专题03 有理数（考点串讲，5个常考点+12种重难点题型+5个易错+押题预测）-2024-2025学年六年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版2024）

六年级新沪教版（2024）数学上册期中考点大串讲 专题03 有理数 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理+针对练习 十二大题型典例剖析+技巧总结 五大易错易混经典例题 精选8道期中真题对应考点练 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 C C 4 －2，－1,0,1,2,3,4,5 －4,101,2,0 C C A 8167 题型剖析 易错点一 对有理数的相关概念理解有误而出错 【例1】下列说法正确的是（ ） A.正数和负数统称为有理数 B.符号不同的两个数互为相反数 C.绝对值等于本身的数只有正数 D.互为倒数的两个数的乘积等于1 错解剖析： 对有理数的相关概念的辨析： 1.要扣住关键词，例如相反数的概念中“只有”两字是关键词，不能少，故B选项错误； 2.要扣住关键数，例如关键数0，在很多概念中不能少，故C选项错误. D 易混易错 易错点二 数的正负性不确定而漏解 【例2】已知|a|=12，|b|=7，则a+b= . 正解：因为|a|=12，所以a=12或a=-12. 因为|b|=7，所以b=7或b=-7. 当a=12，b=7时，a+b=19； 当a=-12，b=-7时，a+b=-19； 当a=12，b=-7时，a+b=5； 当 a=-12，b=7 时，a+b=-5. 故答案为19，-19，5或-5. 错解剖析： 由于a，b两个数的正负性不确定，所以已知a，b的绝对值确定a，b时，要分别就a，b是正数或负数进行讨论. 【例3】某出租车上午从停车场出发，沿东西方向的大街行驶，到下午6时，行驶记录如下（规定向东记为正，向西记为负，单位：km）：+10，-3，+4，+2，+8，+5，-2，-8，+12，-5，-7.若汽车每千米耗油0.06L，则从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油多少升？ 正解： （2）|+10|+ |-3|+ |+4|+|+2|++8|+|+5|+|-2|+|-8|+12|+|-5|+|-7| =10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7 = 66（km）， 66×0.06 =3.96（L） 即从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油 3.96 L. 错解剖析: 出租车的总里程与运动的方向无关，而记录的数据中"+”和"-”就表示运动的方向 易错点三 建立有理数运算模型解决实际问题时列式错误 易错点四 有理数的运算中常见的错误 类型 1 运算顺序不正确而出错 【例4】计算：(−𝟗)÷×𝟑−𝟑 错解剖析： 乘与除是同一级运算，在没有括号改变运算顺序时，必须按照从左到右的顺序计算. 易错点四 有理数的运算中常见的错误 类型2 运算律使用错误而出错 【例5】计算： 错解剖析： 有理数的除法没有运算律，只有将除法转换成乘法才能运用乘法的运算律.若不能转化为乘法，则按常规运算顺序和法则计算. 易错点四 有理数的运算中常见的错误 类型3 不理解乘方中底数的括号的意义而出错 【例6】计算： 错解剖析： 在幂的表示中，若底数是负数，则必须用括号括起来；若没有带括号，则负号不属于底数，而属于幂. 易错点五 本章常见漏解情况 类型1 数的正负性不确定而漏解 【例7】已知|a|=12，|b|=7，则a+b= . 正解：因为|a|=12，所以a=12或a=-12. 因为|b|=7，所以b=7或b=-7. 当a=12，b=7时，a+b=19； 当a=-12，b=-7时，a+b=-19； 当a=12，b=-7时，a+b=5； 当 a=-12，b=7 时，a+b=-5. 故答案为19，-19，5或-5. 错解剖析： 由于a，b两个数的正负性不确定，所以已知a，b的绝对值确定a，b时，要分别就a，b是正数或负数进行讨论. 易错点五 本章常见漏解情况 类型2 数轴上点的位置不确定而漏解 【例8】在数轴上与表示-3的点相距10个单位长度的点表示的数是 . 正解： 当与-3相距10个单位长度的点在-3的右侧时， -3+10=7； 当与-3相距10个单位长度的点在-3的左侧时， -3-10=-13. 故答案为7 或-13. 错解剖析： 在数轴上与-3相距10个单位长度的点有可能在-3的右侧也有可能在-3的左侧.由于点的位置不确定，所以应分两种情况考虑. 1. （2023春•闵行区期中）在-15，5 ，-0.23，0，7.6，2，- ，314%．