专题03二次函数（易错必刷36题16种题型）（期中复习专项训练）九年级数学上学期鲁教版五四制

专题03 二次函数 （易错必刷36题16种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数的判断和自变量取值范围 · 利用二次函数定义判断参数的值 · 二次函数的定义 · 求抛物线的顶点、对称轴、最值 · 二次函数的增减性 · 二次函数的平移 · 二次函数表达式的确定 · 二次函数的图象与系数a，b，c的关系 · 二次函数与其他函数的图象关系 · 二次函数与一元二次方程的关系 · 二次函数的实际应用（1）-几何图形问题 · 二次函数的实际应用（2）-销售问题 · 二次函数的实际应用（3）-拱桥问题 · 二次函数的实际应用（3）-跑跳轨迹问题 · 二次函数的实际应用（4）-增长率问题 · 二次函数的综合应用 1． 函数的判断和自变量取值范围（共2小题） 1．下列变量之间的关系中，是函数关系的是  (     ) A．人的体重与年龄 B．正方形的周长与边长 C．长方形的面积与长 D．y=±中，y与x 【答案】B 【详解】A. 人的体重与年龄不成函数关系，故不正确； B. ∵正方形的周长=边长×4，∴正方形的周长与边长成函数关系，故正确； C. 长方形的面积=长×宽，有两个变量，故不正确； D. y=±中，y与x不成函数关系，故不正确； 故选B. 2．下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义“形如（为常数，）的函数”即可求解． 【详解】解：A、，是二次函数，符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，不是二次函数，不符合题意； D、，当时，不是二次函数，不符合题意； 故选：A ． 2． 利用二次函数定义判断参数的值（共2小题） 3.若函数是关于的二次函数，则应满足 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数定义，形容的函数叫二次函数，由二次函数定义得到求解即可得到答案，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：若函数是关于的二次函数，则，解得， 故答案为：． 4.若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故答案为：． 3． 二次函数的定义（共2小题） 5.下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，函数是二次函数，不符合题意； B、不是二次函数，不符合题意； C、不是二次函数，不符合题意； D、是二次函数，符合题意； 故选：D． 6．下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义逐个判断即可，一般地，形如的函数（是常数，），叫做二次函数． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是一次函数，故本选项不符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 4． 求抛物线的顶点、对称轴、最值（共2小题） 7.关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最小值为 D．当时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解答的关键．根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴该二次函数的图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意； 最小值为，故选项C正确，符合题意； 当时，y随x增大而增大，故选项D错误，不符合题意， 故选：C． 8.已知二次函数的与x的部分对应值如表：请结合描点画图的方法，判断下列说法中正确的是（　　） x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时， D．若抛物线与x轴正半轴的交点为，则 【答案】D 【分析】根据表格数据描点画图，根据图象，结合二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵当和时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 该二次函数的图象如图： 由图知，抛物线的开口向下，故选项A说法错误，不符合题意； ∵当时，， ∴抛物线与y轴的正半轴相交，故选项B说法错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，，故选项C说法错误，不符合题意； ∵抛物线与x轴负半轴的交点在和0之间， ∴抛物线与x轴正半轴的交点在3和4之间， ∴，故选项D说法正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，借助函数图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． 5． 二次函数的增减性（共3小题） 9．已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．判断出二次函数的增减性，由此即可得． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 又∵点，，在二次函数的图象上， ∴， 故选：B． 10．二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的增减性，对称轴和开口方向的问题，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．由题可知，对称轴为，进而分两种情况讨论：①；②，根据抛物线的增减性得出结论． 【详解】解：对称轴为， 当时， ，，， 与互为相反数， ，故A，B不正确，不符合题意； 同理当时，，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 11．已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质等知识点，根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线，结合题意得出抛物线开口向上，再将点求得关于对称轴对称的点，利用增减性即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的对称轴是直线， ∵当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：C． 