专题02 实数（考题猜想，易错必刷35题15种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

专题02实数（易错必刷35题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 平方根 · 算术平方根 · 立方根 · 无理数 · 二次根式有意义的条件 · 二次根式的性质与化简 · 二次根式的乘除法 · 分母有理化 · 实数与数轴 · 同类二次根式 · 实数大小比较 · 二次根式的混合运算 · 估算无理数的大小 · 二次根式的化简求值 · 实数的运算 · 一．平方根（共1小题） 1．若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a＝　 　，这个正数是　 　． 二．算术平方根（共3小题） 2．的平方根是（　　） A．9 B．9或﹣9 C．3 D．3或﹣3 3．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　） A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536 4．如图，用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形． （1）则大正方形的边长是　 　； （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2？ 三．立方根（共3小题） 5．若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 　 　． 6．求下列各式中的x． （1）4x2﹣16＝0 （2）27（x﹣3）3＝﹣64． 7．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2；b﹣15的立方根为﹣3． （1）求a、b的值； （2）求4a+b的平方根． 四．无理数（共1小题） 8．在，﹣3.14，0，，﹣32，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 五．实数与数轴（共3小题） 9．如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段AB上的是（　　） A．0 B． C． D．Π 10．观察图1，每个小正方形的边长均为1． （1）图中阴影部分（正方形）的面积是 　 　，边长是 　 　； （2）作图2：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）； （3） 在（2）题的数轴上表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且MN＝MP，直接写出点N表示的数． 11．如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图1中阴影部分是一个正方形ABCD，直接写出阴影部分的面积； （3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使点A与﹣1重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数； （4）在数轴上作出所对应的点． 六．实数大小比较（共1小题） 12．比较下列实数的大小（在空格填上＞、＜或＝）① 　 　；② 　 　． 七．估算无理数的大小（共6小题） 13．估计2×（2﹣）的值应在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 14．已知x是的整数部分，y是的小数部分，则（y﹣）x﹣1的算术平方根为 　 　． 15．（1）观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 填空：x＝　 　，y＝　 　． （2）根据你发现的规律填空： ①已知≈1.414，则≈　 　，≈　 　； ②＝0.274，记的整数部分为x，则＝　 　． 16．【阅读理解】 ∵，∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． ∴，∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【解决问题】已知：a是的整数部分，b是的小数部分． （1）求a、b的值． （2）（b+4）2﹣a3的平方根． 17．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用﹣1来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：∵，即2＜＜3， ∴的整数部分为2，小数部分为 ． 请解答：（1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　； （2） 已知x是8+的整数部分，y是8+的小数部分，求x﹣y的值 18．下面是小明同学探索的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是． ∵， ∴可设，其中0＜x＜1，可画出如图示意图， ∴， 又∵S正方形＝2， ∴x2+2×1•x+1＝2， ∵x2较小，我们可以略去x2， 得方程2x+1＝2， ∴解得x＝0.5，即． （1）的整数部分是 　 　； （2）仿照上述方法，探究的近似值（精确到0.1）．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 八．实数的运算（共4小题） 19．对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，[（﹣2）⊕3]⊗2＝2．那么（⊕2）⊗等于（　　） A． B．3 C．6 D． 20．计算：|﹣5|+（﹣2）2+﹣﹣1． 21． 计算：（﹣1）2﹣+﹣（﹣7）． 22．计算： （1） （2） （3） 九．二次根式有意义的条件（共3小题） 23．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3 24．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≠1 B．x＞﹣3且x≠1 C．x≥﹣3 D．x≥﹣3且x≠1 25．