函数解析式,画出函数图像，即可得到值域； 对B选项将转化然后利用基本不等式即可得到值域； 对C选项将解析式分子有理化，即可判断单调性，进而求出值域； 对D选项利用平方法求出函数的值域. 【详解】对A选项: , 画出函数图像如下： 的值域为，故A选项正确； 对B选项：，令，则， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号， 或，的值域为，故B选项不正确； 对C选项：，，，的定义域为， ，, 单调递增，，， 的值域为，故C选项正确； 对D选项：,的定义域为， ，，， 又，的值域为,故D选项正确； 故选：ACD 16．（22-23高一下·辽宁铁岭·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用单调性定义可判断出的单调性，进而确定最小值点. 【详解】设， 则， ，，， 在上单调递减，. 故答案为：. 17．（23-24高一上·辽宁·期中）已知为二次函数，且，． (1)求的解析式： (2)若，试求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据求出，由得到，求出、，即可求出解析式； （2）分、、三种情况讨论，结合函数的单调性计算可得. 【详解】（1）设，∵，∴． 又∵， ∴，解得， ∴． （2）由（1）知，，则对称轴为，开口向上， 若，则在上是增函数，； 若，即，则在上是减函数，； 若，即，则． 综上可得． 18．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数，， (1)若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若不等式对及都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意在上的值域是在上的值域的子集，通过分类讨论函数单调性，求解函数最值，解不等式组求出实数的取值范围. （2） 在为单调增函数，所以，由 对任意都恒成立，求解t的取值范围. 【详解】（1）由题意在上的值域是在上的值域的子集，即， 函数 在上是增函数， ， ， 函数图像开口向上，对称轴为直线， ①当时，函数在上为增函数，， ，∴ ， 此时无解； ②当时，函数在上为减函数，在上为增函数，， ， ， 此时无解； ③当时，函数在上为减函数，在上为增函数，，， ，解得 ； ④当时，函数在上为减函数，，，∴ ， 解得； 综上所述，实数a的取值范围是 . （2）由题意知，对任意都恒成立， 由 在为单调增函数，所以， 即对都恒成立， ，解得，即t的取值范围为 . 19．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）设函数，． (1)若在上是单调函数，求的取值范围； (2)在（1）的条件下求在上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和函数的单调性，结合分段函数的单调性即可求解； （2）由（1）知在上的单调性，由单调性即可求得最值. 【详解】（1）当时，因为在上单调递增， 在上单调递减， 所以不符合题意， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减， 若在上是单调函数，则，解得：， 所以的取值范围为. （2）由（1）知在上单调递减，所以在上单调递减， 所以在上的最大值. 题型4 利用函数单调性解不等式 20．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．若，则不等式的解集为 【答案】AB 【分析】令，得，可求解选项A，利用奇函数的定义可求解选项B，利用函数单调性的定义可求解选项C，利用函数的单调性解抽象不等式可求解选项D. 【详解】对A，令，得，A正确； 对B，，所以函数为奇函数，B正确； 对C，在R上任取，则，所以, 又， 所以函数在R上是增函数，C错误； 由， 得． 由得． 因为函数在R上是增函数，所以，解得或． 故原不等式的解集为或，D错误． 故选:AB． 21．（23-24高一上·辽宁大连·期中）定义在上的函数满足，且，，则不等式解集是 . 【答案】 【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性，即可求出不等式的解集. 【详解】令，，，且，都有满足， 即，即，所以在上为减函数， 对于，等价于，所以，所以. 所以不等式解集是. 故答案为： 22．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）已知函数. (1)用单调性的定义判断在上的单调性，并求在上的值域； (2)若函数的最小作为，且对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增， (2) 【分析】（1）设是上的任意两个实数，且，再求解或判断即可得单调性，再根据单调性可得在上的值域； （2）由题意的最小值为，再根据为关于的增函数，可得，进而可得的取值范围. 【详解】（1）设是上的任意两个实数，且. （方法一） ， 因为为增函数，所以， 所以，即，所以在上单调递增. （方法二）， 因为，所以， 所以，又， 所以，所以在上单调递增. 故在上的值域为，即. （2）因为的定义域为， 所以的定义域也为. 因为的最小值为，所以的最小值也为. 因为为关于的增函数，所以为增函数， 又，所以. 由， 得， 依题意可得， 解得，则的取值范围是. 23．（17-18高一上·江苏南通·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1)； (2)在上是增函数，证明见解析； (3)． 【分析】（1）由奇函数的性质及已知函数值列方程组求解； （2）根据单调性定义证明； （3）由奇偶性化简不等式，再由单调性求解． 【详解】（1）由题意，解得， 此时，满足， 所以； （2）在上是增函数，证明如下： 设任意的且， ， 又，则，，，， 所以，即， 所以在上是增函数； （3）不等式化为， 又是奇函数，则，再由（2）得， 解得．即解集为． 24．（23-24高一上·辽宁阜新·期中）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义证明； (2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明． 【答案】(1)是偶函数，证明见解析 (2)在区间在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解. 