6． 二次函数的平移（共3小题） 12.将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即， 故选D 13.将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查二次函数图象的平移，平移规律“上加下减，左加右减”．根据平移方式和平移后的解析式即可由二次函数图象的平移规律写出原抛物线的顶点式，再整理成一般式即可． 【详解】解：根据题意可知将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线， 原抛物线解析式为， 整理，得：，即， ∴． 故答案为：12． 14.如图，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式．利用位似图形的性质求得点，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵将放大为原来的2倍，得到，点， ∴点，即点， ∵点是抛物线的顶点， ∴， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式是， 故选：C． 7． 二次函数表达式的确定（共3小题） 15.如图是二次函数的图象，其中．试求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】此题考查待定系数法求二次函数解析式．根据求出h的值，即可确定出解析式． 【详解】解：由题意，得， ， ∴， 将点代入抛物线解析式，得， 解得：或0（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的解析式为． 16.已知二次函数值y和自变量x部分的对应取值如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 0 0 … 求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 解法一：用顶点式求解； 解法二：用两点式求解； 解法三：用一般式求解． 【详解】解：解法一：根据表格可知二次函数图象的顶点坐标为， 可设二次函数的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴该二次函数的解析式为． 解法二：根据表格可知二次函数图象与x轴的交点坐标为和，可设二次函数的解析式为， 将代入得， 解得a＝1， ∴该二次函数的解析式为． 解法三：设二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点， ∴． 将和代入， 得 解得 ∴该二次函数的解析式为． 17.如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，且． (1)求二次函数的解析式． (2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为，若当时函数的最大值为7，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解∶当时， 即，解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 当时，． ∵， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为． （2）由题意可知， ， ∵将函数图象平移后，顶点坐标为， ∴平移后的函数解析式为， ∴平移后的函数的对称轴为直线． 当，时函数取得最大值， 即，解得或，均不符合题意，舍去； 当，时函数取得最大值， 即，解得，符合题意． 综上所述，的值为． 8． 二次函数的图象与系数a，b，c的关系（共2小题） 18.如图，抛物线的对称轴是，下列结论： ①；②；③当时，随的增大而减小；④．则正确的结论是 ．（填序号即可） 【答案】②④ 【分析】本题考查二次函数图象与性质，由题中所给的二次函数图象，判断出符号即可确定①，由抛物线对称轴可确定②，由增减性可确定③，令，代入函数解析式即可确定④，从而确定答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的对称轴位于轴右侧知异号，则；由抛物线与轴交于正半轴，则， ，故①错误； 由该抛物线的对称轴是直线知，则，故②正确； 由抛物线的对称轴为，则当时，随的增大而减小，故③错误； 由图象可知当时得，且，则，故④正确； 故答案为：②④． 19.如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论： ；；；，其中正确结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及过特殊点时系数a、b、c所满足的关系，结合不等式的性质逐个进行判断即可． 【详解】解：①∵由抛物线的开口向下， ， ∵对称轴位于y轴的左侧， ∴a、b同号，即． ， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ， ， ∴①正确； ②如图，当时，， ∴②正确； ③对称轴为，即， ， ，即， ∴③错误； ④当时，， 又， ，即． ∴④正确， 综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 9． 二次函数与其他函数的图象关系（共2小题） 20.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数经过的象限求出其一次项系数a的符号，根据二次函数的开口方向求出其二次项系数a的符号，看二者是否保持一致，以及二者都与y轴交于点，据此求解即可． 【详解】解：A、一次函数经过第一、二、三象限，则，二次函数开口向下，则，二者不一致，故此选项不符合题意； B、一次函数经过第一、二、四象限，则，二次函数开口向上，则，二者不一致，故此选项不符合题意； C、一次函数经过第一、三、四象限，则，二次函数开口向上，则，二者不一致，故此选项不符合题意； D、一次函数经过第一、二、三四限，则，二次函数开口向下，则，且二者都与y轴交于点，二者不一致，故此选项符合题意； 故选：D． 21.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，再利用代入解析式，得到进而可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项． 