第03讲 弧、弦、圆心角（2个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第03讲 弧、弦、圆心角 课程标准 学习目标 ①圆心角的认识 ②弧、弦、圆心角的关系 1. 掌握圆心的定义能够熟练的判断圆心角。 2. 掌握弧、弦以及圆心角之间的关系，并能够在题目的计算与证明过程中熟练的应用。 知识点01 圆心角的认识即范围 1. 圆心角的认识： 顶点在 的角叫做圆心角。 2. 圆心角的大小范围： 圆心角α的大小范围为 。 【即学即练1】 1．下图中∠ACB是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 弧、弦、圆心角之间的关系 1. 弧、弦、圆心角之间的关系（圆心角定理）： 在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等。 2. 弧、弦、圆心角的关系的推论： （1） 在 中，如果两条弧相等，那么他们所对 与 都相等。 （2） 在 中，如果两条弦相等，那么他们所对 与 都相等。 圆心角定理及其推论必须要在同圆或等圆中才成立。 3. 弧的度数： 弧的度数等于它所对的 的度数。 【即学即练1】 2．如图所示，在⊙O中，，则在①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练2】 3．如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么（　　） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【即学即练3】 4．已知：如图，P为直径AB上一点，EF、CD为过点P的两条弦，且∠DPB＝∠EPB． 求证： （1）CD＝EF； （2）． 题型01 圆心角的认识 【典例1】下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列图形中的角，是圆心角的为（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列图形所标记的角中是圆心角的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 利用弦或弧相等证明圆心角相等 【典例1】如图，AB为半圆O的直径，点C、D为的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（　　） A．25° B．30° C．50° D．60° 【变式1】如图，已知AB、CD是⊙O的直径，，∠AOE＝32°，那么∠COE的度数为 　 　度． 【变式2】如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 【变式3】如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【变式4】如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠COA． 题型03 利用圆心角或弧相等证明弦相等 【典例1】如图，在⊙O中，已知＝，则AC与BD的关系是（　　） A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定 【变式1】如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝　 　． 【变式2】如图，已知点A、B、C、D在圆O上，AB＝CD． 求证：AC＝BD． 【变式3】如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证： （1）AD＝BC； （2）AE＝CE． 题型04 利用圆心角或弦相等证明弧相等 【典例1】已知：如图，⊙O中弦AB＝CD．求证：． 【变式1】如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为的中点． 【变式2】如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：＝2． 【变式3】如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且AF＝BE．求证： （1）OE＝OF； （2）． 题型05 求弧的度数 【典例1】⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弧的度数是 　度． 【变式1】如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为（　　） A．25° B．40° C．50° D．60° 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求、的度数． 【变式3】如图，在⊙O中，AB＝AC． （1）若∠BOC＝100°，则的度数为 　 　°； （2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径． 题型04 两倍弦与两倍弧 【典例1】如图，在⊙O中，＝2，则下列结论正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．以上都不正确 【变式1】如图所示，在⊙O中，，那么（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法比较 【变式2】如图，在⊙O中，若＝＝，则AC与2CD的大小关系是：AC 　 　2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”） 1．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 3．