专题01 数的整除（考题猜想，易错必刷40题8种题型专项训练）-2024-2025学年六年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版2024）

专题01 数的整除（易错必刷40题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 数的整除 因数 最大公因数 最小公倍数 最小公倍数的应用 素数 合数 分解素因数 一．数的整除（共4小题） 1．（2023秋•浦东新区期中）下列算式中，第一个数能整除第二个数的是　　 A．2.5和5 B．25和5 C．25和75 D．0.5和0.5 2．（2023秋•杨浦区期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．5和20 B．7和2 C．34和17 D．1.2和3 3．（2022秋•嘉定区期中）在75，50，42，40，66中，既是2的倍数又能被5整除的数有 　　． 4．（2023秋•杨浦区校级期中）既能被6整除，又能被9整除的数，它 　　能被54整除（填“一定”或“不一定”或“一定不” ． 二．因数（共2小题） 5．（2023秋•黄浦区期中）36的全部因数的个数有　　 A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 6．（2023秋•青浦区校级期中）规定一种新运算：对于不小于3的正整数，表示不是的因数的最小正整数，如5的因数是1和5，所以（5）；再如（8）的因数是1、2、4和8，所以（8）等等，请你在理解这种新运算的基础上，求（9）　　． 三．最大公因数（共8小题） 7．（2022秋•普陀区校级期中）甲数，乙数，甲数和乙数的最大公因数是 　　． 8．（2022秋•松江区期末）18和42的最大公因数是 　　． 9．（2022秋•长宁区期末）12和32的最大公因数是 　　． 10．（2022秋•徐汇区期末）如果，，则和的最大公因数是 　　． 11．（2022秋•浦东新区校级期中）已知，，那么利的最大公因数是 　　． 12．（2022秋•奉贤区校级期中）已知，，、两数的最大公因数是30．那么的值 　　． 13．（2022秋•松江区期中）24与32的最大公因数是 　　． 14．（2023秋•杨浦区校级期中）计算以下两数的最大公因数和最小公倍数： （1）135和180； （2）10001和20075； （3）144、360和540． 四．最小公倍数（共14小题） 15．（2022秋•宝山区期中）正整数6和8的最小公倍数是 　　． 16．（2022秋•浦东新区校级期末）12和15的最小公倍数是 　　． 17．（2023秋•青浦区校级期中）一个数的最小倍数是24，这个数的素因数有 　　． 18．（2023秋•普陀区期中）有一对互素数的最小公倍数是20，则这两个数是 　　． 19．（2023秋•松江区校级期中）求12和18的最小公倍数是 　　． 20．（2023秋•普陀区期中）一个数的最小倍数是12，这个数的因数有 　　． 21．（2022秋•奉贤区校级期中）12和30的最小公倍数是 　　． 22．（2022秋•静安区期中）若甲数为，乙数为，则甲数和乙数的最小公倍数是 　　． 23．（2022秋•宝山区期中）正整数16的最小倍数减去它的最大因数，所得的差是 　　． 24．（2021秋•青浦区校级期末）定义新运算“”如下：对于两个自然数和，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为，例如：，根据上面的定义运算，　　． 25．（2022秋•闵行区校级期中）已知，．如果和的最小公倍数是630，那么　　． 26．（2022秋•闵行区校级期中）如果两个正整数的最大公因数是6，最小公倍数是72，那么这两个数是 　　． 27．（2023秋•金山区期中）用短除法求36和60的最大公因数和最小公倍数． 28．（2023秋•奉贤区期中）用短除法求36和48的最大公因数和最小公倍数． 五．最小公倍数的应用（共1小题） 29．（2023秋•杨浦区校级月考）为庆祝国庆，外滩甲乙两大楼晚上亮彩灯，甲楼每4分钟亮出“庆祝国庆”字样，乙楼每6分钟亮出国旗图案，甲乙两楼从18点开始同时亮灯． （1）甲乙两楼下一次同时亮出“庆祝国庆”字样和国旗图案是几点几分？ （2）到晚上22点，甲乙两大楼同时亮出“庆祝国庆”字样和国旗图案的次数有几次？ 六．素数（共3小题） 30．（2022秋•普陀区期中）在等式中，3和5都是　　 A．素数 B．互素数 C．素因数 D．公因数 31．（2023秋•普陀区校级期末）如果有两个正整数互素，且它们的和是12，那么这两个数可以是 　　，（写出所有情况） 32．（2022秋•徐汇区期末）最小的素数是 　　． 七．合数（共3小题） 33．（2022秋•嘉定区期中）下列说法正确的是　　 A．奇数都是素数 B．素数都是奇数 C．合数不都是偶数 D．偶数都是合数 34．（2023秋•闵行区期中）最小的素数与最小的合数的和是 　　． 35．（2023秋•杨浦区期中）一个两位数，十位数是最小的合数，个位数是最小的素数，则这个两位数是 　　． 八．分解素因数（共5小题） 36．