专题03 三个二次关系（5大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题03 “三个二次”题型归类 经典基础题 题型1 一元二次根的分布 1．（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（18-19高一·辽宁大连·期中）已知关于x的方程为2kx2﹣2x﹣5k﹣2＝0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（20-21高一上·辽宁铁岭·期中）关于的方程有两个大于的不相等实根，则实数的取值范围为 ． 4．（16-17高一上·辽宁大连·期中）若方程 的两根为，且，，则实数的取值范围是 . 5．（19-20高一上·辽宁大连·期中）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合为 . 6．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数 (1)方程在有两个不等实数根，求的取值范围． (2)求解关于不等式． 7．（21-22高一上·辽宁铁岭·期中）1.已知． (1)如果方程在有两个根，求实数的取值范围； (2)如果，成立，求实数的取值范围． 8．（18-19高一上·辽宁大连·期中）（1）若是方程的两个根，求的值. （2）已知集合，若中元素至多只有一个，求的取值范围. 9．（13-14高一下·辽宁沈阳·期中）关于的方程的两根分别在区间与内，求的取值范围． 题型2 一元二次性质 10．（20-21高一上·辽宁沈阳·期中）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）已知，若的单调递减区间为，则实数 ；若在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是 ． 12．（22-23高三上·江西九江·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 13．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若在上的最小值为0，求a的值． 题型3 一元二次根与系数 14．（22-23高一上·辽宁大连·期中）已知是的三边长，关于的方程的解集只有一个元素，且方程的根为，则的形状为（    ） A．等腰但不等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 15．（22-23高一上·辽宁·期中）已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（19-20高一上·辽宁抚顺·期中）已知一元二次方程的两根为与，则（    ） A． B． C． D． 17．（21-22高一上·辽宁·期中）若，是关于x的一元二次方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）设一元二次方程的两个实根为，（），则当时，a的取值集合是 ． 19．（20-21高一上·辽宁抚顺·期中）已知整数满足是方程的两根，则 . 20．（20-21高一上·辽宁沈阳·期中）若m，n满足m2+5m-3=0，n2+5n-3=0，且m≠n，则的值为 . 21．（19-20高一上·辽宁抚顺·期中）已知一元二次方程的两个实数根为. 求值：（1）；   （2）. 题型4 一元二次不等式 22．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·辽宁·期中）已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一上·辽宁·期中）已知二次函数，且，3是函数的零点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 26．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知全集，集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 27．（23-24高一上·辽宁·期中）已知非空集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 28．（23-24高一上·辽宁·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题： 已知集合， (1)当时，求； (2)若 ，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件解答按第一个解答计分． 29．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）求下列不等式（组）的解集： (1)； (2)； (3)； (4) 题型5 二次函数单调性 30．（21-22高一上·辽宁锦州·期中）已知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（22-23高一上·辽宁·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）函数满足对任意都有，则a的取值范围是 ． 33．（23-24高一上·辽宁·期中）已知二次函数满足且该函数图象与轴交于点，在轴上截得的线段长为. (1)求函数的解析式； (2)若函数在是单调函数，求实数的取值范围； (3)解不等式. 34．（21-22高一上·辽宁大连·期中）已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足． (1)求的表达式； (2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围． 35．（22-23高一上·辽宁·期末）已知函数，. (1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 36．