专题02有理数及其运算（17个考点清单+15种题型解读）（期中复习知识清单）六年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题02 有理数及其运算 （17个考点清单+15种题型解读） 【清单01】负数的概念 ◆具有相反意义的两个量，其中一种意义的量规定为正(+)，另一种与之相反的量规定为负(-). 【清单02】有理数的分类 【清单03】数轴 ◆1、规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴. ◆2、利用数轴比较大小：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 两个负数，绝对值大的反而小. 【清单04】绝对值 ◆1、在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离，就叫做这个 数的绝对值。 ◆2、一个正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。 【清单05】相反数 ◆1、只有符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数。 ◆2、多重符号的化简：奇负偶正。 【清单06】有理数的加法法则 1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2、异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并较大 的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等时，和为0。 3、一个数和0相加，仍得这个数。 【清单07】有理数加法运算律 加法的交换律：a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 【清单08】有理数的减法法则 ◆1、减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为: a - b = a + (-b). ◆2、任何数减0等于这个数本身，0减任何数等于这个数的相反数。 【清单09】有理数的加减混合运算步骤 1.将减法转化为加法运算； 2.运用加法交换律和结合律,可以简便计算就简便计算； 3.按有理数加法法则计算． 【清单10】有理数乘法法则 ◆1、两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘. ◆2、几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.     当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.（奇负偶正） ◆3、几个数相乘,有一个因数为0,积为0. ◆4、任何数和1相乘，结果等于它本身；任何数和-1相乘，结果等于它的相反数. 【清单11】倒数 ◆如果两个有理数的乘积为1 ,我们称这两个有理数互为倒数. ①0没有倒数；②负数的倒数也是负数，-1的倒数是它本身. 【清单12】有理数的乘法运算律 ◆1、乘法交换律：ab＝ba. ◆2、乘法结合律：(ab)c＝a(bc). ◆3、分配律：a×(b+c)= a×b + a×c 【清单13】有理数除法法则 · 法则（一） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不为0的数，仍得0，0不能做除数. · 法则（二） 除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数. 幂 指数 底数 【清单14】有理数的乘方 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在乘方运算an中，a叫做底数，n叫做a的幂的指数，简称指数. 【清单15】有理数的乘方的符号法则 正数的任何次乘方都取正号; 负数的奇次乘方取负号,负数的偶次乘方取正号． 【清单16】科学记数法 一个绝对值大于10的数可记成±a×10n的形式，其中1≤a<10，n等于原数的整数位数减1. 【清单17】近似数 取近似数的方法 ：四舍五入法 【考点题型一】负数的概念 【例1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】此题主要考查了正数和负数的意义，根据正负数的意义即可得出答案，理解正数和负数是具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵收入3元记作元， ∴支出5元，记作元， 故选：A． 【变式1-1】我国东汉初的著名数学著作《九章算术》中就明确提出了“正负术”，如果收入100元记作元，那么元表示（    ） A．收入20元 B．支出20元 C．收入80元 D．支出80元 【答案】D 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 【详解】解：∵收入100元记作元， ∴元表示支出80元， 故选：D． 【变式1-2】我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向北走5步记作步，那么向南走7步记作（   ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】A 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：向北走5步记作步， 向南走7步记作步． 故选：A． 【考点题型二】有理数的分类 【例2】有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 【详解】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 【变式2-1】下列说法正确的有（     ） ①一个数不是正数就是负数；②海拔表示比海平面低； ③负分数不是有理数；④零是最小的数； ⑤零是整数，也是正数；⑥是最大的负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用正数和负数的定义判断即可. 【详解】解：0既不是正数也不是负数，①错误； 海拔表示比海平面低，②正确； 负分数是有理数，③错误； 负数比零小，④错误； 零是整数，不是正数，⑤错误； 是最大的负整数，⑥错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了对有理数有关内容的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，解题的关键是掌握正数和负数的定义以及注意0的特殊性． 