【详解】（1）函数是偶函数. 证明如下：                由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，即， 所以是定义域上的偶函数. （2）函数在区间在上单调递减. 证明如下：                  设， 则 ． 因为，可得， 所以，即， 所以在区间上单调递减函数. 25．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数是定义在上的偶函数 (1)写出实数满足的条件． (2)利用函数单调性定义证明在单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义以及函数定义域为，可求得答案； （2）利用函数单调性定义可证明. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以，即，对均成立，可得， 又由恒成立，可得， 故满足. （2）在上任取，且， ， ，，，又， ，即， 所以在单调递增. 26．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数． (1)求的解析式； (2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明． 【答案】(1) (2)单调递增，证明详见解析 【分析】（1）利用凑配法求得的解析式. （2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明. 【详解】（1） ， 所以. （2）， 在上单调递增，证明如下： 设， ， 其中，所以， 所以，所以在上单调递增. 题型5 函数奇偶性的定义 27．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）以下函数的图象不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性、对称性的定义求解即可. 【详解】选项A，因为，所以的图象关于原点中心对称； 选项B，， 所以的图象可由反比例函数的图象向右平移2个单位，向上平移2个单位得到，且反比例函数的图象关于原点对称， 所以函数的图象关于点对称； 选项C，因为，所以为偶函数， 又不是常函数，所以不是中心对称图形； 选项D，函数的定义域为，且， 当时，，， 当时，，， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称； 故选：C 28．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在的单调性或值域可得出正确答案. 【详解】由已知，， 则， 故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误； 当时，，则， 故AD项错误，应选B. 又设，且， 则， 故，则有， 即，故在上单调递减. 综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致. 故选：B. 29．（22-23高一上·辽宁抚顺·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义即可判断. 【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数，故A正确； 的定义域为，因为，所以不是奇函数，故B错误； 的定义域为，所以既不是奇函数也不是偶函数，故C错误； 的定义域为，因为，所以是偶函数，故D错误. 故选：A. 30．（22-23高一上·辽宁·期中）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别利用定义判断奇偶性，再由单调性判断即可. 【详解】令，定义域关于原点对称，，即为偶函数，当时，在上单调递减，故A正确； 令，定义域关于原点对称，，即为奇函数，故B错误； 的对称轴为，在上单调递增，故C错误； 在上单调递增，故D错误； 故选：A 31．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B． C． D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义即可判断A；求出即可判断B；结合B选项即可判断C；分离常数，再结合反比例函数的性质即可判断D. 【详解】对于A，由，得，所以， 所以函数的定义域为， 因为， 所以函数是偶函数，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由B选项可得， 所以， 又， 所以，故C错误； 对于D，， 由且，得且， 所以，所以， 所以函数的值域为，故D正确. 故选：ABD. 32．（22-23高一上·辽宁大连·期中）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．关于的不等式的解集为 C．函数在上是增函数 D．函数的图象的对称中心是 【答案】BCD 【分析】A选项：根据奇偶性的定义判断即可； C选项：根据已知函数的单调性即可得到得单调性； D选项：根据，即可得到是的对称中心； B选项：利用对称性和单调性解不等式即可. 【详解】A选项：的定义域为R，关于原点对称，，同时，所以不是奇函数也不是偶函数，故A错； C选项：因为函数，在R上单调递增，所以在R上单调递增，故C正确； D选项：，所以是的对称中心，故D正确； B选项：原不等式可整理为，即，则，解得，故B正确. 故选：BCD. 33．（22-23高一上·辽宁鞍山·期中）已知， (1)求证：是偶函数； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义即可求解； （2）根据函数的解析式得出，再利用全称命题为真命题转化为一元二次不等式在恒成立的条件即可求解. 【详解】（1）由，得，所以的定义域为， 所以， 所以是偶函数. （2）由函数解析式可得， 所以，而， 所以， 所以在恒成立，即在恒成立， 只需，解得， 所以的取值范围是. 优选提升题 题型01 函数奇偶性的应用 34．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】先由为奇函数，推出关于对称，则，进而求出的解析式，则的解析式可求，解出根即可. 【详解】因为为奇函数，所以关于对称， 则关于对称，即， 当时，， 当时，， 则， 所以， 则， 因为，则或， 解得或，所以. 