这八个有理数中非负数有( ____ ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【解析】解：在-15，5 ，-0.23，0，7.6，2，- ，314%．这八个数中， B 押题预测 非负数为5 ，0，7.6，2，314%，有5个． 故选：B． 42 2. （2023春•浦东新区校级期中）若a,b,c为整数，且|a-b|+|c-a|=1， 则|c-a|+|a-b|+|b-c|的值为 ____ ． 【解析】解：∵a,b,c为整数，且|a-b|+|c-a|=1， ∴a-b=0，c-a=±1或a-b=±1，c-a=0，∴当a-b=0，c-a=±1时， 则a=b,c-a=c-b=±1，故|c-a|+|a-b|+|b-c|=1+1=2， 当a-b=±1，c-a=0时，则c=a,a-b=c-b=±1， 故|c-a|+|a-b|+|b-c|=1+1=2， 由上可得，|c-a|+|a-b|+|b-c|的值是2． 故答案为：2． 2 43 3. （2024春•松江区期中）比较大小：-1 ____ -1.5．(填“＜”、“＞”或“=”) 【解析】解：∵|- |=1.6，|-1.5|=1.5，1.6＞1.5， ∴-1 ＜-1.5． 故答案为：＜． ＜ 4. （2023春•闵行区期中）计算：0.125+2 ． 【解析】解：0.125+2 =0.125+2.25-2.125-0.25 =0． 44 5. （2024春•上海期中）计算：(-2 )÷(-1.2)×(-1 )． 【解析】解：(-2 )÷(-1.2)×(-1 ) =- × × =- ． 6. （2024春•杨浦区校级期中）计算： ． 【解析】解：原式= = = ． 45 7. （2024春•长宁区期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为-12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动 ____ 秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是 ____ ； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值(写出解题过程)． 【解析】解：(1)设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得： 2x+3x=8-(-12)，解得：x=4. -12+2×4=-4． 答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：-4； 4 -4 (2)运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t,蚂蚁N向左移动了3t, 若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10=20，解得：t=2． 若在相遇之后距离为10，则有2t+3t-10=20，解得：t=6．综上所述：t的值为2或6． 46 8. （2024春•上海期中）材料一：对任意有理数a,b定义运算“⊗”．a⊗b=a+b- ． 如：1⊗2=1+2- ，1⊗2⊗3=(1+2- )+3- =-2017． 材料二：规定[a]表示不超过a的最大整数，如[3.1]=3，[-2]=-2，[-1.3]=-2． (1)2⊗6= ___________ ，[-π][π]= _____ ； (2)求1⊗2⊗3⊗4⊗……⊗2022⊗2023的值； (3)若有理数m,n满足m=2[n]=3[n+1]，请直接写出m⊗[m+n]的结果． 【解析】解：(1)2⊗6=2+6- =-1003.5， -1003.5 -64 [-π][π]=(-4)3=-64， 故答案为：-1003.5；-64； 47 (2)l⊗2⊗3⊗4⊗……⊗2022⊗2023 =1+2+3+4+……+2022+2023- ×2022 = =2023； (3)设k≤n＜k+1，k为整数，则[n]=k,[n+1]=k+1， ∵m=2[n]=3[n+1]， ∴m=2k=3(k+1)， 解得k=-3，m=-6，∴[m+n]=[-6+n]=-9， ∴m⊗[m+n]=(-6)⊗(-9)=-6-9- =-1026.5 48 考点1：有理数的分类及相关的概念 1．在有理数0，－eq \f(2,3)，5,3.2，－20%中，分数有(　　) A．1个　　 B．2个 C．3个　　 D．4个 2．已知数轴上两点A、B到原点的距离是2和7，则A、B两点间的距离是(　　) A．5　　 B．9 C．5或9　　 D．7 －4,10%，－1eq \f(1,2)，－2.06,101,2，－1.5，0.eq \o(6,\s\up6(·)) 3．若a、b互为相反数，m、n互为倒数，k的平方等于4，则100a＋99b＋mnb＋k2的值为 . 4．