【变式2-2】把下列各数填在相应的大括号里． ，，，，，，，，，． 正整数：{______________}； 非正数：{______________}； 负分数：{______________}； 有理数：{______________}． 【答案】，；，，，；，；，，，，，，，． 【分析】本题考查了正整数、非正数、负分数、有理数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正整数、非正数、负分数、有理数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：，， 正整数：{，}； 非正数：{，，，}； 负分数：{，}； 有理数：{，，，，，，，}； 故答案为：，；，，，；，；，，，，，，，． 【考点题型三】用数轴上的点表示有理数 【例3】画出数轴，并回答下列问题： (1)在数轴上表示下列各数，并把它们用“＜”连接起来． 、1、、0、、． (2)在数轴上标出表示的点M，写出将点M平移4个单位长度后得到的数． 【答案】(1)见解析， (2)见解析，3或 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较的应用，能正确比较两个数的大小是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． （1）画出数轴，在数轴上表示各数即可求解； （2）先在数轴上标出表示的点，再写出将点平移4个单位长度后得到的数是3或即可求解． 【详解】（1）如图所示： 故； （2）如图所示：将点平移4个单位长度后得到的数是3或． 【变式3-1】在数轴上表示出下列各数，并把它们按从小到大的顺序用“”号连接起来． ，3，0，，，． 【答案】，见解析 【分析】先在数轴上表示，再根据数轴上靠近右边的数大于靠近左边的数，比较即可． 本题考查了数轴上表示有理数，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． 【详解】解：∵，3，0，，，， ∴数轴表示如下： 故． 【考点题型四】绝对值、相反数、倒数的概念 【例4】下列各对数中，互为相反数的是（ ） A．与 B．与 C．－|－0.01|与 D．与0.3 【答案】C 【分析】先化简，根据相反数的定义：只有符号不同的两个数即可求解． 【详解】解：A．−（＋5）＝−5，＋（−5）＝−5，选项A不符合题意； B．−（＋0.5）＝−0.5，与相等，选项B不符合题意； C．−|−0.01|＝−0.01，−（）＝＝0.01，−0.01与0.01互为相反数，选项C符合题意； D．与0.3不是相反数，选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相反数，掌握相反数的定义即可求解． 【变式4-1】已知表示有理数，的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴和去绝对值，根据数轴分别判断，，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】由数轴可得，，， ∴ ， ， 故选：． 【变式4-2】一个数的倒数是，则这个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：一个数的倒数是，所以这个数是， 故选：D． 【变式4-3】 填空： （1）的相反数是 ，倒数是 ； （2）的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的定义等知识点，掌握相关定义成为解题的关键． （1）根据相反数、倒数的定义即可解答； （2）根据相反数、倒数、绝对值的定义即可解答． 【详解】解：（1）的相反数是，倒数是； 故答案为：，． （2）的相反数是，倒数是，绝对值是． 故答案为：、、． 【变式4-3】若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数和绝对值的意义，根据、互为相反数，、互为倒数，，求出，，，利用整体代入的思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数，， ∴，，， ∴， ， ， ． 【考点题型五】多重符号的化简 【例5】 ， 【答案】 2 【分析】根据多重符号化简，即可解答； 【详解】；；． 故答案为：；；2． 【点睛】该题主要考查了多重符号化简，解题的关键是熟练掌握多重符号化简． 【变式5-1】化简： ， ， ． 【答案】 7 【分析】根据相反数的意义化简即可解答． 【详解】解：，，． 故答案为：7，，． 【点睛】本题主要考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数叫做相反数． 【变式5-2】化简下列各数： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 【答案】①8；②；③；④3.8 【分析】利用化简多重符号的方法即可求解． 【详解】解：①； ②； ③； ④． 【点睛】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符号的方法是解题的关键． 【考点题型六】有理数比较大小 【例6】比较大小： (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，后比较大小，解答即可． （2）先化简，后比较大小，解答即可． 本题考查了有理数大小的比较，熟练掌握负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴. （2）解：∵，， ∴. 【变式6-1】已知一组数：，0，，，． (1)把这些数在下面的数轴上表示出来：    (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查的是有理数与数轴，有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． （1）先化简，再把各数在数轴上表示出来即可； （2）根据各数在数轴上的位置从左到右用“<”连接起来． 【详解】（1）解：，，如图所示，      （2）解：由图可知，． 【变式6-2】先比较下列各式的大小，再回答问题． (1)_____； (2)______； (3)_______； (4)再举出一些类似的比较大小的算式，归纳出当a，b为有理数时，与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了绝对值的意义，比较有理数的大小，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义得到，，即可得解； （2）根据绝对值的意义得到，，即可得解； （3）根据绝对值的意义得到，，即可得解； （4）根据前面的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ∴； （2）解：，， ∴； （3）解：，， ∴； （4）解：例如，，故， 故当a，b为有理数时，与的大小关系为． 