（20-21高一上·辽宁抚顺·期中）已知函数. （1）当时，求函数的零点； （2）对于给定的正数有一个最大的正数，使时，都有，试求出这个正数，并求它的取值范围. 优选提升题 题型01 一元二次不等式整数根求参 37．（22-23高一上·辽宁辽阳·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 38．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知一元二次不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一上·辽宁·期中）下列说法不正确的是（    ） A．函数有两个零点为， B．已知不等式的解集为，则 C．函数的单调递增区间为 D．已知函数，则函数图象关于点对称 40．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 41．（23-24高一上·辽宁·期中）（1）若不等式的解集为或，求，的值； （2）求关于的一元二次不等式的解集． 42．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数. (1)当时，函数在上单调，求的取值范围； (2)若的解集为，求关于的不等式的解集. 43．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知函数，， (1)若的解集为，求a的值； (2)试问是否存在实数，使得对于时，不等式恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 44．（23-24高一上·辽宁大连·期中）设． (1)若不等式有实数解，试求实数的取值范围； (2)当时，试解关于的不等式. 45．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）已知，其中a是常数. (1)若的解集是，求a的值，并求不等式的解集； (2)若不等式有解，且解区间的长度不超过5个单位长度，求实数a的取值范围. 题型02 实数集上恒成立求参 46．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高一上·辽宁大连·期中）“，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 48．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 49．（23-24高一上·辽宁·期中）已知“”为假命题，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C． D．1 题型03 区间内恒成立求参 50．（23-24高一上·辽宁·期中）关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 51．（23-24高一上·辽宁大连·期中）“若，恒成立”是真命题，则实数可能取值是（ ） A． B． C．4 D．5 52．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）不等式对于满足的所有的值都成立，则的取值范围为 . 53．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知 (1)在上恒成立，求x的范围． (2)在上恒成立，求a的范围． 54．（10-11高二下·辽宁大连·期末）已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)在区间上，的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围. 55．（22-23高一上·辽宁大连·阶段练习）已知二次函数. (1)若，不等式对一切实数x恒成立，求实数的取值范围； (2)若，存在使不等式成立，求实数的取值范围. 56．（21-22高一上·辽宁大连·期中）已知 (1)不等式组的正整数解只有一个，求实数取值范围； (2)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 题型04 “能”成立或有解求参 57．（21-22高一上·辽宁大连·期中）已知命题P：“，”为真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．（17-18高一下·辽宁阜新·期中）若存在实数使成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 59．（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 60．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）设， (1)若使成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 题型05区间内“能”成立（有解） 1．（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 2．（22-23高一下·河北保定·阶段练习）若，使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一·湖北·期中）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·辽宁·期中）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 “三个二次”题型归类 经典基础题 题型1 一元二次根的分布 1．