15.2 二次根式的乘除运算（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

第十五章 二次根式 15.2 二次根式的乘除运算（6大题型提分练） 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 题型一 二次根式的乘法 1．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）的化简结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北保定·二模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北保定·一模）关于的变形，不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北衡水·一模）设，其中，，则M的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 5．（22-23八年级上·广东广州·期末）计算的结果是 ． 6．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）计算 的结果为 ． 7．（2024·河北唐山·二模）已知，则a＝ ；b＝ ． 8．（2024·河北石家庄·三模）计算的结果为 ，这个数落在了数轴上的 段． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 10．（22-23八年级上·河北唐山·期末）下面是小明和大刚分别计算：，的做法． 小明的做法： 解： ． 大刚的做法： 解： ． 两人的做法是否都正确?并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目： (1)； (2)． 题型二 二次根式的除法 1．（23-24八年级上·河北承德·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）若则“□”中的运算符号是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河北保定·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）下列等式：①，②，③，④，⑤．正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2023·河北沧州·模拟预测） ． 6．（23-24八年级上·河北·期末） ． 7．（2024·河北邯郸·模拟预测）设矩形的面积为S，相邻的两边长分别为a，b，若，，则 ． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）若三角形的面积为，一边长为，则这边上的高线长为 ． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 10．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）已知成立． (1)填空：的取值范围是______； (2)化简：． 题型三 二次根式的乘除混合运算 1．（2024·河北邢台·模拟预测）计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 2．（2023·河北·模拟预测）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（23-24八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 4．（23-24八年级上·河北保定·期中）在解决如下问题“已知，，用含，的代数式表示”时，甲、乙两个同学分别给出不同解法： 甲：． 乙：因为，所以． 对于这两种解法，正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 5．（23-24八年级上·宁夏中卫·期中）化简： ． 6．（23-24八年级上·上海·单元测试）计算： ． 7．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）的有理化因式可以是 ． 8．（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： （1） ． （2） ． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：； 10．（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四 最简二次根式的判断 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）若是最简二次根式，则的值可以是（　　） A．6 B． C．2 D． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）下列二次根式，中，是最简二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（23-24八年级上·河北保定·期末）关于下列二次根式：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥ ．小红说：“最简二次根式只有①④．”小亮说：“我认为最简二次根式只有③⑥．”则（   ） A．小红说的对 B．小亮说的对 C．小红和小亮合在一起对 D．小红和小亮合在一起也不对 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 6．（23-24八年级上·全国·假期作业）若最简二次根式与相等，则 ， ． 7．（23-24八年级上·山东烟台·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式， . 8．（2024·江西九江·三模）在等式“”中，括号内应填入的最简根式为 ． 9．（23-24八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ； ； ． 题型五 化为最简二次根式 1．（2023·河北保定·二模）与计算结果相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）若是最简二次根式，则a的值可能是（　　） A． B． C．2 D． 4．（22-23八年级上·河北保定·期中）关于的叙述正确的是（    ） A．在数轴上不存在表示的点 B．与最接近的整数是3 C． D．是有理数 5．（23-24八年级上·河北沧州·期中）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 6．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）请写出一个正整数的值使得是整数，则 ． 7．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 8．（22-23八年级上·河北保定·期中）已知是最简二次根式． （1）当时，在数，，中，能与合并的是 ； （2）当时，计算的值为 ． 9．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）化简： (1) (2) (3) (4) 10．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（） (4)（，，）． 题型六 已知最简二次根式求参数 1．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 2．（22-23八年级上·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 3．（23-24八年级上·广东广州·期末）若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 4．（23-24八年级上·广西贺州·期中）已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，则自然数 ． 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 7．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 8．（22-23八年级上·山东临沂·期中）若两个最简二次根式与能合并，则 ． 9．（23-24八年级上·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 1．（2023河北邯郸·三模）能与相乘得1的是（　　） A．1 B． C． D． 2（23-24八年级上·河北廊坊·期中）若（为整数），则等于（    ） A．7 B．9 C．11 D．12 3．（23-24八年级上·河北邯郸·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）最简二次根式与2可以合并，则m的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．4 5．（23-24八年级上·河北邯郸·阶段练习）某零件上有一个长方形孔，其面积为，长为，则这个孔的宽为（     ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·河北保定·期中）的倒数为 ． 7．（23-24八年级上·河北承德·期中）计算 ． 8．（23-24八年级上·河北衡水·期中）若是整数，则n的最小正整数值为 ． 9．（22-23八年级上·河北沧州·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 . 10．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ． 11．（2024·甘肃兰州·模拟预测）计算：． 12．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）计算： (1) (2) 13．