【详解】解：由题图可知，二次函数的图象开口向上， ∴， 又∵对称轴在y轴的右侧． ∴． ∴． 又∵抛物线与y轴正半轴交于一点， ∴， 且当时， 即 ∵一次函数，反比例函数 ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．反比例函数的图象在第一、三象限． 综上所述，符合条件的图象是B选项 故选：B. 10． 二次函数与一元二次方程的关系（共2小题） 22.表格对应值如下表：判断关于的方程的一个解的范围是（     ） 1 2 3 4 5 12.5 22   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：令， 由表格可知：时，，当时，， ∴当，存在一个的值使， ∴关于的方程的一个解的范围是； 故选B． 23.如图，直线 与抛物线 交于，两点，如果 ，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．把代入求出m，再把代入求出n，然后利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式的解集． 【详解】解：．把代入得， ， ∴， 把代入，得 ， ∴． ∵直线 与抛物线 交于，两点， ∴关于x的不等式的解集是：或． 故选D． 11． 二次函数的实际应用（1）-几何图形问题（共3小题） 24.如图，某工厂有一块形如四边形的铁皮，其中，，，．为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮（阴影部分）备用，点分别在上，设矩形铁皮的边，矩形的面积为，要使矩形面积的最大．则的取值为 ． 【答案】15 【分析】过点作于点，交于点，设，证明，得到，根据矩形面积公式即可得到与之间的函数关系式，再根据函数的性质即可求出面积的最大值． 【详解】过点作于点，交于点，则，，， ∴，， 设，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，矩形面积最大，最大值为． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，二次函数的最值等，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 25.如图，计划用总长为的篱笆（图中虚线部分）围成一个矩形鸡舍，其中一边是墙（可利用的墙的长度为），中间共留两个的小门，设篱笆长为．    (1)的长为 （m）（用含的代数式表示）； (2)求矩形鸡舍面积的最大值及此时篱笆的长． 【答案】(1) (2)矩形鸡舍面积的最大值为，此时篱笆的长为 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，列代数式，正确列出代数式和函数关系式是解题的关键． (1)根据题意列出对应的代数式即可； (2)根据矩形面积公式建立矩形面积与之间的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 故答案为：； （2）根据题意得：，， 解得：， ， 对称轴为直线，当时，随的增大而减小． 当时，S取得最大值． 矩形鸡舍面积的最大值为，此时篱笆的长为． 26．如图，某单位准备将院内一块长米、宽米的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草．（注：所有小道进出口的宽度相等．）      (1)设小道进出口的宽度为米，种植花草的面积为平方米，则与之间的函数表达式为____________ (2)当种植花草的面积为平方米时，那么小道进出口的宽度为多少米？ 【答案】(1) (2)小道进出口的宽度为米 【分析】本题主要考查二次函数，一元二次方程的实际运用，理解题目的数量关系，掌握长方形面积的计算方法，二次函数图象的性质，因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意，可得种植花草的长为米，宽为米，根据长方形的面积计算公式即可求解； （2）把代入（1）中的解析式求一元二次方程的解即可求解． 【详解】（1）解：∵所有小道进出口的宽度相等，设小道进出口的宽度为米，则种植花草的长为米，宽为米，种植花草的面积为平方米， ∴， ∴与之间的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：种植花草的面积为平方米时，即时， ∴，整理得，， ∴因式分解得，， ∴，（不符合题意，舍去） ∴小道进出口的宽度为米． 12． 二次函数的实际应用（2）-销售问题（共2小题） 27.某网店以35元/件的进价购进一批纪念品，当售价为60元/件时，第一天销售了25件．该纪念品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求日销售量的平均增长率． (2)由于新款纪念品的推出，原来旧款纪念品的销量受到影响，为了尽快减少库存，该网店打算将旧款纪念品降价销售．经调查发现，每降价1元，每天可在第三天销售量的基础上多销售4件，那么将旧款纪念品的售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)将旧款纪念品的售价定为每件52元时，每天可获得最大利润，最大利润是1156元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设日销售量的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设旧款纪念品降价元，每天可获得的利润为元，建立关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设日销售量的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：日销售量的平均增长率为． （2）解：设旧款纪念品降价元，每天可获得的利润为元， 由题意得：， 这个二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， 则当时，取得最大值，最大值为1156，此时售价为（元）， 答：将旧款纪念品的售价定为每件52元时，每天可获得最大利润，最大利润是1156元． 28. 伴随经济发展和生活水平的日益提高，水果超市如雨后春笋般兴起．万松园一水果超市从外地购进一批水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据预测，此批水果一段时间内的销量y（吨）（纵坐标）与每吨的销售价x万元（横坐标）之间的函数关系如图所示． (1)请直接写出y与x之间的函数关系． (2)如果销售利润为W万元，当每吨销售价是多少万元时，销售利润最大？