（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数是不是为零进行分类讨论，结合根的判别式及韦达定理即可得解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有二个负根时，则有， 当方程有一个负根一个正根时，则有， 综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有， 即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是. 故选：D. 2．（18-19高一·辽宁大连·期中）已知关于x的方程为2kx2﹣2x﹣5k﹣2＝0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论方程的类型和抛物线的开口后，根据图象列式可得． 【详解】令f（x）＝2kx2﹣2x﹣5k﹣2， 当k＞0时，开口向上的抛物线与x轴的两个交点，一个在（1，0）的左边，一个在（1，0）的右边， 所以有：f（1）＜0，即2k﹣2﹣5k﹣2＜0，解得：k，∴k＞0， 当k＝0时，f（x）＝0只有一个实根，不符合题意； 当k＜0时，开口向下的抛物线与x轴的两个交点，一个在（1，0）的左边，一个在（1，0）的右边， 所以有：f（1）＞0，即2k﹣2﹣5k﹣2＞0，解得：k， 综上所述：k或k＞0 故选D． 【点睛】（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式． （2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法． 3．（20-21高一上·辽宁铁岭·期中）关于的方程有两个大于的不相等实根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】根据根的判别式大于0，再由根与系数的关系建立不等式，可求得范围. 【详解】设的两根，且所以 ，所以 又因为两根都大于，则满足下列式子：，则，且， 所以即，解得. 综上可得：实数的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：在解决一元二次方程的根的分布问题时，常常需考虑根的判别式的符号、对称轴的范围、特殊点的函数值的符号、根与系数的关系. 4．（16-17高一上·辽宁大连·期中）若方程 的两根为，且，，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将方程的根转化为函数零点问题,再利用零点存在性定理求解. 【详解】由题知方程 的两根为, 且,, 故设 , 则有, 故答案为:. 【点睛】本题考查二次函数根的分布问题,需要学生熟悉二次函数的图像性质,解决此类问题时常结合零点存在性定理解决. 5．（19-20高一上·辽宁大连·期中）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】先化为一元二次方程，根据方程解的情况确定的取值. 【详解】 当有两个相等实根时， 即，此时，满足条件； 当有实根时，即，此时，原方程解集中只含有一个元素，满足条件； 当有实根时，即，此时，原方程解集中只含有一个元素，满足条件； 故答案为： 【点睛】本题考查方程的根与集合元素关系，考查基本分析求解能力，属中档题. 6．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数 (1)方程在有两个不等实数根，求的取值范围． (2)求解关于不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由图象得出方程在有两个不等实数根，应满足的条件列出不等式组即得. （2）根据方程的判别式进行讨论即得. 【详解】（1）因为方程在有两个不等实数根， 由图知满足的条件为： 解得：    （2）由得出 ①若时，即或，方程有两个相等的实数根为， 此时原不等式解集为； ②若时，即，方程无实数根. 此时原不等式解集为; ③若时，即或， 方程有两个不相等的实数根分别为，或， 此时原不等式解集为， 综上所述： ①当或，不等式解集为. ②当或，不等式解集为. ③当，不等式的解集为． 7．（21-22高一上·辽宁铁岭·期中）1.已知． (1)如果方程在有两个根，求实数的取值范围； (2)如果，成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据在上有两个根，根据二次函数的图象特点，要满足四个条件，求出的取值范围；（2）参变分离，转化为不等式有解问题，进行解决 【详解】（1）的对称轴为 要想方程在有两个根，需要满足 解得： （2），成立， 即在上有解，只需大于的最小值，其中为对勾函数，在上单调递增，在上单调递减，又，，所以最小值为 故，解得：，实数的取值范围为 8．（18-19高一上·辽宁大连·期中）（1）若是方程的两个根，求的值. （2）已知集合，若中元素至多只有一个，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）或. 【分析】（1）根据韦达定理得到，代入韦达定理得到结果即可；（2）①当时满足题意；②当0时，方程为二次的，只需要. 【详解】（1）由根与系数的关系得： （2）①当时，，满足题意. ②当0时，方程至多只有一个解，则，即， 综上所述，的取值范围是或. 【点睛】这个题目考查了根和系数的关系，涉及到两根关系的题目，多数是可以考虑韦达定理的应用的，也考查到二次函数方程根的个数的问题. 9．（13-14高一下·辽宁沈阳·期中）关于的方程的两根分别在区间与内，求的取值范围． 【答案】 【分析】（1）理解常用代数式的意义：表示的是到点的距离；表示点与点连线的斜率；（2）利用线性规划求目标函数的最值一般步骤：一画、二移、三求，其关键是准确的作出可行域，理解目标函数的意义；（3）在线性约束条件下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值.在解答选择题和填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验. 【详解】 由题知两根在（0，1）与（1，2）内， 可令必满足，即， 由线性规划可知：可以转化为点与连线的斜率． 