专题3-2 函数的单调性与最值【12类题型汇总】- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学人教A版2019必修第一册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破 专题3-2 函数的单调性与最值 总览 题型解读 【题型1】单调性的概念与判断 1 【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间 3 【题型3】定义法讨论函数的单调性 4 【题型4】利用单调性比较大小 6 【题型5】求函数的最值或值域 8 【题型6】利用单调性解不等式 9 【题型7】在某区间上单调求参数范围 10 【题型8】分段函数单调性问题 11 【题型9】根据函数的最值或值域求参数 12 【题型10】分段函数值域问题 13 【题型11】复合函数单调性 14 【题型12】不等式恒成立问题 15 【课后作业】 16 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】单调性的概念与判断 一、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势 下降趋势 二、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 三、单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 1． 已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2． （多选）当时，函数值随的增大而增大，称函数为增函数.下列函数中，当时是增函数的有（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习2】下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知函数在上是增函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．为实数）在上是增函数 【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间 单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3． 函数的单调递减区间是 . 4． 已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 5． 函数的单调递增区间为 【巩固练习1】函数，的单调递减区间为 ． 【巩固练习2】函数的单调递增区间为 . 【巩固练习3】已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【题型3】定义法讨论函数的单调性 证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 6． 已知函数（，），用单调性的定义证明在上是增函数. 7． 已知函数,若在是增函数，求实数的范围. 【巩固练习1】已知函数，且． (1)求函数的解析式；(2)用定义证明函数在上是增函数. 【巩固练习2】已知函数，图象经过点，且. (1)求的值；(2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性. 【巩固练习3】已知 . (1)若，试证明在内单调递增； (2)若且在内单调递减，求a的取值范围. 【题型4】利用单调性比较大小 单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 8． 已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9． 函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数. (1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增； (2)若，试比较，的大小. 【题型5】求函数的最值或值域 利用函数的单调性求最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值. 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值。 10． 已知函数，则函数的最大值为（    ） A．15 B．10 C．0 D． 11． 当时，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】函数 的值域是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（    ） A． B．－ C．－2 D．2 【巩固练习3】函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【题型6】利用单调性解不等式 基本方法：先把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制 （1）若为增函数，则 （2）若为减函数，则 【简记】增函数脱“f”不变号，减函数脱“f”要变号，主要定义域限制 12． （2024·高一·青海西宁·期末）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 . 13． 已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是________ 14． （多选）已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（    ） A． B．任意给定， C． D．若，则 【巩固练习1】已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【巩固练习2】（多选）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 【巩固练习4】已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【题型7】在某区间上单调求参数范围 已知函数的单调性求参数范围的题，是高中数学的重点及难点，这种题型主要有以下几个主要类型及对应方法： （1）直接法 （2）数形结合 （3）结合单调性定义的等价形式 （4）分段函数单调性问题注意比较端点位置 （5）注意定义域的限制 15． 如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16． 已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 17． （2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18． 