第二十二章 二次函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，辽宁专用）

第二十二章 二次函数（人教2024版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握二次函数的图象与性质并能灵活运用是关键．依据题意，根据的图象与性质即可逐个判断进而得解． 【详解】解：根据可得对称轴是直线，顶点为， 故选项B错误和选项C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 故选项A和选项D错误； 故选：C． 2．下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义逐个判断即可，一般地，形如的函数（是常数，），叫做二次函数． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是一次函数，故本选项不符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 3．拋物线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象的对称轴． 根据抛物线解析式得出，代入数值，即可求出对称轴． 【详解】解：根据题意可得抛物线中的， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线， 故选A． 4．二次函数的一次项系数是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的一次项系数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据定义即可得到答案． 【详解】解： 该函数的一次项系数为6 故选：B． 5．将抛物线y＝x2＋4x＋3沿y轴向右平移3个单位，然后再向上平移5个单位后所得抛物线的顶点坐标是（      ） A．(5，7) B．(－1，7) C．(1，4) D．(5，4) 【答案】C 【分析】先根据平移规则进行平移，后配方为顶点式，即可得到答案 【详解】将y＝x2＋4x＋3沿轴向右平移3个单位，得：， 将向上平移５个单位，得： 化简得： 配方成顶点式得： ∴其顶点坐标为： 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的图象的平移规则，以及将二次函数一般式配方为顶点式取得顶点坐标的方法，熟知以上规则是解题的关键． 6．抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令解方程即可． 将点A的坐标为代入得：，然后代入解析式，求出时x的值即可得． 【详解】解：将点A的坐标为代入得： ∴， 令，则有：，即 解得，，， ∴点B的坐标是， 故选：D． 7．一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】A．由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； B．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； C．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D．由抛物线可知又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； 故选： B． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于点中心对称，则m，n的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据题意得抛物线与抛物线的开口方向相反，故，与的对称轴关于直线对称，分别求出与的对称轴列出关于n的方程求解即可． 【详解】解：根据抛物线的对称性可知，抛物线与抛物线的开口方向相反，故， ∵与关于点中心对称， ∴与的对称轴关于直线对称， ∵的对称轴，的对称轴 ， 解得， ∴， 故选：A． 9．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： x 2 4 7 y 20.17 20.17 1 那么的值为（　　） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质，关键是根据抛物线的对称性质求得对称轴方程． 把，；，可确定抛物线的对称轴为直线，利用抛物线的对称性得到时，，即，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：，；，， 抛物线的对称轴为， ， ∴， 与时的函数值相等， 时，，即， ． 故选：B． 10．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线，，， 由得：， ∵， ∴， ∴，即，故②错误； 当时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 二、填空题 11．若函数是关于x的二次函数，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故答案为；1． 12．一抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同， 顶点为 ，则此抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质及待定系数法求解析式，根据形状、开口方向相同得到，设出解析式为，根据顶点为 代入计算即可得到答案； 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同， ∴， 设抛物线解析式为， ∵抛物线顶点为 ， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．已知二次函数 （）的图象过 ，四个点， 则大小关系为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．先求函数对称轴，则、、、的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断的大小． 【详解】解∵二次函数 ， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴各个点到对称轴的距离越近越小， ∵，且， ∴， 故答案为：． 14．如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B左侧），连接，P在直线下方抛物线上，当的面积最大时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数求最值，解题的关键是利用割补法表示三角形的面积． 先求出，设，由得到，化简得：，由，得当时，的面积取得最大值为，此时． 