点M（1，2）与阴影部分连线的 斜率k的取值范围为 ∵（－3，1），（－1，0）， , 即的取值范围． 考点：线性规划的应用. 题型2 一元二次性质 10．（20-21高一上·辽宁沈阳·期中）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出函数的对称轴，由题满足，解出即可. 【详解】 对称轴为，开口向下， 要满足在上是减函数，则，解得， 故的取值范围是. 故选：A. 11．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）已知，若的单调递减区间为，则实数 ；若在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 4 【分析】利用二次函数的单调性可得答案. 【详解】因为的对称轴为， 当的单调递减区间为时，，解得； 当在上是单调函数时， 所以或者，解得或， 所以m的范围是． 故答案为：4；． 12．（22-23高三上·江西九江·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质求解即可. 【详解】的对称轴为， 因为，所以的图象开口向上， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 13．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若在上的最小值为0，求a的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得，分类讨论a的取值范围即可得出对应的解集； （2）易知对称轴为，根据二次函数的性质，分类讨论，求出当、、时的表达式，列方程，解之即可求解. 【详解】（1）， 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为． （2）因为的对称轴为， 当即时，在上单调递增， 此时，解得或， 又因为，所以不存在这样的a； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，此时满足，所以成立； 当即时，在上单调递减， 此时，解得或， 又因为，所以不存在这样的a； 综上：在上的最小值为0时，． 题型3 一元二次根与系数 14．（22-23高一上·辽宁大连·期中）已知是的三边长，关于的方程的解集只有一个元素，且方程的根为，则的形状为（    ） A．等腰但不等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据题意可得方程的判别式，和，联立解的关系即可. 【详解】因为方程的解集只有一个元素， 所以，即①， 又因为方程的根为，所以②， 由①②可得，即为等边三角形， 故选：C. 15．（22-23高一上·辽宁·期中）已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根的判别式可得到或，利用一元二次方程根与系数的关系可得到，，代入不等式求解即可 【详解】因为方程的两根分别是和， 所以，解得或， ，， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：C 16．（19-20高一上·辽宁抚顺·期中）已知一元二次方程的两根为与，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根与系数关系求得的正确结果. 【详解】依题意一元二次方程的两根为与， 所以， 所以. 故选：B 17．（21-22高一上·辽宁·期中）若，是关于x的一元二次方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用因式分解法求出方程的两根，然后逐一判断即可. 【详解】由，或， 因此有：、、，所以选项BCD正确， 显然当时，或，因此选项A不正确， 故选：BCD 18．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）设一元二次方程的两个实根为，（），则当时，a的取值集合是 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理化简及根的判别式转化条件，再解分式不等式可得答案. 【详解】因为一元二次方程的两个实根为，（）， 则或， 由韦达定理得， 而，解得， 综上，a的取值集合是 故答案为： 19．（20-21高一上·辽宁抚顺·期中）已知整数满足是方程的两根，则 . 【答案】 【解析】通分，并利用根与系数的关系可得,解方程组，求得整数的值，代入计算. 【详解】, 由消去a并整理得,解得或, 又为整数，,∴， ， 故答案为：7. 【点睛】本题考查二次方程根与系数的关系，和消元法解方程组，属基础题，解方程组中要注意认真准确运算，化简中要注意配方法的应用. 20．（20-21高一上·辽宁沈阳·期中）若m，n满足m2+5m-3=0，n2+5n-3=0，且m≠n，则的值为 . 【答案】 【解析】由题可知是方程的两个不同实根，根据韦达定理可求出. 【详解】由题可知是方程的两个不同实根， 则， . 故答案为：. 21．（19-20高一上·辽宁抚顺·期中）已知一元二次方程的两个实数根为. 求值：（1）；   （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】利用韦达定理可得，再对所求式子进行变行，即；；两根和与积代入式子，即可得到答案； 【详解】解：因为一元二次方程的两个实数根为，所以由根与系数关系可知. （1） ； （2）. 题型4 一元二次不等式 22．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解一元二次不等式和一元一次不等式，得集合和，求交集即得. 【详解】由可得，，则 由可得，，则， 故. 故选：A. 23．（23-24高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分类讨论法计算可得. 