（2023秋•崇明区期中）把24分解素因数，正确的形式是　　 A． B． C． D． 37．（2023秋•杨浦区校级期中）已知，则的素因数有 　　个，因数有 　　个． 38．（2023秋•普陀区期中）把72分解素因数：　　． 39．（2023秋•黄浦区期中）分解素因数：　　． 40．（2023秋•浦东新区期中）一个数的最大因数是18，把这个数分解素因数是 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题01 数的整除（易错必刷40题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 数的整除 因数 最大公因数 最小公倍数 最小公倍数的应用 素数 合数 分解素因数 一．数的整除（共4小题） 1．（2023秋•浦东新区期中）下列算式中，第一个数能整除第二个数的是　　 A．2.5和5 B．25和5 C．25和75 D．0.5和0.5 【分析】整除是指整数除以自然数所得的商正好是整数而余数是0，我们就说能被整除（或说能整除，据此解答即可． 【解答】解：、，除数是小数，故此选项不符合题意； 、，商是小数，故此选项不符合题意； 、，故此选项符合题意； 、，被除数和除数都是小数，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了数的整除，熟知整除的定义是解题的关键． 2．（2023秋•杨浦区期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．5和20 B．7和2 C．34和17 D．1.2和3 【分析】掌握数的整除定义，再逐项判断即可． 【解答】解：，0.25不是整数，5不能被20整除， 故选项不符合题意； ，3.5不是整数，7不能被2整除， 故选项不符合题意； ，34能被17整除， 故选项符合题意； 1.2不是整数，不能说1.2能被3整除， 故选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了数的整除，熟练掌数的整除的定义是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 3．（2022秋•嘉定区期中）在75，50，42，40，66中，既是2的倍数又能被5整除的数有 　50，40　． 【分析】根据能被2和5整除的数的特征：该数的个位是0，进行选择即可． 【解答】解：在75，50，42，40，66中， 75，50，40能被5整除， 50，42，40，66能被2整除， 既是2的倍数又能被5整除的数有50、40． 故答案为：50，40． 【点评】此题考查了有理数的除法，解答此题应根据能被2或5整除的数的特征，进行解答即可． 4．（2023秋•杨浦区校级期中）既能被6整除，又能被9整除的数，它 　不一定　能被54整除（填“一定”或“不一定”或“一定不” ． 【分析】求出6和9的最小公倍数可得答案． 【解答】解：既能被6整除，又能被9整除的数可以是18，36等，但36不能被54整除， 既能被6整除，又能被9整除的数，它不一定能被54整除． 故答案为：不一定． 【点评】本题考查数的整除性问题．解决本题的关键是掌握整除的定义． 二．因数（共2小题） 5．（2023秋•黄浦区期中）36的全部因数的个数有　　 A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【分析】根据因数的意义即可求出36的不同因数的个数． 【解答】解：根据因数的定义，可得36的全部因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36，共9个． 故选：． 【点评】考查了因数的意义，关键是得出36的不同因数． 6．（2023秋•青浦区校级期中）规定一种新运算：对于不小于3的正整数，表示不是的因数的最小正整数，如5的因数是1和5，所以（5）；再如（8）的因数是1、2、4和8，所以（8）等等，请你在理解这种新运算的基础上，求（9）　7　． 【分析】直接利用新定义得出（9），，进而得出答案． 【解答】解：对于不小于3的正整数，表示不是的因数的最小正整数， 的因数有：1，3，9， （9）， 的因数有：1，2，3，4，6，12， ， （9）． 故答案为：7． 【点评】此题主要考查了一个数的因数的个数，正确理解题意是解题关键． 三．最大公因数（共8小题） 7．（2022秋•普陀区校级期中）甲数，乙数，甲数和乙数的最大公因数是 　6　． 【分析】求最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，由此解决问题即可． 【解答】解：甲数，乙数， 根据最大公因数的定义，可得甲数和乙数的最大公因数是：； 故答案为：6． 【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数． 8．（2022秋•松江区期末）18和42的最大公因数是 　6　． 【分析】18和42的最大公因数是公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数． 【解答】解：18的因数有1、2、3、6、18；42的因数有1、2、3、6、7、21、42， 根据最大公因数的定义，可得18和42的最大公因数是6． 