【详解】解：过点分别作轴的垂线，垂足为， 联立， 解得：或， ∴ 设 ∵， ∴ 化简得：， ∵， ∴当时，的面积取得最大值为， 此时， 故答案为：． 15．图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ； （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ． 【答案】 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 三、解答题 16．（1）解方程：； （2）解方程：； （3）解方程：； （4）已知二次函数经过，两点，它的对称轴为直线，求这个二次函数解析式． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或；（4） 【分析】本题考查了一元二次方程以及二次函数： （1）直接开方即可； （2）利用因式分解即可； （3）利用配方法即可求解； （4）根据二次函数的性质列出方程组求解． 【详解】（1）解： 解得：或 （2）解： 解得：或 （3）解： 解得：或 （4）根据题意得： 解得： 所以该二次函数的解析式为： 17．玩具火箭从地面出发，依次沿线段和抛物线的路径运行落到地面．小铭测得玩具火箭距离地面高度y（单位：m）随运行时间x（单位：s）变化的数据，整理得下表： 运行时间 0 1 2 3 4 6 9 距离地面高度 0 20 40 60 75 75 0 小铭探究发现，玩具火箭运行时间不超过3s时，玩具火箭距离地面高度y与运行时间x成一次函数关系；超过3s后，玩具火箭距离地面高度y与运行时间x成二次函数关系． (1)直接写出y关于x的函数关系式，并画出其图象； (2)求玩具火箭运行8s时，距离地面的高度； (3)玩具火箭在运行过程中，有两个位置的高度比玩具火箭运行的最高点低45m，求该玩具火箭在这两个位置之间运行所用的时间． 【答案】(1)，作图见解析 (2)距离地面高度为35m (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，涉及待定系数法求函数解析式，画函数图象，已知函数值求自变量的值和已知自变量的值求函数值，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）分类讨论，利用待定系数法求函数解析式即可，再描点作图即可； （2）将代入，即可求解； （3）可知顶点为且为最高点，则当有两个位置的高度比玩具火箭运行的最高点低45m时，，将代入，即可求解． 【详解】（1）解：时，由表格知， ∴设解析式为：， 当， 则， ∴， ∴； 当时，由表格知，，，， 可知对称轴为：直线 设二次函数解析式为： 则， 解得：， ∴二次函数解析式为：， 即：， 综上：y关于x的函数关系式为， 作出图象为： （2）解：玩具火箭运行8s时， 将代入， 得， ∴距离地面高度为35m； （3）解：∵二次函数解析式为：， ∴顶点为且为最高点， ∴当有两个位置的高度比玩具火箭运行的最高点低45m时， ， 将代入得：， 解得：， 将代入， 得：， 解得：或， ∵，故舍， ∴运行时间为：． 18．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)判断方程是否为“倍根方程”？_______；（填“是”或“否”） (2)若是“倍根方程”，则的值为_________； (3)若方程是“倍根方程”，且相异两点、都在抛物线上，求方程的两根． 【答案】(1)否； (2)2024； (3)，． 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，二次函数的性质、代数式求值等知识，解题的关键是理解题中新定义． （1）求出方程的解后即可利用倍根方程的定义进行判断； （2）根据是倍根方程，且，得到或即可求解； （3）利用“倍根方程”的定义及二次函数的性质进行求解． 【详解】（1）解：解方程得：，， ∴， ∴方程不是倍根方程， 故答案为：否； （2）解：∵是倍根方程，，， ∴或， ∴，或， 当时， ； 当时， ； 综上，的值为2024， 故答案为：2024； （3）解：∵是倍根方程， ∴设， ∵，均在上， ∴对称轴直线， ∴的两根 ∴，． 19．如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为45平方米的花圃，的长是多少米？ (2)如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为56平方米的花圃，的长是多少米？ (3)在（1）的条件下，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)3米或5米 (2)米或4米 (3)当时，能围成面积比45平方米更大的花圃，最大面积是48平方米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和函数关系式，是解题的关键： （1）设的长为x米，则的长为米，根据长方形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）设的长为m米，则的长为米，根据长方形的面积公式，列出方程进行求解即可； （3）设AB的长为米，围成面积为平方米，列出二次函数关系式，求出最值，进行判断即可． 【详解】（1）解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得：， 解得 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， ∴的长是3米或5米； （2）解：设的长为m米，则的长为米， 根据题意得：， 解得， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意； ∴的长是米或4米； （3）解：能围成面积比45平方米更大的花圃，理由如下： 设AB的长为米，围成面积为平方米， ∵墙的最大可用长度为a为15米， ∴， 解得， 根据题意得， ∵， ∴时，w取最大值，最大值为48平方米， 此时， 答：当时，能围成面积比45平方米更大的花圃，最大面积是48平方米． 20．小铭同学利用计算机画图软件，将二次函数中的a、b、c输入不同的值，从而探索二次函数的性质．图中所示的二次函数的图象与y轴相交于点，与x轴相交于点，． (1)直接写出__________，__________，__________； (2)当时，函数的最大值是__________，最小值是__________； (3)利用图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)1，， (2)0， (3)或 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数与不等式，二次函数的最值问题，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键． （1）待定系数法即可求解； （2）当时，可知对称轴在此范围内，因此可以知道时，函数取得最小值，再计算到的距离与到的距离，进行比较，进而可求出最大值； （3）利用不等式的解集等价于抛物线在直线上方时，对应的交点的横坐标的取值范围求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴相交于点，与x轴相交于点，， ∴将这三点代入， 得：， 解得：， ∴解析式为， 故答案为：1，，； （2）解：， ∴对称轴为直线， ∵，， ∴当时，函数取得最小值为， ∵， ∴当时，函数取得最大值为， 故答案为：0，； （3）解：记抛物线与直线右边交点为A， 联立， 解得：或， ∴， ∴由图象可得不等式的解集为：或． 