27.1.3 圆周角-【提分教练】2024-2025学年九年级数学全一册同步精导优化与设计方案（华东师大版）

第27章 27.1.3 圆周角 N0,1课前自生预习5桃理.精瓶格、落尖点满 4.如图，在⊙O中，弦AB∥CD, 若∠ABC=40°，则∠BOD= 1.顶点在圆上，且角的两边都与圆 的 角叫圆周角： A.20 B.40 2.一条弧所对的圆周角等于该弦所对的圆心 角的 C.50° D.80 5.如图所示，图中的圆周角共有 3.(在同圆或等圆中，)同弧或等弧所对的圆周 ,其 角 :相等的圆周角所对的弧相等： 中AB所对的圆周角是 ,CD所对的 4.半圆或直径所对的圆周角是 ；90° 圆周角是 的圆周角所对的弦是 5.证明圆周角相等或弧相等的常用方法： 6.利用“90°的圆周角所对的弦是直径”.可确 定一个圆的 7.已知直径时，常构造直径所对的圆周角，这 6.一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O 是圆中一种常见的 上，两边分别交⊙O于B,C两点，若弦 BC=1,则⊙O的直径为 NO2课堂现回训练练基赔，珠方法、能力提升 1.如图，点A,B,C在⊙O上，BO的延长线交 AC于点D,∠A=40°，∠C=25°，则∠ADB 的度数为 () 7.如图，已知△ABC,以AB为直径画⊙O,交 BC边于点E,点E为BC的中点，若∠CAB =50°，求∠C的度数. A.110 B.115 C.120 D.125° 2.如图所示的角中，是圆周角的为 C. D 3.如图，在⊙O中，∠BDC=25°， 则∠BOC= ( A.30 B.40° C.50 D.60 99 书南雪年g,。。里g。￥ 数学九年级全一册 8.如图，在△ABC中，AB=AC, 12.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的 以AB为直径的⊙O分别交 三个点，点P在劣弧AB上，∠APB= AC,BC于点D,E,连结ED. 120°，PC平分∠APB. 求证：ED=EC. 0 (1)求证：PA+PB=PC: (2)当点P位于什么位置时，△APB的面 积最大？求出最大面积 N03课后提升训练练扶巧、获考有、冲制祸分 9.如图，AB,CD是⊙O的两条直径，E是劣弧 BC的中点，连结BC,DE.若∠ABC=22°， 则∠CDE的度数为 () 13.如图，以AB为直径的⊙O 经过△ABC的顶点C,AE, A.22 B.32 BE分别平分∠BAC和 C.34° D.44 ∠ABC,AE的延长线交⊙O 10.如图，A,B,C,D四个点均在⊙O上， 于点D,连结BD ∠AOB=46°，弦BC的长等于半径，则 ∠ADC的度数等于 (1)判断△BDE的形状，并证明你的结论： (2)若AB=10,BE=2/10,求BC的长. 11.如图，CE为圆O的直径，点A,B,D均为 圆O上的点，连结AB,BC,BD,DE,AE, 已知AB=BC,∠BDE=75°，AE=2√6， : 则CE= 100 国。单8g1,。ga，。g数学九年级全一册 AB=CD, :∠AEC=90°..∠C=90°-25=65 ..AB=CD. ..AB+BD=CD+BD 即AD=BC ∴.∠A=∠C .PA=PC. ..PA-AB-PC-CD. 即：PB=PD. 8.证明：如图，连结AE.,AB是⊙O 12.解：(1)，若一个三角形的两边的平方和等于第三 的直径，∠AEB=90°.，AB= 边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角 AC,.BE=EC,∠BAE 形，，“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题 ∠CAE,∴BE-DE.∴BE=ED, (2):∠C=90°， :.ED=EC. ∴a2+b2=c2①. 课后提升训练 :Rt△ABC是奇异三角形，且b>a, 9.C10.53 a2+c2=2b②. 11.42 由①②得b=√2a,c=3a, 12,(1)证明：在PC上截取PD= ∴.a:bc=1:√2：3 AP,连结AD,如图(1). (3)证明：由题意知∠ACB=∠ADB=90°， :∠APB=120,PC平分 ∴.在Rt△ACB中.AC2十BC2=AB2, ∠APB,∴.∠APC=60°， 在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2. .△APD是等边三角形，AD :点D是半国ADB的中点 =AP=PD,∠ADP=60°， 图(T) ∴AD=BD,AD=BD, ∴.∠ADC=∠APB=120. ..AB2=AD2+BD2=2AD2. ∠APB=∠ADC, .AC2+CB2=2AD2. 