期中考前满分冲刺之优质压轴题-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、不含某项、与某项无关 1．若多项式不含的项，则k的值是（    ） A．0 B． C．6 D．3 2．已知：，，若代数式的的值与a无关，则此时b的值为（    ） A． B．0 C． D． 3．已知，，若关于x的多项式不含一次项，则(   ) A． B． C．2 D．3 4．关于的多项式不含二次项，则的值为 5．若关于x，y的多项式中不含三次项，则 ． 6．要使多项式化简后不含的二次项，则 ． 类型二、程序流程图 1．根据图中的程序，当输入，输出的结果，将计算结果再次输入，记为第二次输入，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C．2 D．无法确定 2．有一数值转换机如图所示，输入x的值是3，第一次输出的结果是10，第二次输出的结果是5，…，则第2024次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 3．如图是一个数据转换器的示意图，当我们输入时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示的一个简单的运算程序，若输入的值为，则输出的数值为 ． 5．若输入整数，按照下面的程序，计算将无限进行下去且不会输出，则所有可能取到的值为 ． 6．按如图所示的运算程序，输入的值为时，则输出值为 ． 类型三、杨辉三角 1．《九章算术》里记载过这样一个三角形数阵——杨辉三角，它是我国古代数学的杰出研究成果之一．它的每行最开始和结尾的数字都是1，中间的每个数都等于它上方的两个数的和．则杨辉三角的第9排左起第5个数是（　　） A．28 B．35 C．56 D．70 2．我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式各项系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．64 B．128 C．256 D．512 3．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． （a＋b）0＝1 （a＋b）1＝a＋b （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 … 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（    ） A．2048 B．1024 C．512 D．256 4．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：，，，，…，记，，，，，那么的值是 ． 5．杨辉三角又称贸宪三角，是二项式系数在三角形中的一种儿何排列，如图，观察下面的杨辉三角． 　　　　　　1 　　　　　　1   1 　　　　　1   2   1 　　　　1 　 3   3   1 　　　1   4   6 　 4   1 　　1 　5 　 10   10   5   1 按照前面的规律，则 ． 6．如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则 ． 类型四、阴影部分的周长与面积 1．将四张边长各不相同的正方形纸片按如图方式放入矩形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设右上角与左下角阴影部分的周长的差为l．若知道l的值，则不需测量就能知道周长的正方形的标号为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，在一个大长方形中放入四个边长不等的正方形①、②、③、④，若要求出图中两块阴影部分的周长之差，则只需知道下列哪个正方形的边长（    ） A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．正方形④ 3．把7个长和宽分别为a，b的小长方形纸片（如图1），按如图2所示的方式放置在长方形中，则长方形中阴影部分的面积为 （用含有a，b的代数式表示．要求：表示出来即可，不需化简） 4．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积 ． 5．如图所示，边长为的两个正方形拼在一起，试写出图中阴影三角形的面积，并求出 ，时阴影部分的面积．    6．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为6． (1)求阴影部分的面积S（用含a的代数式表示） (2)当时，求S的值． 类型五、数列中的错位相减 1．求的值，可令①，①式两边都乘以3，则②，②-①得，则仿照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 2．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，，，，……，请你推算的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 3． ． 4．观察下列等式：，，，，，，，根据这个规律，则的末尾数字是 ． 5．阅读材料： 求值：． 解：设， 将等式两边同时乘，得 ， ，得 所以． 请你仿照此法计算： (1)； (2)． 6．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 类型六、绝对值1与-1的化简 1．已知，结果不可能的是（    ） A．2 B． C．1 D．0 2．若，且，则（） A．1或 B．或 C．或 D．无法判断 3．分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ （1）当时，若，则 0； （2）当时，若，则c 0； （3）已知a，b，c是非零有理数，则 ． 4．已知，则值为 ． 5．我们知道：在研究和解决数学问题时．当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解答问题． 例如，我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，；现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)填空：_________（）；_________（） (2)若，求的值． 6．阅读下列材料：，即当时，． 用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 类型七、代数式中的规律 1．如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为2，第2幅图中★的个数为6，第3幅图中★的个数为12，第4幅图中★的个数为20……以此类推，第n幅图中★的个数为x，第m幅图中★的个数为110，则x（用含n的代数式表示）和m的值分别为（　　） A．，11 B．，10 C．，11 D．，10 2．下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有个●，第②个图中共有个●，第③个图中共有个●，第④个图中共有个●，…，照此规律排列下去，则第⑦个图形中●的个数为（    ） A． B． C． D． 3．小明与弟弟玩用棋子探图案的游戏，小明摆出的图案具有一定的规律，第1个图案用5枚棋子．第2个图案用9枚棋子，第3个图案用13枚棋子，第4个图案用17枚棋子…，依此规律，第个图案用 枚棋子（用含的代数式表示）．    4．在学习了“探索与表达规律”后，为激发学生学习数学的兴趣，王老师让同学们做摆图游戏如图，小刚用围棋子按如图所示的规律摆图形，摆第个图形需要枚棋子，摆第个图形需要枚棋子，摆第个图形需要枚棋子，…，则摆第个图形需要 枚棋子．（用含的代数式表示） 5．将菱形如图进行如下划分，第次划分：分别连接菱形对边的中点如图，得线段和，它们交于点，此时图中共有个菱形；第次划分：将图左上角菱形按相同方式再划分如图，则图中共有个菱形．      (1)若把左上角的菱形按上述方式依次划分下去，则第次划分后图中共有 个菱形． (2)能否将菱形划分成有个菱形的图形？如果能，请算出是第几次划分后得到的，如果不能，请说明理由． (3)设原菱形的面积为1，通过不断地划分该菱形，并把数量关系和几何图形进行巧妙地结合，可以得到 ．(直接写出答案即可) 6．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； 请猜想　　； (2)试用含有n的式子表示这一规律： 　 　；（n为正整数） (3)请用上述规律计算：①；②． 类型八、方案与收费问题 1．2022年北京冬奥会在国家体育场鸟巢举行开幕式吉祥物“冰墩墩”成为2022开年“顶流”某商家销售的一款“冰墩墩”毛绒玩具，每个定价200元，钥匙扣每个定价50元，并推出两种优惠方案：方案一：购买2个毛绒玩具，赠送1个钥匙扣；方案二：购买毛绒玩具和钥匙扣一律按9折优惠，某公司要购买毛绒玩具和钥匙扣作为员工礼物，想要购买毛绒玩具20个，钥匙扣x个（不少于10个）． (1)若该公司采购员按方案一购买，需付款 元（用含x的式子表示）；若该公司采购员按方案二购买，需付款 元（用含x的式子表示）； (2)当购买钥匙扣25个时，通过计算说明按照哪种方案购买较合算？ (3)当购买钥匙扣25个时请给出一种更省钱的购买方案，并计算需要的钱数． 2．某商场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价700元，电磁炉每台定价200元．