故选：A 35．（22-23高一上·辽宁铁岭·期中）已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，用换，结合函数的奇偶性可得，联立解方程组即可得解. 【详解】由可得， 又分别为奇，偶函数， 所以， 由解得， 故选：C 36．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则函数解析式为 . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质求出函数在时的解析式，由奇函数的性质得出，综合可得出函数的解析式. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且当时，， 则当时，，则， 由奇函数的性质可得， 因此，. 故答案为：. 37．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则时， ． 【答案】 【分析】直接根据奇函数的定义求解时的解析式，再根据奇函数，进而求解出的解析式即可 【详解】假设，则根据为奇函数， 得：，又的定义域为，，综上可得：. 故答案为： 38．（23-24高一上·辽宁·期中）已知定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)在坐标系中作出函数的图象； (3)利用图象解不等式． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）令，则，再根据已知区间的函数解析式及函数的奇偶性即可得解； （2）根据函数解析式作出函数图象即可； （3）由题意可得，即，则或，结合图象即可得解. 【详解】（1）由定义在上的奇函数， 得， 令，则， 故，所以， 所以； （2）函数的图象如下图所示： （3）由定义在上的奇函数，得， 则，即， 所以或， 由图可知，或， 所以不等式的解集为. 39．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.    (1)求函数的解析式； (2)在给定的坐标系下作出函数的图象，并根据图象指出的单调递增区间； (3)求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)作图见解析，单调递增区间为和 (3)最大值为4，最小值为. 【分析】（1）根据奇偶性的性质求出函数的解析式； （2）分段函数分别作图，然后根据函数的图像分析单调性； （3）先判断单调性，再由单调性确定最值. 【详解】（1）当时，所以， 又因为是奇函数，所以，所以， 所以 （2） 由图可知，函数在区间和上单调递增； （3）由函数图象，知在区间上递增，上递减， 所以当时，在区间上取得最大值4 当时，； 当时，； 所以当时，在区间上取得最小值. 综上，在区间上的最大值为4，最小值为. 40．（22-23高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数． (1)求的解析式； (2)已知，对任意的，恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用奇偶性的定义列方程组求解即可； （2）当时可得，对任意的，恒成立，利用一元二次函数判别式求的关系即可. 【详解】（1）因为为奇函数， 所以，即， 因为为偶函数，所以，即， 解得，所以的解析式为． （2）由题可得， 令，则，故． 对任意的，，即恒成立， 所以且， 所以，此时， 所以， 当，，时，等号成立， 此时成立， 所以的最大值为． 题型02 利用奇偶性和单调性求参数 41．（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义可计算的值，再根据解析式计算函数值即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以且，则， 所以，则. 故选：D． 42．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）函数是奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质，有，计算即可得. 【详解】因为，所以， 因为是奇函数，所以，即， 所以，则，解得， 因为，所以. 故选：B. 43．（23-24高一上·辽宁大连·期中）设函数，若是奇函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到的解析式，再根据为奇函数求出参数的值，即可得到的解析式，最后代入计算可得. 【详解】因为，所以 ， 因为是奇函数， 所以，即，又， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：C 44．（22-23高一上·辽宁铁岭·期中）函数，是偶函数，（    ） A．4 B．1 C．4或1 D．其他值 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义求解即可. 【详解】因为，是偶函数， 所以解得， 所以， 故选：A. 45．（22-23高一上·辽宁·期中）已知函数为奇函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】由题意，而，所以，， 此时，，满足题意． 故选：C． 46．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）已知是定义在上的奇函数，则 ， ． 【答案】 【分析】由定义区间的对称性可解得，再由奇函数定义求解参数即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，解得， 又因为是奇函数， 则恒成立， 即恒成立， 化简得，因为该等式对恒成立， 所以. 故答案为：；. 47．（22-23高一上·辽宁·期中）若，是奇函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】利用奇函数的性质及一元高次不等式的解法即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 所以，即，解得或， 所以的解集为. 故答案为：. 48．（22-23高一上·湖北宜昌·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】由偶函数定义域关于原点对称求出，再由偶函数对称性及函数单调性得，求解即可 【详解】由于函数是定义在上的偶函数，则定义域关于原点对称，所以，得，所以函数的定义域为． 