【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是 　 　． 【知识应用】 （2）若，求（a+b）2024的值． 【拓展应用】 （4） 若，求a﹣20232的值． 一十．二次根式的性质与化简（共5小题） 26．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．﹣2a﹣b B．2a﹣b C．﹣b D．b 27．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|﹣的结果是（　　） A．2a﹣b B．b C．﹣b D．﹣2a+b 28．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（　　） A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a 29．若2＜a＜3，则等于（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1 30．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得+＝m，＝，那么便有： ＝＝±（a＞b）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即+＝7，×＝ ∴＝＝＝2+． 由上述例题的方法化简：． 一十一．二次根式的乘除法（共1小题） 31．把（a﹣1）中的（a﹣1）因子移入根号内得（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 一十二．分母有理化（共1小题） 32．观察下列等式： ①； ②； ③；… 回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简：； （2）计算：． 一十三．同类二次根式（共1小题） 33．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 一十四．二次根式的混合运算（共1小题） 34．若a是的小数部分，则a（a+6）＝　 　． 一十五．二次根式的化简求值（共1小题） 35．【阅读材料】在二次根式的计算中，如：，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：， ． 【解决问题】 （1）化简的结果为 　 　； （2）已知，求a2b﹣ab2的值； （3）计算． $$专题02实数（易错必刷35题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 平方根 · 算术平方根 · 立方根 · 无理数 · 二次根式有意义的条件 · 二次根式的性质与化简 · 二次根式的乘除法 · 分母有理化 · 实数与数轴 · 同类二次根式 · 实数大小比较 · 二次根式的混合运算 · 估算无理数的大小 · 二次根式的化简求值 · 实数的运算 · 一．平方根（共1小题） 1．若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a＝　﹣1　，这个正数是　9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：依题意得，2a﹣1+（﹣a+2）＝0， 解得：a＝﹣1． 则这个数是（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9． 故答案为：﹣1，9 二．算术平方根（共3小题） 2．的平方根是（　　） A．9 B．9或﹣9 C．3 D．3或﹣3 【答案】D 【解答】解：∵＝9， ∴的平方根为±＝±3． 故选：D． 3．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　） A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536 【答案】A 【解答】解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则﹣＝﹣485.8； 故选：A． 4．如图，用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形． （1）则大正方形的边长是　20cm　； （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）大正方形的边长是＝＝20（cm）； 故答案为：20cm； （2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm， 则4x•3x＝360， 解得：x＝， 4x＝4＝＞20， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2． 三．立方根（共3小题） 5．若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项， ∴， 解方程得：． ∴m﹣3n＝2﹣3×（﹣2）＝8． 8的立方根是2． 故答案为：2． 6．求下列各式中的x． （1）4x2﹣16＝0 （2）27（x﹣3）3＝﹣64． 【答案】见试题解答内容 【解答】解（1）4x2＝16， x2＝4 x＝±2； （2）（x﹣3）3＝﹣， x﹣3＝﹣ x＝． 7．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2；b﹣15的立方根为﹣3． （1）求a、b的值； （2）求4a+b的平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2， ∴3a﹣14+a﹣2＝0， 解得a＝4， ∵b﹣15的立方根为﹣3， ∴b﹣15＝﹣27， 解得b＝﹣12 ∴a＝4、b＝﹣12； （2）a＝4、b＝﹣12代入4a+b 得4×4+（﹣12）＝4， ∴4a+b的平方根是±2． 四．无理数（共1小题） 8．在，﹣3.14，0，，﹣32，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：无理数为，共1个， 故选A． 五．实数与数轴（共3小题） 9．如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段AB上的是（　　） A．0 B． C． D．