“双11”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉20台，电磁炉x台． (1)若该客户按方案一购买，需付款____________元（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款____________元（用含x的代数式表示）． (2)若，通过计算说明，此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算出购买总金额． 3．按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，某学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价元，跳绳每条定价元．某体育用品商店提供、两种优惠方案： 方案：买一个篮球送一条跳绳； 方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球个，跳绳条（）． (1)若按方案购买，一共需付款 元；（用含的代数式表示），若按方案购买，一共需付款 元（用含的代数式表示）． (2)当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 4．某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费7元，超过3千米的部分按每千米2元收费． (1)若某人乘坐了千米，则他应支付车费______元（用含有x的代数式表示）； (2)一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）． 第1批 第2批 第3批 第4批 ①送完第4批客人后，王师傅在公司的______边（填“东”或“西”），距离公司______千米的位置； ②若王师傅的车平均每千米耗油升，则送完第4批客人后，王师傅用了多少升油？ ③在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？ 5．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表（表示立方米）： 例：若某户居民1月份用水，应收水费：（元） 请根据如表的内容解答下列问题： 价目表 每月用水量 单价 不超出6m3的部分 2元/ 超出6m3不超出10m3的部分 4元/ 超出10m3的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若该户居民2月份用水，则应收水费____________元； (2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含a的代数式表示） (3)若该户居民4、5两个月共用水，设4月份用水（其中），求该户居民4、5两个月共交水费多少元？（用含x的代数式表示） 6．福建省厦门市居民生活用电实行分档累进递增的阶梯电价，按户月均用电量分三档，普通电价表加下： 月用电量 电费（单位，元/度） 第一档 不超过230度的部分 0.50 第二档 超过230度不超过420度的部分 0.55 第三档 超过420度的部分 0.80 示数类型 上次抄表示数 这次抄表示数 用电量 总电量 18776 19081 305 峰电量 12689 12882 谷电量 5480 5592 根据用电情况，用户可以申请“峰谷电价”其收费如下，高峰时段，其电价在各档电价基础上加价0.03元/度，低谷时段以外时间，其电价在各档电价基础上加价元/度． 小朋家9月电表示数变化情况如表： (1)对于第一档用电情况，高峰时段电价为________元/度，低谷时段电价为________元/度． (2)①计算小朋家这个月的普通电费． ②若申请“峰谷电价”，9月份能省钱码？省多少钱？ (3)若某用户的月用电量为度，请用含的式子表示该用户这个月的普通电费． 类型九、数轴中的绝对值最值 1．同学们都知道表示7与之差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)　　　　　　，，则　　　　　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得成立的整数是　　　　　　． (3)由以上探索猜想，对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 2．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ； (3)若x表示一个有理数，且，则 ； (4)当 时，的最小值是 ． 3．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示3和9的两点之间的距离是______；数轴上表示2和的两点之间的距离是______．（直接写出最终结果） (2)若数轴上表示的数和的两点之间的距离是4，则的值为______． (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 4．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 5．如图，请回答问题： (1)点表示的数是________，点表示的数是________． (2)折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则点与数字________重合． (3)若将数轴折叠，使得表示的点与表示的点重合，此时、两点也互相重合，若数轴上、两点之间的距离为(在的左侧)，则、两点表示的数分别是：________，________． (4)、两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为． ①若表示一个有理数，则的最小值________． ②若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是________． 6．同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1) ； (2)x是所有符合成立条件的整数，则 ； (3)由以上探索思想，对于任何有理数x，的最小值为 ； (4)当x为整数时，的最小值为 ； (5)求的最小值． 类型十、数轴动点求t 1．如图，已知点B在数轴上表示的数为12，点O是原点．点A在数轴上原点的左侧，，若动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿的路径，以每秒4个单位长度的速度运动，设运动的时间为t秒 (1)线段的长度为 ； (2)动点P在数轴上对应的数为 ；（用含t的代数式表示） (3)用含t的代数式表示线段的长度； (4)当点P、O、Q中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，直接写出t的值． 2．阅读下面的材料：如图，若线段在数轴上，，点表示的数分别为，，则线段的长（点到点的距离）可表示为，    请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出，，三点的位置，并直接写出线段的长度； (2)若数轴上有一点，且，则点表示的数是什么？ (3)若将点向右移动，请用代数式表示移动后的点表示的数？ (4)若点以每秒的速度向左移动至点，同时点、点分别以每秒和的速度向右移动至点、点，设移动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而变化？请说明理由． 3．阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 4．阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置： (2)点C到点A的距离______；若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为_________； (3)若将点A向右移动，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示） (4)若点B以每秒的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 5．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 6．阅读理解：已知Q、K、R为数轴上三点，若点K到点Q的距离是点K到点R的距离的2倍，我们就称点K是有序点对[Q，R]的好点． 根据下列题意解答问题： （1）如图1，数轴上点Q表示的数为−1，点P表示的数为0，点K表示的数为1，点R 表示的数为2．因为点K到点Q的距离是2，点K到点R的距离是1，所以点K是 有序点对的好点，但点K不是有序点对的好点．同理可以判断： 点P__________有序点对的好点，点R______________有序点对的好点（填“是”或“不是”）； （2）如图2，数轴上点M表示的数为-1，点N表示的数为5，若点X是有序点对的好点，求点X所表示的数，并说明理由？ （3）如图3，数轴上点A表示的数为−20，点B表示的数为10．现有一只电子蚂蚁C从 点B出发，以每秒2个单位的速度向左运动t秒．当点A、B、C中恰有一个点为其余两有序点对的好点，求t的所有可能的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、不含某项、与某项无关 1．若多项式不含的项，则k的值是（    ） A．0 B． C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的不含有项的问题，熟练掌握合并同类项，令系数为零是解题的关键．