最大利润是多少？ (3)若超市共花费4万元购进此批水果，按照第（2）问的售价销售一半水果后用时8天，因水果开始变质及为售卖其他新品种水果决定在后4天内将此水果全部售完，请问超市是盈利还是亏损？金额多少？ 【答案】(1) (2)每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元 (3)盈利了，金额10.25万元 【分析】（1）由图可知，销售量与每吨销售价之间成一次函数，并经过点和点，使用待定系数法列出方程组求解． （2）由（1）知销售量，而每吨的利润为，所以，进而使用配方法求出最值； （3）把已知中的“一段时间内”理解为每天，先计算花费4万元购进此批水果的数量，先求出前8天的盈利，再求出后4天每天需要销售的水果数，代入（1）问中的函数求出售价，再计算利润，最后相加可得结论． 此题主要考查了二次函数的应用以及利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是一道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求． 【详解】（1）解：设销售量与每吨销售价的函数关系式为： 把点和点分别代入 由题意得：， 解得：， 则与的函数关系式为：； （2）解： ， 当时，， 每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元； （3）解：依题意，（吨）， 由题意可知：5吨售8天， ∵按照第（2）问的售价销售一半水果后用时8天 获利：， 在后4天内售完5吨，则每天售出：（吨）， ， ， 获利：， 则（万元）， 答：超市是盈利了，金额10.25万元． 13． 二次函数的实际应用（3）-拱桥问题（共2小题） 29.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面上升时，水面的宽度为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点，    抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，和可求出为的一半，即米，抛物线顶点坐标为， 通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入点坐标到抛物线解析式得出：， 所以抛物线解析式为， 当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： ， 解得：， 所以水面的宽度为， 故答案为． 30.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了设计方案，现把这个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 抛物线型拱门的跨度，拱高，其中，点N在x轴上，，．要在拱门中设置高为的矩形框架，（框架的粗细忽略不计）．矩形框架的面积记为S，点A、D在抛物线上，边在上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求矩形框架的面积S． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法则，求出函数解析式． （1）根据顶点坐标设二次函数为，，求出抛物线的解析式即可； （2）在中，令得：，求出或，得出，求出即可． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴； ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在中， 令得：， 解得或， ∴， ∴； 14． 二次函数的实际应用（3）-跑跳轨迹问题（共2小题） 31.一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（    ） A．1秒 B．2秒 C．2.4秒 D．3秒 【答案】D 【分析】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了已知函数值求自变量的值，根据题意可知当时符合题意，进而求出答案即可． 【详解】当时，， 解得或， 所以球弹起后又回到地面所经过的时间是3秒． 故选：D． 32. 某校足球队在一次训练中，一球员从高2.4米的球门正前方米处将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．建立如图所示的平面直角坐标系， (1)求出抛物线的函数解析式； (2)当时，试判断足球能否射入球门，并说明理由； 【答案】(1) (2)足球能射入球门，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）把解析式设为顶点式，再把原点坐标代入解析式中进行求解即可； （2）求出时y的值，判断即可． 【详解】（1）解：∵当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米． ∴设抛物线的函数解析式 将代入中，得 ，解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：足球能射入球门，理由如下： 当时， ∵ ∴足球能射入球门． 15． 二次函数的实际应用（4）-增长率问题（共1小题） 33.某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 根据增长率的问题可直接进行求解． 【详解】设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为， 根据题意得，． 故选：A． 16． 二次函数的综合应用（共3小题） 34.如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），连接、，求面积的最大值； (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由点D横坐标为m得出点D、点E的坐标，结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式，即可求解； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【详解】（1）解：在中，令，则，即， 设， ∴， 解得， ∴抛物线的函数关系式为，即； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入直线解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴面积， ∴面积的最大值为：； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 故设， ∵，， ∴，，， 当时，为直角三角形，，即， 解得， 此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得， 此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，， 此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数综合面积问题，勾股定理的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 35.