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 14．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 15．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若与是关于4的共轭二次根式，则__________ (2)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 二次根式 15.2 二次根式的乘除运算（6大题型提分练） 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 题型一 二次根式的乘法 1．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，二次根式的乘方运算，掌握运算法则是解本题的关键，先计算负整数指数幂，再计算乘方运算即可． 【详解】解：； 故选C 2．（2024·河北保定·二模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式乘法，把已知条件式两边同时乘以即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．（2024·河北保定·一模）关于的变形，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握运算法则是解题的关键，利用二次根式的乘法法则以及逆用逐项判定即可． 【详解】解∶A．，计算正确，但不符合题意； B，计算正确，但不符合题意； C．，原计算不正确，符合题意； D． ，计算正确，但不符合题意； 故选：C． 4．（2024·河北衡水·一模）设，其中，，则M的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式乘法运算；先利用乘法分配律展开，再利用二次根式乘法法则进行运算，代值运算即可求解；掌握（，）是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， ； 故选：B． 5．（22-23八年级上·广东广州·期末）计算的结果是 ． 【答案】4 【分析】二次根式相乘，把被开方数相乘，然后化简即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查二次根式的乘法，二次根式化简，掌握二次根式的乘法运算法则，二次根式化简方法是解题关键． 6．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）计算 的结果为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案． 【详解】解： 故答案为： 7．（2024·河北唐山·二模）已知，则a＝ ；b＝ ． 【答案】 2 6 【分析】先将化为最简二次根式，再利用二次根式的乘法法则解题． 【详解】解： 故答案为：2，6． 【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简计算，涉及最简二次根式、二次根式的乘法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 8．（2024·河北石家庄·三模）计算的结果为 ，这个数落在了数轴上的 段． 【答案】 ② 【分析】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算、实数与数轴，先根据二次根式的乘法求出式子的值，再估算出，从而得出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴，即，故这个数落在了数轴上的②段， 故答案为：，② ． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可 （3）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可； （4）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 10．（22-23八年级上·河北唐山·期末）下面是小明和大刚分别计算：，的做法． 小明的做法： 解： ． 大刚的做法： 解： ． 两人的做法是否都正确?并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目： (1)； (2)． 【答案】(1)两人的做法都正确； (2) 【分析】（1）（2）先判断正确性，再对照已知做法计算即可． 【详解】（1）解：两人的做法都正确， ； （2） 【点睛】本题考查了二次根式的乘法和除法，解题的关键是掌握运算法则，并判断已知做法的正确性． 题型二 二次根式的除法 1．（23-24八年级上·河北承德·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，积与商的算术平方根的含义，熟记运算法则是解本题的关键；根据算术平方根以及积与商的算术平方根的含义逐一化简即可得到答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，运算正确，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 2．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）若则“□”中的运算符号是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确计算． 【详解】解：∵， ∴“□”中的运算符号是，故D正确． 故选：D． 3．（23-24八年级上·河北保定·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质以及二次根式的除法运算，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查二次根式的性质和运算．熟练掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键． 4．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）下列等式：①，②，③，④，⑤．正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的运算可进行排除选项． 【详解】解：①，原计算错误，②，原计算正确；③，原计算错误；④，原计算正确；⑤，原计算错误； ∴正确的有2个； 故选C． 【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的运算，熟练掌握算术平方根、立方根、二次根式的运算是解题的关键． 5．（2023·河北沧州·模拟预测） ． 【答案】 【分析】根据公式计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握公式是解题的关键． 6．（23-24八年级上·河北·期末） ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解题的关键． 先将除法转化为乘法，然后进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．（2024·河北邯郸·模拟预测）设矩形的面积为S，相邻的两边长分别为a，b，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算的应用，根据题意得，将，代入，即可得到b的值． 【详解】， ． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）若三角形的面积为，一边长为，则这边上的高线长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式除法运算，利用三角形面积公式列式，再用二次根式的除法计算即可． 【详解】解：由题意可得高线长为：， 故答案为： 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）先利用二次根式的性质化简，再约分即可求解； （2）根据二次根式的除法法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 10．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）已知成立． (1)填空：的取值范围是______； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题主要考查了二次根式的化简，二次根式有意义的条件： （1）根据二次根式有意义的条件，可得，即可求解； （2）先把原式变形为，再由，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； 故答案为： （2）解：， ∵， ∴，， ∴原式． 题型三 二次根式的乘除混合运算 1．（2024·河北邢台·模拟预测）计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先变除法为乘法，再根据二次根式乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选C． 2．（2023·河北·模拟预测）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】把代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键． 3．（23-24八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．把，分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【详解】解：∵，， ∴，故甲正确， ，故乙正确； ，故丙正确； 故选：D． 4．（23-24八年级上·河北保定·期中）在解决如下问题“已知，，用含，的代数式表示”时，甲、乙两个同学分别给出不同解法： 甲：． 