先合并同类项，令的系数为零，求解即可． 【详解】解：多项式不含的项， ∴， ∴， 故选：D． 2．已知：，，若代数式的的值与a无关，则此时b的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的化简,先将含a的项合并，并将其余字母看成常数并整理，再根据题意求出b的值． 【详解】解：∵，， ∴ ； ∵代数式的的值与a无关， ∴ 解得：， 故选：A． 3．已知，，若关于x的多项式不含一次项，则(   ) A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减，正确地去括号和合并同类项是解题关键．先将多项式、代入，再根据去括号法则、合并同类项法则化简，由多项式不含一次项可得一次项系数为，以此即可求解． 【详解】解： ， ∵多项式不含一次项， ∴， ∴． 故选：D． 4．关于的多项式不含二次项，则的值为 【答案】4 【分析】本题主要考查整式加减中的无关型问题．令二次项系数为0，确定a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵不含二次项， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4． 5．若关于x，y的多项式中不含三次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减--无关型问题，解答本题的关键是理解题目中不含三次项的意思．先合并同类项，根据已知得出，，求出、的值，再代入求出即可． 【详解】， ∵关于，的多项式中不含三次项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．要使多项式化简后不含的二次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减； 原式去括号，合并同类项，根据不含的二次项可知二次项系数为0，然后可求m的值． 【详解】解： ， ∵多项式化简后不含的二次项， ∴， 解得：， 故答案为：． 类型二、程序流程图 1．根据图中的程序，当输入，输出的结果，将计算结果再次输入，记为第二次输入，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题是规律探索问题，找到规律是关键；求出部分输出结果，发现输出的结果以，，2循环，据此求解即可． 【详解】解：第1次输入，则输出的结果， 第2次输入，则输出的结果， 第3次输入，则输出的结果， … 输出的结果以，，2循环， ∵， ∴第2024次输出的结果为， 故选：B． 2．有一数值转换机如图所示，输入x的值是3，第一次输出的结果是10，第二次输出的结果是5，…，则第2024次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查数字变化的规律，依次求出每次输出的结果，发现规律即可解决问题，能通过计算发现输出的数从第五次开始按4，2，1循环出现是解题的关键． 【详解】解：由题知， 当输入x的值是3时， 第一次输出的结果是10； 第二次输出的结果是5； 第三次输出的结果是16； 第四次输出的结果是8； 第五次输出的结果是4； 第六次输出的结果是2； 第七次输出的结果是1； 第八次输出的结果是4； 第九次输出的结果是2； 第十次输出的结果是1； 第十一次输出的结果是4； …， 依次类推，输出的数从第五次开始按4，2，1循环出现， 又因为余1， 所以第2024次输出的结果为4． 故选：B． 3．如图是一个数据转换器的示意图，当我们输入时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求代数式的值，解根据已知条件中示意图和的值，列出算式，求出即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图所示的一个简单的运算程序，若输入的值为，则输出的数值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．根据题目中的运算顺序可以求得当时输出的结果，本题得以解决． 【详解】 解：由题意可得， 当时， ， 故答案为： 5．若输入整数，按照下面的程序，计算将无限进行下去且不会输出，则所有可能取到的值为 ． 【答案】0和 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，流程图的计算，根据图示可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∵，且 ∴，， 故答案为：或 ． 6．按如图所示的运算程序，输入的值为时，则输出值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图及代数式求值，根据流程图把代入计算，当时即可求解，掌握运算程序的规则和有理数运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，， 当时，， ∴输出值为， 故答案为：． 类型三、杨辉三角 1．《九章算术》里记载过这样一个三角形数阵——杨辉三角，它是我国古代数学的杰出研究成果之一．它的每行最开始和结尾的数字都是1，中间的每个数都等于它上方的两个数的和．则杨辉三角的第9排左起第5个数是（　　） A．28 B．35 C．56 D．70 【答案】D 【分析】根据题意补全杨辉三角形，即可求解． 【详解】如图所示： 第9排左起第5个数是70， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，根据题意补全杨辉三角形是解题的关键． 2．我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式各项系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】C 【分析】根据规律计算前几项展开式的系数和，观察规律展开式中所有项的系数和为，进而得出结论． 【详解】解：由“杨辉三角”的规律可知， 展开式中所有项的系数和为1， 展开式中所有项的系数和为2， 展开式中所有项的系数和为4， 展开式中所有项的系数和为8， …… 展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为． 故选：C． 【点睛】本题考查代数式中规律型数字的变化，观察图形，找出所有项的系数和的规律是解题的关键． 3．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． （a＋b）0＝1 （a＋b）1＝a＋b （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 … 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（    ） A．2048 B．1024 C．512 D．256 【答案】B 【分析】根据杨辉三角展开式中的所有项的系数和规律确定出展开式的项系数和为，求出系数之和即可 【详解】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20， 当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21， 当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22， 当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23 …… 由此可知（a＋b）n展开式的各项系数之和为2n， 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024， 故选：B． 【点睛】本题考查杨辉三角展开式的系数的和的求法，通过观察展开式中的所有项的系数和，得到规律是解题的关键． 4．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：，，，，…，记，，，，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出．由已知数列得出规律，再依此计算出与，最后代入所求的代数式即可得出答案． 【详解】解：，，，，， ， ，， ， 故答案为：． 5．杨辉三角又称贸宪三角，是二项式系数在三角形中的一种儿何排列，如图，观察下面的杨辉三角． 　　　　　　1 　　　　　　1   1 　　　　　1   2   1 　　　　1 　 3   3   1 　　　1   4   6 　 4   1 　　1 　5 　 10   10   5   1 按照前面的规律，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全式的次方，也是数字类的规律题，结合对应“杨辉三角”，根据图形可得结果．首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应中，相同字母的指数是从高到低，相同字母的指数是从低到高． 【详解】解：根据题意可得， 故答案为：． 6．如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则 ． 【答案】 【分析】通过归纳出第n个数记为，再进行求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， ……， ∴第n个数记为， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了数字变化规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出该组数字出现的规律． 