由于函数在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减． 由于函数为偶函数，则， 由，可得，则，解得或，因此不等式的解集为． 故答案为： 49．（9-10高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数，是偶函数，则a+b= . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列式计算即可作答. 【详解】因为f(x)为偶函数，则函数f(x)的定义域关于数0对称，即，解得， 显然，，即，整理得， 而不恒为0，于是得，解得， 所以. 故答案为：4 题型03 根据函数的单调性和奇偶性解不等式 50．（23-24高一上·辽宁·期中）已知定义在上的函数满足，且函数的图象关于点中心对称，对于任意，，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，构造函数，判断函数的单调性和奇偶性，分和两种情况，利用单调性求解不等式即可． 【详解】因为函数的图象关于点成中心对称， 则函数的图象关于点成中心对称， 所以函数是定义在，，上的奇函数， 令，则， 所以函数为偶函数， 因为对于任意，，，都有成立， 即， 故函数在上单调递增，且， 当时，不等式即为，即， 所以； 当时，不等式即为，函数在上单调递减， 即，解得， 综上所述，不等式的解集为,,． 故选：A． 51．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性、奇偶性，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意，是定义在上的奇函数， 对任意且，都有， ，， 不妨设，则，则， 所以在上单调递增， 由于是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增， ，，画出的大致图象如下图所示，    对于不等式，首先， 时，不等式成立， 要使与对应的同号，根据图象可知，的范围是. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B 52．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）若函数满足：是偶函数，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为 【答案】 【分析】利用偶函数的性质，结合图象平移的性质得到，利用平方法进行求解即可. 【详解】设，则是偶函数， 且函数的图象向左平移1个单位得到的图象，即的图象， 又在上单调递减，所以在上单调递减， 因为，则， 所以，故， 则，所以， 整理得，解得或， 所以的解集为. 故答案为： 53．（23-24高一上·辽宁大连·期中）若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，由题意可以推出函数的奇偶性、单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】不妨设，则， 由，得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上单调递减， 因为为偶函数，所以， 则， 所以函数为偶函数，且函数的定义域为， 由，得，即， 所以，解得且， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数. 54．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知为奇函数 (1)求实数a的值； (2)当时，求函数的单调递减区间并证明； (3)若对于任意，，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，证明见解析 (3) 【分析】（1）由，即可求出实数a的值； （2）由单调性的定义证明即可； （3）若对于任意，，使得恒成立，只需，由奇函数的性质结合函数的单调性求出在R上的最大值和最小值即可得出答案. 【详解】（1）因为为奇函数，且定义域为R，则，解得， 所以，检验：当时，， 所以函数为奇函数，所以. （2）单调递减区间为（或者） 证明如下： ，，且， 当，时，，，， 所以，即， 所以函数在上单调递减． （3）若对于任意，，使得恒成立，只需． 因为在上单调递减，在上单调递增， ∴时，， 又因为是奇函数，图像关于原点对称，时， 所以时，，， 所以，即. 55．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）已知函数，. (1)证明：函数在上单调递增； (2)证明：函数为奇函数； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合函数单调性的定义，通过计算，来证明函数在上单调递增. （2）结合函数的奇偶性定义，通过计算，来证明函数为奇函数. （3）结合函数的奇偶性和单调性求得不等式的解集. 【详解】（1）任取、，使得，则， 因为，所以，，，. 所以，所以函数在上单调递增. （2）由于函数的定义域为，关于原点对称. 所以函数为奇函数. （3）因为，由（1）（2）可知函数在上单调递增. 则原不等式可化为， 因此，解得， 则原不等式的解集为：. 56．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据得到方程，求出，再根据求出，得到解析式； （2）利用定义法证明出单调性； （3）根据奇偶性和单调性，结合函数定义域，得到不等式，求出解集. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 此时，又， 所以，解得， 所以， （2）任取，且， 则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 故， 所以在上为增函数． （3）函数是定义在上的奇函数， 由，得， 又在上为增函数， 所以，解得， 故不等式的解集为 57．