【详解】不等式，等价于或， 解得或， 即不等式的解集为. 故选：A 24．（23-24高一上·辽宁·期中）已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，然后根据充分条件和必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】解得. 对于选项A，，反之不能推出，所以是命题p的一个充分不必要条件，故A错误； 对于选项B，，反之不能推出，所以是命题p的一个必要不充分条件，故B正确； 对于选项C，不能推出，反之也不能推出，所以是命题p的一个既不充分也不必要条件，故C错误； 对于选项D，是命题p的充要条件，故D错误. 故选：B 25．（23-24高一上·辽宁·期中）已知二次函数，且，3是函数的零点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用韦达定理求解即可； （2）解一元二次不等式即得解. 【详解】（1）因为是函数的零点， 即或是方程的两个实根， 所以，从而， ，即， 所以． （2）由（1）得， 从而，即， 即，所以， 所以不等式的解集为. 26．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知全集，集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）求出集合，再根据集合的交、并、补的定义求解即可； （2）由题意可得根据子集的定义求解即可. 【详解】（1）由题意得，集合 所以，； （2）因为，所以 又因为，所以，即. 所以的取值范围为. 27．（23-24高一上·辽宁·期中）已知非空集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的定义求解即可； （2）由可得，进而结合包含关系求解即可. 【详解】（1）当时，，， 所以. （2）因为，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 28．（23-24高一上·辽宁·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题： 已知集合， (1)当时，求； (2)若 ，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件解答按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）代入的值表示出，求解出一元二次不等式的解集表示出，根据并集运算求解出结果； （2）若选①：根据条件得到，然后分类讨论是否为空集，由此列出不等式组求解出结果； 若选②：根据条件得到，然后列出不等式组求解出结果； 若选③：根据交集结果分析集合的端点值的关系，列出不等式并求解出结果. 【详解】（1）当时，，， 因此，． （2）选①，因为，可得． 当时，即当时，，合乎题意； 当时，即当时，， 由可得，解得，此时． 综上所述，实数a的取值范围是或； 选②，因为，可得． 可得，此时不等式组无解， 所以实数a的取值范围是； 选③，当时，即当时，，，满足题意； 当时，即当时，， 因为，则或，解得或， 此时或， 综上所述，实数a的取值范围是或． 29．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）求下列不等式（组）的解集： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4). 【分析】（1）分式不等式转化为整式不等式求解； （2）因式分解可得相应方程的两根，然后可写出不等式解集； （3）利用绝对值的性质求解； （4）分别解两个一元一次不等式，然后求交集可得． 【详解】（1）， 解得或. 故原不等式的解集为； （2）， 解得.故原不等式的解集为. （3）或， 解得或. 故原不等式的解集为. （4）解不等式，得； 解不等式，得. 因为，所以原不等式组的解集为. 题型5 二次函数单调性 30．（21-22高一上·辽宁锦州·期中）已知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数的性质得，解不等式即可得答案. 【详解】解：因为函数开口向上，对称轴，函数在区间上是增函数， 所以，即. 故选：B 31．（22-23高一上·辽宁·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的性质，由题意，可得内函数的值域，分类讨论，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由题意，令，则为其值域的一个子集， 当时，，令，解得，故当时，； 当时，，该函数为开口向下的二次函数，则必定存在最大值，故不符合题意； 当时，，该函数为开口向上的二次函数，令，则，整理可得，即，解得或，此时符合题意. 综上，可得. 故选：D. 32．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）函数满足对任意都有，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件可得函数在R上单调递增，再由分段函数在R上单调的性质列式求解即得. 【详解】依题意，函数f(x)定义域是R， 因对任意，都有成立，则有函数在R上单调递增， 于是得，解得：， 所以a的取值范围是：. 故答案为： 33．（23-24高一上·辽宁·期中）已知二次函数满足且该函数图象与轴交于点，在轴上截得的线段长为. (1)求函数的解析式； (2)若函数在是单调函数，求实数的取值范围； (3)解不等式. 