类型四、阴影部分的周长与面积 1．将四张边长各不相同的正方形纸片按如图方式放入矩形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设右上角与左下角阴影部分的周长的差为l．若知道l的值，则不需测量就能知道周长的正方形的标号为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查的是整式加减运算的应用，根据图形正确表示出右上角、左下角阴影部分的周长是解题的关键． 设①、②、③、④四个正方形的边长分别为a、b、c、d，用a、b、c、d表示出右上角、左下角阴影部分的周长，利用整式的加减混合运算法则计算，得到答案． 【详解】解：设①、②、③、④四个正方形的边长分别为a、b、c、d， 由题意得，， 整理得，， 则知道l的值，则不需测量就能知道正方形④的周长， 故选：D． 2．如图，在一个大长方形中放入四个边长不等的正方形①、②、③、④，若要求出图中两块阴影部分的周长之差，则只需知道下列哪个正方形的边长（    ） A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．正方形④ 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，列出阴影部分周长之差是关键． 设正方形纸片①②③④的边长分别为、、、，列出两个阴影部分的周长之差进行化简即可得出结果． 【详解】解：如图，设正方形纸片①②③④的边长分别为、、、， 右上角阴影部分的周长为：， 左下角阴影部分的周长为：， 两块阴影部分的周长之差 ， 要求出图中两块阴影部分的周长之差，则只需知道编号为②正方形的边长， 故选：B． 3．把7个长和宽分别为a，b的小长方形纸片（如图1），按如图2所示的方式放置在长方形中，则长方形中阴影部分的面积为 （用含有a，b的代数式表示．要求：表示出来即可，不需化简） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，长方形的长为：，长方形的宽为：，由阴影面积为大长方形的面积减去个小长方形的面积即可求解；找出阴影部分的面积表示是解题的关键． 【详解】解：由图得 长方形的长为：， 长方形的宽为：， 长方形的面积为， 长方形中阴影部分的面积为： ； 故答案：． 4．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积 ． 【答案】50 【分析】本题考查了整式的加减的应用，根据图形之间的关系进行推导计算是解题关键；由正方形和长方形的面积公式得出 和，再由可以得出，再用割补法求出，再整体代入求值即可； 【详解】解：由题意得， ，， ， ， ， ． 故答案为：50． 5．如图所示，边长为的两个正方形拼在一起，试写出图中阴影三角形的面积，并求出 ，时阴影部分的面积．    【答案】阴影部分面积，． 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，根据图形可得：阴影部分的面积等于大正方形的面积与直角梯形的面积的和减去两个直角三角形的面积，列出算式，再把的值代入进行计算即可求解，观察图形，得到阴影部分的面积表示方法是解题的关键． 【详解】解：阴影三角形的面积， 当， 阴影三角形的面积． 6．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为6． (1)求阴影部分的面积S（用含a的代数式表示） (2)当时，求S的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值： （1）根据三角形的面积+三角形的面积进行求解即可； （2）把代入（1）所求式子中求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，三角形的底为高为，三角形的底为，高为． 三角形的面积+三角形的面积 ； （2）解：当时，． 类型五、数列中的错位相减 1．求的值，可令①，①式两边都乘以3，则②，②-①得，则仿照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，然后两边同时乘以5，再两式作差即可． 【详解】解：令①， ①式两边同时乘以5，得②， ②-①得，即． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是模仿题目中给出的计算方法进行计算． 2．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，，，，……，请你推算的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律，并求出每一个循环4个数相加后的个位数字为0，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴尾数每4个一循环， ∵， 又∵， ∴每一组的4个数相加以后个位数字为0， ∴505组相加后个位数字为0， ∵， ∴的个位数字为4，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键． 3． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的混合运算．正确掌握乘方运算规律是解题的关键．设，将等式两边同时乘以5，得：，将下式减去上式即可得出答案． 【详解】解：设； 将等式两边同时乘以5，得： ； 将下式减去上式得： ， 即， 即 故答案为： 4．观察下列等式：，，，，，，，根据这个规律，则的末尾数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查了尾数特征和数字变化类，先通过计算求出尾数的规律，根据规律即可求解，根据已知算式得出规律是解题的关键． 【详解】解：，，，，，， ， ， 的末尾数字为， 故答案为：． 5．阅读材料： 求值：． 解：设， 将等式两边同时乘，得 ， ，得 所以． 请你仿照此法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）将等式两边同时乘以求出，相减之后再除即可； （）将等式两边同时乘以求出，相加之后再除即可； 本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，理解题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘，得 ， ，得 ， 所以； （2）解：设， 将等式两边同时乘，得 ， ，得 ， 所以． 6．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．设，然后两边同乘以3，进而按照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：设 则 所以， 即． 类型六、绝对值1与-1的化简 1．已知，结果不可能的是（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查化简绝对值，由绝对值的性质可得当时，；当时，；当时，；当时，；分情况讨论即可．注意：（1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；（2）分情况讨论时，虽然③④两种情况在本题中的计算结果是一样的，但在分类讨论时，还是要分为两种．运用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】∵当时，；当时，； 当时，；当时，； ∴①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，； ∴综上所述，的值可能为2，，0，不可能为1． 故选：C． 2．若，且，则（） A．1或 B．或 C．或 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用绝对值的代数意义判断得到中负数有一个或三个，即可得到原式的值． 【详解】∵，且， ∴中负数有一个或三个， 则原式或， 故选A． 3．分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ （1）当时，若，则 0； （2）当时，若，则c 0； （3）已知a，b，c是非零有理数，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查有理数的运算： （1）根据有理数乘法的符号法则，得到，再根据绝对值的意义和有理数加法的符号法则，进行判断即可； （2）根据有理数乘法的符号法则，进行判断即可； （3）分a，b，c都是正数，a，b，c都是负数，a，b，c中有两个正数，一个负数，a，b，c中有两个负数，一个正数，四种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：时，， ， ， ， 故答案为：； （2），， ， 故答案为：； （3）对a，b，c的取值情况分类讨论如下： 当a，b，c都是正数时， ； 当a，b，c都是负数时， ； 当a，b，c中有两个正数，一个负数时， 中有两个1，一个，所以和为1； 当a，b，c中有两个负数，一个正数时， 中有一个1，两个，所以和为； 的值为或， 故答案为：或． 4．已知，则值为 ． 【答案】或3 【分析】此题考查了绝对值，以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据已知等式得到，确定出，，中负因式有0个或2个，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】解：由，得到， ，，中有0个或2个负数， 当2个都为负数时，原式； 当0个为负数时，原式． 