使|x－5|＋|x＋2|值最小的所有符合条件的整数x有 . 5．把下列各数按要求分类． －4,10%，－1eq \f(1,2)，－2.06,101,2，－1.5,0， 0.1010010001…，0.eq \o(6,\s\up6(·)). (1)负整数集合{ …}； (2)正分数集合{ …}； (3)整数集合{ …}； (4)有理数集合{ …}． －4 10%,0.eq \o(6,\s\up6(·)) 考点2：有理数的大小比较 6．下列各式中，大小关系成立的是(　　) A．－0.3＜－eq \f(1,3) B．－eq \f(6,5)＞－eq \f(7,6) C．－eq \f(9,10)＞－eq \f(10,9) D．(－2)3＞(－2)2 7．如图，数轴上的两个点A、B所表示的数分别是a、b，那么a、b、－a、－b的大小关系是(　　) A．b＜－a＜－b＜a B．b＜－b＜－a＜a C．b＜－a＜a＜－b D．－a＜－b＜b＜a 考点3:有理数的运算 8．设n是自然数，则eq \f(－1n＋－1n＋1,2)的值为(　　) A．0 B．1 C．－1 D．1或－1 9．计算： (1)(－12eq \f(10,37))＋3eq \f(15,37)＋(－4.25)－(＋eq \f(5,37))－(－15eq \f(1,2))－(＋eq \f(9,4))； 解：原式＝(－12eq \f(10,37))＋3eq \f(15,37)＋(－4eq \f(1,4))－(＋eq \f(5,37))－(－15eq \f(1,2))－(＋eq \f(9,4)) ＝[(－12eq \f(10,37))＋(－eq \f(5,37))＋(3eq \f(15,37))]＋[(－4eq \f(1,4))＋(－eq \f(9,4))＋(15eq \f(1,2))]＝－9＋9＝0； (4)|eq \f(1,2)－1|＋|eq \f(1,3)－eq \f(1,2)|＋|eq \f(1,4)－eq \f(1,3)|＋…＋|eq \f(1,1000)－eq \f(1,999)|. 解：原式＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,999)－eq \f(1,1000)＝1－eq \f(1,1000)＝eq \f(999,1000). (2)(－11eq \f(1,7))×eq \f(1,5)＋(－137eq \f(1,3))÷5＋(＋112eq \f(1,3))÷5＋(6eq \f(1,7))×eq \f(1,5)； 解：原式＝[(－11eq \f(1,7))×eq \f(1,5)＋6eq \f(1,7)×eq \f(1,5)]＋[(－137eq \f(1,3))÷5＋112eq \f(1,3)÷5] ＝[(－11eq \f(11,7)＋6eq \f(1,7))×eq \f(1,5)]＋[(－137eq \f(1,3)＋112eq \f(1,3))÷5]＝[(－5)×eq \f(1,5)]＋[(－25)÷5]＝－1＋(－5)＝－6； (3)－22÷(－eq \f(1,2))×(－1)2021－(1eq \f(3,8)＋2eq \f(1,3)－3eq \f(3,4))×24； 解：原式＝－7； 考点4：有理数的应用题 10．在完成“我要巡逻”的任务时，王平在一条笔直的东西走向的大道上巡逻，他从某岗亭出发，巡逻了一段时间停留在A处，规定以岗亭为原点，约定向东为正方向，这段时间行走的记录如下(单位：m)：＋100，－200，＋350，－150，＋600，－140. (1)A在岗亭哪个方向？距岗亭多远？ (2)王平最后返回岗亭，这次他共巡逻多少米？ 解：(1)(＋100)＋(－200)＋(＋350)＋(－150)＋(＋600)＋(－140) ＝(100＋350＋600)＋(－200－150－140)＝1050＋(－490)＝560(m)． 答：A在岗亭的东边，距岗亭560 m； (2)|＋100|＋|－200|＋|＋350|＋|－150|＋|＋600|＋|－140|＋560 ＝100＋200＋350＋150＋600＋140＋560＝2100(m)． 答：这次他共巡逻2100 m. 考点5：规律探究 11．(湘潭中考)算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字．如图： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下： INCLUDEPICTURE"W054.TIF" ，则 表示的数是 . 12．观察下列算式1－eq \f(1,22)＝eq \f(3,4)＝eq \f(1,2)×eq \f(3,2)，(1－eq \f(1,22))(1－eq \f(1,32))＝eq \f(3,4)×eq \f(8,9)＝eq \f(1,2)×eq \f(3,2)×eq \f(2,3)×eq \f(4,3)，… (1)研究上述算式，你发现什么规律？