已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】若函数的单调递增区间是 ，则实数的值为 . 【巩固练习2】函数在区间上单调递减，则的取值范围为 . 【巩固练习3】（2024·高一·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【题型8】分段函数单调性问题 分段函数单调性问题的解题方法主要归纳为以下步骤： 1、明确分段点：首先确定分段函数的分段点。 2、分别判断：在每个分段内，利用导数或单调性定义判断函数的单调性。 3、比较分段点：检查分段点处的函数值或左右极限，确定分段连接处是否影响整体单调性。 4、综合结论：综合各分段内的单调性，得出整个分段函数的单调性结论 19． 已知函数是上的减函数，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 20． 已知函数满足对任意，都有成立，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知函数是增函数，则实数的取值范围为 . 【巩固练习2】若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型9】根据函数的最值或值域求参数 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。 21． 若函数的定义域是，值域是，则 ． 【巩固练习1】已知函数的最小值为8.则实数的值是（    ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【巩固练习2】已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型10】分段函数值域问题 处理分段函数问题，重点是画图分析 22． （23-24高一上·山东聊城·期中）设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23． 已知函数有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 【巩固练习2】已知，函数有最大值，则实数的取值范围是 ． 【题型11】复合函数单调性 复合函数的单调性 ：“同增异减” 判断复合函数的单调性的步骤，  第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。  第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x)。 第三步：分别确定这两个函数的单调性。 第四步：用"同增异减"判断函数 的单调性  “同增异减”的意思如下图： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 24． 函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 25． 函数的单调递增区间是 ． 26． 已知，若，则（    ） A．在区间内是减函数 B．在区间内是减函数 C．在区间内是增函数 D．在区间内是增函数 【巩固练习1】函数的单调增区间是 ． 【巩固练习2】已知，若，则（    ） A．在区间内递减 B．在区间内递减 C．在区间内递增 D．在区间内递增 【巩固练习3】（多选）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（     ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递减 【题型12】不等式恒成立问题 高一不等式恒成立问题的解题策略主要包括：先确定参数范围，将不等式转化为关于参数的函数；然后分析函数性质，利用单调性、最值等求解参数；最后验证解的正确性。 27． 对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 28． 函数，，若，，使得，求实数a的取值范围. 【巩固练习1】已如函数，若对任意都有成立， 求的取值范围. 【巩固练习2】已知，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是 ． 【课后作业】 模块三 【课后作业】 1． 已知函数的单调递增区间为 . 2． 已知关于对称，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 3． 函数在上是增函数，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 4． 已知二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3 C．a≤-3或a≥2 D．-3≤a≤-2 5． 函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 6． 已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7． 已知函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 8． 若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9． 已知函数 （1）若，函数的值域为 （2）若是上的减函数，则的范围是 10． 已知：函数，若函数的值域是，则的一个取值为 ；的最小值是 . 11． 证明：函数，是增函数． 12． 已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求在区间上的最大值和最小值. 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破 专题3-2 函数的单调性与最值 总览 题型解读 【题型1】单调性的概念与判断 1 【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间 4 【题型3】定义法讨论函数的单调性 7 【题型4】利用单调性比较大小 9 【题型5】求函数的最值或值域 12 【题型6】利用单调性解不等式 14 【题型7】在某区间上单调求参数范围 16 【题型8】分段函数单调性问题 19 【题型9】根据函数的最值或值域求参数 21 【题型10】分段函数值域问题 22 【题型11】复合函数单调性 24 【题型12】不等式恒成立问题 27 【课后作业】 30 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】单调性的概念与判断 一、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势 下降趋势 二、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 三、单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 1． 