精品解析：湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一上学期第一阶段性测试（10月）数学试题

长沙市周南中学2024年下学期高一年级第一阶段性测试 数学试卷 分量：150分 时量：150分钟 命题人：刘清平 审题人 谭周滔 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各图中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知：，且，下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，，若，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 8 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（ ） A. 20 B. 22 C. 26 D. 28 7. 若，且，则的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 关于函数的性质，①等式对恒成立；②函数的值域为；③若，则一定有；④存在无数个，满足其中正确结论个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 命题，．命题q：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A. p是真命题 B. ， C. q是真命题 D. ：存在两个等边三角形，它们不相似 10. 已知集合,,且．集合为的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围是__________. 13. 在，，设全集，若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____ 14. 设函数定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）若，求在或上的值域； （2）证明：当时，函数在区间上单调递增． 17. 已知上有意义，单调递增且满足． （1）求证：； （2）求不等式的的解集． 18. 我们知道，当时，如果把按照从大到小的顺序排成一列的话，一个美丽、大方、优雅的均值不等式链便款款的、含情脉脉的降临在我们面前.这个均值不等式链神通巨大，可以解决很多很多的由定值求最值问题. （1）填空写出补充完整的该均值不等式链； （2）如果定义：当时，为间的“缝隙”.记与间的“缝隙”为，与间的缝隙为，请问、谁大？给出你的结论并证明. 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点． （1）已知函数，求函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数（）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）若函数在区间上有唯一不动点，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市周南中学2024年下学期高一年级第一阶段性测试 数学试卷 分量：150分 时量：150分钟 命题人：刘清平 审题人 谭周滔 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各图中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】由函数的定义知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应， 由选项A，C和D的图象可知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应，所以选项A，C和D错误， 由选项B的图象知，存在的取值，一个的取值，有两个值与之对应，所以不能表示是的函数， 故选：B. 2. 已知：，且，下列不等关系一定成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过赋值法举反例排除A,B,C项，对于D项，则可寻找条件成立的充要条件，再用作差法判断即得. 【详解】对于A，可取，满足，但得不到，故A错误； 对于B，可取，满足，但不满足，故B错误； 对于C，可取，满足，但，故C错误； 对于D，因，而，故必有成立，即D正确. 故选：D. 3. 已知集合，，，若，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据B、C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的个数. 【详解】由题意得，，又集合， 若，则，此时， 则，故子集个数为； 若，则，此时显然集合不成立，舍去； 若，，同理舍去. 综上得：时，子集个数为4个； 故选：B. 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可. 【详解】的定义域为， ，解得：， 的定义域为. 故选：B. 5. 已知是定义在上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数是上的减函数，可得，求解即可. 【详解】∵函数是上的减函数， ∴，解得. 故选：A 6. 为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（ ） A. 20 B. 22 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】设教师人数为，家长人数为，女学生人数为，男学生人数为，由题意得到 ，再由教师人数的两倍多于男学生人数得到x的范围求解. 【详解】设教师人数为，家长人数为y，女学生人数为z， 男学生人数为t，x、y、z、t∈Z， 则，， 则， 又教师人数的两倍多于男学生人数，，解得， 当时，，此时总人数最少为22. 故选: B. 7. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件否成立. 【详解】因为， 所以由题意 ， 因为，所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立， 综上所述，的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否. 8. 关于函数的性质，①等式对恒成立；②函数的值域为；③若，则一定有；④存在无数个，满足其中正确结论个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式先判断函数奇偶性得①正确；再将定义域分段去掉绝对值，化简函数式后利用不等式性质分析判断②；利用函数的奇偶性和局部单调性得出函数为R上的增函数即可判断③；分析发现函数在时即满足条件，故可判断④正确. 【详解】对于①，由可得对恒成立，故①正确； 对于②，当时，， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 当时，， 因为，则，则， 故得，即， 当时，， 综上，的值域为，所以②正确； 对于③，当时，为增函数，由①知为奇函数， 因为的图象在R上连续，所以在R上为增函数， 所以当，则一定有，所以③正确； 对于④，当时，，， 则， 所以存在无数个，满足，所以④正确， 即正确的结论共有4个， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 命题，．