21．某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长x（单位：）在5~50之间，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价p（单位：元）和浮动价q（单位：元）两部分组成，其中基础价p与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价q与薄板的边长x（单位：）成正比例．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：）成正比例，在营销过程中得到了如下表格中的数据： 薄板的边长（） 20 30 出厂价（元/张） 50 70 (1)求一张薄板的出厂价（单位：元）与边长x（单位：）之间满足的函数关系式； (2)已知出厂一张边长为的薄板，获得的利润是26元（利润=出厂价一成本价）． ①求一张薄板的利润（单位：元）与其边长x（单位：）之间满足的函数关系式； ②求当边长x（单位：）多少时，出厂一张湾板获得的利润（单位：元）最大，是多少． 【答案】(1)； (2)①；②当边长为时，利润最大，为35元． 【分析】（1）根据题意，浮动价q与薄板的边长x（单位：）成正比例，设，结合，代入转化为方程组解答即可． （2）①根据每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：）成正比例，不妨设，由此每张的利润为，根据时，元，代入解答即可． ②根据题意，得，利用二次函数的最值解答即可． 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，浮动价q与薄板的边长x（单位：）成正比例，不妨设， ∵， ∴， 把，分别代入解析式，得， 解得， 故． （2）解：①∵每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：）成正比例，不妨设， ∴每张的利润为， ∵时，元， ∴， 解得， 故 代入解答即可． ②解：根据题意，得， ∵， ∴函数有最大值，且当时，由最大值35， 故当边长为时，利润最大，最大利润为为35元． 22．已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再进一步求解； （3）如图，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：； ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形； 如图，当为对角线时， ∵，，设，， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时，如图， 同理可得：，解得：， ∴； 如图，当为对角线时， 同理可得：，解得：， ∴； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 23．数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行学习： 材料一：给出如下定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线与抛物线相离． 材料二：判断：抛物线与直线的位置关系联立得．根据一元二次方程根的判别式 ①当时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交（如图1）． ②当时，抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点（如图2）． ③当，抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离（如图3） 【探究性质】（1）判断：直线与抛物线的位置关系是：________（选填“相交”或“相切”或“相离”）； 【运用性质】（2）若直线与抛物线相离，求的取值范围； 【问题解决】某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为，数学兴趣小组观察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为，兴趣小组将喷泉柱底端标为原点，喷泉柱所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的井面直角坐标系．从水流喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度与水流落地点与喷水柱底端的距离满足二次函数关系，其表达式为． （3）小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为；并且射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求． 【答案】（1）相交；（2）；（3）射灯安装距离喷泉柱底端4米处． 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的应用，根的判别式，待定系数法求函数的解析式，正确地理解题意是解题的关键． （1）把与联立方程组得到，根据，于是得到结论； （2）把与联立方程组得到，根据直线与抛物线相离，得到，于是得到结论； （3）设射灯发出的光线与轴交于，得到，设，则，设直线的解析式为，得到直线的解析式为，联立得到，利用，求得，得到米． 【详解】解：（1）把与联立方程组， 得， ， 直线与抛物线的位置关系是相交， 故答案为：相交； （2）把与联立方程组， 得， 直线与抛物线相离， ， 解得， 故答案为：； （3）设射灯发出的光线与轴交于， ，， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立得，， 射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流， 直线与抛物线相切， ， 解得， 米， 答：射灯安装距离喷泉柱底端4米处． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数（人教2024版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 2．下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．