已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是上的增函数，函数是上的减函数， 所以函数是上的增函数， 函数是上的减函数， 函数，的单调性无法判断. 2． （多选）当时，函数值随的增大而增大，称函数为增函数.下列函数中，当时是增函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，一次函数，，函数值随的增大而减小，故A错误； ，一次函数，，函数值随的增大而增大，故B正确； ，反比例函数，，在二四象限内，函数值随的增大而增大， 将函数图像向左平移1个单位长度可得， 则当，的函数值随的增大而增大，故C正确； ，反比例函数，，在一三象限内，函数值随的增大而减小，故D错误； 故选：BC 【巩固练习1】已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增，且， 由增函数的定义可知，当时，有， 充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾， 若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立. 即对实数，“”是“”的充要条件. 【巩固练习2】下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数的图像可知，其单调递增区间是，，所以A对． 因为抛物线的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以该抛物线在上不单调，所以B错； 因为直线的斜率为-1，所以在上为减函数，所以C错； 根据函数的图像可知其在上为减函数，所以D错；故选：A． 【巩固练习3】已知函数在上是增函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．为实数）在上是增函数 【答案】A 【分析】在上是减函数，故选项正确；举例说明选项错误，即得解. 【详解】选项，函数在上是增函数，在上是减函数，故选项正确； 选项，函数在上是增函数，但在上不一定是减函数， 如在上是增函数，但在上不是减函数，故排除选项． 选项，函数在上是增函数，但在上不一定是减函数， 如在上是增函数，但在上不是减函数，故排除选项． 选项，函数在上是增函数，但为实数）在上不一定是增函数， 例如在上是增函数，但在上不是增函数，故排除选项. 故选：A 【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间 单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3． 函数的单调递减区间是 . 【答案】 【解析】二次函数开口向上，对称轴为， 所以函数的单调递减区间为. 4． 已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【解析】由图象知：该函数的单调增区间为和.故选：B 5． 函数的单调递增区间为 【答案】和 【详解】， 所以的单调递增区间为和 故答案为：和 【巩固练习1】函数，的单调递减区间为 ． 【答案】 【解析】由二次函数的性质可知的对称轴为，开口向上， 所以其单调区间为. 【巩固练习2】函数的单调递增区间为 . 【答案】 【解析】， 由，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 【巩固练习3】已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【解析】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和.故选：C. 【题型3】定义法讨论函数的单调性 证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 6． 已知函数（，），用单调性的定义证明在上是增函数. 【答案】证明见解析 【解析】当时，， 任取，且， 则. 因为，所以，，， 所以，即. 所以在上是增函数. 7． 已知函数,若在是增函数，求实数的范围. 【答案】. 【详解】设， ， 要使函数在上为增函数，必须恒成立． ，即恒成立． 又，．的取值范围是． 【巩固练习1】已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 【解析】（1），； （2）设， ， ，即 则函数在上是增函数 【巩固练习2】已知函数，图象经过点，且. (1)求的值； (2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性. 【答案】(1) (2)在区间上单调递增，理由见解析 【分析】（1）待定系数法得到方程组，求出答案； （2）定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论. 【详解】（1）由题意得，解得， （2）在区间上单调递增，理由如下： 任取，且， 故 ， 因为，所以， 又，所以， 故， 故，在区间上单调递增. 【巩固练习3】已知 . (1)若，试证明在内单调递增； (2)若且在内单调递减，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据定义法证明函数单调性的基本步骤，逐步进行证明即可； （2）作差通分，根据已知可将问题转化为恒成立问题，分析即可得a取值范围. 【详解】（1）证明：设， 则. ∵，∴，， ∴，即， ∴在内单调递增. （2）设，则 . ∵，， ∴， ∴要使，只需恒成立， 若，则当时，， 当时，， ∴. 综上所述，a的取值范围为. 【题型4】利用单调性比较大小 单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 8． 已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，，结合在上单调递减， 则必有，显然B正确，A错误， 而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误. 9． 函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是定义在上的减函数， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误 【巩固练习1】函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数为定义在上的单调增函数， 当时，，故错误； 当时，，故错误； 当时，，故正确； 当时，，故错误 【巩固练习2】已知函数. (1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增； (2)若，试比较，的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由题目条件得：， 任取， 则. 