或3 故答案为：或3 5．我们知道：在研究和解决数学问题时．当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解答问题． 例如，我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，；现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)填空：_________（）；_________（） (2)若，求的值． 【答案】(1)1或，2或0或 (2)1或 【分析】本题主要考查了绝对值以及有理数的除法等知识点， （1）分别利用或分析得出答案；分或或或等情况讨论得出答案； （2）由得出中有两个为正数，一个为负数或三个都为负数等情况讨论得出答案； 正确分类讨论得出答案是解题关键． 【详解】（1）若有理数a不等于零， 当时，， 当时，； ∵， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：1或；或2或0； （2）∵， ∴中有两个为正数，一个为负数或三个都为负数， ∴当中有两个为正数，一个为负数时， 当三个都为负数时， ， ∴的值为1或． 6．阅读下列材料：，即当时，． 用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)，或 (3) 【分析】此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）分3种情况讨论即可求解； （2）分4种情况讨论即可求解； （3）根据已知得到，，，、、两正一负，进一步计算即可求解． 【详解】（1）已知，是有理数，当时， ①，，； ②，，； ③、异号，． 故或0； （2）已知，，是有理数，当时， ①，，，； ②，，，； ③、、两负一正，； ④、、两正一负，． 故或； （3）已知，，是有理数，，， 则，，，、、两正一负， 则． 类型七、代数式中的规律 1．如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为2，第2幅图中★的个数为6，第3幅图中★的个数为12，第4幅图中★的个数为20……以此类推，第n幅图中★的个数为x，第m幅图中★的个数为110，则x（用含n的代数式表示）和m的值分别为（　　） A．，11 B．，10 C．，11 D．，10 【答案】B 【分析】本题考查了代数式表示式和图形规律题，根据前四个图形归纳类推出一般规律是解题关键．根据前4幅图即可求出图中★个数的规律为，根据规律即可求得m的值． 【详解】解：由图可知，第1幅图中★有1排，一排个，总数为个； 第2幅图中★有2排，一排个，总数为个； 第3幅图中★有3排，一排个，总数为个； 第4幅图中★有4排，一排个，总数为个； 则第n幅图中★有n排，一排个，总数为即个； 由题可得：， 解得：，（舍去）， 故选：B． 2．下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有个●，第②个图中共有个●，第③个图中共有个●，第④个图中共有个●，…，照此规律排列下去，则第⑦个图形中●的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形及数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中点的个数为，再将代入计算即可． 【详解】解：第①个图中●的个数为：（个）， 第②个图中●的个数为：（个）， 第③个图中●的个数为：（个）， 第④个图中●的个数为：（个）， …， ∴图中●的个数为：为（个）， ∴第⑦个图形中●的个数为：（个）． 故选：C． 3．小明与弟弟玩用棋子探图案的游戏，小明摆出的图案具有一定的规律，第1个图案用5枚棋子．第2个图案用9枚棋子，第3个图案用13枚棋子，第4个图案用17枚棋子…，依此规律，第个图案用 枚棋子（用含的代数式表示）．    【答案】 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律，找出规律是解题的关键． 由图形可知：第1个图案需 枚棋子；第2个图案需枚棋子；第3个图案需枚棋子；…由此得出第n个图案需个棋子． 【详解】解：第1个图案需 枚棋子； 第2个图案需枚棋子； 第3个图案需枚棋子； 第4个图案需枚棋子； … 由此得出第n个图案需枚棋子． 故答案为：． 4．在学习了“探索与表达规律”后，为激发学生学习数学的兴趣，王老师让同学们做摆图游戏如图，小刚用围棋子按如图所示的规律摆图形，摆第个图形需要枚棋子，摆第个图形需要枚棋子，摆第个图形需要枚棋子，…，则摆第个图形需要 枚棋子．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类，熟练掌握从图形的变化中找到规律，是解答本题的关键． 根据图形的变化，得到第个图形有枚棋子，第个图形有枚棋子，第个图形有枚棋子，则第个图形需要枚棋子，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 摆第个图形需要枚棋子，即； 摆第个图形需要枚棋子，即； 摆第个图形需要枚棋子，即； 摆第个图形需要枚棋子， 故答案为：． 5．将菱形如图进行如下划分，第次划分：分别连接菱形对边的中点如图，得线段和，它们交于点，此时图中共有个菱形；第次划分：将图左上角菱形按相同方式再划分如图，则图中共有个菱形．      (1)若把左上角的菱形按上述方式依次划分下去，则第次划分后图中共有 个菱形． (2)能否将菱形划分成有个菱形的图形？如果能，请算出是第几次划分后得到的，如果不能，请说明理由． (3)设原菱形的面积为1，通过不断地划分该菱形，并把数量关系和几何图形进行巧妙地结合，可以得到 ．(直接写出答案即可) 【答案】(1)(4n+1) (2)能，第16次划分后能将菱形ABCD划分成有65个菱形的图形 (3) 【分析】本题考查了图形的规律， （1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）构建方程即可解决问题； （3）利用数形结合思想解决问题，根据进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵第一次可得个正方形， 第二次可得个正方形， 第三次可得个正方形， …… ∴第次可得个正方形， 故答案为：； （2）能，理由如下：             令，解得 第次划分后能将菱形划分成有个菱形的图形． （3）         由题意 6．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； 请猜想　　； (2)试用含有n的式子表示这一规律： 　 　；（n为正整数） (3)请用上述规律计算：①；②． 【答案】(1)100 (2) (3)①2500；②1023669 【分析】本题主要考查数字的变化规律和图形的变化类及实数的运算，根据图形得出等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方是解题的关键． （1）根据图示和数据可知规律是：等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，据此可得； （2）利用（1）中的规律可得； （3）①； ②由，，两式相减可得． 【详解】（1）解：观察，发现规律：，，，， ， ④． 故答案为：100． （2）由（1）知，， 故答案为：； （3）①令， 解得：， ． ②， ， 上式减去下式可得：． 类型八、方案与收费问题 1．2022年北京冬奥会在国家体育场鸟巢举行开幕式吉祥物“冰墩墩”成为2022开年“顶流”某商家销售的一款“冰墩墩”毛绒玩具，每个定价200元，钥匙扣每个定价50元，并推出两种优惠方案：方案一：购买2个毛绒玩具，赠送1个钥匙扣；方案二：购买毛绒玩具和钥匙扣一律按9折优惠，某公司要购买毛绒玩具和钥匙扣作为员工礼物，想要购买毛绒玩具20个，钥匙扣x个（不少于10个）． (1)若该公司采购员按方案一购买，需付款 元（用含x的式子表示）；若该公司采购员按方案二购买，需付款 元（用含x的式子表示）； (2)当购买钥匙扣25个时，通过计算说明按照哪种方案购买较合算？ (3)当购买钥匙扣25个时请给出一种更省钱的购买方案，并计算需要的钱数． 【答案】(1) ， (2)按照方案二购买合算 (3)先按方案一买20个毛绒玩具，再按方案二买15个钥匙扣，此时需付款4675元 【分析】（1）根据题意分别列出两种方案所需付款，再化简即可； （2）把分别带入（1）所列的两个代数式中计算结果，通过比较大小即可确定较为合算的方案． （3）先按方案一购买20个毛绒玩具，则可以赠送10个钥匙扣，再按方案二买15个钥匙扣，最后计算总价即可． 本题主要考查了列代数式和代数式求值，根据题意正确的列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得： 方案一需付款： ， 方案二需付款：， 故答案为： ， （2）当时， ， ， ， ∴按照方案二购买合算． （3）先按方案一买20个毛绒玩具，再按方案二买15个钥匙扣，此时需付款：（元）． 2．某商场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价700元，电磁炉每台定价200元．“双11”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉20台，电磁炉x台． (1)若该客户按方案一购买，需付款____________元（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款____________元（用含x的代数式表示）． (2)若，通过计算说明，此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算出购买总金额． 