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（　　） A． B．∠AOD＝3∠BOC C．AC＝2CD D．OC⊥BD 4．如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 5．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的直径AB为（　　） A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm 6．圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（　　） A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2 7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（　　） A．随点C的运动而变化 B．不变 C．在使PA＝OA的劣弧上 D．无法确定 8．如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 9．如图所示，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，AB＝8，CD＝6，那么⊙O的半径为（　　） A．5 B．10 C． D． 10．已知在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OB＝4，C为弧AB的中点，D为半径OB上一动点，点B关于直线CD的对称点为M，若点M落在扇形OAB内（不含边界），则OD长的取值范围是（　　） A．4 B．2 C．0＜OD＜2 D．4﹣2＜OD＜4 11．直径为20cm的⊙O中，弦AB＝10cm，则弦AB所对的圆心角是 　 　． 12．如图，在⊙O中，＝，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正确的是 　 　（填序号）． 13．如图，在⊙O中，若∠AOB＝120°，则弦AB所对的弧的度数为　 　． 14．如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝　 　． 15．有一半圆片（其中圆心角∠AED＝52°）在平面直角坐标系中按如图所示放置，若点A可以沿y轴正半轴上下滑动，同时点B相应地在x轴正半轴上滑动，当∠OAB＝n°时，半圆片上的点D与原点O距离最大，则n的值为 　 　． 16．如图，在⊙O中，OA＝4，，直径AB⊥CD于点E，连接OC，OD． （1）求∠COD的度数； （2）求CD的长度． 17．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：＝． 18．如图，AB是⊙O的弦，C是的中点． （1）连接OC，求证：OC垂直平分AB； （2）若AB＝8，，求⊙O的半径． 19．如图，在⊙O中，，CD⊥AO于点D，CE⊥OB于点E． （1）求证：AD＝BE． （2）若AD＝DO，r＝3，求CD长． 20． 如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，弦EF⊥AB，垂足分别为M、N，OM＝3． （1）求弦CD的长； （2）如果EF＝6，求∠EOC的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 弧、弦、圆心角 课程标准 学习目标 ①圆心角的认识 ②弧、弦、圆心角的关系 1. 掌握圆心的定义能够熟练的判断圆心角。 2. 掌握弧、弦以及圆心角之间的关系，并能够在题目的计算与证明过程中熟练的应用。 知识点01 圆心角的认识即范围 1. 圆心角的认识： 顶点在 圆心 的角叫做圆心角。 2. 圆心角的大小范围： 圆心角α的大小范围为 0°＜α＜360° 。 【即学即练1】 1．下图中∠ACB是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆心角的概念判断． 【解答】解：A、∠ACB不是圆心角； B、∠ACB是圆心角； C、∠ACB不是圆心角； D、∠ACB不是圆心角； 故选：B． 知识点02 弧、弦、圆心角之间的关系 1. 弧、弦、圆心角之间的关系（圆心角定理）： 在 同圆和等圆 中，相等的圆心角所对的 弧 相等，所对的 弦 也相等。 2. 弧、弦、圆心角的关系的推论： （1） 在 同圆或等圆 中，如果两条弧相等，那么他们所对 圆心角 与 弦 都相等。 （2） 在 同圆或等圆 中，如果两条弦相等，那么他们所对 圆心角 与 弧 都相等。 圆心角定理及其推论必须要在同圆或等圆中才成立。 3. 弧的度数： 弧的度数等于它所对的 圆心角 的度数。 【即学即练1】 2．如图所示，在⊙O中，，则在①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【解答】解：∵在⊙O中，， ∴AB＝CD，故①正确； ∵BC为公共弧， ∵弧AC＝弧BD，故④正确； ∴AC＝BD，故②正确； ∴③∠AOC＝∠BOD，故③正确． 故选：D． 【即学即练2】 3．如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么（　　） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【分析】可过O作半径OF⊥AB于E，由垂径定理可知＝，因此只需比较和的大小即可；易知AE＝AB＝CD，在Rt△AEF中，AF是斜边，AE是直角边，很显然AF＞AE，即AF＞CD，由此可判断出、的大小关系，即可得解． 【解答】解：如图，过O作半径OF⊥AB于E，连接AF； 由垂径定理知：AE＝BE，＝； ∴AE＝CD＝AB； 在Rt△AEF中，AF＞AE，则AF＞CD； ∴＞，即＞2； 故选：A． 