π 【答案】B 【解答】解：0是有理数，不符合题意． ﹣1≈0.414，是无理数且在线段AB上． ≈﹣2.0801，π≈3.14都是无理数但都不在线段AB上． 所以只有﹣1符合题意． 故选：B． 10．观察图1，每个小正方形的边长均为1． （1）图中阴影部分（正方形）的面积是 　17　，边长是 　　； （2）作图2：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）； （3）在（2）题的数轴上表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且MN＝MP，直接写出点N表示的数． 【答案】（1）17，； （2）见解析； （3）． 【解答】解：（1）图中阴影部分（正方形）的面积是， 边长是， 故答案为：17，； （2）如图，点P即为所求； （3）设点N表示的数为x， 由题意得：， 解得， 所以点N表示的数为． 11．如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图1中阴影部分是一个正方形ABCD，直接写出阴影部分的面积； （3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使点A与﹣1重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数； （4）在数轴上作出所对应的点． 【答案】（1）4；（2）8；（3）﹣1﹣2；（4）见解答． 【解答】解：（1）＝4， ∴这个魔方的棱长是4； （2）AB＝BC＝CD＝AD＝＝2，S阴影＝AB2＝（2）2＝8， ∴阴影部分的面积是8； （3）﹣1﹣AD＝﹣1﹣2， ∴点D在数轴上所表示的数为﹣1﹣2； （4）如图，设0对应的点为O．过点O作CB延长线的垂线，垂足为点E．以点O为圆心，以OE为半径画圆，交数轴于点F． ∵AB⊥CE，OE⊥CE， ∴∠ABC＝∠OEC＝90°， ∴AB∥OE，AB＝OE， ∴四边形ABEO是矩形， ∴OE＝AB＝2， ∴OF＝OE＝2， ∴点F为2对应的点． 六．实数大小比较（共1小题） 12．比较下列实数的大小（在空格填上＞、＜或＝）① 　＜　；② 　＞　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①∵＞， ∴﹣＜﹣， ②∵＞， ∴﹣＞﹣， 即＞， 故答案为：＜，＞． 七．估算无理数的大小（共6小题） 13．估计2×（2﹣）的值应在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【解答】解：2×（2﹣） ＝2×2﹣2× ＝4﹣2， ∵36＜48＜49， ∴6＜＜7， ∴6＜4＜7， ∴4＜4﹣2＜5， ∴估计2×（2﹣）的值应在4和5之间， 故选：B． 14．已知x是的整数部分，y是的小数部分，则（y﹣）x﹣1的算术平方根为 　3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可得：3＝＜， ∴x＝3，y＝﹣3， 则（y﹣）x﹣1＝32＝9，而9的算术平方根为3． 故答案为：3． 15．（1）观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 填空：x＝　0.1　，y＝　10　． （2）根据你发现的规律填空： ①已知≈1.414，则≈　14.14　，≈　0.1414　； ②＝0.274，记的整数部分为x，则＝　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）观察表格数据可知： x＝＝0.1；y＝＝10； 故答案为：0.1；10； （2）∵≈1.414， ∴≈14.14，≈0.1414 故答案为：14.14；0.1414； （3）∵＝0.274，记的整数部分为x， ∴x＝27， 则＝ 故答案为． 16．【阅读理解】 ∵，∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． ∴，∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【解决问题】已知：a是的整数部分，b是的小数部分． （1）求a、b的值． （2）（b+4）2﹣a3的平方根． 【答案】（1）a＝1，； （2）±4． 【解答】解：（1）∵，即， ∴， ∴的整数部分a＝1， 的小数部分； （2）∵a＝1， ∴， ∴（b+4）2﹣a3的平方根为． 17．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用﹣1来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：∵，即2＜＜3， ∴的整数部分为2，小数部分为 ． 请解答：（1）的整数部分是 　2　，小数部分是 　　； （2）已知x是8+的整数部分，y是8+的小数部分，求x﹣y的值 【答案】（1）2，； （2）． 【解答】解：（1）∵， 即， ∴的整数部分为2，小数部分为， 故答案为：2，； （2）∵， 即， ∴， ∴的整数部分为11，小数部分为， 即x＝11，y＝， ∴． 18．下面是小明同学探索的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是． ∵， ∴可设，其中0＜x＜1，可画出如图示意图， ∴， 又∵S正方形＝2， ∴x2+2×1•x+1＝2， ∵x2较小，我们可以略去x2， 得方程2x+1＝2， ∴解得x＝0.5，即． （1）的整数部分是 　8　； （2）仿照上述方法，探究的近似值（精确到0.1）．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】（1）8； （2）8.6． 【解答】解：（1）64＜74＜81， ∴8＜＜9， ∴的整数部分是8． 故答案为：8． （2）由（1）可知：的整数部分是8， 可设＝8+x，其中0＜x＜1，可画出如图示意图（正方形的边长为）： ∵正方形的边长为， ∴S正方形＝74， 又∵S正方形＝x2+2×8•x+64， ∴x2+2×8•x+64＝74， ∵x2较小，可以略去x2，得：16x+64＝74， 解得：x≈0.6， ∴＝8+x≈8.6． 八．实数的运算（共4小题） 19．对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，[（﹣2）⊕3]⊗2＝2．那么（⊕2）⊗等于（　　） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【解答】解：（⊕2）⊗ ＝⊗3 ＝， 故选：A． 