【答案】(1)，； (2)按方案二购买较为合算 (3)按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉；再按方案二购买20台电磁炉，总金额为元 【分析】本题主要考查列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式． （1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可； （2）将代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算； （3）根据题意考可以得到先按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉；再按方案二购买20台电磁炉． 【详解】（1）解：元， ∴该客户按方案一购买，需付款元， 元， ∴该客户按方案二购买，需付款元， 故答案为，； （2）方案一：当时，原式（元）， 方案二：当时，原式（元）， ∵， ∴按方案二购买较为合算； （3）按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉；再按方案二购买20台电磁炉． 总金额为：（元）． 3．按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，某学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价元，跳绳每条定价元．某体育用品商店提供、两种优惠方案： 方案：买一个篮球送一条跳绳； 方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球个，跳绳条（）． (1)若按方案购买，一共需付款 元；（用含的代数式表示），若按方案购买，一共需付款 元（用含的代数式表示）． (2)当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【答案】(1) (2)方案 (3)能，按方案买个篮球，剩下的条跳绳按方案购买，付款元 【分析】本题主要考查了列代数式及求代数式的值，读懂题意，理清数量关系是解题的关键． （）根据各种优惠方案列出代数式即可得解； （）把代入两种优惠所得的代数式，分别求出、方案的付款，比较即可得解； （）设计按方案购买个篮球配送个跳绳，按方案购买个跳绳合计需付款求出付款费用后与、方案的付款比较即可得解． 【详解】（1）解：按方案购买，一共需付款（元）， 按方案购买，一共需付款（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 方案购买需付款：（元）； 按方案购买需付款：（元）； ∵， ∴当时，应选择方案购买合算； （3）解：由（）可知，当时，方案付款元，方案付款元， 按方案购买个篮球配送个跳绳，按方案购买个跳绳合计需付款： ， ∵， ∴省钱的购买方案是：按方案买个篮球，剩下的条跳绳按方案购买，付款元． 4．某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费7元，超过3千米的部分按每千米2元收费． (1)若某人乘坐了千米，则他应支付车费______元（用含有x的代数式表示）； (2)一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）． 第1批 第2批 第3批 第4批 ①送完第4批客人后，王师傅在公司的______边（填“东”或“西”），距离公司______千米的位置； ②若王师傅的车平均每千米耗油升，则送完第4批客人后，王师傅用了多少升油？ ③在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？ 【答案】(1) (2)①西，6；②送完第4批客人后，王师傅用了1.6升油；③王师傅共收到车费38元 【分析】本题主要考查了列代数式、正数和负数、数轴等知识点，明确题意、列出相应的代数式、求出相应的式子的值是解答本题的关键． （1）根据题意用含x的代数式表示出某人应支付的车费即可； （2）①将表格中的数据相加，再根据正负数的意义即可解答；②先计算出在整个过程的总路程，然后乘以单价即可解答；③根据表格中的数据和题意，可以计算出送完第4批客人后，王师傅共收到的车费． 【详解】（1）解：由题意可得：他应支付车费：元． 故答案为：． （2）解：①，即送完第4批客人后，王师傅在公司的西边，距离公司6千米． 故答案为：西，6； ② = =（升）． 答：送完第4批客人后，王师傅用了升油； ③在整个过程中，王师傅共收到车费：（元）． 故王师傅共收到车费38元． 5．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表（表示立方米）： 例：若某户居民1月份用水，应收水费：（元） 请根据如表的内容解答下列问题： 价目表 每月用水量 单价 不超出6m3的部分 2元/ 超出6m3不超出10m3的部分 4元/ 超出10m3的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若该户居民2月份用水，则应收水费____________元； (2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含a的代数式表示） (3)若该户居民4、5两个月共用水，设4月份用水（其中），求该户居民4、5两个月共交水费多少元？（用含x的代数式表示） 【答案】(1) (2)应收水费为元． (3)4，5两个月共交水费元． 【分析】（1）不超过，单价为2元．利用水费=单价×数量，可得答案； （2）水费=单价为2元的的水费+单价为4元的超过的水费，从而可得答案； （3）因为4月份用水（其中），所以5月份用水量超过，再根据分段收费的单价与数量列式即可． 【详解】（1）解：（元）； （2）∵ ∴应收水费， ∴应收水费为元． （3）因为4月份用水（其中），所以5月份用水量超过． ∴4，5两个月共交水费； 答：4，5两个月共交水费元． 【点睛】本题考查列代数式．理解题意，“根据分段收费的单价与数量列出正确的代数式，再化简．”是解本题的关键． 6．福建省厦门市居民生活用电实行分档累进递增的阶梯电价，按户月均用电量分三档，普通电价表加下： 月用电量 电费（单位，元/度） 第一档 不超过230度的部分 0.50 第二档 超过230度不超过420度的部分 0.55 第三档 超过420度的部分 0.80 示数类型 上次抄表示数 这次抄表示数 用电量 总电量 18776 19081 305 峰电量 12689 12882 谷电量 5480 5592 根据用电情况，用户可以申请“峰谷电价”其收费如下，高峰时段，其电价在各档电价基础上加价0.03元/度，低谷时段以外时间，其电价在各档电价基础上加价元/度． 小朋家9月电表示数变化情况如表： (1)对于第一档用电情况，高峰时段电价为________元/度，低谷时段电价为________元/度． (2)①计算小朋家这个月的普通电费． ②若申请“峰谷电价”，9月份能省钱码？省多少钱？ (3)若某用户的月用电量为度，请用含的式子表示该用户这个月的普通电费． 【答案】(1)0.53，0.30 (2)①156.25；②能省钱，共省钱20.36元 (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、整式的加减的实际应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）①由表格可得小朋家本月共用电305度，其中第一档用电量为230度，第二档用电量为75度，根据表格中的收费标准计算即可； ②先计算出的值，然后列式计算即可； （3）根据题意分档进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得： 第一档用电情况，高峰时段电价为：（元/度）， 低谷时段电价为：（元/度）， 故答案为：0.53，0.30； （2）解：①由表格得： 小朋家本月共用电305度，其中第一档用电量为230度，第二档用电量为75度， 小朋家这个月的普通电费为：（元）； ②若申请“峰谷电价”，由表格可得： （度），（度）， 共需电费为：（元）， （元）， 能省钱，共省钱20.36元； （3）解：由表格及题意可得： 当时，普通电费为元； 当时，普通电费为：（元）； 当时，普通电费为：（元）； 综上所述，若某用户的月用电量为度，该用户这个月的普通电费为． 类型九、数轴中的绝对值最值 1．同学们都知道表示7与之差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)　　　　　　，，则　　　　　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得成立的整数是　　　　　　． (3)由以上探索猜想，对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10；或 (2)，0，1，2 (3)有最小值．最小值为9 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解各个代数式的意义是正确解答的关键． （1）直接求出结果即可； （2）根据的意义，可得出的取值范围，再得出整数解即可； （3）根据的意义，可得出答案． 【详解】（1）解：，，则或， 故答案为：10；或； （2）解：的意义为数轴上表示数的点与表示数，和表示数2的点的距离之和为3， 又数轴上表示数，与表示数2的点距离之和为， ， 又为整数， 可能为，0，1，2， 故答案为：，0，1，2； （3）解：有最小值．