【即学即练3】 4．已知：如图，P为直径AB上一点，EF、CD为过点P的两条弦，且∠DPB＝∠EPB． 求证： （1）CD＝EF； （2）． 【分析】（1）过点O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，根据全等三角形的判定方法得到△ODN≌△OEM，根据对应边相等，从而不难求得结论； （2）根据CD＝EF从而得到由等量减去等量还是等量即可得到结论． 【解答】证明：（1）过点O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，连接OD、OE， ∵∠DPB＝∠EPB， ∴OM＝ON． 又∵OE＝OD， ∵∠OMP＝∠ONP＝90°， ∴Rt△ODN≌Rt△OEM（HL）． ∴DN＝EM． ∵OM⊥EF，ON⊥CD， ∴点M是EF的中点，点N是CD的中点． ∴EM＝EF，DN＝CD． ∴CD＝EF． （2）∵CD＝EF， ∴， ∴． 即． 题型01 圆心角的认识 【典例1】下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆心角的概念解答． 【解答】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角； B、是圆心角； C、顶点没在圆心，不是圆心角； D、顶点没在圆心，不是圆心角； 故选：B． 【变式1】下列图形中的角，是圆心角的为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C．是圆心角，故本选项符合题意； D．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列图形所标记的角中是圆心角的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据圆心角的定义即可求解． 【解答】解：第1、2、4个图中所标记的角中是圆心角， 第3个图中角的顶点在圆上，不在圆心，不是圆心角． 故选：C． 题型02 利用弦或弧相等证明圆心角相等 【典例1】如图，AB为半圆O的直径，点C、D为的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（　　） A．25° B．30° C．50° D．60° 【分析】求出∠AOE，可得结论． 【解答】解：∵点C、D为的三等分点， ∴＝＝， ∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝50°， ∴∠AOE＝150°， ∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝30°， 故选：B． 【变式1】如图，已知AB、CD是⊙O的直径，，∠AOE＝32°，那么∠COE的度数为 　64　度． 【分析】根据等弧所对的圆心角相等求得∠AOE＝∠COA＝32°，所以∠COE＝∠AOE+∠COA＝64°． 【解答】解：∵，（已知） ∴∠AOE＝∠COA（等弧所对的圆心角相等）； 又∠AOE＝32°， ∴∠COA＝32°， ∴∠COE＝∠AOE+∠COA＝64°． 故答案为：64°． 【变式2】如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 【分析】作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案． 【解答】解：作直径CF，连接BF，如图， 则∠FBC＝90°， ∵∠BAC+∠EAD＝180°， 而∠BAC+∠BAF＝180°， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴＝， ∴DE＝BF＝6， ∴BC＝＝8． 【变式3】如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴＝， ∴﹣＝﹣， ∴＝， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO＝（180°﹣∠AOC）＝×（180°﹣84°）＝48°， 故选：D． 【变式4】如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠COA． 【分析】根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB＝AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得． 【解答】证明：∵＝ ∴AB＝AC，△ABC为等腰三角形 （相等的弧所对的弦相等） ∵∠ACB＝60° ∴△ABC为等边三角形，AB＝BC＝CA ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA （相等的弦所对的圆心角相等） 题型03 利用圆心角或弧相等证明弦相等 【典例1】如图，在⊙O中，已知＝，则AC与BD的关系是（　　） A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定 【分析】由＝，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论． 【解答】解：∵＝， ∴， ∴， ∴AC＝BD． 故选：A． 【变式1】如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝　3　． 【分析】连接OC，根据平行线的性质及圆周角与圆心角的关系可得到∠1＝∠2，从而即可求得CE的长． 【解答】解：连接OC， ∵AC∥DE， ∴∠A＝∠1．∠2＝∠ACO， ∵∠A＝∠ACO， ∴∠1＝∠2． ∴CE＝BE＝3． 