乙：因为，所以． 对于这两种解法，正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】C 【分析】仔细阅读两同学的解题过程，然后判断． 【详解】甲：， ∴甲正确； 乙：， ∵， ∴． ∴乙正确； 综上所述，甲、乙均对． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握仔细阅读题目，灵活解题． 5．（23-24八年级上·宁夏中卫·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键．先计算二次根式的乘法，再计算除法，最后化为最简二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·上海·单元测试）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）的有理化因式可以是 ． 【答案】 【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子，据此作答． 【详解】解：∵， ∴与互为有理化因式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．解决本题的关键是掌握二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． 8．（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【解析】略 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 10．（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 题型四 最简二次根式的判断 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，正确，符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 2．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）若是最简二次根式，则的值可以是（　　） A．6 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简二次根式，直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A.，不是最简二次根式，不合题意； B.，不是最简二次根式，不合题意； C.，是最简二次根式，符合题意； D. ，不是最简二次根式，不合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）下列二次根式，中，是最简二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 根据最简二次根式的定义即可判断． 【详解】解：， ， ， ∴、、是最简二次根式． 故选：B． 4．（23-24八年级上·河北保定·期末）关于下列二次根式：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥ ．小红说：“最简二次根式只有①④．”小亮说：“我认为最简二次根式只有③⑥．”则（   ） A．小红说的对 B．小亮说的对 C．小红和小亮合在一起对 D．小红和小亮合在一起也不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键． 直接利用最简二次根式的定义分析判断即可解答． 【详解】解：①，③ ，④，⑥ 是最最简二次根式；②，⑤ 不是最简二次根式． 故小红和小亮合在一起对． 故选：C． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 【答案】、 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：、是最简二次根式， 被开方数含有分母，被开方数含有能开得尽方的因式，都不是最简二次根式． 故答案为：、． 6．（23-24八年级上·全国·假期作业）若最简二次根式与相等，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式的的定义，根据定义得出，即可求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得 故答案为：,1 7．（23-24八年级上·山东烟台·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式， . 【答案】 【分析】题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值． 【详解】解：∵与是被开方数相同的最简二次根式， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 8．（2024·江西九江·三模）在等式“”中，括号内应填入的最简根式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和除法，根据题意，列出二次根式的乘法算式即可求解． 【详解】解：括号内应填入的数为：， 故答案为：． 9．（23-24八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ； ； ． 【答案】（1）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（3）是最简二次根式；（4）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（6）是最简二次根式． 【分析】根据最简二次根式的定义分别进行判断即可． 【详解】，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式． 【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 题型五 化为最简二次根式 1．（2023·河北保定·二模）与计算结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则、性质公式求解． 【详解】． A. ，根据法则，不能进一步化简，本选项不符合题意； B.     ，本选项不符合题意； C. ，本选项符合题意；     D. ，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算法则、二次根式的性质，掌握相关公式是解题的关键． 2．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查最简二次根式，解题关键在于掌握最简二次根式的定义．当二次根式满足：①被开方数不含开得尽方的数或式；②根号里面没有分母，即为最简二次根式，由此即可求解． 【详解】解；A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）若是最简二次根式，则a的值可能是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义、二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式的概念是解题的关键． 【详解】解：A．无意义，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．是最简二次根式，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意． 故选：C． 4．（22-23八年级上·河北保定·期中）关于的叙述正确的是（    ） A．在数轴上不存在表示的点 B．与最接近的整数是3 C． D．是有理数 【答案】B 【分析】根据实数与数轴上的点一一对应可判断A，由无理数的估算可判断B，由化简二次根式可判断C，由无理数的含义可判断D，从而可得答案． 【详解】解：数轴上存在表示的点，故A不符合题意； ∵，，而，即， ∴与最接近的整数是3，故B符合题意； ，故C不符合题意； 是无理数，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是实数与数轴，无理数的估算，化为最简二次根式，无理数的含义，熟记基础概念与基础运算是解本题的关键． 5．（23-24八年级上·河北沧州·期中）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 6．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）请写出一个正整数的值使得是整数，则 ． 【答案】6（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，先把化为最简二次根式，即，再只要保证是一个大于0的完全平方数即可，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，符合题意， 故答案为：6（答案不唯一）． 7．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 答案不唯一，整数m满足是最简二次根式即可． 【详解】∵是最简二次根式， ∴． 故答案为：4（答案不唯一）． 8．（22-23八年级上·河北保定·期中）已知是最简二次根式． （1）当时，在数，，中，能与合并的是 ； （2）当时，计算的值为 ． 【答案】 【分析】（1）先化简各个二次根式，再判断是否为同类二次根式，即可求解； （2）先运用二次根式的乘法公式化简即可得解； 【详解】（1）当时，， 而， 故能与合并的是； （2）， 故值为： 【点睛】本题主要考查二次根式的化简计算，熟练掌握二次根式的乘法法则及二次根式的性质是解题的关键． 9．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则即可求出答案． （2）根据二次根式的性质即可求出答案． （3）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． （4）根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则以及性质． 