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点P是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或或或 (3)或 【分析】（1）当时，即，解方程可得图象与轴交于点，，当时，，从而得图象与轴交于点； （2）先利用勾股定理求出，再分当，当时，当时，三种情况讨论求解即可； （3）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，即， 解得：． ∴图象与轴交于点，， 当时，， ∴图象与轴交于点； （2）解：∵，， ∴， 当，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或； （3）解：当点在上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点与点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ∵， ∴； 当点在下方时，设交轴于点， 则，． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得：舍去，， ∴． 综上所述，点的坐标为或. 36.如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在；或或或 【分析】（1）求出点和，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）在直线上取一点，使，连接交于点P，证明，则当A、、P三点共线时，有最小值为．求出，得到的最小值为，求出直线的解析式为，进一步得到，求出直线解析式为，联立直线与直线即可求出交点P的坐标； （3）求出平移后新抛物线为，设点M的坐标为，要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别画出图形进行解答即可； 【详解】（1）解：在中， 令，得， ， 令，得， ，   把两点的坐标代入中得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在直线上取一点，使，连接交于点P， 垂直平分，， ， 为定值， 当A、、P三点共线时，有最小值为． 点B为的中点， 在中， 令，得（舍）， ， ， 的最小值为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 直线与直线的交点P的坐标满足方程组： ， 解得， 点P的坐标为． （3）解：将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，， 相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位， ∴平移后新抛物线为 设点M的坐标为， ， 要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形： ①当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ②当为对角线时，点N的坐标为， 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ③当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， 当时，得到， 当时，得到 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的图象和性质、二次函数的平移、勾股定理等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． $$专题03 二次函数 （易错必刷36题16种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数的判断和自变量取值范围 · 利用二次函数定义判断参数的值 · 二次函数的定义 · 求抛物线的顶点、对称轴、最值 · 二次函数的增减性 · 二次函数的平移 · 二次函数表达式的确定 · 二次函数的图象与系数a，b，c的关系 · 二次函数与其他函数的图象关系 · 二次函数与一元二次方程的关系 · 二次函数的实际应用（1）-几何图形问题 · 二次函数的实际应用（2）-销售问题 · 二次函数的实际应用（3）-拱桥问题 · 二次函数的实际应用（3）-跑跳轨迹问题 · 二次函数的实际应用（4）-增长率问题 · 二次函数的综合应用 1． 函数的判断和自变量取值范围（共2小题） 1．下列变量之间的关系中，是函数关系的是  (     ) A．人的体重与年龄 B．正方形的周长与边长 C．长方形的面积与长 D．y=±中，y与x 2．下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（   ） A． B． C． D． 2． 利用二次函数定义判断参数的值（共2小题） 3.若函数是关于的二次函数，则应满足 ． 4.若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ． 3． 二次函数的定义（共2小题） 5.下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 6．下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4． 求抛物线的顶点、对称轴、最值（共2小题） 7.关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最小值为 D．当时，y随x增大而增大 8.已知二次函数的与x的部分对应值如表：请结合描点画图的方法，判断下列说法中正确的是（　　） x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时， D．