【变式2】如图，已知点A、B、C、D在圆O上，AB＝CD． 求证：AC＝BD． 【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理证出，得出，再由圆心角、弧、弦的关系定理即可得出结论． 【解答】证明：∵AB＝CD， ∴， ∴， 即， ∴AC＝BD． 【变式3】如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证： （1）AD＝BC； （2）AE＝CE． 【分析】（1）由AB＝CD，推出弧AB＝弧CD，推出弧AD＝弧BC，即可得到AD＝BC； （2）证明△ADE≌△CBE可得结论． 【解答】证明：（1）∵AB＝CD， ∴弧AB＝弧CD， ∴弧AB﹣弧AC＝弧CD﹣弧AC， ∴弧AD＝弧BC， ∴AD＝BC； （2）∵AD＝BC，∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB， ∴△ADE≌△CBE（AAS）， ∴AE＝EC． 题型04 利用圆心角或弦相等证明弧相等 【典例1】已知：如图，⊙O中弦AB＝CD．求证：． 【分析】根据在同圆或等圆中，等弧对等弦，由AB＝CD，得，再等量减去等量还是等量知弧AB﹣弧BD＝弧CD﹣弧D，即． 【解答】证明：∵AB＝CD， ∴， ∴﹣＝﹣， ∴． 【变式1】如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为的中点． 【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C，∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，求出∠AOD＝∠COD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 【解答】证明：∵OB＝OC， ∴∠B＝∠C， ∵OD∥BC， ∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C， ∴∠AOD＝∠COD， ∴＝， 即D为的中点． 【变式2】如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：＝2． 【分析】连接OE，推出DE⊥OC，求出∠EDO＝90°，根据OD＝OC＝OE，求出∠DEO＝30°，求出∠EOC，根据OC⊥AB，求出∠AOC＝90°，求出∠AOE＝30°，即可求出答案． 【解答】证明： 连接OE， ∵AB⊥OC，DE∥AB， ∴DE⊥OC， ∴∠EDO＝90°， ∵D为OC中点， ∴OD＝OC＝OE， ∴∠DEO＝30°， ∴∠EOC＝90°﹣30°＝60°， ∵OC⊥AB， ∴∠AOC＝90°， ∴∠AOE＝90°﹣60°＝30°， 即∠AOE＝30°，∠COE＝60°， ∴＝2（圆心角的度数等于它所对的弧的度数）． 【变式3】如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且AF＝BE．求证： （1）OE＝OF； （2）． 【分析】（1）连接OA、OB，证明三角形全等即可； （2）只要证明∠AOC＝∠BOD即可； 【解答】证明：（1）连接OA、OB，如图示， ∵OA＝OB， ∴∠OAE＝∠OBF， 又AE＝BF， ∴△AOE≌△BOF（SAS）， ∴OE＝OF； （2）∵△AOE≌△BOF， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴＝． 题型05 求弧的度数 【典例1】⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弧的度数是　60　度． 【分析】如图，连接OA、OB，先证明△ABC为等边三角形，则可得到∠AOB＝60°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数． 【解答】解：如图，连接OA、OB， ∵AB＝OA＝OB， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴弧的度数是60°． 故答案为60． 【变式1】如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为（　　） A．25° B．40° C．50° D．60° 【分析】连接OB，OC，由半径相等得到△OAB，△OBC，△OCD都为等腰三角形，根据∠A＝75°，∠D＝60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数． 【解答】解：连接OB、OC， ∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形， ∵∠A＝75°，∠D＝60°， ∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°， ∵＝150°， ∴∠AOD＝150°， ∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣30°﹣60°＝60°， 则的度数为60°． 故选：D． 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求、的度数． 【分析】连接CD，如图，利用互余计算出∠A＝62°，则∠A＝∠ADC＝62°，再根据三角形内角和定理计算出∠ACD＝56°，接着利用互余计算出∠DCE＝34°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解． 【解答】解：连接CD，如图， ∵∠C＝90°，∠B＝28°， ∴∠A＝90°﹣28°＝62°， ∵CA＝CD， ∴∠A＝∠ADC＝62°， ∴∠ACD＝180°﹣2×62°＝56° ∴的度数为56°； ∵∠DCE＝90°﹣∠ACD＝34°， ∴的度数为34°． 