10．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（） (4)（，，）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （2）将小数化为分数，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （3）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （4）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解： （3）解：． （4）解：． 【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，掌握二次根式的性质，二次根式分母有理化的计算方法是解题的关键． 题型六 已知最简二次根式求参数 1．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 2．（22-23八年级上·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 3．（23-24八年级上·广东广州·期末）若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键． 4．（23-24八年级上·广西贺州·期中）已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可． 【详解】根据题意可知， 解得：， ∴． 故选D． 【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，则自然数 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 由是最简二次根式，可得，由n是自然数，作答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， 又∵n是自然数， ∴或1， 故答案为：0或1． 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义可知，从而可求得a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：3 8．（22-23八年级上·山东临沂·期中）若两个最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】1 【分析】由最简二次根式与能合并可得，计算即可. 【详解】解：最简二次根式与能合并， ∴， 解得 , 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式及最简二次根式，熟记定义并能灵活运用是解决本题的关键. 9．（23-24八年级上·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． 1．（2023河北邯郸·三模）能与相乘得1的是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式乘除混合运算逐项计算即可求解． 【详解】解：A. ，不符合题意，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式乘除混合运算，正确的计算是解题的关键． 2（23-24八年级上·河北廊坊·期中）若（为整数），则等于（    ） A．7 B．9 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算，掌握完全平方公式的计算方法是解题的关键． 根据完全平方公式展开，即可得出答案 【详解】解：， 等式左边：， ∴， ∴， 故选：C ． 3．（23-24八年级上·河北邯郸·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简二次根式的辨别能力，关键是能准确理解并运用二次根式的性质和最简二次根式的定义进行化简、辨别．运用二次根式的性质和最简二次根式的定义进行逐一化简、辨别． 【详解】解：是最简二次根式， ∴选项A符合题意； ∴， ∴选项B不符合题意； ， ∴选项C不符合题意； ， ∴选项D不符合题意， 故选：A． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）最简二次根式与2可以合并，则m的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．4 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义判断即可； 【详解】由题意得：3m﹣1=2， 解得：m=1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，准确计算是解题的关键． 5．（23-24八年级上·河北邯郸·阶段练习）某零件上有一个长方形孔，其面积为，长为，则这个孔的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的除法法则是解决本题的关键． 利用“长方形的面积长方形的长=长方形的宽”计算即可． 【详解】解： 故选：A 6．（23-24八年级上·河北保定·期中）的倒数为 ． 【答案】 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义直接求解即可． 【详解】解：的倒数为 而 ∴的倒数为 故答案为： 【点睛】本题考查的是倒数的含义，二次根式的除法运算，掌握“二次根式的除法运算法则”是解本题的关键． 7．（23-24八年级上·河北承德·期中）计算 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先计算二次根式的乘除运算，再化简二次根式，最后合并即可． 【详解】解： ． 8．（23-24八年级上·河北衡水·期中）若是整数，则n的最小正整数值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算以及二次根式的性质，先得出，再结合是整数，且n是正整数，即可求出符合条件的最小正整数值，即可作答． 【详解】解：， ∵是整数， 即是整数， ∵n是正整数 ∴n的最小正整数值为1 故答案为：1 9．（22-23八年级上·河北沧州·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 . 【答案】4 【分析】此题考查了同类二次根式的概念，解答本题的关键是掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点．根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵是最简二次根式， ∴根据同类二次根式的性质有：， 解得：， 故答案为：4． 10．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根，如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： ∴ 故答案为： 11．（2024·甘肃兰州·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算．先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可． 【详解】解：原式 ． 12．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）先算二次根式的乘法，再算减法，即可解答； （2）直接利用平方差公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是准确熟练地进行计算． 13．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是，； (2)是； (3)不是，． 【分析】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． （1）含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，然后化简即可； （2）根据定义判断是最简二次根式； （3）被开方数中含有分母，不是最简二次根式，化简即可． 【详解】（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，； （2），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式． （3），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式， ． 14．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 【答案】x=4，y=3． 【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】∵最简二次根式与同类二次根式， ∴3a+4=19-2a， 解得，a=3， ∴，即 ∵≥0，≥0， ∴12-3x=0，y-3=0， 解得，x=4，y=3． 【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键． 15．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若与是关于4的共轭二次根式，则__________ (2)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1) (2)－2 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可． 【详解】（1）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴， ∴． （2）∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$