第十三章 轴对称（B卷·拔高培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（湖北专用，人教版）

( ) ( ) 第13章 轴对称（B卷·拔高培优卷） 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] ) ( 第 Ⅱ 卷 （请在各试题的答题区内作答） ) ( 二、填空题（本题共 6 小题， 每小题 3 分 ，共1 8 分） 11.______________ 12.______________ 13.______________ 14.______________ 15.______________ 1 6 .______________ 三、解答题（本大题共8个小题，满分7 2 分） 1 7 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8 ．（ 8 分） 1 9 .（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 .（ 8 分） 2 1 .( 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 . （ 10 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 .（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 .（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 轴对称（B卷·拔高培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项: 亲爱的同学,在你答题前,请认真阅读下面的注意事项: 1.答题前,将你的姓名,准考证号填写在“试卷”和“答题卡"的相应位置. 2.答选择题时,选出每小答案后,用2B 铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案写在“试卷"上无效. 3.答非选择题时,答案用0.5毫米黑色签字笔书写在“答题卡"上,答案写在“试卷”上无效. 4.认真阅读答题卡上的注意事项 预祝你取得优异成缋! 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．下列图形中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，折叠后对称轴两旁的图形重合． 根据轴对称图形的意义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 2．已知一个等腰三角形有一个角为，则底角是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况：①若该角是顶角，②若该角是底角，分别求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： ①若该角是顶角，则底角为：， ②若该角是底角，则底角为：， 故选：C． 3．如图，是等边的中线，作，交的延长线于点．若，则长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等角对等边，由等边三角形的性质得出，，，求出，推出，进而求出的长即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是等边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 4．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 5．如图，在中，，，的垂直平分线交于点M，交于点N，，则（    ） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定及性质、直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．连接，先利用线段垂直平分线的性求得，再求，然后利用直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如下图，连接， ∵的垂直平分线交于点M，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 6．如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，，则四边形的周长为（           ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟记性质得到相等的边是解题的关键． 根据轴对称图形的性质得出，，进而求出即可． 【详解】∵四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，， ∴，， 则四边形的周长为：． 故选：B． 7．如图，，，则图中的等腰三角形的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，根据三角形内角和分别计算出、、、、的度数，再根据等角对等边可判断出等腰三角形的个数，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 【详解】∵，， ∴和是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 同理是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 同理可得是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有个， 故选：． 8．如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点间线段最短，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是关键．由等腰三角形三线合一的性质，得到垂直平分，则，从而得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中线， ，， 垂直平分， ， ， 即的最小值是线段的长， 故选：C． 9．如图，是等边的角平分线，，垂足为点E，线段的垂直平分线交于点P，垂足为F，若，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质．连接，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，由是等边的角平分线，根据等边三角形的性质可得，，进而可得，然后由直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得，，然后由，可得，代入数据计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点P， ∴， ∴， ∵是等边的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 10．如图，是等腰三角形，在所在平面内有一点，且使得，，均为等腰三角形，则符合条件的点共有（    ）    A．1个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出的垂直平分线，首先的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于两点，其中一点是点，另一点为符合要求的点；再以点为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于两点，这两点也符合条件；在的左边作一个，使，结合全等三角形的性质可确定符合条件的点，同理在的右边作一个，也可获得符合条件的点． 【详解】解：如下图，    ①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，这点就是符合要求的点； ②作的垂直平分线，以点为圆心、长为半径画弧，与的垂直平分线有两个交点，其中一点是点，另一点为符合要求的点； ③作的垂直平分线，以点为圆心、长为半径画弧，与的垂直平分线有两个交点，这两点为符合要求的点； ④在的左边作一个，使，这点也是符合要求的点； ⑤同理在的右边作一个，使，这点也是符合要求的点． 所以，共有6个符合条件的点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解答本题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上） 11．如下图，在中，，，，若，则的度数是 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质可得，进而可证明，得到，即可得，最后根据平角的定义即可求解，掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为 ． 【答案】6或8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和12两部分，然后分别列方程求解即可． 【详解】解：设腰长为x，底边长为y， 由题意知，周长的两部分为9和12， 则或， 解得：或； 经检验，都符合三角形的三边关系． 所以等腰三角形的腰长为6或8． 故答案为：6或8． 13．如图，点D在上，，，则 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，由等边对等角得出，结合三角形外角的定义及性质得出，再由三角形内角和定理计算得出，从而推出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，的垂直平分线分别交，于，两点，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据三角形周长的定义得到的周长为． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长 故答案为：． 15．如图，在等腰三角形中，，已知的平分线与线段的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O 重合，则的度数是 ． 【答案】/105度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和折叠的性质，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理先求出，再由三线合一定理和角平分线的定义得到垂直平分，，则，，再由线段垂直平分线的性质得到，则，据此求出的度数，再求出的度数，即可根据周角的定义求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在等腰三角形中，， ∴， ∵平分， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，以为边作等边，连接，证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，则的最小值为，再直角三角形的性质求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴最小时，有最小值， ∵为直线上的动点，过点作于点， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）在等腰三角形中，，垂直平分，已知，求．    