【答案】(1) (2) (3)详解见解析 【分析】（1）设，由函数的对称轴和图象在x轴上截得的线段长为可得，将点代入计算，即可求解； （2）根据函数在区间上的单调性，求出参数即可； （3）将原不等式变形为，分类讨论求出当、、时不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，设图象与x轴的两个交点为， 则，由知， 函数图象关于直线对称，又函数图象在x轴上截得的线段长为， 所以，则， 将点代入解析式，得，解得， 所以，即； （2），该抛物线的对称轴为， 因为该函数在上是单调函数， 所以或，解得或， 即实数a的取值范围为； （3）不等式转化为， 即， 当时，不等式解得或， 当时，不等式解得， 当时，不等式解得或， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 34．（21-22高一上·辽宁大连·期中）已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足． (1)求的表达式； (2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据可以判断函数的对称轴，再根据函数的值域可以确定二次函数的顶点坐标，则可设，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知进行求解，求出的值，即可得出的表达式； （2）根据题意，可以判断出函数在区间上的单调性，由，求得，进而可知的对称轴方程为，结合二次函数的图象与性质以及单调性，得出，即可求出的取值范围. 【详解】（1）解：由，可得的图象关于直线对称， 函数的值域为，所以二次函数的顶点坐标为， 所以设， 根据根与系数的关系，可得，， 因为方程的两个实根满足 则， 解得：，所以. （2）解：由于函数在区间上的最大值为，最小值为， 则函数在区间上单调递增， 又，即， 所以的对称轴方程为，则，即， 故的取值范围为. 35．（22-23高一上·辽宁·期末）已知函数，. (1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数在上单调递减，由函数在区间上存在零点，得即可解决； （2）记函数，的值域为集合，，的值域为集合，则对任意的，总存在，使得成立，又，的值域分，，求解，即可解决. 【详解】（1）由题知，， 因为的图象开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减 因为函数在区间上存在零点， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）记函数，的值域为集合， ，的值域为集合， 则对任意的，总存在，使得成立， 因为的图象开口向上，对称轴为， 所以当， ，， 得， 当时，的值域为，显然不满足题意； 当时，的值域为， 因为， 所以，解得； 当时，的值域为， 因为，所以，解得， 综上，实数的取值范围为. 36．（20-21高一上·辽宁抚顺·期中）已知函数. （1）当时，求函数的零点； （2）对于给定的正数有一个最大的正数，使时，都有，试求出这个正数，并求它的取值范围. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】（1）可令，解含有绝对值的方程，对进行讨论，最后得出符合条件的的值. （2）因为时，，故问题只需在给定的区间内恒成立，再按照和两种情况分类讨论，即可得到结论. 【详解】（1）令,得, 当时，方程化简为：， 解得：（舍）或（舍）， 当时，方程化简为：， 解得：（舍），或，. （2）当时，，故问题只需要在给定的区间内恒成立， 由分两种情况讨论： 当时，即时，是方程的较小根 由于则，所以 当时，即时，是方程的较大根， 由于则 所以 综上 ，且 . 【点睛】分类讨论方法，关键点在于运算时由于不确定性，需要对某个参数进行讨论，进而分类运算. 恒成立问题，关键点在对于任意，恒成立，可转化为. 优选提升题 题型01 一元二次不等式整数根求参 37．（22-23高一上·辽宁辽阳·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集确定为的两根，求得，可得，利用均值不等式可求得答案. 【详解】由题意关于x的不等式的解集为，其中， 可知 ，且为的两根，且， 即，即 ， 所以，当且仅当时取等号， 故选:C. 38．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知一元二次不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意知是方程的两根，且，根据韦达定理可得出a，b，c的关系，代入各项即可判断． 【详解】一元二次不等式的解集为或， 则是方程的两根，且， 则，得； 则错误； ，B正确； ，C正确； ，当且仅当，即时，等号成立.故，D正确. 故选：BCD 39．（23-24高一上·辽宁·期中）下列说法不正确的是（    ） A．函数有两个零点为， B．已知不等式的解集为，则 C．函数的单调递增区间为 D．已知函数，则函数图象关于点对称 【答案】AC 【分析】根据零点的定义即可判断A；根据不等式的解集可得对应方程的根，再利用韦达定理即可判断B；根据复合函数的单调性即可判断C；令，再根据函数的奇偶性即可判断D. 【详解】对于A，令，解得或， 所以函数有两个零点为，故A错误； 对于B，因为的解集为， 所以方程的根为， 所以，所以， 所以，故B正确； 对于C，由得或， 所以函数的定义域为， 令，在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为，故C错误； 对于D，， 令，令， 函数的定义域为， 因为，所以函数是奇函数，其函数图象关于原点对称， 因为函数是由函数向左平移个单位，再向下平移个单位所得， 所以函数图象关于点对称，故D正确. 故选：AC. 40．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式性质确定且，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】不等式的解集为，故且，即， 对选项A：，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误； 故选：AC 41．（23-24高一上·辽宁·期中）（1）若不等式的解集为或，求，的值； （2）求关于的一元二次不等式的解集． 