专题3.1函数概念及其定义域与值域（考点精讲）-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题3.1 函数概念及其定义域与值域 一、【考纲要求】 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域. 2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 二、【考向预测】 1.函数的概念及其表示法 2.同一个函数的辨别 3.求函数的定义域和值域 4.分段函数 三、【知识清单】 1.函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 2.基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 3.基本初等函数的值域 (1)的值域是. (2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为． (3)的值域是. (4)且的值域是. (5)且的值域是. 4.分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 5.复合函数： 一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作，其中叫做复合函数的外层函数，叫做的内层函数. 6.抽象函数的定义域的求法： (1)若已知函数的定义域为，则复合函数的家义域由求出. (2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域. 四、【方法与技巧】 1.已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集. (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可. 2.函数解析式的常见求法 (1)配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换. (2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可. (3)换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围. (4)解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出． 3.分段函数 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。 五、【考点分类剖析】 考点一：函数的概念 例1.下列四个图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义一一分析选项即可. 【解析】对于A，B，C选项中的图象，每一个的取值均有唯一的一个值与其对应， 符合函数定义，则A，B，C中图象均为函数图象； 对于D选项，每一个的取值，都有两个值与其对应，不符合函数的定义， 则D中图象不是函数图象． 故选：D 【变式练习1】设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应. 【解析】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 【变式练习2】下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 【答案】② 【分析】根据函数的定义，即可求解. 【解析】在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应，①正确； 若函数,定义域为，但值域为，故②错误， 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了，故③正确， 由于对任意的，有唯一的与之对应，故函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素，④正确， 故答案为：② 考点二、相同函数的判断 例2.与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，对原不等式等价变形即可. 【解析】由得， 所以． 故选：C． 【变式练习1】下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．与 C．， D．， 【答案】A 【分析】由同一函数的对应法则和定义域都相同判断各项是否为同一函数. 【解析】A：与法则相同，且定义域为R，是同一函数； B：的定义域为，的定义域为或，不是同一函数； C：的定义域为R，的定义域为，不是同一函数； D：的定义域为，而定义域为R，不是同一函数. 故选：A 【变式练习2】．给出下列三个函数：①；②；③．  其中与函数相同的函数的序号是 ． 【答案】② 【分析】依次判断函数的定义域、解析式是否与已知函数的定义域、解析式都相同，找出相同函数 【解析】的定义域为，与定义域不同，与定义域、解析式均相同，，与解析式不同， 故选② 【关键点拔】判断两个函数是否为相同函数，只要比较两个函数的定义域，对应关系是否都相同，如果都相同就是相同函数 考点三、求具体函数的定义域 例3.函数的定义域为 【答案】 【分析】由分式的分母不为零，偶次根式的被开方数为非负数，零次幂的底数不为零，求解函数的定义域即可. 【解析】由，解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为： 【变式练习1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出两集合，再求两集合的交集即可. 【解析】由，得，由，得， 则，， 所以． 故选：D 【变式练习2】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，列不等式组求解即可. 【解析】由题意可得解得或. 所以函数的定义域为. 故选：A 考点四、求抽象函数的定义域 例4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求解即可 【解析】函数的定义域为， 由，得， 则函数的定义域为 故选：C 【变式练习1】已知的定义域为，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抽象函数定义域的解法即可得解. 【解析】因为的定义域为，即，则， 所以，所以的定义域为. 故选：C. 【变式练习2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 【解析】函数的定义域为，所以， ， 所以的定义域为， 对于函数，由， 得，所以函数的定义域为. 故选：C 【变式练习3】已知函数的定义域，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据复合函数的定义域与分式函数的定义域求解即可. 【解析】由题意，，解得，即定义域为. 故答案为： 考点五、求函数的解析式 例5.已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解. 【解析】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 【变式练习1】图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将代入即可. 【解析】设图象是以为顶点的二次函数（）． 因为图象过原点，所以，，所以． 故选：A 【变式练习2】若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式. 【解析】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. 【变式练习3】已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 . 【答案】 【分析】根据题意，假设出二次函数的顶点式，再将点代入即可得解. 【解析】因为的对称轴为，函数在上最小值为， 所以可设， 将代入，得，解得， 故. 故答案为：. 【变式练习4】若函数，则 . 【答案】 【分析】利用配凑法求解函数的解析式即可. 【解析】函数，又的值域为， ， 故答案为：. 【变式练习5】若，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】直接利用换元法求函数解析式即可. 【解析】令，则，因为， 所以，故， 故答案为：． 考点六、求常见函数的值域 例6.函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用二次函数以及反比例函数性质计算可得结果. 【解析】易知函数的值域为， 再根据反比例函数性质可得的值域即为. 故答案为： 【变式练习1】函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分离常数，求得值域. 【解析】， 因为，所以，所以值域为. 故答案为：. 【变式练习2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由集合交集的运算，即可得到结果. 【解析】由题意可得，， ，则. 故选：D 【变式练习3】已知且，若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义计算即可. 【解析】根据题意，集合是一个由所有整数的平方数构成的集合，集合中只有和不是中的元素． 故选：C． 考点七、求分段函数的值 例7.设，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】直接代入计算即可. 【解析】， ， . 故选：B. 【变式练习1】已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，代入准确运算，即可求解. 【解析】由函数，则. 故选：D. 【变式练习2】设函数，则 . 【答案】20 【分析】根据自变量范围选择对应解析式依次求解即可. 【解析】：∵函数， ， . 故答案为：20. 考点八、分段函数与方程、不等式问题 例8.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段讨论求解， 【解析】原不等式等价于或，解得， 故选：C 【变式练习1】已知函数f(x)=则不等式f(x)的解集是 . 【答案】[，2] 【分析】由题意得或从而可求得答案 【解析】由题意得或 解得x0或0<x2， 即不等式的解集为[，2]. 故答案为：[，2]. 【变式练习2】设函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分两种情况解不等式即可 【解析】：当时，，解得（舍去） 当时，，得，解得或（舍去） 综上，实数的取值范围为， 故答案为： 【变式练习3】已知则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，分和两种情况讨论求解. 【解析】当，即时，，不等式化为，解得， ； 当，即时，，不等式化为恒成立， ， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 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(2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域. 四、【方法与技巧】 1.已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集. (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可. 2.函数解析式的常见求法 (1)配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换. (2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可. (3)换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围. (4)解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出． 3.分段函数 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。 五、【考点分类剖析】 考点一：函数的概念 例1.下列四个图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 考点二、相同函数的判断 例2.与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． ． 【变式练习1】下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．与 C．， D．， 【变式练习2】．给出下列三个函数：①；②；③．  其中与函数相同的函数的序号是 ． 考点三、求具体函数的定义域 例3.函数的定义域为 【变式练习1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 考点四、求抽象函数的定义域 例4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】已知的定义域为，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式练习2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】已知函数的定义域，则函数的定义域是 . 考点五、求函数的解析式 例5.已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 . 【变式练习4】若函数，则 . 【变式练习5】若，则的解析式为 ． 考点六、求常见函数的值域 例6.函数的值域是 . 【变式练习1】函数的值域是 ． . 【变式练习2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】已知且，若集合，，则（    ） A． B． C． D． ． 考点七、求分段函数的值 例7.设，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式练习1】已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式练习2】设函数，则 . 考点八、分段函数与方程、不等式问题 例8.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】已知函数f(x)=则不等式f(x)的解集是 . 【变式练习2】设函数，若，则实数的取值范围是 ． 【变式练习3】已知则不等式的解集是 ． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$