专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 2 模型1.线段的双中点模型 2 模型2.线段的多中点模型 4 模型3.双角平分线模型与角n等分线模型 6 11 模型1.线段的双中点模型 线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 例1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求的长；(2)若，求的长； 例2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)若，求线段的长；(2)若，求线段的长度． 例3．（23-24七年级·山东淄博·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（　　） A． B． C．或 D．或 例4．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论： ①； ②若，则；③； ④． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 例5．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知线段，点C为线段的中点，点D为线段上的三等分点，则线段的长的最大值为（    ） A．16 B．18 C．15 D．20 例6．（23-24七年级上·辽宁阜新·期末）点、在数轴上所表示的数如图所示，是数轴上一点： (1)将点在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点，求出、两点间的距离是多少个单位长度． (2)若点在数轴上移动了个单位长度到点，且、两点间的距离是4，求的值． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 模型2.线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 例1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点为原点，点表示的数为，动点从点出发，按以下规律跳动：第1次从点跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么点所表示的数为 ． 例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 例3．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 模型3.双角平分线模型与角n等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 4）角n等分线模型 条件：如图4，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例2．（2023春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有（    ） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 例3．（2023春·黑龙江·七年级校考阶段练习）如图，射线是的角平分线，射线是的角半分线，射线是的角平分线，则下列结论成立的有（    ）个．    ①；②；③；④； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例4．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．    例5．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答． A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ． B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）． 例6．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．(1)求的度数；(2)如果．①求的度数；②若，直接写出的度数． 例7．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数； (2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 例8．（2023春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．          1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④． 其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 3．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（    ） A． B． C． D． 4．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（    ）．    A． B． C． D． 5．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 6．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是 ．    7．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 8．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 9．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，P，Q分别是的中点，若，则 ． 10．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度． 11．（2024·山东·七年级专题练习）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝ °．（用含n的代数式表示） 12．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论：①；②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变． 所有结论正确的序号是 ． 13．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．    14．（2023春·安徽合肥·七年级校考开学考试）平面内，，为内部一点，射线平分，射线平分，射线平分，当时，的度数是 ． 15．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 16．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． (1)【理解与应用】如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． (2)【拓展与延伸】已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 17．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知，平分，平分．    (1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数． 18．（2024·广东广州·七年级校考期末）如图①，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则___________cm；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，，分别平分和，若，，则___________．直接写出，和的数量关系：___________． 19．（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得．(1)如图一，过点作射线，使为的角平分线，若时，则________，________；(2)如图二，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分．①若，求的度数（写出推理过程）； ②若，则的度数是________（直接填空）． (3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）    20．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线在内部，平分． (1)如图1，求证：；(2)如图2，作平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 2 模型1.线段的双中点模型 2 模型2.线段的多中点模型 7 模型3.双角平分线模型与角n等分线模型 11 20 模型1.线段的双中点模型 线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 例1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求的长；(2)若，求的长； 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义． （1）因为点、分别是、的中点，所以，，已知，可得的长，，可得的长；（2）因为点、分别是、的中点，所以，，已知，可得的长． 【详解】（1）解：点、分别是、的中点，，， ，，，，； （2）解：点、分别是、的中点，，， ，． 例2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)若，求线段的长；(2)若，求线段的长度． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和以及线段的差，可得答案； （2）根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和以及线段的差，可得答案． 本题考查了线段的长度问题，掌握线段中点的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵点分别是线段的中点∴ ∵， ∴∴ （2）∵点分别是线段的中点∴ ∵，∴． 例3．（23-24七年级·山东淄博·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的和差，根据题意作图，分情况讨论，由线段之间的关系即可求解． 【详解】如图，∵点C是线段的中点，∴， 当时，，∴； 当时，，∴；故选C． 例4．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论： ①； ②若，则；③； ④． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形，分析线段之间的和差关系．结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系逐一进行分析，即可进行解答． 【详解】解：∵E，F分别是线段的中点．，∴， ∴，故①不符合题意； ∵，∴，即， ∴，∴，故②符合题意； ∵，∴，故③符合题意； ④∵， ∴， ∴，∴ ∴，故④不符合题意；故选：B． 例5．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知线段，点C为线段的中点，点D为线段上的三等分点，则线段的长的最大值为（    ） A．16 B．18 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查线段和差．根据题意先求出，再根据题干分情况讨论点D所在位置，继而得到本题答案． 【详解】解：∵线段，点C为线段的中点，∴， ∵点D为线段上的三等分点，∴①当点D靠近点时：，此时； ②当点D靠近点时：，此时； ∵，∴线段的长的最大值为：20，故选：D． 例6．（23-24七年级上·辽宁阜新·期末）点、在数轴上所表示的数如图所示，是数轴上一点： (1)将点在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点，求出、两点间的距离是多少个单位长度． (2)若点在数轴上移动了个单位长度到点，且、两点间的距离是4，求的值． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 【答案】(1)、两点间的距离是个单位长度 (2)的值为或(3)线段的长度不发生变化， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、与线段中点有关的计算、线段的和差，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据数轴上的点向右移动用加法，向左移动用减法求出点表示的数为，即可得解； （2）分两种情况：当点在点左边时；当点在点右边时；分别求解即可得出答案；（3）分三种情况：当在、之间时；当在的左侧时；当在的右侧时；分别画出图形，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为， ∵，∴、两点间的距离是个单位长度； （2）解：∵、两点间的距离是4，∴当点在点左边时，点表示的数为， ∵点在数轴上移动了个单位长度到点，点表示的数为，∴此时； 当点在点右边时，点表示的数为， ∵点在数轴上移动了个单位长度到点，点表示的数为， ∴此时；综上所述，的值为或； （3）解：线段的长度不发生变化，， 由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为，∴， ∵点为的中点，点为的中点，∴，， 如图，当在、之间时，此时； 如图，当在的左侧时，此时； 如图，当在的右侧时，此时； 综上所述，点在运动过程中，线段的长度不会发生变化，． 模型2.线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 例1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点为原点，点表示的数为，动点从点出发，按以下规律跳动：第1次从点跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义，两点间的距离，探究图形的规律，找到图形变化中线段的变化规律是解题的关键 根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离点的长度为，则跳动n次后，即跳到了离点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度，最后确定点的表示的数即可． 【详解】解：由题可知：，此第一次跳动到的中点处时，， 同理，第二次从点跳动到处，， 同理，第三次从点跳动到处， 同理，跳动次后，， 故线段的长度为：，当时，， ∵点在负半轴，∴点表示的数是，故答案为：． 例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得，根据线段的差可得，，的长度表示，根据规律进行推理即可得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∵线段   和 的中点 ，∴， 同理：，∴，…… 依次类推， ，∴，故答案为：4． 例3．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， ∴ ∴ 两式相减，得，故答案为：． 例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；②(2)(3) 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式；（3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为，所以． 两式相加，得．所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 模型3.双角平分线模型与角n等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 4）角n等分线模型 条件：如图4，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平分，平分，求出，再根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵点O为直线上一点，平分，平分， ∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，故C正确．故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是理解角平分线的定义，求出． 例2．（2023春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有（    ） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】利用角平分线的性质计算角之间的数量关系即可． 【详解】解：平分，平分， 故①正确； 故②错误； 故③正确； 故④错误；故选B． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及熟练运用角的和差表示角的关系是解决本题的关键． 例3．（2023春·黑龙江·七年级校考阶段练习）如图，射线是的角平分线，射线是的角半分线，射线是的角平分线，则下列结论成立的有（    ）个．    ①；②；③；④； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义以及角的和与差，计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ①，故①正确； ②， 即，故②正确； ③， 即，故③正确；④由①得，故④错误；综上，①②③正确，共3个；故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系． 例4．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．    【答案】 【分析】由角平分线性质推理得，，，据此规律可解答． 【详解】解：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：．故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 例5．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答． A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ． B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）． 【答案】 110°或130° 或 【分析】A、根据角的和差得到∠AOB=90°-30°=60°，根据OE是∠AOB的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE=∠AOB=20°，②当∠BOE′=∠AOB=20°，根据角的和差即可得到结论； B、根据角的和差得到∠AOB，根据OE是∠AOB的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE=∠AOB，②当∠BOE′=∠AOB，根据角的和差即可得到结论． 