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知定义在R上的函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)解不等式； (3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1)是奇函数 (2)或 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明； （2）根据单调性的性质可得是R上减函数，利用奇偶性结合单调性分析求解； （3）根据指数函数性质结合不等式运算可得的值域，由恒成立问题可得，换元设，结合二次函数的最值运算求解. 【详解】（1）因为定义域是R，且， 所以是奇函数. （2）设，则， 因为在R上递增，且在上递减， 所以是R上减函数， 又因为在R上是奇函数， 则可转化为， 且在R是减函数，则，整理得， 解得或，可得或， 所以不等式的解集为或. （3）由题意可得： 因为，即，则，可得， 所以的值域是， 若，，使成立，只需， 设，， 则 可知在上单调递增， 可知：，即时，取到最大值为， 所以，解得， 所以实数m的取值范围. 题型04 根据函数的单调性和奇偶性比较大小 58．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数是偶函数，它在上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数是偶函数，它在上单调递增，可得在上单调递减，再将自变量转化到上，再比较大小即可 【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减， 因为函数是偶函数，所以， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 故选：C 59．（22-23高一上·辽宁·期中）已知函数的图像关于对称，且对任意的，，总有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由函数单调性的定义可得在上是增函数，再结合对称性可比较大小. 【详解】因为对任意的，有， 不妨设，则有 因为，所以，即， 所以在上是增函数， 因为的图像关于对称，所以，故A错误； ，故B错误； ，故C错误，D正确. 故选：D 60．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数是R上的偶函数，当时，恒成立.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求出函数在上单调递减，在上单调递增，即可得出的大小. 【详解】函数是R上的偶函数，所以关于对称， 当时，恒成立知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故选：D. 61．（21-22高一上·辽宁大连·期中）已知定义在上的奇函数在满足，且区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为奇函数且，结合函数在单调递增，即可容易判断. 【详解】因为是定义在上的奇函数且满足， 则， 又，又在单调递增，故； 又. 综上所述：. 故选：B. 62．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）函数在上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得关于对称，且先增后减，所以利用离对称轴越近函数值越大，即可得解. 【详解】由函数是偶函数，所以关于对称， 则关于对称， 由函数在上单调递增， 则函数在上单调递减， 则离对称轴越近，函数值越大， 由，，， 所以，所以. 故选：B 63．（15-16高一上·辽宁大连·期中）若对于任意实数x，都有f(-x)=f(x)，且f(x)在（-∞，0]上是增函数，则 A．f(-)<f(-1)<f(2) B．f(-1)<f(-)<f(2) C．f(2)<f(-1)<f(-) D．f(2)<f(-)<f(-1) 【答案】D 【详解】因为对于任意实数 ，都有 ，所以函数为偶函数， 所以 又在 上是增函数，且- 即 故选D． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，解题时应注意将变量化为同一单调区间，再作判断． 64．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．在上为减函数 D． 【答案】AC 【分析】由题分析可得函数是周期为2的周期函数，进而可判断AB；利用函数的单调性可判断C；利用对称性结合单调性可判断D. 【详解】由，得，即函数是周期为2的周期函数， 对于A，因为，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，因为函数的周期为2，所以，故B错误； 对于C，由是偶函数，在上是增函数，得在上是减函数，故C正确； 对于D，由的周期为2，在上是增函数， 得，在上是增函数. 又，所以，故D错误. 故选：AC. 65．（19-20高一上·辽宁·期中）已知函数，,都有成立，且任取，，以下结论中正确的是（ ） A． B． C． D．若则 【答案】AB 【分析】由函数，,都有成立，且任取，，则函数的图像关于直线对称，在为增函数，在为减函数，再逐一判断各选项即可得解. 【详解】解：由函数满足，则函数的图像关于直线对称，又，，则函数在为减函数， 对于选项A，因为，所以，即A正确； 对于选项B，由已知有在为增函数，在为减函数，即，即B正确； 对于选项C，，又在为减函数，所以，即C错误； 对于选项D，当则，则或，即D错误， 即结论正确的是AB， 故选AB. 【点睛】本题考查了函数的对称性及增减性，重点考查了函数性质的应用，属中档题. 66．（22-23高一下·辽宁铁岭·期中）函数的定义域为R，为奇函数，且为偶函数，当时，.（1）是锐角的内角，；（2）；（3）；（4）. 则下列不等式成立的编号是________ 【答案】（2）（3）（4） 【分析】根据题意，分析的对称性和周期性，由此分析4个结论是否正确，综合可得答案. 【详解】因为为奇函数，所以关于对称，且， 又因为为偶函数，所以关于对称，且， 所以， 所以，即， 所以， 所以函数为周期为4的周期函数， 当时，，则在上单调递减. 对于（1）A，B是锐角三角形 的内角，则，则有， 所以， 所以，所以，（1）错误； 对于（2），，则有，所以， 则有，（2）正确； 对于（3）， ， ，则有，（3）正确; 对于（4），函数为周期为4的周期函数，则，（4）正确. 故答案为：（2）（3）（4）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$