因为， 所以，， 则，即. 故在上单调递增. （2）解：因为， 所以. 又因为，当且仅当时，等号成立，而. 所以. 因为在上单调递增， 所以. 【题型5】求函数的最值或值域 利用函数的单调性求最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值. 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值。 10． 已知函数，则函数的最大值为（    ） A．15 B．10 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答. 【详解】函数在上单调递增，则， 所以函数的最大值为15. 11． 当时，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可. 【详解】令，因为，所以， 当时，函数单调递减，故， 当时，即，所以， 所以函数的值域为：. 【巩固练习1】函数 的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的值域为.故选：D 【巩固练习2】函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（    ） A． B．－ C．－2 D．2 【解题思路】由题可知f(x)在上是减函数，从而可求出其最大值 【解答过程】解：因为函数和在上均为减函数， 所以f(x)在上是减函数， ∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝. 【巩固练习3】函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减， 当时，；当时，； 所以函数的值域为.故选：D. 【题型6】利用单调性解不等式 基本方法：先把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制 （1）若为增函数，则 （2）若为减函数，则 【简记】增函数脱“f”不变号，减函数脱“f”要变号，主要定义域限制 12． （2024·高一·青海西宁·期末）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数在上是减函数，因为，可得，解得，所以实数的取值范围是. 13． 已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是________ 【答案】 【分析】由已知有，即可求取值范围. 【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足， 所以，解得. 14． （多选）已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（    ） A． B．任意给定， C． D．若，则 【答案】ABD 【详解】任意给定，都有，则函数关于对称， 又任意，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取最大值，B正确； ，C错误； ，所以，A正确； 若，则，解得，D正确， 故选：ABD. 【巩固练习1】已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因是定义在R上的增函数，故由可得 ，即，解得. 【巩固练习2】（多选）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据不等式的性质，整理不等式，利用减函数的性质，可得答案. 【详解】由，则， 因为函数在上是减函数，所以， 则，. 【巩固练习3】已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据单调性的概念和函数的定义域得到满足的条件，从而得到结果. 【详解】由题意可得，，解得. 所以的取值范围是. 【巩固练习4】已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】因为对任意给定的实数，均有恒成立， 所以函数在上单调递减，又， 又不等式， 所以当，即时 ，， 则，解得，故； 当，即时 ，， 则，解得，故； 综上，不等式的解集为. 【题型7】在某区间上单调求参数范围 已知函数的单调性求参数范围的题，是高中数学的重点及难点，这种题型主要有以下几个主要类型及对应方法： （1）直接法 （2）数形结合 （3）结合单调性定义的等价形式 （4）分段函数单调性问题注意比较端点位置 （5）注意定义域的限制 15． 如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想函数在区间上单调递增，则需，解得， 故实数的取值范围是 16． 已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】依题意，函数的对称轴为， 又在区间上是单调函数，故或，解得或. 故答案为： 17． （2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【解答过程】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 18． 已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义可得在上恒成立，利用参变分离结合恒成立问题可得，再根据复合函数单调性结合二次函数性质可得. 【详解】由题意可知：在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为在上单调递减，则在上单调递减， 且，可得， 又因为在定义域内单调递增，且函数在上单调递减， 可得在上单调递减，则，可得， 综上所述：a的取值范围是. 【巩固练习1】若函数的单调递增区间是 ，则实数的值为 . 【答案】－4 【解析】由已知，对称轴为直线， 又单调递增区间是，所以，． 【巩固练习2】函数在区间上单调递减，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据复合函数单调性同增异减求得的取值范围. 【详解】依题意，在区间上单调递减， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 【巩固练习3】（2024·高一·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数在区间上为单调递增函数， 当时，在上为单调递增函数，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【题型8】分段函数单调性问题 分段函数单调性问题的解题方法主要归纳为以下步骤： 1、明确分段点：首先确定分段函数的分段点。 2、分别判断：在每个分段内，利用导数或单调性定义判断函数的单调性。 3、比较分段点：检查分段点处的函数值或左右极限，确定分段连接处是否影响整体单调性。 