【答案】（1） ；（2）答案见解析 ． 【分析】（1）依题意可得和为方程的两根且，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，首先判断，再分、两种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以和为方程的两根且， 所以，解得； （2）由，得，即， 因为是关于的一元二次不等式，所以， 当时，解得或，故不等式的解集为； 当时，不等式即为， ①时，即，不等式无解，故不等式的解集为； ②时，，解得，故不等式的解集为； ③时，，解得，故不等式的解集为； 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 42．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数. (1)当时，函数在上单调，求的取值范围； (2)若的解集为，求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数在上的单调性列不等式，由此求得的取值范围； （2）根据的解集求得的关系式，从而求得不等式的解集. 【详解】（1）当时，的对称轴为直线， 由于函数在上单调，所以或. 解得或. 所以的取值范围是. （2）由于的解集为， 所以所以     所以不等式，即， 所以，，解得或， 所以不等式的解集为. 43．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知函数，， (1)若的解集为，求a的值； (2)试问是否存在实数，使得对于时，不等式恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）代入数据得到，根据不等式与方程的关系确定，代入计算得到答案. （2）题目转化为，根据单调性计算，根据二次函数性质考虑和两种情况，计算最值得到答案. 【详解】（1），即， 整理得到，不等式的解集为， 故为方程的根，即，解得， 故，解得，则. （2）对，，恒成立，只需. 在上单调递增，因此； 的对称轴为. 当，即时，，故，即， 无解，舍； 当，即时，，故， 解得，舍. 综上所述：不存在实数符合题意. 44．（23-24高一上·辽宁大连·期中）设． (1)若不等式有实数解，试求实数的取值范围； (2)当时，试解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）依题意不等式有实数解，分、、三种情况讨论，当时需，即可求出参数的取值范围； （2）原不等式可化为，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）依题意，有实数解，即不等式有实数解， 当时，有实数解，则符合题意. 当时，取，则成立，符合题意. 当时，二次函数的图像开口向下， 要有解，当且仅当，所以. 综上，实数的取值范围是. （2）不等式， 因为，所以不等式可化为， 当，即时，不等式无解； 当，即时，； 当，即时，； 综上， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为． 45．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）已知，其中a是常数. (1)若的解集是，求a的值，并求不等式的解集； (2)若不等式有解，且解区间的长度不超过5个单位长度，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，不等式的解集为； (2). 【分析】（1）由题意可得方程的两个根分别为和6，从而可求出，进而可得不等式的解集； （2）由不等式有解，可得，设方程的两个根为，利用根与系数的关系，由题意得，平方化简变形得，再结合前面的式子代入可求出实数a的取值范围. 【详解】（1）因为的解集是， 所以方程的两个根分别为和6， 所以， 所以， 由，得，解得或， 所以不等式的解集， （2）由有解，得，解得或， 设方程的两个根为，则 ，， 由题意得， 所以， 所以，解得， 综上，或， 即实数a的取值范围为. 题型02 实数集上恒成立求参 46．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对分类讨论,利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出. 【详解】当时，恒成立，则符合题意； 当时，由题意可得，解得 综上，的取值范围是. 故选：B 47．（23-24高一上·辽宁大连·期中）“，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出不等式恒成立时参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】因为对，关于的不等式恒成立， 当时恒成立，符合题意； 当时，，解得； 综上可得. 因为， 所以“，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件可以是. 故选：B 48．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据含参一元不等式恒成立对分类讨论即可得a的取值集合. 【详解】当时，不等式化为对恒成立； 当，要使得不等式对恒成立，则，解得 综上，a的取值集合为. 故选：D. 49．（23-24高一上·辽宁·期中）已知“”为假命题，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AB 【分析】由题意可得为真命题，分和两种情况讨论即可得解. 【详解】由题意，命题的否定为为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得， 综上所述，. 故选：AB. 题型03 区间内恒成立求参 50．