故答案为：6． 【点评】此题考查最大公因数，关键是根据最大公因数是公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数解答． 9．（2022秋•长宁区期末）12和32的最大公因数是 　4　． 【分析】根据，判断即可． 【解答】解：，， 根据最大公因数的定义，可得12和32的最大公因数是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了最大公因数，准确分解每一个因数是解题的关键． 10．（2022秋•徐汇区期末）如果，，则和的最大公因数是 　6　． 【分析】根据最大公约数的意义可知：最大公约数是两个数的公有质因数的乘积，据此解答． 【解答】解：，， 和公有的质因数是：2和3， 所以和两个数的最大公因数是：； 故答案为：6． 【点评】此题考查了求两个数的最大公因数的方法：两个数公有质因数的乘积是它们的最大公约数，所以找准公有的质因数是关键． 11．（2022秋•浦东新区校级期中）已知，，那么利的最大公因数是 　10　． 【分析】两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，依此即可求解． 【解答】解：已知，，那么和的最大公因数是． 故答案为：10． 【点评】本题考查了求两个数的最大公因数的方法的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；数字大的可以用短除法解答． 12．（2022秋•奉贤区校级期中）已知，，、两数的最大公因数是30．那么的值 　3　． 【分析】根据最大公因数的定义即可解答． 【解答】解：，，、两数的最大公因数是30， 根据最大公因数的定义，可得， 解得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了求几个数的最大公因数的方法，属于基础题，比较简单． 13．（2022秋•松江区期中）24与32的最大公因数是 　8　． 【分析】把24和32分解质因数，即可得出24与32的最大公因数，从而得出答案． 【解答】解：， ， 根据最大公因数的定义可得，24与32的最大公因数是， 故答案为：8． 【点评】本题考查了最大公因数，把24和32分解质因数是解题的关键． 14．（2023秋•杨浦区校级期中）计算以下两数的最大公因数和最小公倍数： （1）135和180； （2）10001和20075； （3）144、360和540． 【分析】求最大公因数就是求这几个数的共有质因数的积，最小公倍数就是求共有质因数和独有质因数的积，根据它们的关系求解． 【解答】解：（1），， 和180的最大公因数是：， 135和180的最小公倍数是：； （2），， 和20075的最大公约数是73， 最小公倍数是：； （3），，， 、360和540的最大公因数是：， 144、360和540的最小公倍数是：． 【点评】本题考查了最大公因数和最小公倍数，掌握相关定义是解题的关键． 四．最小公倍数（共14小题） 15．（2022秋•宝山区期中）正整数6和8的最小公倍数是 　24　． 【分析】最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，因此得解． 【解答】解：，， 根据最小公倍数的定义，可得6和8的最小公倍数是． 故答案为：24． 【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答． 16．（2022秋•浦东新区校级期末）12和15的最小公倍数是 　60　． 【分析】先把12和15分解质因数，再找出12和15公有的质因数与各自独有的质因数，公有质因数与独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数． 【解答】解：，， 根据最小公倍数的定义，可得12和15的最小公倍数是． 故答案为：60． 【点评】此题考查求两个数的最小公倍数的方法，掌握最小公倍数是解答本题的关键． 17．（2023秋•青浦区校级期中）一个数的最小倍数是24，这个数的素因数有 　2，2，2，3　． 【分析】利用分解质因数的方法解答即可． 【解答】解：把24分解质因数为：， 故这个数的素因数有：2，2，2，3． 故答案为：2，2，2，3． 【点评】本题主要考查了有最小公倍数，素因数，把这个数表示出素因数乘积的形式是解题的关键． 18．（2023秋•普陀区期中）有一对互素数的最小公倍数是20，则这两个数是 　1和20或4和5　． 【分析】已知两个互素数的最小公倍数是20，求这两个互素数是多少，把20分解成两个数的乘积的形式，找出这两个互素数即可． 【解答】解：， 故答案为：1和20或4和5． 【点评】此题考查了已知最小公倍数，求这两个互素数的方法，要熟练掌握． 19．（2023秋•松江区校级期中）求12和18的最小公倍数是 　36　． 【分析】找两个数的最小公倍数，需要先将每个数分解质因数，再选取最小公倍数． 【解答】解：，； 根据最小公倍数的定义，可得12和18的最小公倍数是． 故答案为：36． 【点评】本题考查公倍数和最小公倍数． 20．