3.1.1 探索勾股定理（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（鲁教版五四制）

鲁教版八年级上册数学 第三章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 1 学习目标 1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．（重点） 2.能够运用勾股定理进行简单的计算．（难点） 2 情境&导入 三角形 定义 角 边 直角 三角形 定义 角 边 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的平面图形. 三角形的内角和是 180°. 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 有一个角是 90°的三角形是直角三角形. 直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余的三角形是直角三角形. ？ 勾股定理的初步认识 探索&交流 如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？ 8m 6m ? 勾股定理研究的是： 直角三角形中三边的数量关系 4 探索&交流 在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？ 探究活动一 两直角边的平方和等于斜边的平方 猜想：三边长的平方之间的关系 探究活动二： 观察图形，正方形A中有 个小方格，即A的面积为 个面积单位。 正方形B中有 个小方格，即B的面积为 个面积单位。 正方形C中有 个小方格，即C的面积为 个面积单位。 你发现A、B、C的面积之间有什么关系？ 归纳得出结论：A+B=C 9 9 9 9 18 18 A B C A B C 图2-1 图2-2 (图中每个小方格代表一个单位面积) 探索&交流 探索&交流 A B C A B C 图2-1 图2-2 分“割”成若干个直角边为整数的三角形. =18(单位面积) S正方形c (图中每个小方格代表一个单位面积) (2)在图2-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ (3)你能发现图2-1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ A B C A B C 图2-1 图2-2 (图中每个小方格代表一个单位面积) SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积. 探索&交流 “割” “补” “拼” 方法一： 方法二： 方法三： 分割为四个直角三角形和一个小正方形 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积 将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形 计算正方形C面积的方法： 探索&交流 通过上面的活动，我们发现： ∴a2+b2=c2 A B a c b ∵SA=a2， SB=b2， SC=c2 ∵SA+SB=SC 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 C 探索&交流 定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边， 那么a2＋b2＝c2. 数学表达式： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2＋b2＝c2. 如图， 探索&交流 勾股定理 勾 股 弦 我国古代把直角三角形中， 较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股， 斜边称为弦 “勾股定理”因此而得名. 在西方又称毕达哥拉斯定理 探索&交流 探索&交流 典例精析 例1.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长. 解：由勾股定理可得， AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC= AB×CD. ∴ CD= . A D B C 3 4 13 探索&交流 6 m 8 m ？ 现在你会求钢索的长度吗？ 解：根据勾股定理，得82+62 = 100，所以钢索的长度为 10 m. 探索&交流 典例精析 解析：因为AE＝BE， 所以S△ABE＝ AE·BE＝ AE2. 又因为AE2＋BE2＝AB2， 所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝ AB2＝ ； 同理可得S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2. 又因为AC2＋BC2＝AB2， 所以阴影部分的面积为 AB2＝ . 例2.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为________，阴影部分的面积为________． 15 随堂练习 练习&巩固 1.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为（ ） A 25 B 14 C 7 D 7或25 D 16 练习&巩固 2.如图，有一张直角三角形纸片，其中∠ACB = 90°，AB = 5，AC = 3. 现将△ABC 折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 D 处， 折痕为 AE，则 CE 的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 C 17 练习&巩固 3.求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积. 解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得: 152+ x2 =172，x2=172-152=289–225=64， 所以 x=±8（负值舍去）， 所以另一直角边长为8 cm， 直角三角形的面积是: (cm2). 课堂总结 几何语言： ∵在Rt △ABC， ∠C=90°（前提） ∴a2+b2=c2 （c为斜边） a b c 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 19 $$