【考点题型七】有理数加法运算律 【例7】(1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则和加法的运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可； （2）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可； （3）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可； （4）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式7-1】计算： (1)； (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）运用有理数的加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）运用有理数的加法的交换律和结合律进行计算即可． 本题考查有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减运算法则是解题的关键．注意运用加法运算律简便运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式7-2】阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题． （1）计算： 【解析】 原式= = = =， 上面这种解题方法叫做拆项法． （2）计算： 【答案】． 【分析】先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得． 【详解】原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键． 【考点题型八】有理数加减混合运算 【例8】计算： (1)． (2)． 【答案】(1)20 (2)5 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．熟练掌握化简符号，加法结合律，是解决问题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式8-1】学习了绝对值的概念后、我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，．根据以上阅读完成下面的问题： (1)________． (2)若有理数，则_______． (3)请利用你探究的结论计算下面的式子：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】此题考查了绝对值．熟练掌握绝对值的代数意义，相反数意义，有理数加减法法则，是解本题的关键． （1）原式利用绝对值的代数意义化简，计算，即可求出值； （2）判断的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算，即可求出值； （3）原式利用绝对值的代数意义化简，再根据有理数的加减法合并，最后计算即可求出值． 【详解】（1）， 故答案为：1； （2）∵, 即， ∴， 故答案为：； （3）原式 【考点题型九】有理数乘法运算律 【例9】用简便方法计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）根据乘法分配律的逆用进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式9-1】计算： (1) (2) (3) (4)用简便方法计算： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数乘法分配律： （1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）根据有理数的加减计算法则求解即可； （3）根据有理数乘法分配律求解即可； （4）先把原式变形为，再根据有理数乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 【考点题型十】有理数乘除混合运算 【例10】计算的结果是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除法计算法则进行计算即可． 【详解】解：因为， 故选：D． 【变式10-1】. 先阅读下列例题，然后进行解答： 例：计算 解：因为 所以， 请根据你的理解解答下列各题： (1)计算： (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先拆分，再抵消法计算即可求解； （2）先拆分，再抵消法计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式10-2】下面各题，怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了简便运算，熟练掌握加法与乘法的运算律是解题的关键； （1）根据乘法对加法的分配律进行计算即可求解； （2）根据分配律进行计算即可求解； （3）先计算括号内的，然后计算除法，即可求解； （4）根据乘法交换律进行计算即可求解； （5）根据分配律进行计算即可求解； （6）根据加法交换律进行计算即可求解 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： 【考点题型十一】有理数的乘方运算 【例11】3．0.8，，，20%，0，，，这八个数中，非负数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类．解题的关键是熟练掌握绝对值的化简，符号化简，乘方运算法则，有理数的分类． 化简符号，根据有理数的分类进行解答即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴这八个数中，非负数有：0.8，，20%，0，， 共5个． 故答案为：C． 【变式11-1】有理数中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了负数的定义，化简多重符号，绝对值和乘方运算，熟知相关知识是解题的关键． 先化简多重符号和绝对值，再根据负数的定义求解即可． 【详解】解：， ∴有理数，中是负数的有，共3个， 故选：C． 