【详解】解：A、如图，∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠AOB=90°-30°=60°， ∵OE是∠AOB的一条三等分线，∴①当∠AOE=∠AOB=20°，∴∠BOE=40°， ∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°， ②当∠BOE′=∠AOB=20°，∴∠DOE′=90°+20°=110°， 综上所述，∠EOD的度数为130°或110°，故答案为：130°或110°； B、∵∠AOC=90°，∠BOC=α°，∴∠AOB=90°-α°， ∵OE是∠AOB的一条三等分线，∴①当∠AOE=∠AOB=30°-α°，∴∠BOE=90°-α-（30-α）°=60°-α°， ∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°-α°， ②当∠BOE′=∠AOB=30°-α°，∴∠DOE′=90°+30°-α°=120°-α°， 综上所述，∠EOD的度数为150°-α°或120°-α°，故答案为：150°-α°或120°-α°； 【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键． 例6．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．(1)求的度数；(2)如果．①求的度数；②若，直接写出的度数． 【答案】(1)；(2)①；②或． 【分析】（1）由角平分线定义可知，，再根据和可得结果；（2）①利用角之间的和差关系求解即可；②分当在上方时，当在下方时，利用角之间的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，分别平分和，∴，， 则， ∵，∴； （2）①∵，，∴， 由（1）可知，，则， ∴， ②由①可知，，∵平分，∴， 当在上方时，； 当在下方时，；综上，为或． 【点睛】本题考查角平分线的定义，利用角的和差关系求解的度数，解决问题的关键在于结合图形，找角之间的和差关系． 例7．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数； (2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)(2)所以当射线在的内部时，；当射线在的外部时，． 【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线的位置，所以需要分类讨论：若射线在的内部时，根据角平分线定义得出，，求出；若射线在的外部时，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）∵，平分，∴ ∵分别平分，．∴ ∴． （2）若射线在的内部，如图2 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的内部时，． 若射线在外部时，如图3 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的外部时，． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键． 例8．（2023春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．          【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或 【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；(2)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可；(3) 根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图1：∵平分，∴, ∴根据巧分线定义可得是这个角的“巧分线”．故答案为：是．    （2）解：如图3：①当时，则； ②当，则，解得：； ③当，则，解得：． 综上，可以为． （3）解：如图3：①当时，则； ②当，则，解得：； ③当，则，解得：． 综上，可以为．    【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键． 1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况B，在点A同侧时，B，在点A两侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：①B，在点A同侧时，如图所示： 是的中点，是的中点，，，． ②B，在点A两侧时，如图， 是的中点，是的中点，，，． 综上：与之间距离为或，故C正确．故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是分类讨论，画出图形，数形结合． 2．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④． 其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可． 【详解】解：如图， ∵M、N分别是线段的中点，∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故①符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴ ，故③符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴ ，故④不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是解本题的关键． 3．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值． 【详解】解：∵，分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴，……由此可得：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键． 4．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题． 【详解】解：平分，， ，，， ，，故选：C． 【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴，∴的度数为或．故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 6．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是 ．    【答案】或 【分析】分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，    （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，    （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 7．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离和中点的性质等知识点，由和推出，由M为的中点可得出的长，进而可得的长度，由 N为的中点可得出的长度，进而即可求出的值．根据各线段之间的关系求出的长度是解题的关键． 【详解】∵，∴，∴， ∵，∴，∵M为的中点，∴，∴，∴， ∵N为的中点，∴,∴，∴，故答案为：． 8．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 【答案】/ 【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可． 【详解】解：∵M为的中点，N为的中点，∴，． ∵线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a， 长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，∴分以下5种情况说明： ①当在左侧时，如图1， 即，， ，； ②当点D与点A重合时，如图2， 即 ，； ③当在内部时，如图3， 即 ，； ④当点C在点B右侧时，同理可得：； ⑤当在右侧时，同理可得：； 综上所述：线段的长为．故答案为：． 【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． 9．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，P，Q分别是的中点，若，则 ． 【答案】1 【分析】先由线段　中点定义得出，，又因为，利用线段和差即可求得，，代入即可求解． 【详解】解∶∵，P，Q分别是，的中点，∴，， ∵，∴， ，∴，故答案为∶1． 【点睛】本题考查线段和差倍分，熟练掌握线段和差倍分的运算是解题的关键． 10．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当射线在的内部时，当射线在的外部时，根据角平分线的定义得出，结合图形即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论，当射线在的内部时，如图所示， ∵，，、分别是和的平分线， ∴ ∴； 当射线在的外部时，如图所示， ∵，，、分别是和的平分线， ∴∴； 综上所述，或，故答案为：或． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． 11．（2024·山东·七年级专题练习）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝ °．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】根据角的和差即可得到结论． 