【变式3】如图，在⊙O中，AB＝AC． （1）若∠BOC＝100°，则的度数为 　130　°； （2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据圆周角、弧、弦间的关系可以得到AB＝AC，结合等腰三角形的性质解答； （2）连接AO，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，构造直角三角形，通过勾股定理求得该圆的半径即可． 【解答】解：（1）∵在⊙O中，∠BOC＝100°， ∴∠BAC＝50°， ∵＝， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝65°， ∴＝130°， 故答案为：130； （2）连接AO，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5， ∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝12； 在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52， 解得OB＝，即⊙O的半径是． 题型04 两倍弦与两倍弧 【典例1】如图，在⊙O中，＝2，则下列结论正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．以上都不正确 【分析】首先取的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中，＝2，可证得＝＝，即可得AE＝BE＝CD，然后由三角形的三边关系，求得答案． 【解答】解：取的中点E，连接AE，BE， ∵在⊙O中，＝2， ∴＝＝， ∴AE＝BE＝CD， ∵AE+BE＞AB， ∴2CD＞AB． 故选：C． 【变式1】如图所示，在⊙O中，，那么（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法比较 【分析】如图，在圆上截取弧DE＝弧CD，再根据“根据三角形的三边关系”可解． 【解答】解：如图，在圆上截取弧DE＝弧CD，则有：弧AB＝弧CE，AB＝CE根据三角形的三边关系知， CD+DE＝2CD＞CE＝AB， ∴AB＜2CD． 故选：B． 【变式2】如图，在⊙O中，若＝＝，则AC与2CD的大小关系是：AC 　＜　2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【分析】如图，连接AB、BC，根据题意知，AB＝BC＝CD，又由三角形三边关系得到AB+BC＞AC得到：AC＜2CD． 【解答】解：如图，连接AB、BC， 在⊙O中，若＝＝， ∴AB＝BC＝CD， 在△ABC中，AB+BC＞AC． ∴AC＜2CD． 故答案为：＜． 1．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 【分析】根据等圆，圆周角定理，垂径定理一一判断即可． 【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意． B、正确，本选项符合题意． C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意． D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意． 故选：B． 3．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（　　） A． B．∠AOD＝3∠BOC C．AC＝2CD D．OC⊥BD 【分析】分别根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定判断即可． 【解答】解：A、∵OB⊥AC， ∴＝，故不符合题意； B、∵＝， ∴∠AOB＝∠COB， ∵BC＝CD， ∴∠BOC＝∠DOC， ∴∠AOD＝3∠BOC，故不符合题意； C、∵∠AOB＝∠BOC＝∠DOC， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴AC＝BD， ∵BD＜BC+CD＝2CD， ∴AC＜2CD，故符合题意； D、∵OB＝OC，BC＝DC， ∴OC⊥BD，故不符合题意； 故选：C． 4．如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解． 【解答】解：∵AB是直径， ∴∠AOB＝180°， ∵∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝120°， ∵， ∴． 故选：B． 5．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的直径AB为（　　） A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm 【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为4cm，求出直径即可． 【解答】解：如图，连接OD、OC， ∵BC＝CD＝DA＝4cm， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°． 又OA＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴OA＝AD＝4cm， ∴⊙O的直径AB为8cm． 故选：D． 6．圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（　　） A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2 【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB＝×360°＝90°；求得△AOB是等腰直角三角形，过O作OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧． 则弦所对的圆心角∠AOB＝×360°＝90°； ∴△AOB是等腰直角三角形， 过O作OC⊥AB于C， ∴OC＝AB， ∴弦心距与弦长的比为1：2， 故选：D． 7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（　　） A．随点C的运动而变化 B．不变 C．在使PA＝OA的劣弧上 D．无法确定 【分析】因为CP是∠OCD的平分线，所以∠DCP＝∠OCP，所以∠DCP＝∠OPC，则CD∥OP，所以弧AP等于弧BP，所以PA＝PB．从而可得出答案． 【解答】解：连接OP，∵CP是∠OCD的平分线， ∴∠DCP＝∠OCP， 又∵OC＝OP， ∴∠OCP＝∠OPC， ∴∠DCP＝∠OPC， ∴CD∥OP， 又∵CD⊥AB， ∴OP⊥AB， ∴＝， ∴PA＝PB． ∴点P是线段AB垂直平分线和圆的交点， ∴当C在⊙O上运动时，点P不动． 故选：B． 8．如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 【分析】如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB．证明AE＝EB＝CD，再利用三角形的三边关系解决问题． 【解答】解：如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB． ∵＝2，＝， ∴＝＝， ∴AE＝EB＝CD， ∵AE+EB＞AB， ∴2CD＞AB． 故选：B． 9．如图所示，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，AB＝8，CD＝6，那么⊙O的半径为（　　） A．5 B．10 C． D． 【分析】延长CO，交⊙O于E，连接DE，根据圆周角定理求出∠CDE＝90°，求出∠DOE＝∠AOB，根据圆心角、弧、弦之间的关系求出DE＝AB＝8，根据勾股定理求出CE即可． 【解答】解：延长CO，交⊙O于E，连接DE， ∵CE是⊙O的直径， ∴∠CDE＝90°， ∵∠AOB和∠COD互补，∠COD+∠DOE＝180°， ∴∠DOE＝∠AOB， ∵AB＝8， ∴DE＝AB＝8， ∵CD＝6， 由勾股定理得：CE＝＝10， ∴⊙O的半径是5． 故选：A． 10．已知在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OB＝4，C为弧AB的中点，D为半径OB上一动点，点B关于直线CD的对称点为M，若点M落在扇形OAB内（不含边界），则OD长的取值范围是（　　） A．4 B．2 C．0＜OD＜2 D．4﹣2＜OD＜4 【分析】求出两种特殊位置：当点M落在OB上时，当点M落在OA上时，OD的值，可得结论． 【解答】解：如图，连接OC，当点M落在OB上时，CD⊥OB， ∵∠AOB＝90°，＝， ∴∠AOC＝∠COB＝45°， ∵CDO＝90°， ∴∠DCO＝∠COD＝45°， ∴CD＝OC＝2． 当点M落在OA上时，连接CM，CB，CO，DM，过点C作CT⊥OB于点T，CJ⊥OA于点J， ∵∠CJO＝∠JOT＝∠OTC＝90°， ∴四边形JOTC是矩形， ∵OT＝TC， ∴四边形JOTC是正方形， ∴OJ＝OT＝CJ＝CT＝2， ∵CM＝CB，CJ＝CT，∠CJM＝∠CTB＝90°， ∴Rt△CJM≌Rt△CTB（HL）， ∴JM＝TB＝4﹣2， 设OD＝y，则DM＝DB＝4﹣y． ∵OM2+OD2＝DM2， ∴[2﹣（4﹣2）]2+y2＝（4﹣y）2， ∴y＝4﹣4， 观察图象可知：点M落在扇形OAB内（不含边界），则4﹣4＜OD＜2． 故选：A． 11．直径为20cm的⊙O中，弦AB＝10cm，则弦AB所对的圆心角是 　60°　． 【分析】连接OA、OB，证明△OAB为等边三角形得到∠AOB＝60°即可． 【解答】解：如图，连接OA、OB， ∵直径为20cm， ∴OA＝OB＝10cm， 而AB＝10cm， ∴OA＝OB＝AB， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， 即弦AB所对的圆心角是60°． 故答案为：60°． 12．如图，在⊙O中，＝，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正确的是 　①②③④　（填序号）． 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【解答】解：在⊙O中，＝， ∴AB＝CD，故①正确； ∵BC为公共弧， ∴＝故④正确； ∴AC＝BD，故②正确； ∴∠AOC＝∠BOD，故③正确． 故答案为：①②③④． 13．如图，在⊙O中，若∠AOB＝120°，则弦AB所对的弧的度数为　120°或240°　． 【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，在劣弧AB上取一点C，连接AC、BC，利用圆周角定理求出∠ADB，再利用圆内接四边形性质求出∠ACB即可． 【解答】解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，在劣弧AB上取一点C，连接AC、BC， ∵∠AOB＝120°， ∴， ∵∠ACB+∠ADB＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝120°， ∴弦AB所对的弧的度数为120°或240°， 故答案为：120°或240°． 14．