【变式11-2】若、满足，则（  ） A． B．9 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质可求出、的值，再将它们代入中求解即可． 【详解】∵、满足， ∴，；，； 则． 故选：B． 【考点题型十二】有理数混合运算 【例12】计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5) 【答案】(1)7 (2) (3)0 (4) (5) 【分析】（1）根据有理数的减法法则求解即可； （2）先计算绝对值，然后根据有理数的减法法则求解即可； （3）根据有理数的加法法则求解即可； （4）利用乘法的分配律计算即可； （5）先计算乘方、括号里的式子、绝对值，然后计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 （5）解：原式 ． 【变式12-1】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，灵活运用运算法则成为解题的关键． 先算乘方和绝对值，然后根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式12-2】.计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)9 (3) (4) 【分析】此题考查有理数的混合运算，注意抓住运算顺序和符号的判定． （1）先计算乘方，再算除法，最后算加减即可； （2）先算括号里面的，再计算乘除，最后算加减； （3）先算乘方，再化除法为乘法，再运用乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，再算除法和乘法，最后算加减法． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【考点题型十三】有理数的实际应用 【例13】小虫从点A出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的路程依次为：（单位：cm）①+5，②-3，③+10，④-8，⑤-6，⑥+11，⑦-9． (1)小虫最后是否回到出发点A，说明理由； (2)小虫在第几次爬行后离点A最远，此时距离点A多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，那么小虫一共得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后回到出发点A，理由见解析 (2)第3次，12 cm (3)52粒 【分析】（1）将七个数相加即可得到结果； （2）依次计算每次爬行后与出发点的距离，即可判断； （3）将七次的路程相加乘以1即可得到答案． 【详解】（1）解：小虫最后回到出发点A，理由如下： ∵， ∴小虫最后回到出发点A； （2）解：第1次：0+5=5， 第2次：5-3=2， 第3次：2+10=12 第4次：12-8=4， 第5次：∣4-6∣=∣-2∣=2， 第6次：-2+11=9， 第7次：9-9=0， ∴第3次爬行后离点A最远，此时距离点A12厘米； （3）解：=52（粒）， ∴小虫一共得到52粒芝麻． 【点睛】此题考查有理数的加法运算，正确理解题意即可列式计算． 【变式13-1】世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，，（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)请通过计算说明守门员最后是否回到球门线上？ (2)请通过计算说明守门员共跑动了多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．直接写出在这一时间段内，守门员离球门最远距离________米，对方球员有________次挑射破门的机会． 【答案】(1)守门员最后没有回到球门线上 (2) (3)21；4 【分析】本题考查了有理数加减混合运算的应用，掌握有理数的加法运算是解题的关键． （）根据题意列式计算，根据计算结果进行判断即可； （）将守门员每次运动的路程相加，即可得出答案； （）根据有理数的加法，可得每次守门员与球门线的距离，再进行比较可得答案． 【详解】（1）解：， ∵ ∴守门员最后没有回到球门线上； （2）解： ， 答：守门员共跑动了； （3）解：第一次离开球门线， 第二次离开球门线， 第三次离开球门线， 第四次离开球门线， 第五次离开球门线， 第六次离开球门线， 第七次离开球门线， 第八次离开球门线， ∵， ∴守门员离开球门线的最远距离为；对方球员有4次挑射破门的机会． . 【变式13-2】如图，在纸面上有一个数轴，折叠纸面． (1)当沿原点折叠，表示1的点与表示的点重合时，表示2的点与表示___________的点重合； (2)当沿表示的点折叠，表示1的点与表示的点重合时．回答下列问题： ①表示3的点与表示___________的点重合； ②若数轴上两点（在的左侧）经折叠后重合，且到折叠点的距离为5，求两点表示的数分别是多少？ 【答案】(1) (2)①；②点表示的数是，点表示的数是 【分析】本题主要考查了数轴、有理数运算等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）根据数轴的特征，结合折叠的性质解答即可； （2）①根据数轴的特征，结合折叠的性质解答即可；②根据题意，结合数轴解答即可． 【详解】（1）解：沿原点折叠，表示1的点与表示的点重合时，表示2的点与表示的点重合． 故答案为：； （2）①∵，， ∴表示3的点与表示的点重合． 故答案为：； ②∵沿表示的点折叠，且到折叠点的距离为5，在的左侧， ∴点表示的数是，点表示的数是． 【考点题型十四】科学记数法 【例14】据中国经济网2024年1月30日报道，2023年，安徽粮食播种面积达到11000万亩．其中数据11000万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】11000万． 故选：A． 【变式14-1】交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 【变式14-2】中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》传播数据创下新纪录，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．将数据14200000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【考点题型十五】近似数 【例15】下列说法正确的是（　　） A．近似数2.8与2.80表示的意义相同 B．0.010有一个有效数字 C．