请用你的发现计算：(1－eq \f(1,22))(1－eq \f(1,32))(1－eq \f(1,42))…(1－eq \f(1,1002))； (2)计算：(1－eq \f(1,22))(1－eq \f(1,32))(1－eq \f(1,42))…(1－eq \f(1,n2))(n是正整数)． (2)由(1)知x＝－2，y＝3，所以|x|＋|y|＝|－2|＋|3|＝2＋3＝5. 题型一：　利用绝对值的非负性求字母的值 1．当x为何值时，5－|x－2|的值最大，求出最大值． 解：因为|x－2|≥0，所以当x＝2时，|x－2|的值最小，5－|x－2|的值最大，所以5－|x－2|的最大值为5. 2．若|x＋2|＋|y－3|＝0. (1)求x、y的值； (2)求|x|＋|y|的值． 解：(1)因为|x＋2|≥0，|y－3|≥0， 又|x＋2|＋|y－3|＝0，所以x＋2＝0，y－3＝0，所以x＝－2，y＝3； 题型二：绝对值在生活中的应用 3．司机小李某天下午的营运全是在南北走向的鼓楼大街进行的．如果规定向南为正，向北为负，他这天下午行车里程如下(单位：km)： ＋15，－3，＋14，－11，＋10，＋4，－26. (1)小李在送第几位乘客时行车里程最远？ (2)若汽车耗油量为0.2 L/km，这天下午汽车共耗油多少升？ 解：(1)本题就是比较各数的绝对值是哪个最大，所以小李在送最后一名乘客时行车里程最远，是26 km； (2)总耗油量为0.2×(|＋15|＋|－3|＋|＋14|＋|－11|＋|＋10|＋|＋4|＋|－26|)＝16.6(L)． 答：这天下午汽车共耗油16.6 L. 4．某工厂生产一批精密的零件要求是50eq \o(\s\up17(＋0.04),\s\do15(－0.03))(表示圆形工件的直径，单位是mm)，抽查了5个零件，数据如下表，超过规定的记作正数，不足的记作负数. 1号 2号 3号 4号 5号 ＋0.031 －0.037 ＋0.018 －0.021 ＋0.042 (1)哪些产品是符合要求的？ (2)符合要求的产品中哪个质量最好？用绝对值的知识加以说明． 解：(1)1号，3号，4号符合要求； (2)因为|＋0.018|＜|－0.021|＜|＋0.031|，所以3号零件质量最好． 题型三：利用绝对值的性质化简 5．阅读下列材料： 若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|. ①当A、B两点在原点的同侧时，如图(a)(b)所示，都可以得到|AB|＝|b|－|a|； ②当A、B两点在原点的异侧时，如图(c)(d)所示，都可以得到|AB|＝|b|＋|a|. 回答下列问题： (1)若数轴上的点C、D、E分别表示－2，－5,3，求|CD|、|DE|； (2)如果点M表示－4，点N表示数x，且|MN|＝5，求x的值． 解：(1)|CD|＝|－5|－|－2|＝5－2＝3，|DE|＝|－5|＋|3|＝5＋3＝8； (2)若M、N都在原点左侧时，x＝－(5＋4)＝－9，若M、N在原点异侧时， MN＝|－4|＋|x|＝5，解得x＝±1，因为x＞0，所以x＝1，综上所述，x的值是－9或1. 题型四：利用分类讨论计算 6．若|a|＝28，|b|＝20，且|a＋b|＝－(a＋b)，求a－b的值． 解：因为|a|＝28，|b|＝20，所以a＝±28，b＝±20. 因为|a＋b|＝－(a＋b)，所以a＋b≤0，a＝－28，b＝－20或a＝－28，b＝20. 当a＝－28，b＝－20时，a－b＝－28－(－20)＝－8； 当a＝－28，b＝20时，a－b＝－28－20＝－48， 所以a－b的值为－8或－48. 题型五：利用计算说理决策 7．甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动了0.2 m，又向甲队方向移动了0.5 m，相持一会儿后，又向乙队方向移动了0.4 m，随后又向甲队方向移动了1.3 m，在大家的欢呼鼓励中，标志物又向甲队移动了0.9 m，若规定标志物向某队方向移动2 m，该队即可获胜，那么现在哪队赢了？用算式说明你的判断． 解：设标志物向乙队方向移动为负，向甲队方向移动为正， 则－0.2＋0.5－0.4＋1.3＋0.9＝2.1＞2，故甲队赢了． 8．经过某年的特大洪水灾害后，每年夏天水库管理员都相当警觉．水库的警戒水位为18.8 m，值班人员记录了一周内的水位变化情况，如下表(单位：m，上周末刚好达到警戒水位，“＋”表示比前一天上升，“－”表示比前一天下降，取警戒水位为0)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 变化情况 ＋0.4 ＋0.5 －0.2 ＋0.4 ＋0.5 －0.1 －0.3 (1)本周内哪一天水位最高？哪一天水位最低？它们与警戒水位的距离是多少？ (2)试说明本周的水位变化的总体情况； (3)若超过警戒水位1.5 m时就要开闸放水，以确保大坝安全，试问在哪一天需要开闸放水？ 