如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝　2　． 【分析】根据圆心角、弧、弦之间关系求出∠AOC＝∠BOC，根据角平分线性质得出OM的长，根据勾股定理计算CM的长，根据垂径定理得出CD＝2CM，代入求出即可． 【解答】解：连接OC， ∵C为弧AB的中点， ∴弧AC＝弧BC， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a， ∴OM＝ON＝n， ∴CM＝＝， ∵CM⊥OA， 即OM⊥CD， 由垂径定理得：CD＝2CM＝2， 故答案为：2， 15．有一半圆片（其中圆心角∠AED＝52°）在平面直角坐标系中按如图所示放置，若点A可以沿y轴正半轴上下滑动，同时点B相应地在x轴正半轴上滑动，当∠OAB＝n°时，半圆片上的点D与原点O距离最大，则n的值为 　26°　． 【分析】连接OE、OD，如图，当点O、E、D共线时，半圆片上的点D与原点O距离最大，根据三角形外角性质得∠AED＝∠EAO+∠EOA，再根据直角三角形斜边上的中线性质得EA＝EO＝EB，则∠EAO＝∠EOA，所以n＝∠AED＝26°． 【解答】解：连接OE、OD，如图， ∵OD≤OE+DE（当O、E、D共线时取等号）， ∴当点O、E、D共线时，半圆片上的点D与原点O距离最大， 则∠AED＝∠EAO+∠EOA， 而AE＝BE， 所以EA＝EO＝EB， 所以∠EAO＝∠EOA， 所以n＝∠AED＝26°． 故答案为：26°． 16．如图，在⊙O中，OA＝4，，直径AB⊥CD于点E，连接OC，OD． （1）求∠COD的度数； （2）求CD的长度． 【分析】（1）根据垂径定理可得，进而根据圆周角定理，即可求解； （2）根据垂径定理可得CD＝2CE，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得CE，即可求解． 【解答】解：（1）∵AB⊥CD， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵AB⊥CD， ∴， ∴， 在Rt△COE中，∠OCE＝90°﹣∠COE＝30°， ∴， ∴， ∴． 17．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：＝． 【分析】过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．先由等腰三角形三线合一的性质得出∠EOG＝∠FOG，利用圆心角、弧、弦间的关系可以推知＝；然后根据垂径定理可知＝；最后根据图形易证得结论． 【解答】证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H． ∵OE＝OF，OG⊥EF于点G， ∴∠EOG＝∠FOG， ∴＝． 又∵OG⊥AB于点G， ∴＝， ∴﹣＝﹣， 即＝． 18．如图，AB是⊙O的弦，C是的中点． （1）连接OC，求证：OC垂直平分AB； （2）若AB＝8，，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OA，OB，OC，由C是的中点可知＝，故∠AOC＝∠BOC，再由OA＝OB可得出结论； （2）由（1）知，OC垂直平分AB科打得出AD的长，根据勾股定理求出CD的长，设⊙O的半径为r，则OD＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOD中利用勾股定理求出r的值即可． 【解答】（1）证明：连接OA，OB，OC， ∵由C是的中点， ∴＝， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵OA＝OB， ∴OC垂直平分AB； （2）解：由（1）知，OC垂直平分AB， ∵AB＝8，， ∴AD＝AB＝4， ∴CD＝＝＝2， 设⊙O的半径为r， 则OD＝r﹣2，OA＝r， 在Rt△AOD中， AD2+OD2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2， 解得r＝5． 19．如图，在⊙O中，，CD⊥AO于点D，CE⊥OB于点E． （1）求证：AD＝BE． （2）若AD＝DO，r＝3，求CD长． 【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论； （2）求出OD，根据勾股定理即可求出CD． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵＝， ∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB， ∴CD＝CE； （2）解：∵AD＝DO，r＝3， ∴AD＝DO＝， ∵CD⊥OA， ∴CD＝＝＝． 20．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，弦EF⊥AB，垂足分别为M、N，OM＝3．（1）求弦CD的长； （2）如果EF＝6，求∠EOC的度数． 【分析】（1）先根据直径AB＝10求出⊙O半径的长，再根据勾股定理求出CM的长，进而得出结论； （2）根据垂径定理求出EN的长，再由HL定理得出Rt△ENO≌Rt△OMC，故可得出∠EON+∠MOC＝90°，据此可得出结论． 【解答】解：（1）∵直径AB＝10， ∴OA＝OB＝OC＝OE＝5， ∵CD⊥AB， ∴∠CMO＝90°，CD＝2CM， ∵OM＝3， ∴CM＝＝＝4， ∴CD＝8； （2）∵EF⊥AB，EF＝6， ∴EN＝EF＝3， 由（1）知，OE＝5， 在Rt△ENO与Rt△OMC中， ， ∴Rt△ENO≌Rt△OMC（HL）， ∴∠EON＝∠OCM， ∵∠OCM+∠MOC＝90°， ∴∠EON+∠MOC＝90°， ∴∠EOC＝90°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$