精确到千位 D．由四舍五入得近似数43.0，精确到个位 【答案】C 【分析】本题考查近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位． 【详解】． 近似数精确到十分位，精确到百分位，该选项错误，不符合题意； ．0.010有二个有效数字该选项错误，不符合题意； ．精确到千位，该选项正确，符合题意； ．由四舍五入得近似数43.0，精确到十分，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式15-1】A．近似数精确到了千分位； B．用四舍五入法得到的近似数精确到了； C．将70350用科学记数法表示得； D．按科学记数法表示的数还原为 505000 【答案】D 【分析】本题考查了近似数、科学记数法，熟练掌握近似数的定义、科学记数法的表示方法是解题的关键．根据近似数、科学记数法的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．近似数精确到千位，故该选项不正确，不符合题意； B．用四舍五入法得到的近似数精确到了，故该选项不正确，不符合题意； C．将70350用科学记数法表示得，故该选项不正确，不符合题意；     D．按科学记数法表示的数还原为 505000，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数及其运算 （17个考点清单+15种题型解读） 【清单01】负数的概念 ◆具有相反意义的两个量，其中一种意义的量规定为正(+)，另一种与之相反的量规定为负(-). 【清单02】有理数的分类 【清单03】数轴 ◆1、规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴. ◆2、利用数轴比较大小：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 两个负数，绝对值大的反而小. 【清单04】绝对值 ◆1、在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离，就叫做这个 数的绝对值。 ◆2、一个正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。 【清单05】相反数 ◆1、只有符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数。 ◆2、多重符号的化简：奇负偶正。 【清单06】有理数的加法法则 1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2、异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并较大 的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等时，和为0。 3、一个数和0相加，仍得这个数。 【清单07】有理数加法运算律 加法的交换律：a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 【清单08】有理数的减法法则 ◆1、减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为: a - b = a + (-b). ◆2、任何数减0等于这个数本身，0减任何数等于这个数的相反数。 【清单09】有理数的加减混合运算步骤 1.将减法转化为加法运算； 2.运用加法交换律和结合律,可以简便计算就简便计算； 3.按有理数加法法则计算． 【清单10】有理数乘法法则 ◆1、两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘. ◆2、几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.     当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.（奇负偶正） ◆3、几个数相乘,有一个因数为0,积为0. ◆4、任何数和1相乘，结果等于它本身；任何数和-1相乘，结果等于它的相反数. 【清单11】倒数 ◆如果两个有理数的乘积为1 ,我们称这两个有理数互为倒数. ①0没有倒数；②负数的倒数也是负数，-1的倒数是它本身. 【清单12】有理数的乘法运算律 ◆1、乘法交换律：ab＝ba. ◆2、乘法结合律：(ab)c＝a(bc). ◆3、分配律：a×(b+c)= a×b + a×c 【清单13】有理数除法法则 · 法则（一） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不为0的数，仍得0，0不能做除数. · 法则（二） 除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数. 幂 指数 底数 【清单14】有理数的乘方 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在乘方运算an中，a叫做底数，n叫做a的幂的指数，简称指数. 【清单15】有理数的乘方的符号法则 正数的任何次乘方都取正号; 负数的奇次乘方取负号,负数的偶次乘方取正号． 【清单16】科学记数法 一个绝对值大于10的数可记成±a×10n的形式，其中1≤a<10，n等于原数的整数位数减1. 【清单17】近似数 取近似数的方法 ：四舍五入法 【考点题型一】负数的概念 【例1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-1】我国东汉初的著名数学著作《九章算术》中就明确提出了“正负术”，如果收入100元记作元，那么元表示（    ） A．收入20元 B．支出20元 C．收入80元 D．支出80元 【变式1-2】我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向北走5步记作步，那么向南走7步记作（   ） A．步 B．步 C．步 D．步 【考点题型二】有理数的分类 【例2】有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-1】下列说法正确的有（     ） ①一个数不是正数就是负数；②海拔表示比海平面低； ③负分数不是有理数；④零是最小的数； ⑤零是整数，也是正数；⑥是最大的负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】把下列各数填在相应的大括号里． ，，，，，，，，，． 正整数：{______________}； 非正数：{______________}； 负分数：{______________}； 有理数：{______________}． 