【详解】解：∵∠BOE=∠BOC，∴∠BOC=n∠BOE， ∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，∴∠BOD=∠AOB=+∠BOE， ∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=，故答案为：． 【点睛】本题考查了角的计算，正确的识别图形是解题的关键． 12．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论：①；②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变． 所有结论正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】①根据非负数的性质可得a和b的值，可判断；②如图1，根据数轴可直观得出； ③如图2，分别计算，的值可判断；④分四种情况，根据图形分别计算的长即可可判断． 【详解】解：①∵， ∵，∴，∴；故①正确； ②如图1，当点B与点O重合时，； 故②不正确； ③如图2，当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点， ∴，∴；故③正确； ④∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴ 分四种情况：1）当C在O的左侧时，如图3， ； 2）当B，C在O的两侧时，如图4， ； 3）当B，C在线段上时，如图5， ； 4）当B和C都在A的右边时，如图6， ； ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，线段的长度不变．故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴和线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． 13．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．    【答案】 【分析】设，则，，由角平分线的定义得出，，，然后再逐项分析即可得到答案． 【详解】解：设，，， ，， 平分，平分，平分， ，，， ，故正确，符合题意； ， 度数未知，与不一定互补，故错误，不符合题意； ，故正确，符合题意； ，， ，故正确，符合题意；综上所述，正确的有：，故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 14．（2023春·安徽合肥·七年级校考开学考试）平面内，，为内部一点，射线平分，射线平分，射线平分，当时，的度数是 ． 【答案】 【分析】首先根据角平分线的定义可得，再设，用含的代数式表示出和，根据题意列出方程可得答案． 【详解】解：当在外部时，       射线平分，射找平分，，， ， 射线平分，，设，则，， ，解得，∴； 当在内部时，射线平分，射找平分， ，，， 射线平分，，设，则，， ，解得：，不合题意；综上，．故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生计算能力和推理能力，注意要分类讨论． 15．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)3(2)①；②；③ 【分析】（1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得，，故； （2）①由，分别是，的中点，知，，即得，故；②由，，知，，即得，故；③由，，知，，即得，故． 【详解】（1）解：，，， ，分别是，的中点，，， ；故答案为：； （2）解：①，分别是，的中点， ，，， ，；故答案为：； ②，，，， ，，； ③，，，， ， ，，故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 16．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． (1)【理解与应用】如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． (2)【拓展与延伸】已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 【答案】(1)，(2)①；②1或8 【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案；（2）①设运动时间为，再根据的值是个定值即可求出的值；②分点从点向点方向运动时和点从点向点方向运动两种情况分析即可． 【详解】（1）解：，，，， ，，∴，∴故答案为：，； （2）①设运动时间为，则，，根据“点值”的定义得：，， 的值是个定值，的值是个定值，； ②当点从点向点方向运动时，，，； 当点从点向点方向运动时，，，，的值为1或8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键． 17．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知，平分，平分．    (1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）求解，，可得答案； （2）先求解，，再证明，，结合角的和差运算可得答案；（3）设，可得，证明，，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，，重合，平分，平分． ∴，，∴； （2）∵在内部，，， ∴，，∵平分，平分． ∴，，∴． （3）设，，∴， ∵平分，平分．， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练利用角的和差运算进行计算是解本题的关键． 18．（2024·广东广州·七年级校考期末）如图①，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则___________cm；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，，分别平分和，若，，则___________．直接写出，和的数量关系：___________． 【答案】(1)(2)， 【分析】（1）先求出的长度，再根据线段中点的定义，分别求出，的长度，即可求解； （2）先求出和的和，再根据角平分线的定义，求出和的和，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，∴， ∵，分别是的中点，∴，， ∴． （2）∵，，∴， ∵分别平分和，∴，， ∴， ∴． 由图可知：，， ∵分别平分和，∴， ∴，整理得：． 【点睛】本题主要考查了中点和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握中点和角平分线的定义，根据线段和角度的和差关系进行求解． 19．（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得．(1)如图一，过点作射线，使为的角平分线，若时，则________，________；(2)如图二，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分．①若，求的度数（写出推理过程）； ②若，则的度数是________（直接填空）． (3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）    【答案】(1)65°，40°(2)①135°，②135°(3)35°或55° 【分析】（1）根据求出，利用角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；（2）①由平角的定义，角平分线的定义求出，根据进行求解即可；②同①法，进行计算即可；（3）分在内部和在外部两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵为的角平分线，∴，∴；故答案为：； （2）①解：∵，，∴， 又∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，，∴， ②∵，，∴， 又∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∴；故答案为：； （3）①当在内部时，如图：∵，平分，∴，       ∵，∴，∵平分，∴， ②当在外部时，如图：∵，平分，∴， ∵，∴，∵平分，∴； 综上：的度数是或；故答案为：或． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．解题的关键是正确的识图，理清角之间的和差关系． 20．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线在内部，平分． (1)如图1，求证：；(2)如图2，作平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数．    【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）通过角平分线的定义计算即可证明；（2）通过角平分线的定义计算即可证明； （3）设，，通过角平分线的定义以及垂直的定义求得，，计算得出，等，再求得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，∴，∴； （2）证明：∵平分，∴，∴ =； （3）解：设，，∵平分，∴， ∵，∴，， ∵，∴， ∴，，即，，， ∵，平分，∴，，∵，∴， ∵是的平分线，∴， ∵反向延长射线得到射线，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是角平分线的含义，垂直的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，理解题意，利用方程思想解决问题是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$