（2023秋•普陀区期中）一个数的最小倍数是12，这个数的因数有 　1，2，3，4，6，12　． 【分析】根据有理数的乘法，即可解答． 【解答】解：根据因数的定义，可得， 故答案为：1，2，3，4，6，12． 【点评】本题考查了因数和倍数，掌握因数的定义是解答本题的关键． 21．（2022秋•奉贤区校级期中）12和30的最小公倍数是 　60　． 【分析】先把12和30进行分解质因数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即求12和30这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可． 【解答】解：把12和30进行分解质因数为：，， 根据最小公倍数的定义，可得12和30的最小公倍数是； 故答案为：60． 【点评】本题考查了最小公倍数，掌握最小公倍数的求法是解答本题的关键． 22．（2022秋•静安区期中）若甲数为，乙数为，则甲数和乙数的最小公倍数是 　60　． 【分析】甲数和乙数的最小公倍数，从而得出答案． 【解答】解：甲数为，乙数为， 根据最小公倍数的定义，可得甲数和乙数的最小公倍数， 故答案为：60． 【点评】本题主要考查最小公倍数，解题的关键是掌握最小公倍数的概念． 23．（2022秋•宝山区期中）正整数16的最小倍数减去它的最大因数，所得的差是 　0　． 【分析】根据“一个数的约数的个数是有限的，最大的约数是它本身，最小的约数是1；一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身”得出：一个数的最大因数和最小倍数相等，即差是0；据此判断． 【解答】解：正整数16的最小倍数是16，最大因数是16， 所以正整数16的最小倍数减去它的最大因数，所得的差是0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了最大公因数和最小公倍数，解答此题应明确：一个数的最大因数和最小倍数相等． 24．（2021秋•青浦区校级期末）定义新运算“”如下：对于两个自然数和，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为，例如：，根据上面的定义运算，　63　． 【分析】根据新运算知道，求，就是求12和15的最大公约数与最小公倍数的和，由此即可解答． 【解答】解：，， 和15的最大公约数是3，最小公倍数是， 所以； 故答案为：63． 【点评】本题考查了最小公倍数和最大公因数，解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可． 25．（2022秋•闵行区校级期中）已知，．如果和的最小公倍数是630，那么　3　． 【分析】根据最小公倍数的计算方法，结合题意，列方程并求解，即可得到答案． 【解答】解：，的最小公倍数是630， ， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元一次方程和最小公倍数的知识；求解的关键是熟练掌握一元一次方程和最小公倍数的性质，从而完成求解． 26．（2022秋•闵行区校级期中）如果两个正整数的最大公因数是6，最小公倍数是72，那么这两个数是 　6，72或18，24　． 【分析】设这两个数分别为，，为正整数，且与互质，，根据题意得出，得出，，或，，，（不符合题意舍去），然后代入依次计算即可． 【解答】解：依题意，设这两个数分别为，，为正整数，且与互质，，则这两个数的最小公倍数是． 即， 从而． 又， 则，，或，，，（不符合题意舍去）． 当，时，，； 当，时，，； 故这两个数分别为6，72或18，24． 故答案为：6，72或18，24． 【点评】主要考查最大公因数与最小公倍数的问题，理解题意，列出式子计算是解题关键． 27．（2023秋•金山区期中）用短除法求36和60的最大公因数和最小公倍数． 【分析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可． 【解答】解：计算得： 根据短除法计算过程可知： 36和60的最大公因数是； 36和60的最小公倍数是． 答：36和60的最大公因数是12，最小公倍数是180． 【点评】此题主要考查求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答． 28．（2023秋•奉贤区期中）用短除法求36和48的最大公因数和最小公倍数． 【分析】根据求最小公倍数的方法可以用短除法求36和48的最小公倍数． 【解答】解： 根据最大公因数的定义，可得36和48的最大公因数是：； 根据最小公倍数的定义，可得36和48的最小公倍数为：． 【点评】本题考查最大公因数和最小公倍数，解答本题的关键是明确求最小公倍数的方法． 五．最小公倍数的应用（共1小题） 29．（2023秋•杨浦区校级月考）为庆祝国庆，外滩甲乙两大楼晚上亮彩灯，甲楼每4分钟亮出“庆祝国庆”字样，乙楼每6分钟亮出国旗图案，甲乙两楼从18点开始同时亮灯． （1）甲乙两楼下一次同时亮出“庆祝国庆”字样和国旗图案是几点几分？ （2）到晚上22点，甲乙两大楼同时亮出“庆祝国庆”字样和国旗图案的次数有几次？ 