【考点题型三】用数轴上的点表示有理数 【例3】画出数轴，并回答下列问题： (1)在数轴上表示下列各数，并把它们用“＜”连接起来． 、1、、0、、． (2)在数轴上标出表示的点M，写出将点M平移4个单位长度后得到的数． 【变式3-1】在数轴上表示出下列各数，并把它们按从小到大的顺序用“”号连接起来． ，3，0，，，． 【考点题型四】绝对值、相反数、倒数的概念 【例4】下列各对数中，互为相反数的是（ ） A．与 B．与 C．－|－0.01|与 D．与0.3 【变式4-1】已知表示有理数，的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】一个数的倒数是，则这个数是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】 填空： （1）的相反数是 ，倒数是 ； （2）的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 【变式4-3】若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 【考点题型五】多重符号的化简 【例5】 ， 【变式5-1】化简： ， ， ． 【变式5-2】化简下列各数： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 【考点题型六】有理数比较大小 【例6】比较大小： (1)与 (2)与 【变式6-1】已知一组数：，0，，，． (1)把这些数在下面的数轴上表示出来：    (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）． 【变式6-2】先比较下列各式的大小，再回答问题． (1)_____； (2)______； (3)_______； (4)再举出一些类似的比较大小的算式，归纳出当a，b为有理数时，与的大小关系． 【考点题型七】有理数加法运算律 【例7】(1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-1】计算： (1)； (2) 【变式7-2】阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题． （1）计算： 【解析】 原式= = = =， 上面这种解题方法叫做拆项法． （2）计算： 【考点题型八】有理数加减混合运算 【例8】计算： (1)． (2)． 【变式8-1】学习了绝对值的概念后、我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，．根据以上阅读完成下面的问题： (1)________． (2)若有理数，则_______． (3)请利用你探究的结论计算下面的式子：． 【考点题型九】有理数乘法运算律 【例9】用简便方法计算 (1) (2)． 【变式9-1】计算： (1) (2) (3) (4)用简便方法计算： 【考点题型十】有理数乘除混合运算 【例10】计算的结果是（　　） A． B．1 C． D． 【变式10-1】. 先阅读下列例题，然后进行解答： 例：计算 解：因为 所以， 请根据你的理解解答下列各题： (1)计算： (2)计算： 【变式10-2】下面各题，怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【考点题型十一】有理数的乘方运算 【例11】3．0.8，，，20%，0，，，这八个数中，非负数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式11-1】有理数中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11-2】若、满足，则（  ） A． B．9 C．6 D． 【考点题型十二】有理数混合运算 【例12】计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5) 【变式12-1】计算：． 【变式12-2】.计算： (1) (2) (3) (4) 【考点题型十三】有理数的实际应用 【例13】小虫从点A出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的路程依次为：（单位：cm）①+5，②-3，③+10，④-8，⑤-6，⑥+11，⑦-9． (1)小虫最后是否回到出发点A，说明理由； (2)小虫在第几次爬行后离点A最远，此时距离点A多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，那么小虫一共得到多少粒芝麻？ 【变式13-1】世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，，（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)请通过计算说明守门员最后是否回到球门线上？ (2)请通过计算说明守门员共跑动了多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．直接写出在这一时间段内，守门员离球门最远距离________米，对方球员有________次挑射破门的机会． 【变式13-2】如图，在纸面上有一个数轴，折叠纸面． (1)当沿原点折叠，表示1的点与表示的点重合时，表示2的点与表示___________的点重合； (2)当沿表示的点折叠，表示1的点与表示的点重合时．回答下列问题： ①表示3的点与表示___________的点重合； ②若数轴上两点（在的左侧）经折叠后重合，且到折叠点的距离为5，求两点表示的数分别是多少？ 【考点题型十四】科学记数法 【例14】据中国经济网2024年1月30日报道，2023年，安徽粮食播种面积达到11000万亩．其中数据11000万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》传播数据创下新纪录，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．将数据14200000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十五】近似数 【例15】下列说法正确的是（　　） A．近似数2.8与2.80表示的意义相同 B．0.010有一个有效数字 C．精确到千位 D．由四舍五入得近似数43.0，精确到个位 【变式15-1】A．近似数精确到了千分位； B．用四舍五入法得到的近似数精确到了； C．将70350用科学记数法表示得； D．按科学记数法表示的数还原为 505000 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$