在△APB和△ADC中. ∠ABP=∠ACD. AP-AD. 文'CB=CE,AE=AD ∴.AC+CE2=2AE2, ∴.△APB≌△ADC(A.A.S.)..BP=CD. △ACE是奇异三角形. 又PD=PA,.PA+PB=PC (2)如图(2)，取AB的中点P,易 27.1.3圆周角 知C,O,P三点共线，设PC交 课前自主预习 AB于点E 1.相交 :四边形APBC内接于⊙O, 2.一半 ∠APB=120°，PC平分∠APB, 3.相等 .∠ACB=60°，AC=BC,∴.AC 图(2) 4.直角直径 =BC,△ABC是等边三角形.：点P是AB的 5.由等角找等弧由等弧找等角 中点，.OP⊥AB,AE=BE.,⊙O的半径为1， 6.圆心 A0=1,易得B0=PE=是，AE= 7.辅助线 课堂巩固训练 AB=5am=号×号×=者点 1.D2.C3.C4.D P位于AB的中点时，△APB的面积最大，最大面 5.4∠C与∠D∠A与∠B 6.2 款为得 7.解：如图，连结AE,AB为直径，∴∠AEB=90°， 13.解：(1)△BDE为等腰直角三角形.理由如下： 即AE⊥BC.:点E是BC的中点，.BE=CE ,AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,∠BAE= ∴AB=AC.∴∠CAE=∠CAB=号×50=25 ∠CAD=∠DBC,∠ABE=∠CBE.∠BED= 148 参考答案 ∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠DBC+∠CBE, 7.解：如图，连结AB,作出AB的垂直平分线交直线1 ∠BED=∠DBE,BD=ED.AB为直径， 于O点，以O为圆心，OA的长为半径作圈，则⊙O ∴∠ADB=90°，∴△BDE是等腰直角三角形. 即为所求作的圆】 (2)如图，连结OC,CD,OD,OD交BC于点F, ∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD,∴.BD= DC.:OB=OC,∴.OD垂直平分BC,:△BDE 是等腰直角三角形，BE=2√10，∴.BD=2/5. AB=10,,.OB=)D=5.设OF=t,则DF= 5-k.在Rt△BOF和Rt△BDF中，BF2=5-t2 =(25)2-(5-),解得1=3.∴.BF=√52-32= 8.解：如图，过，点O作(OD⊥BC于D,则BC=2BD, 4,.BC=8. ,△ABC内接于⊙O,∠BAC与∠BOC互补， .∠BOC=2∠A,∠BOC+∠A=180°，∴.∠BOC =120,0B=0C,·∠0BC=∠0CB=2(180 -∠BOC)=30°.，⊙O的半径为4，.BD=OB· cos∠OBC=4×5=25,.BC=45. 2 27.2与圆有关的位置关系 27.2.1,点与圆的位置关系 课前自主预习 1.无数无数只有一 课后提升训练 2.外接圆垂直平分线外心三个顶点 9.C 3.三角形内部斜边的中点三角形外部 10.解：(1)在矩形ABCD中，AB=CD=3,AD=4, 课堂巩固训练 1.A2.C3.A AC=√3+E=5,DELAC,2AC·DE= 4.(1)①平面直角坐标系如图所示. ②@圆心D如图所示. DC·AD,DE=3X4_12 55 (2)DELAC..AE-/AD-DE.AB <AE<AD<AC,∴.若以点A为國心作圆，B、C、 D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个 点在圆外，即点B在國内，点C在國外，∴⊙A的 2.4.x 半径r的取值范国为3<r<5. 11,(2.1) (2)⊙D的半径=AD=√22十42=2√5，由题意知 12.解：如图，过点A作AC⊥ON于点C, 圆心D的坐标为(2,0)，则点(6，一2)到圆心D的 :∠Q0N=30°，0A=240米，AC=120米. 距离=√2+22=25=半径长，∴.点(6，一2)在 由题意知，会受到噪声影响的区域是以火车为国 ⊙D上.过点C作CE⊥x轴，交点为E,:D(2,0), 心，200米为半径的圆形区城， C(6,2),A(0,4),.CE=2,DE=4,OA=4,∴.OD 120<200,A处会受到噪声影响， =CE,OA=DE,在△AOD和△DEC中，，OA= 设火车到达B点时，A处开始受到噪声影响，火车 DE,∠AOD=∠DEC,OD=CE,.△AOD≌ 到达D,点时，A处开始不再受噪声影响，此时AB △DEC,∴.∠OAD=∠EDC,:∠OAD+∠ADO =AD=200米. =90°，∴.∠EDC+∠ADO=90°..∠ADC=90. .AB=AD=200米.AC=120米. 5不能6智 ,,由勾股定理得BC=160米，CD=160米，，.BD =320米. 149 x￥。。，，，￥