20．计算：|﹣5|+（﹣2）2+﹣﹣1． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝5+4+（﹣3）﹣2﹣1＝9+（﹣6）＝3． 21．计算：（﹣1）2﹣+﹣（﹣7）． 【答案】9． 【解答】解：（﹣1）2﹣+﹣（﹣7）． ＝1﹣3+4+7 ＝9． 22．计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）﹣2.3；（3）． 【解答】解：（1） ＝ ＝； （2） ＝ ＝﹣2.3； （3） ＝ ＝． 九．二次根式有意义的条件（共3小题） 23．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3 【答案】C 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴3﹣x≥0， 解得：x≤3． 故选：C． 24．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≠1 B．x＞﹣3且x≠1 C．x≥﹣3 D．x≥﹣3且x≠1 【答案】D 【解答】解：若代数式在实数范围内有意义，则 x﹣1≠0，x+3≥0， ∴实数x的取值范围是x≥﹣3且x≠1， 故选：D． 25．【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是 　a≥0　． 【知识应用】 （2）若，求（a+b）2024的值． 【拓展应用】 （3）若，求a﹣20232的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为， 所以a≥0． 故答案为：a≥0． （2）由得， ， 解得， 所以（a+b）2024＝（﹣2+1）2024＝（﹣1）2024＝1． （3）因为， 所以a﹣2024≥0， 则a≥2024， 所以2023﹣a＜0， 则原方程可化为：a﹣2023+， 所以， 则a＝20232+2024， 所以a﹣20232＝2024． 一十．二次根式的性质与化简（共5小题） 26．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．﹣2a﹣b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【答案】A 【解答】解：∵a＜0＜b，且|a|＞|b|， ∴a＜0，a+b＜0， ∴|a|+ ＝|a|+|a+b| ＝﹣a﹣（a+b） ＝﹣2a﹣b． 故选：A． 27．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|﹣的结果是（　　） A．2a﹣b B．b C．﹣b D．﹣2a+b 【答案】B 【解答】解：根据数轴可知： a＜0，b＞0，且＞， ∴﹣， ＝﹣（a﹣b）﹣（﹣a）， ＝b， 故选：B． 28．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（　　） A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a 【答案】B 【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边， ∴a+c＞b，a+b＞c， 即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0； ∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c． 故选：B． 29．若2＜a＜3，则等于（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1 【答案】C 【解答】解：∵2＜a＜3， ∴ ＝a﹣2﹣（3﹣a） ＝a﹣2﹣3+a ＝2a﹣5． 故选：C． 30．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得+＝m，＝，那么便有： ＝＝±（a＞b）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即+＝7，×＝ ∴＝＝＝2+． 由上述例题的方法化简：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据，可得m＝13，n＝42， ∵6+7＝13，6×7＝42， ∴＝＝． 一十一．二次根式的乘除法（共1小题） 31．把（a﹣1）中的（a﹣1）因子移入根号内得（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【答案】D 【解答】解：根据题意可知a﹣1＜0， 所以（a﹣1）＝﹣＝﹣， 故选：D． 一十二．分母有理化（共1小题） 32．观察下列等式： ①； ②； ③；… 回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简：； （2）计算：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝＝2； （2）原式＝+…+＝﹣1． 一十三．同类二次根式（共1小题） 33．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．，与不是同类二次根式，不符合题意； B．与不是同类二次根式，不符合题意； C．，与是同类二次根式，符合题意； D．，与不是同类二次根式，不符合题意． 故选：C． 一十四．二次根式的混合运算（共1小题） 34．若a是的小数部分，则a（a+6）＝　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵9＜11＜16， ∴3＜＜4， ∴的整数部分是3， ∴小数部分是a＝﹣3， ∴a（a+6）＝（﹣3）（+3） ＝11﹣9＝2． 一十五．二次根式的化简求值（共1小题） 35．【阅读材料】在二次根式的计算中，如：，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：， ． 【解决问题】 （1）化简的结果为 　　； （2）已知，求a2b﹣ab2的值； （3）计算． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ∴； （3） ＝ ＝． $$