【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，正确进行角度的计算是关键． 根据垂直平分，可得，再由，可求出的度数，再根据即可求解． 【详解】∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（8分）如图，中，，E是的中点，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等边对等角，三角形的外角性质，先由E是的中点得，证明，因为，且结合等边对等角以及角的等量代换得，再证明，由全等三角形的对应角相等得，即可作答． 【详解】证明：延长到M，使，连接，如图所示： ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴ 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即平分． 19．（8分）如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N； (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题主要考查了尺规作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可； （2）由线段的垂直平分线的性质可得：，从而将的周长转化为：，即，依此可求． 【详解】（1）解：如图所示：直线为所求． （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴． 20．（8分）如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键在于通过平行线的性质找出角度的相等，进而转变为边长相等． （1）根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得，同位角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边的性质即可得证； （2）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，再根据，，整理即可得解． 【详解】（1）证明：如图， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 21．（8分）如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D，E． (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可证得结论； （2）由垂直平分线的性质可求得，且，可证明为等边三角形． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ； （2）解：是等边三角形， 理由如下：连接． 垂直平分， ∴， ，， ， ∴， ， 是等边三角形． 22．（10分）如图，中，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，连接． (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识．熟练掌握垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由垂直平分，垂直平分，可得，由的周长为，可得，根据，求解作答即可； （2）由，可求，由，可得，则，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴线段的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 23．（10分）如图，在等边三角形中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)若与交于点O，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）根据等边三角形的性质，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形，等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵等边三角形，等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 24．（12分）在直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，线段两端点坐标为，，；直线轴交轴于，且线段与关于轴对称，线段与关于直线对称． (1)求点N，M的坐标（用含m，a的式子表示）． (2)与通过平移能重合吗？能与不能都要说明其理由，若能请你说出一个平移方案（平移的单位数用、表示）． 【答案】(1)； (2)能重合，理由和方案见解析． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，解题时注意：关于轴对称的两点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；向上平移时，纵坐标增加，向左平移时，横坐标减小． （1）先根据与关于轴对称，得到两端点坐标，再设与直线之间的距离为，根据与关于直线对称，与轴之间的距离为，求得的横坐标即可； （2）先判定，得出与通过平移能重合，再根据对应点的位置，写出平移方案即可． 【详解】（1）与关于轴对称，两端点坐标为，， ，， 设与直线之间的距离为， 与关于直线对称，与轴之间的距离为， 与轴之间的距离为， ， 的横坐标为， ，； （2）能重合． ， 又轴，轴， ， ， 与通过平移能重合． 平移方案：将向上平移个单位后，再向左平移个单位，即可重合． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 轴对称（B卷·拔高培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项: 亲爱的同学,在你答题前,请认真阅读下面的注意事项: 1.答题前,将你的姓名,准考证号填写在“试卷”和“答题卡"的相应位置. 2.答选择题时,选出每小答案后,用2B 铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案写在“试卷"上无效. 3.答非选择题时,答案用0.5毫米黑色签字笔书写在“答题卡"上,答案写在“试卷”上无效. 4.认真阅读答题卡上的注意事项 预祝你取得优异成缋! 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．下列图形中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知一个等腰三角形有一个角为，则底角是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 3．如图，是等边的中线，作，交的延长线于点．若，则长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，的垂直平分线交于点M，交于点N，，则（    ） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 6．如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，，则四边形的周长为（           ） A． B． C． D． 7．如图，，，则图中的等腰三角形的个数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，是等边的角平分线，，垂足为点E，线段的垂直平分线交于点P，垂足为F，若，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 10．如图，是等腰三角形，在所在平面内有一点，且使得，，均为等腰三角形，则符合条件的点共有（    ）    A．1个 B．4个 C．5个 D．6个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上） 11．如下图，在中，，，，若，则的度数是 度． 12．等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为 ． 13．如图，点D在上，，，则 ． 14．如图，在中，的垂直平分线分别交，于，两点，若，，则的周长为 ． 15．如图，在等腰三角形中，，已知的平分线与线段的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O 重合，则的度数是 ． 16．如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）在等腰三角形中，，垂直平分，已知，求．    18．（8分）如图，中，，E是的中点，求证：平分． 19．（8分）如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N； (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 20．（8分）如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 21．（8分）如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D，E． (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 22．（10分）如图，中，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，连接． (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 23．（10分）如图，在等边三角形中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)若与交于点O，当时，求的长． 24．（12分）在直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，线段两端点坐标为，，；直线轴交轴于，且线段与关于轴对称，线段与关于直线对称． (1)求点N，M的坐标（用含m，a的式子表示）． (2)与通过平移能重合吗？能与不能都要说明其理由，若能请你说出一个平移方案（平移的单位数用、表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$