最小值为9， 理由是：可以理解为：在数轴上表示到3和的距离之和， 当在3与之间的线段上（即时： 即的值有最小值，最小值为． 2．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ； (3)若x表示一个有理数，且，则 ； (4)当 时，的最小值是 ． 【答案】(1)3；4 (2) (3)4 (4)1，5 【分析】本题主要考查了学生对绝对值的综合运用能力，解答时注意运用数形结合的思想，是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据已知给出的求两点间距离的公式表示即可； （3）根据x的取值范围，分别判断与的正负，然后根据绝对值的性质求解即可； （4）设点表示的数为1，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为，则，画出数轴，根据两点间的距离公式解答． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：3；4； （2）根据绝对值的定义有：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 故答案为：； （3）当时，， 则， 故答案为：4； （4）由题意可知表示数轴上x和1的两点之间的距离，表示数轴上x和2的两点之间的距离，表示数轴上x和的两点之间的距离， 设点表示的数为1，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为， 则， 如图，当点与点重合时，，，， 则，此时， 如图，当点在之间（可与重合，不与重合），，， 则， 如图，当点在点左侧时，，， 则， 如图，当点在之间（可与重合，不与重合），，， 则， 如图，当点在点右侧时，，， 则， 综上所述，当时，有最小值5， 故答案为：1，5． 3．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示3和9的两点之间的距离是______；数轴上表示2和的两点之间的距离是______．（直接写出最终结果） (2)若数轴上表示的数和的两点之间的距离是4，则的值为______． (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)6，7 (2)2或 (3)有，最小值为4 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，绝对值方程，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键． （1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可； （3）由于所给式子表示x到和3的距离之和，当x在和3之间时和最小，故只需求出和3的距离即可． 【详解】（1）解：解：数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是，数轴上表示 2 和的两点之间的距离是， 故答案为：6，7； （2）解：根据题意，得：， ∴， ∴或， 解得：或， 故答案为：或2； （3）解：∵表示x到和3的距离之和， ∴当x在和3之间时距离和最小，最小值为， 故有最小值，最小值为4． 4．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 【答案】(1)， (2)①或；②；③ 【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）①利用绝对值的定义可得或，即可求解；②由表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和，根据两点间线段最短即可求解；③该式子表示数轴上点到、、、、的 距 离 之 和，根据两点之间线段最短和绝对值的意义可知：当时，原式有最小值，然后去取绝对值，利用求和公式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 故答案为：，； （2）①若，那么或， 解得：或， 故答案为：或； ②表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和， 由两点间线段最短可知：当时，有最小值，最小值是， 故答案为：； ③的中间一项是， 当时，原式有最小值， 的最小值是． 5．如图，请回答问题： (1)点表示的数是________，点表示的数是________． (2)折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则点与数字________重合． (3)若将数轴折叠，使得表示的点与表示的点重合，此时、两点也互相重合，若数轴上、两点之间的距离为(在的左侧)，则、两点表示的数分别是：________，________． (4)、两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为． ①若表示一个有理数，则的最小值________． ②若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是________． 【答案】(1)，6 (2) (3)， (4)①；② 【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可； （2）由折叠可知，折痕点对应的数是2，再由对称性可知点A与数字9重合； （3）先求出折叠点所表示的数，由数轴上、两点间的距离是求出折点点到的距离，进而即可得解． （4）①当时，的值最小； ②当时，的值最小，最小值为，再求出符合条件的整数即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，点B表示的数是，点C表示的数是6， 故答案为：，6； （2）解：折叠后点和点重合， 的中点为折痕点， 折痕点对应的数是， ∵ 点与数字重合， 故答案为：； （3）解：∵将一个数轴折叠后，表示的点与表示的点重合， ∴折点表示的数为， ∵数轴上、两点间的距离是，点在点的左侧， ∴点到折点的距离为，点在折点的左侧， ∴点表示的数是．点表示的数是 故答案为：，． （4）解：①表示数轴上表示的点到表示的点和的点的距离之和， 当时，的值最小， 的最小值为， 故答案为：； ②表示数轴上表示的点到表示的点和的点的距离之和， 当时，的值最小，最小值为， ， 的整数值为，，，，，，，， ， 满足条件的所有整数的和是， 故答案为：． 6．同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1) ； (2)x是所有符合成立条件的整数，则 ； (3)由以上探索思想，对于任何有理数x，的最小值为 ； (4)当x为整数时，的最小值为 ； (5)求的最小值． 【答案】(1)7 (2)，，，，，0，1，2 (3)3 (4)2 (5)997002 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数混合运算，数轴上两点间的距离，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的知识． （1）根据有理数加减运算法则和绝对值意义进行计算即可； （2）根据绝对值的意义，得出表示的是在数轴上x所对应的点到，2两点之间的距离之和，从而得出x表示的点在和2之间，即可得出答案； （3）根据绝对值的意义进行解答即可； （4）根据绝对值的意义得出表示的是在数轴上x所对应的点到1，2，3三点之间的距离之和，然后根据绝对值的意义求出结果即可； （5）根据当时，取得最小值，然后求出最小值即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：7． （2）解：∵表示的是在数轴上x所对应的点到，2两点之间的距离之和等于7，且， ∴x表示的点在和2之间， 又∵x为整数， ∴，，，，，0，1，2． 故答案为：，，，，，0，1，2． （3）解：表示的是在数轴上x所对应的点到3，6两点之间的距离之和， 当时，取得最小值， ∴的最小值为． 故答案为：3； （4）解：表示的是在数轴上x所对应的点到1，2，3三点之间的距离之和， ∵x为整数，取得最小值， ∴时，的最小值为． 故答案为：2． （5）解：由4的结论可知：当时，取得最小值， ∴的最小值为： ． 类型十、数轴动点求t 1．如图，已知点B在数轴上表示的数为12，点O是原点．点A在数轴上原点的左侧，，若动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿的路径，以每秒4个单位长度的速度运动，设运动的时间为t秒 (1)线段的长度为 ； (2)动点P在数轴上对应的数为 ；（用含t的代数式表示） (3)用含t的代数式表示线段的长度； (4)当点P、O、Q中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1)18 (2) (3)当时，；当时，． (4)满足条件的t有或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及的知识点有两点间的距离，中点的定义，以及一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程并准确解方程是解题的关键． （1）根据题意得出，点A表示的数为，再由数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，即可得到答案； （3）先求出Q从B到O需要时间是3秒，分和两种情况表示出即可． （4）分四种情况分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，点B在数轴上表示的数为12， ∴， ∴， ∴点A表示的数为， ∴线段的长度为， 故答案为：18；． （2）∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向终点B运动， ∴P在数轴上对应的数为， 故答案为：． （3）∵Q从B到O需要时间是：（秒）， ∴当时，， 当时，． （4）①O是的中点时，， 解得，此种情况不符合题意； ②P是的中点，得， 解得，此种情况不符合题意； ③Q是的中点，得， 解得， ④Q从O往B运动时，Q是的中点， 得， 解得， 综上，满足条件的t有或． 