解：(1)星期五水位最高，星期一水位最低，最高水位与警戒水位的距离是1.6 m，最低水位与警戒水位的距离是0.4 m； (2)(＋0.4)＋(＋0.5)＋(－0.2)＋(＋0.4)＋(＋0.5)＋(－0.1)＋(－0.3)＝1.2(m)， 本周的水位变化总体情况上升1.2 m； (3)星期五要开闸放水． 题型六：有理数加减混合运算 9．计算： (1)(－4eq \f(7,9))－(－2eq \f(1,6))＋(－2eq \f(2,9))－(＋6eq \f(1,6))； 解：原式＝(－4eq \f(7,9)－2eq \f(2,9))＋(2eq \f(1,6)－6eq \f(1,6))＝－7－4＝－11； (2)3＋(－eq \f(5,12))－eq \f(3,16)－(eq \f(1,12))－eq \f(5,16)＋2eq \f(3,4). 解：原式＝3－eq \f(5,12)－eq \f(3,16)－eq \f(1,12)－eq \f(5,16)＋2eq \f(3,4)＝3＋[(－eq \f(5,12))－eq \f(1,12)]＋[(－eq \f(3,16))－eq \f(5,16)]＋2eq \f(3,4) ＝5eq \f(3,4)－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝4eq \f(3,4). 题型八：有理数的加减乘除混合运算 11．计算： (1)eq \f(6,5)×(－eq \f(1,3)－eq \f(1,2))÷eq \f(5,4)； 解：原式＝eq \f(6,5)×(－eq \f(5,6))×eq \f(4,5)＝－eq \f(4,5)； (2)－4eq \f(1,8)÷1eq \f(1,32)－(－1eq \f(1,2))÷(－2eq \f(2,9))×(－2eq \f(2,3))； 解：原式＝－eq \f(33,8)×eq \f(32,33)－(－eq \f(3,2))×(－eq \f(9,20))×(－eq \f(8,3)) ＝－4＋eq \f(9,5)＝－2eq \f(1,5)； 题型七：有理数乘除混合运算 10．计算： (1)(－2eq \f(4,7))×(1eq \f(5,6))÷(1eq \f(1,21))； 解：原式＝－eq \f(18,7)×eq \f(11,6)×eq \f(21,22)＝－eq \f(9,2)； (2)3eq \f(1,7)×(3eq \f(1,7)÷7eq \f(1,3))×eq \f(7,22)÷1eq \f(1,21). 解：原式＝eq \f(22,7)×eq \f(22,7)×eq \f(3,22)×eq \f(7,22)×eq \f(21,22)＝eq \f(9,22). (3)(－32＋3)×[(－1)2020－(1－0.5×eq \f(1,3))]． 解：原式＝(－9＋3)×(1－1＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3))＝－6×eq \f(1,6)＝－1. 题型九：加减乘除乘方混合运算 12．计算： (1)－110－(eq \f(13,14)－eq \f(11,12))×[9－(－3)2]＋eq \f(1,2)÷3； 解：原式＝－1－(eq \f(13,14)－eq \f(11,12))×(9－9)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝－1＋eq \f(1,6)＝－eq \f(5,6)； (2)－32×(－eq \f(1,3))2＋(eq \f(3,4)－eq \f(1,6)＋eq \f(3,8))×(－24)； 解：原式＝－9×eq \f(1,9)－(eq \f(3,4)×24－eq \f(1,6)×24＋eq \f(3,8)×24)＝－1－(18－4＋9)＝－24； 题型十：用乘法分配律简便运算 13．计算： (1)(eq \f(11,12)－eq \f(7,9)－eq \f(5,18))×36－6×1.43＋3.93×6； 解：原式＝eq \f(11,12)×36－eq \f(7,9)×36－eq \f(5,18)×36＋6×(－1.43＋3.93) ＝33－28－10＋6×2.5＝－5＋15＝10； (2)－32eq \f(16,25)÷(－8×4)； 解：原式＝－32eq \f(16,25)÷(－32)＝(32＋eq \f(16,25))×eq \f(1,32)＝1＋eq \f(1,50)＝1eq \f(1,50)； (3)eq \f(5,7)÷(－2eq \f(2,5))＋eq \f(5,7)×eq \f(5,12)－eq \f(5,3)÷4； 解：原式＝eq \f(5,7)×(－eq \f(5,12))＋eq \f(5,7)×eq \f(5,12)－eq \f(5,12)＝eq \f(5,12)×(－eq \f(5,7)＋eq \f(5,7)－1)＝－eq \f(5,12)； (4)[eq \f(1,4)×(－3)－eq \f(5,6)＋7]÷eq \f(1,12)－23×(－2eq \f(1,2))2×(－1)2021. 