命题q：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A. p是真命题 B. ， C. q是真命题 D. ：存在两个等边三角形，它们不相似 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据根的判别式可判断命题的真假，根据等边三角形的性质判断命题的真假，从而判断AC，根据命题的否定可判断BD. 【详解】对于方程，, 所以，无解，故p是假命题，故A错误； ，，故B正确； 任意两个等边三角形都相似，故q是真命题，故C正确； ：存在两个等边三角形，它们不相似，故D正确. 故选:BCD. 10. 已知集合,,且．集合为的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件得出，再得出集合D，最后结合元素和集合的关系判断各个选项. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以且， 所以，， 所以. 故选：ACD. 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用，对选项A，B和C逐一分析判断，即可得出选项A，B和C的正误，选项D，通过取特殊点，此时为等边三角形，即可求解. 【详解】由于， 对于选项A，设任意，则； 设任意，则，总之，对于任意实数恒成立，所以选项A正确， 对于选项B，的值域为，又，所以选项B错误， 对于选项C，当，则，当，则，所以选项C正确， 对于选项D，取，此时，得到为等边三角形，所以选项D错误， 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式性质可求的取值范围. 【详解】设， 则，故， 因为，则， 故即， 故答案为：. 13. 在，，设全集，若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____ 【答案】或 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，对进行分类讨论，可得答案. 【详解】解不等式，即，得， 得，， “”是“”充分不必要条件，A为B的真子集， 分类讨论如下： ①，即时，，不符题意； ②，即时，， 此时需满足，（等号不同时成立），解得，满足题意， ③，即时，， 此时，，（等号不同时成立），解得，满足题意， 综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：或 14. 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】求得在区间上的解析式，画出的图象，结合图象列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】时，，而时， 所以， 又， 所以当时，， 当时，， 作出示意图如下图所示： 要使，则需，结合上图， 由，解得，所以. 【点睛】关键点点睛：所给的抽象函数关系式，如本题中的，然后要关注题目所给的已知区间的函数解析式，结合这两个条件来求得其它区间的函数解析式. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到，，即可求出结果； （2）根据条件得到，再分、和三种情况进行讨论，即可求出结果. 【小问1详解】 当时，， ， 所以． 【小问2详解】 ）因为，则， 当时，，有，符合题意， 当时，， 由，则，解得，所以， 当时，， 由，则，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是． 16. 已知函数． （1）若，求在或上的值域； （2）证明：当时，函数在区间上单调递增． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式计算即可求解； （2）直接利用定义法即可判断函数的单调性. 【小问1详解】 当， 若，则，等号当且仅当时成立； 若，则，等号当且仅当时成立． 所以在或上的值域为：． 【小问2详解】 ，且， 有 ． 由得：． 所以，又由，得． 于是：，即． 所以，函数在区间上单调递增． 17. 已知在上有意义，单调递增且满足． （1）求证：； （2）求不等式的的解集． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，通过令，即可证明结果； （2）根据条件得到，再利用在区间上的单调性，即可求出结果. 【小问1详解】 因为，令，得到， 所以. 【小问2详解】 ， 又函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的的解集为. 18. 我们知道，当时，如果把按照从大到小的顺序排成一列的话，一个美丽、大方、优雅的均值不等式链便款款的、含情脉脉的降临在我们面前.这个均值不等式链神通巨大，可以解决很多很多的由定值求最值问题. （1）填空写出补充完整的该均值不等式链； （2）如果定义：当时，为间的“缝隙”.记与间的“缝隙”为，与间的缝隙为，请问、谁大？给出你的结论并证明. 【答案】（1）（2），见解析 【解析】 【分析】（1）由题得；（2）（当且仅当时取等号），再利用作差比较法证明即可. 【详解】（1） （2）（当且仅当时取等号） 证明：∵ 又∵ （当且仅当时取=号）. ∴，∴ ∴（当且仅当时取=号）. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查作差比较法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点． （1）已知函数，求函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数（）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）若函数在区间上有唯一的不动点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求函数的不动点，即求方程的根，即求方程的解； （2）二次函数（）恒有两个相异的不动点，等价于方程有两个不等实根，对于任意的恒成立，只需要不等式恒成立，求实数a的取值范围即可； （3）在区间上，函数有唯一零点，应用零点存在性定理即可，同时还要关注区间边界函数值为零和判别式为零的情形. 【小问1详解】 设为不动点，因此，即， 解得或，所以为函数的不动点． 【小问2详解】 方程，即， 有， 因为，于是得一元二次方程有两个不等实根， 即判别式， 依题意，对于任意的，不等式恒成立， 只需关于未知数的方程无实数根， 则判别式， 整理得，解得， 所以实数a的取值范围是． 【小问3详解】 由，得， 由于函数在上有且只有一个不动点， 即在上有且只有一个解 令 ①，则，解得； ②，即时， 方程可化为，另一个根为，不符合题意，舍去； ③，即时， 方程可化为，另一个根为1，满足； ④，即，解得， （i）当时，方程的根为，满足； （ii）当时，方程的根为，不符合题意，舍去； 综上，m的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$