4、综合结论：综合各分段内的单调性，得出整个分段函数的单调性结论 19． 已知函数是上的减函数，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段函数是上的减函数，不仅需要每一段是单调递减的，还需要左边一段的最低不高于右边一段的最高，据此列不等式求解即可. 【详解】函数是上的减函数, 则，解得 20． 已知函数满足对任意，都有成立，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题得函数在定义域上单调递增，列出不等式组得解. 【详解】因为对任意都有， 所以函数在定义域上单调递增， 所以， 解得， 所以a的范围是 【巩固练习1】已知函数是增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为为增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 【巩固练习2】若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使在上单调递增， 故在上递增，在上递增，且， 所以. 【题型9】根据函数的最值或值域求参数 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。 21． 若函数的定义域是，值域是，则 ． 【答案】或 【解析】由题设，则在定义域上单调， 所以或，可得或， 所以或. 故答案为：或 【巩固练习1】已知函数的最小值为8.则实数的值是（    ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得.故选：C. 【巩固练习2】已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出函数的图象，如下图所示： 易知，； 若时的值域是，由图可知.故选：C 【题型10】分段函数值域问题 处理分段函数问题，重点是画图分析 22． （23-24高一上·山东聊城·期中）设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】，当时，， 当且仅当即时，等号成立； 当时，，要使是的最小值， 只需在上递减，且， 即，解得. 23． 已知函数有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数以及反比例函数的性质即可求解. 【详解】当时，函数， 若函数当时，， 当时，，此时函数的最大值为4，符合要求， 当时，在上单调递减，故， 若有最大值，则，则， 综上可知 【巩固练习1】设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 【答案】A 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 【巩固练习2】已知，函数有最大值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】注意到反比例函数的定义域不包括0，因此对分类讨论即可. 【详解】当时，无最大值， 要使函数存在最大值，则且， 即， 解得. 【题型11】复合函数单调性 复合函数的单调性 ：“同增异减” 判断复合函数的单调性的步骤，  第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。  第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x)。 第三步：分别确定这两个函数的单调性。 第四步：用"同增异减"判断函数 的单调性  “同增异减”的意思如下图： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 24． 函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】令，根据二次函数的性质求出的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的单调增区间. 【详解】设，则有且， ，则， 所以函数的定义域为：且， 由二次函数的性质可知的单调递增区间为：；单调递减区间为：和； 又因为在区间和上单调递减， 由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：和. 25． 函数的单调递增区间是 ． 【答案】（区间开闭都行） 【分析】先求函数的定义域，再结合复合函数单调性分析判断. 【详解】令，解得，即函数的定义域为， 令，其图象开口向下，对称轴为， 则在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内单调递增， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 26． 已知，若，则（    ） A．在区间内是减函数 B．在区间内是减函数 C．在区间内是增函数 D．在区间内是增函数 【答案】A 【分析】直接利用复合函数单调性得到答案. 【详解】在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性： 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减 【巩固练习1】函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间. 【详解】由题意可知，解得，即函数定义域为， 易知函数由复合而成， 且在单调递减，在单调递增，在上单调递减； 利用复合函数单调性可得的单调增区间是 【巩固练习2】已知，若，则（    ） A．在区间内递减 B．在区间内递减 C．在区间内递增 D．在区间内递增 【答案】A 【分析】通过令，则，根据条件，利用判断复合函数单调性的方法“同增异减”，求出的单调区间，再结合各个选项，即可得出结果. 【详解】令，则，因为，故， 易知，在上单调递减， 在上单调递增， 又易知，在上单调递增，在上单调递减， 由，得到或，由，得到， 因为在区间上单调递增，此时，且在区间上单调递减， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递减， 因为在区间上单调递减，此时，且在区间上单调递减， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递增， 又因为在区间上单调递增，此时，且在区间上单调递增， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递增， 因为在区间上单调递减，此时，且在区间上单调递增， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递减 【巩固练习3】（多选）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（     ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递减 【答案】AB 【分析】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确； 因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断， 所以在上的单调性无法判断，故C错误； 因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误. 