解：原式＝(－eq \f(3,4)－eq \f(5,6)＋7)÷eq \f(1,12)－8×eq \f(25,4)×(－1)＝(－eq \f(3,4)－eq \f(5,6)＋7)×12＋50 ＝－eq \f(3,4)×12－eq \f(5,6)×12＋7×12＋50＝－9－10＋84＋50＝115. 题型十一：利用技巧计算特殊算式 14．计算： (1)(－eq \f(1,30))÷(eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)－eq \f(2,5)－eq \f(1,2))(倒数求法)； 解：(eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)－eq \f(2,5)－eq \f(1,2))÷(－eq \f(1,30)) ＝(eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)－eq \f(2,5)－eq \f(1,2))×(－30) ＝eq \f(1,3)×(－30)＋eq \f(1,6)×(－30)－eq \f(2,5)×(－30)－eq \f(1,2)×(－30) ＝－10－5＋12＋15＝12. 所以(－eq \f(1,30))÷(eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)－eq \f(2,5)－eq \f(1,2))＝eq \f(1,12)； (2)eq \f(1,2×5)＋eq \f(1,5×8)＋eq \f(1,8×11)＋eq \f(1,11×14)；(拆项相消法) 解：原式＝eq \f(1,3)×(eq \f(1,2)－eq \f(1,5))＋eq \f(1,3)×(eq \f(1,5)－eq \f(1,8))＋eq \f(1,3)×(eq \f(1,8)－eq \f(1,11))＋eq \f(1,3)×(eq \f(1,11)－eq \f(1,14)) ＝eq \f(1,3)×(eq \f(1,2)－eq \f(1,5)＋eq \f(1,5)－eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)－eq \f(1,11)＋eq \f(1,11)－eq \f(1,14))＝eq \f(1,3)×(eq \f(1,2)－eq \f(1,14))＝eq \f(1,7)； (3)1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,22020)；(错位相减法) 解：设S＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,22020)①， 则2S＝2＋1＋eq \f(1,21)＋eq \f(1,22)＋…＋eq \f(1,22019)②， ②－①得，S＝2－eq \f(1,22020)，即原式＝2－eq \f(1,22020)； (4)1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)－eq \f(1,32)＋eq \f(1,64)－eq \f(1,128).(整体设元法) 解：设原式为S，则： S＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)－eq \f(1,32)＋eq \f(1,64)－eq \f(1,128)①， 2S＝2－1＋eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)－eq \f(1,16)＋eq \f(1,32)－eq \f(1,64)②， 把①和②式左边和左边，右边和右边分别相加， 得2S＋S＝2＋(1－1)＋(－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2))＋…＋(eq \f(1,64)－eq \f(1,64))－eq \f(1,128)，则3S＝2－eq \f(1,128)＝eq \f(255,128)，所以S＝eq \f(85,128).即原式＝eq \f(85,128). 题型十二：新定义运算 15．规定符号“*”的意义是a*b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－ba≥b,b2＋aa＜b))，比如3*1=32-1=8，2*3=32+2=11，求(-3)*(-2)+4*(-1)的值． 解：由题意，得原式＝(－2)2＋(－3)＋42－(－1)＝18. $$