【分析】（1）先求出4和6的最小公倍数，进一步求得甲乙两楼下一次同时亮出“庆祝国庆”字样和国旗图案是几点几分？ （2）先求出18点到晚上22点所用的时间，再除以最小公倍数即可求解． 【解答】解：（1）因为，，． 故甲乙两楼下一次同时亮出“庆祝国庆”字样和国旗图案是18点12分； （2）因为22时时时分， 所以（次． 故甲乙两大楼同时亮出“庆祝国庆”字样和国旗图案的次数有21次． 【点评】本题考查了最小公倍数，求出4和6的最小公倍数是解题关键． 六．素数（共3小题） 30．（2022秋•普陀区期中）在等式中，3和5都是　　 A．素数 B．互素数 C．素因数 D．公因数 【分析】分别根据素数，因数以及公因数的概念判断即可． 【解答】解：在等式中，3和5都是15素因数． 故选：． 【点评】本题考查了公因数和最大公因数，掌握相关概念是求解本题的关键． 31．（2023秋•普陀区校级期末）如果有两个正整数互素，且它们的和是12，那么这两个数可以是 　5和7，1和11　，（写出所有情况） 【分析】根据互素的定义解答即可． 【解答】解：如果有两个正整数互素，且它们的和是12，那么这两个数可以是5和7，1和11． 故答案为：5和7，1和11． 【点评】本题考查了质数，掌握互素的定义是解答本题的关键． 32．（2022秋•徐汇区期末）最小的素数是 　2　． 【分析】素数就是质数，比如2、3、5、7、13、17，这种数只有1和他本身两个因数． 【解答】解：由素数的定义可知，最小的素数是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了素数，正确理解素数的概念是关键． 七．合数（共3小题） 33．（2022秋•嘉定区期中）下列说法正确的是　　 A．奇数都是素数 B．素数都是奇数 C．合数不都是偶数 D．偶数都是合数 【分析】素数是指只有1和它自身两个因数的自然数；合数指的除了1和它自身以外，还有其它因数的自然数． 【解答】解：．奇数不都是素数，例如9是合数，故原选项不符合题意； ．素数不一定是奇数，如2是素数，但2是偶数，故原选项不符合题意； ．合数不都是偶数，说法正确，故原选项符合题意； ．偶数都是合数，说法错误，2是偶数，但不是合数，故原选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了有理数，素数及合数的相关概念，明确相关概念是解题的关键． 34．（2023秋•闵行区期中）最小的素数与最小的合数的和是 　6　． 【分析】根据素数、合数的含义，可得：最小的素数是2，最小的合数是4，用2加上4，求出它们的和是多少即可． 【解答】解：最小的素数是2，最小的合数是4， 它们的和是：． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了合数和质数的认识，要熟练掌握． 35．（2023秋•杨浦区期中）一个两位数，十位数是最小的合数，个位数是最小的素数，则这个两位数是 　42　． 【分析】根据合数和素数的定义解答即可． 【解答】解：十位数是最小的合数， 十位数是4； 个位数是最小的素数， 个位数是2， 这个两位数是42． 故答案为：42． 【点评】此题主要考查了合数与质数的初步认识，正确把握相关定义是解题关键． 八．分解素因数（共5小题） 36．（2023秋•崇明区期中）把24分解素因数，正确的形式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分解质（素因数的意义和方法，把一个合数写成几个质数（素数）连乘积的形式，叫做分解质（素因数． 【解答】解：． 故选：． 【点评】此题主要考查分解质因数的意义和方法，一定要注意每个因数必须是质数． 37．（2023秋•杨浦区校级期中）已知，则的素因数有 　6　个，因数有 　　个． 【分析】根据素因数的概念解答即可． 【解答】解：，故3、3、3、5、5、5，应该是6个； 的素因数有6个，因数有1，3，，，，，，，，，，，，5，，，共16个． 故答案为：6，16． 【点评】此题考查因数，关键是根据素因数的概念解答． 38．（2023秋•普陀区期中）把72分解素因数：　　． 【分析】素因数也叫质因数，分解素因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积的形式． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了合数分解素因数，要熟练掌握． 39．（2023秋•黄浦区期中）分解素因数：　　． 【分析】按分解素因数的方法进行分解即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了分解素因数的方法，数字大的可以用短除法分解素因数． 40．（2023秋•浦东新区期中）一个数的最大因数是18，把这个数分解素因数是 　　． 【分析】根据一个数的最大因数是它本身，再根据分解素因数的定义解答即可． 【解答】解：一个数的最大因数是18，则这个数是18； 把18分解素因数为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了最大公因数和分解质因数，掌握相关定义是解答本题的关键． $$