2．阅读下面的材料：如图，若线段在数轴上，，点表示的数分别为，，则线段的长（点到点的距离）可表示为，    请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出，，三点的位置，并直接写出线段的长度； (2)若数轴上有一点，且，则点表示的数是什么？ (3)若将点向右移动，请用代数式表示移动后的点表示的数？ (4)若点以每秒的速度向左移动至点，同时点、点分别以每秒和的速度向右移动至点、点，设移动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)如解析图，； (2)或； (3)； (4)的值不会随着的变化而变化，理由见解析． 【分析】（）根据题意容易画出图形，根据题意即可求出的长度； （）设表示的数为，由绝对值的意义容易得出结果； （）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为； （）用代数式表示出和 再相减即可得出结论； 此题考查了数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． 【详解】（1）如图，   ； （2）设表示的数为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点表示的数为或； （3）将点向右移动，则移动后的点表示的数为； （4）的值不会随着的变化而变化，理由如下： 根据题意得：， ， ∴， ∴的值不会随着的变化而变化． 3．阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)不变，理由见解析； (3)或或． 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）根据题意求出点，，向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示，的值，最后再进行计算即可； （）分三种情况讨论，点在点处，点在点的右边，点在点的右边； 本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【详解】（1），， 故答案为：，； （2）不变，理由： 因为：经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，， 所以：，， ∵， ∴，， ∴，， 所以：， 所以的值不会随着时间的变化而改变； （3）经过秒后，，两点所对应的数分别是，， 当点追上点时，， 解得：， 当时，点在还点处， 所以：， 当时，点在点的右边， 所以：， 当时，点在点的右边， 所以：， 综上所述，、两点间的距离为或或． 4．阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置： (2)点C到点A的距离______；若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为_________； (3)若将点A向右移动，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示） (4)若点B以每秒的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1)A表示，B表示，C表示4，图见解析； (2)6；或3； (3)； (4)不会变化，理由见解析． 【分析】本题考查了数轴，解一元一次方程以及整式的加减运算，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． （1）根据题意分别表示出距离求出坐标，画出图形； （2）根据距离公式得出的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果； （3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； （4）表示出和，再相减即可得出结论． 【详解】（1）A：，即，A表示， B：，即，B表示， C：，即，C表示4， A、B、C三点的位置如图所示： （2）（cm）； 设D表示的数为a， ， ，解得：或， 点D表示的数为或3； 故答案为：6；或3； （3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； 故答案为： （4）的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意得：平移后，cm ， ， ， 的值恒为3，不会随着t的变化而变化． 5．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是 (2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时， (3)9秒或13秒 【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是； （2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，； （3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒． 【详解】（1）由题意得：，，，， ∴，∴， ∴， ∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是； （2）①∵，， ∴， ， ∵，， ∴，， ∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ∴M点表示的数为：， N点表示的数为：； 故答案为：，； ②当M点在N点的左侧时，， 当点M在N点的右侧时，； （3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12， ∴重叠部分的长为4个单位长度， 当点D运动到E点右边4个单位时， ； 当点A运动到H点左边4个单位时， ， 综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12． 【点睛】本题主要考查了数轴动点问题，熟练掌握数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，路程、速度和时间的关系，长方形面积公式等知识点，求数轴上两点间的距离用右边点对应的数减左边对应的数；路程等于速度乘时间；熟记长方形的面积是长乘宽是解题的关键． 6．阅读理解：已知Q、K、R为数轴上三点，若点K到点Q的距离是点K到点R的距离的2倍，我们就称点K是有序点对[Q，R]的好点． 根据下列题意解答问题： （1）如图1，数轴上点Q表示的数为−1，点P表示的数为0，点K表示的数为1，点R 表示的数为2．因为点K到点Q的距离是2，点K到点R的距离是1，所以点K是 有序点对的好点，但点K不是有序点对的好点．同理可以判断： 点P__________有序点对的好点，点R______________有序点对的好点（填“是”或“不是”）； （2）如图2，数轴上点M表示的数为-1，点N表示的数为5，若点X是有序点对的好点，求点X所表示的数，并说明理由？ （3）如图3，数轴上点A表示的数为−20，点B表示的数为10．现有一只电子蚂蚁C从 点B出发，以每秒2个单位的速度向左运动t秒．当点A、B、C中恰有一个点为其余两有序点对的好点，求t的所有可能的值． 【答案】（1）不是；是；（2）3；（3）5秒或7.5或10秒或22.5秒或30秒或45秒； 【分析】可以根据好点的定义判断好点，这种新定义问题通常的解法是照猫画虎. 【详解】（1）PQ =PR，RP=2RK 所以答案为：不是；是 （2） 当点X在点M、N之间，由MN=5-(-1)=6，XM=2XN, 所以XM=4，XN=2，即点X距离点M为4个单位，距离点N为2个单位， 即点X所表示的数为3， 当点X在点N的右边，由MN=5-(-1)=6，XM=2XN，所以XM=12，XN=6， 即点X距离点M为12个单位，距离点N为6个单位， 即点X所表示的数为11； （3）AB=10-（-20）=30， 当点C在点A、B之间， 若点C为有序点对的好点，则CA=2CB，CB=10，t=5(秒) ②若点C为有序点对的好点，即CB=2CA，CB=20, t=10(秒) ③若点B为有序点对的好点或点A为有序点对的好点， 即BA=2BC或AB=2AC，CB=15, t=7.5(秒) 当点A在点C、B之间， ④点A为有序点对的好点，即AB=2AC，CB=45，t=22.5(秒) ②点C为有序点对的好点或点B为有序点对的好点， 即CB=2CA或BC=2BA，CB=60，t=30(秒)； ③点A为有序点对的好点，即AC=2AB，CB=90, t=45 ∴当经过5秒或7.5或10秒或22.5秒或30秒或45秒时，A、B、C中 恰有一个点为其余两有序点对的好点. 【点睛】正确理解好点的定义，要学会照猫画虎. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$