拋物线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 4．二次函数的一次项系数是（    ） A． B．6 C． D． 5．将抛物线y＝x2＋4x＋3沿y轴向右平移3个单位，然后再向上平移5个单位后所得抛物线的顶点坐标是（      ） A．(5，7) B．(－1，7) C．(1，4) D．(5，4) 6．抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于点中心对称，则m，n的值分别为（　　） A． B． C． D． 9．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： x 2 4 7 y 20.17 20.17 1 那么的值为（　　） A．4 B．6 C．10 D．14 10．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．若函数是关于x的二次函数，则a的值为 ． 12．一抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同， 顶点为 ，则此抛物线的解析式为 ． 13．已知二次函数 （）的图象过 ，四个点， 则大小关系为 ． 14．如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B左侧），连接，P在直线下方抛物线上，当的面积最大时，点P的坐标是 ． 15．图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ； （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ． 三、解答题 16．（1）解方程：； （2）解方程：； （3）解方程：； （4）已知二次函数经过，两点，它的对称轴为直线，求这个二次函数解析式． 17．玩具火箭从地面出发，依次沿线段和抛物线的路径运行落到地面．小铭测得玩具火箭距离地面高度y（单位：m）随运行时间x（单位：s）变化的数据，整理得下表： 运行时间 0 1 2 3 4 6 9 距离地面高度 0 20 40 60 75 75 0 小铭探究发现，玩具火箭运行时间不超过3s时，玩具火箭距离地面高度y与运行时间x成一次函数关系；超过3s后，玩具火箭距离地面高度y与运行时间x成二次函数关系． (1)直接写出y关于x的函数关系式，并画出其图象； (2)求玩具火箭运行8s时，距离地面的高度； (3)玩具火箭在运行过程中，有两个位置的高度比玩具火箭运行的最高点低45m，求该玩具火箭在这两个位置之间运行所用的时间． 18．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)判断方程是否为“倍根方程”？_______；（填“是”或“否”） (2)若是“倍根方程”，则的值为_________； (3)若方程是“倍根方程”，且相异两点、都在抛物线上，求方程的两根． 19．如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为45平方米的花圃，的长是多少米？ (2)如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为56平方米的花圃，的长是多少米？ (3)在（1）的条件下，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 20．小铭同学利用计算机画图软件，将二次函数中的a、b、c输入不同的值，从而探索二次函数的性质．图中所示的二次函数的图象与y轴相交于点，与x轴相交于点，． (1)直接写出__________，__________，__________； (2)当时，函数的最大值是__________，最小值是__________； (3)利用图象直接写出不等式的解集． 21．某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长x（单位：）在5~50之间，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价p（单位：元）和浮动价q（单位：元）两部分组成，其中基础价p与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价q与薄板的边长x（单位：）成正比例．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：）成正比例，在营销过程中得到了如下表格中的数据： 薄板的边长（） 20 30 出厂价（元/张） 50 70 (1)求一张薄板的出厂价（单位：元）与边长x（单位：）之间满足的函数关系式； (2)已知出厂一张边长为的薄板，获得的利润是26元（利润=出厂价一成本价）． ①求一张薄板的利润（单位：元）与其边长x（单位：）之间满足的函数关系式； ②求当边长x（单位：）多少时，出厂一张湾板获得的利润（单位：元）最大，是多少． 22．已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 23．数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行学习： 材料一：给出如下定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线与抛物线相离． 材料二：判断：抛物线与直线的位置关系联立得．根据一元二次方程根的判别式 ①当时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交（如图1）． ②当时，抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点（如图2）． ③当，抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离（如图3） 【探究性质】（1）判断：直线与抛物线的位置关系是：________（选填“相交”或“相切”或“相离”）； 【运用性质】（2）若直线与抛物线相离，求的取值范围； 【问题解决】某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为，数学兴趣小组观察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为，兴趣小组将喷泉柱底端标为原点，喷泉柱所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的井面直角坐标系．从水流喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度与水流落地点与喷水柱底端的距离满足二次函数关系，其表达式为． （3）小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为；并且射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$