【题型12】不等式恒成立问题 高一不等式恒成立问题的解题策略主要包括：先确定参数范围，将不等式转化为关于参数的函数；然后分析函数性质，利用单调性、最值等求解参数；最后验证解的正确性。 27． 对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】法一：由题意，恒成立， 等价于， 当时，即，，则恒成立， ，，解得：， 当时，即时，不等式不成立， 当时，即，，则， ，，解得：， 综上所述：的取值范围是或； 法二：由，即， 令函数， ，即，对于中的任意恒成立， 则有且，即，解得或， 所以的取值范围是或. 故选：D． 28． 函数，，若，，使得，求实数a的取值范围. 【答案】 【详解】因为，对称轴为， 当时，，函数的值域为， 一次函数是实数集上的增函数， 当时，函数的值域为， 若，，使得， 所以，即， 所以a的取值范围是. 【巩固练习1】已如函数，若对任意都有成立， 求的取值范围. 【答案】 【详解】函数开口向上， 故对任意都有成立， 只需满足， 解得. 【巩固练习2】已知，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知可推得在上的值域为在上的值域的子集.根据分段函数各段的单调性，得出.进而分，，三种情况，得出的范围，列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】由任给，存在．使得， 可知，在上的值域为在上的值域的子集. 根据二次函数的性质可知，当时，单调递减， 且，， 所以，； 当时，. ，且， 则. 因为，且， 所以，，， 所以，，， 所以，在上单调递增. 又， 所以，. 综上所述，当时，. 当时，单调递增，所以. 所以有，解得； 当时，不满足； 当时，单调递减，所以. 所以有，解得. 综上所述，或. 故答案为：. 【课后作业】 模块三 【课后作业】 1． 已知函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案. 【详解】令，解得，故函数定义域为， 其中， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中在上单调递增， 由复合函数单调性可知，的单调递增区间为. 2． 已知关于对称，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以.故选：A. 3． 函数在上是增函数，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可由对称轴求解. 【详解】由于为开口向下的二次函数，对称轴为， 所以 4． 已知二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3 C．a≤-3或a≥2 D．-3≤a≤-2 【答案】A 【分析】先确定二次函数f（x）=x2-2ax+1的单调区间，然后根据题目中提供的单调区间，分析参数的取值范围 【详解】根据题意：二次函数f（x）=x2-2ax+1，单调递增区间：;单调减区间   因此：（1）二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调增函数，则a≤2 （2）二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调减函数，则a≥3 故选：A 5． 函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 【答案】 【分析】先确定的定义域，然后利用的单调性和的单调性即可确定的单调性. 【详解】函数的定义域为，故函数的定义域为，即的定义域为. 由于在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故单调递增区间是. 6． 已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于函数是定义在R上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数， 函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是.故选：B. 7． 已知函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用函数单调性可得答案. 【详解】因为函数在定义域上是减函数， 需满足，解得， 即的取值范围为. 8． 若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对任意，都有成立可判断是上的减函数，通过各段上的单调性分析及区间端点函数值的比较，列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可知： 对任意的实数，都有成立， 是上的减函数， ，解得 9． 已知函数 （1）若，函数的值域为 （2）若是上的减函数，则的范围是 【答案】 【分析】（1）利用一次函数与反比例函数的单调性即可求得的值域； （2）分段讨论的单调性，且在间断点处有，由此可得的范围. 【详解】（1）因为， 当时，，显然在上单调递减，故； 当时，，显然在上单调递减，且，故； 综上：，即的值域为； （2）因为是上的减函数， 所以当时，在上为减函数，故，且， 当时，，显然在上单调递减，且， 所以，解得， 故，即的范围为. 10． 已知：函数，若函数的值域是，则的一个取值为 ；的最小值是 . 【答案】 0（答案不唯一，） 【分析】函数的值域为，根据分类讨论的值域得到答案. 【详解】函数在上单调递增，值域为， 若，函数的值域为， 要使函数的值域为R，则，解得，于是； 若，函数的值域为， 要使函数的值域为R，则，解得，于是． 所以实数a的取值范围是，的一个取值可以为0，最小值为. 故答案为：0（答案不唯一，）； 11． 证明：函数，是增函数． 【答案】证明见解析 【详解】任取， 则 ． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴函数在上是严格增函数． 12． 已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）因为， 因为在单调递减， 所以在单调递增. 定义法证明如下： 任取，，则， ， 所以，故在单调递增. （2）由（1）得在区间上单调递增， 所以，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$