（23-24高一上·辽宁·期中）关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为对于任意的，恒成立，根据一元二次不等式与二次函数的关系，即可求解. 【详解】由于,则对于任意的，恒成立， 设， 所以，解得, 故选：B 51．（23-24高一上·辽宁大连·期中）“若，恒成立”是真命题，则实数可能取值是（ ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】由题得到恒成立，求出即可得到答案. 【详解】，，即恒成立， ，当且仅当，即时等号成立，故. 对比选项知A满足. 故选：A 52．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）不等式对于满足的所有的值都成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用变换主元法将一元二次不等式恒成立转化为一元一次不等式即可求解. 【详解】解：令 由条件对于满足的所有的值都成立，即 则，即 解得： 所以的取值范围为： 故答案为： 53．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知 (1)在上恒成立，求x的范围． (2)在上恒成立，求a的范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）根据在上恒成立，令，由则求解； （2）由在上恒成立，转化为在上恒成立，令，由求解. 【详解】（1）解：在上恒成立， 令， 则，即，即， 因为， 所以不等式的解为或， 所以x的范围是或； （2）因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 在上恒成立， 令， 因为，所以， 所以，则， 所以a的范围是. 54．（10-11高二下·辽宁大连·期末）已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)在区间上，的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出二次函数，利用题目条件列式求解即可； （2）由题意在上恒成立，构造函数，利用单调性求解最值即可求解范围. 【详解】（1）由题意设，，因为，所以， 又因为，所以， 即，所以，解得，所以. （2）由（1）得，，因为的图象恒在的图象上方， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 令，则.又因为在上单调递减， 所以，即，所以实数的取值范围是. 55．（22-23高一上·辽宁大连·阶段练习）已知二次函数. (1)若，不等式对一切实数x恒成立，求实数的取值范围； (2)若，存在使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合根的判别式即可得解； （2）分离参数，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）若，则，， 因为不等式对一切实数x恒成立， 则，解得； 综上所述，实数的取值范围是； （2）若，不等式即为：， 当时，可变形为：，即， 又，当且仅当，即时，等号成立， ，即， 实数的取值范围是：. 56．（21-22高一上·辽宁大连·期中）已知 (1)不等式组的正整数解只有一个，求实数取值范围； (2)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，由得或，进而根据题得且，进而解的答案； （2）根据题意得对于任意恒成立，进而令，再分，，三类讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以即为，解得或， 即为，整理得，解得. 因为不等式组的正整数解只有一个，所以该正整数解为， 所以且，解得，即实数取值范围是 所以实数取值范围是 （2）解：因为对于任意，不等式恒成立 所以对于任意恒成立， 令 当时显然成立， 当时，有，即，解得，所以； 当时，函数在区间上单调递增，所以，解得，所以， 综上，的取值范围是 题型04 “能”成立或有解求参 57．（21-22高一上·辽宁大连·期中）已知命题P：“，”为真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等价于，再利用对勾函数求出函数的最大值即得解. 【详解】由题得， 所以，，等价于， 对勾函数,在单调递减，在单调递增， 时， 时，. 所以， 所以. 故选：B 58．（17-18高一下·辽宁阜新·期中）若存在实数使成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，则问题为存在实数，使成立，等价于，，利用配方法求二次函数的最小值，即可得结论. 【详解】解：令，， 因为存在实数使成立， 即存在实数，使成立， 等价于，， 函数， 函数的图象开口向上，对称轴为， ， 时，， ，即的取值范围为. 故选：C. 59．（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】变换得到，设，则，得到，根据函数的单调性计算最值得到答案. 【详解】，即，，故有解， 设，则， ， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故，故. 故答案为：. 60．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）设， (1)若使成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）可转化为，，再利用基本不等式可得答案； （2）等价于，分、、、、讨论解不等式可得答案. 【详解】（1）由题知，得， 从而， ， 从而，故； （2）不等式，等价于. 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或. 综上：当时，等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$