若抛物线与x轴正半轴的交点为，则 5． 二次函数的增减性（共3小题） 9．已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 6． 二次函数的平移（共3小题） 12.将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A． B． C． D． 13.将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，则的值为 ． 14.如图，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是（   ）    A． B． C． D． 7． 二次函数表达式的确定（共3小题） 15.如图是二次函数的图象，其中．试求该抛物线的解析式． 16.已知二次函数值y和自变量x部分的对应取值如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 0 0 … 求该二次函数的解析式． 17.如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，且． (1)求二次函数的解析式． (2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为，若当时函数的最大值为7，求的值． 8． 二次函数的图象与系数a，b，c的关系（共2小题） 18.如图，抛物线的对称轴是，下列结论： ①；②；③当时，随的增大而减小；④．则正确的结论是 ．（填序号即可） 19.如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论： ；；；，其中正确结论是 ． 9． 二次函数与其他函数的图象关系（共2小题） 20.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   21.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A． B． C． D． 10． 二次函数与一元二次方程的关系（共2小题） 22.表格对应值如下表：判断关于的方程的一个解的范围是（     ） 1 2 3 4 5 12.5 22   A． B． C． D． 23.如图，直线 与抛物线 交于，两点，如果 ，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 11． 二次函数的实际应用（1）-几何图形问题（共3小题） 24.如图，某工厂有一块形如四边形的铁皮，其中，，，．为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮（阴影部分）备用，点分别在上，设矩形铁皮的边，矩形的面积为，要使矩形面积的最大．则的取值为 ． 25.如图，计划用总长为的篱笆（图中虚线部分）围成一个矩形鸡舍，其中一边是墙（可利用的墙的长度为），中间共留两个的小门，设篱笆长为．    (1)的长为 （m）（用含的代数式表示）； (2)求矩形鸡舍面积的最大值及此时篱笆的长． 26．如图，某单位准备将院内一块长米、宽米的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草．（注：所有小道进出口的宽度相等．）      (1)设小道进出口的宽度为米，种植花草的面积为平方米，则与之间的函数表达式为____________ (2)当种植花草的面积为平方米时，那么小道进出口的宽度为多少米？ 12． 二次函数的实际应用（2）-销售问题（共2小题） 27.某网店以35元/件的进价购进一批纪念品，当售价为60元/件时，第一天销售了25件．该纪念品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求日销售量的平均增长率． (2)由于新款纪念品的推出，原来旧款纪念品的销量受到影响，为了尽快减少库存，该网店打算将旧款纪念品降价销售．经调查发现，每降价1元，每天可在第三天销售量的基础上多销售4件，那么将旧款纪念品的售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 28. 伴随经济发展和生活水平的日益提高，水果超市如雨后春笋般兴起．万松园一水果超市从外地购进一批水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据预测，此批水果一段时间内的销量y（吨）（纵坐标）与每吨的销售价x万元（横坐标）之间的函数关系如图所示． (1)请直接写出y与x之间的函数关系． (2)如果销售利润为W万元，当每吨销售价是多少万元时，销售利润最大？最大利润是多少？ (3)若超市共花费4万元购进此批水果，按照第（2）问的售价销售一半水果后用时8天，因水果开始变质及为售卖其他新品种水果决定在后4天内将此水果全部售完，请问超市是盈利还是亏损？金额多少？ 13． 二次函数的实际应用（3）-拱桥问题（共2小题） 29.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面上升时，水面的宽度为 ． 30.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了设计方案，现把这个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 抛物线型拱门的跨度，拱高，其中，点N在x轴上，，．要在拱门中设置高为的矩形框架，（框架的粗细忽略不计）．矩形框架的面积记为S，点A、D在抛物线上，边在上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求矩形框架的面积S． 14． 二次函数的实际应用（3）-跑跳轨迹问题（共2小题） 31.一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（    ） A．1秒 B．2秒 C．2.4秒 D．3秒 32. 某校足球队在一次训练中，一球员从高2.4米的球门正前方米处将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．建立如图所示的平面直角坐标系， (1)求出抛物线的函数解析式； (2)当时，试判断足球能否射入球门，并说明理由； 15． 二次函数的实际应用（4）-增长率问题（共1小题） 33.某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 16． 二次函数的综合应用（共3小题） 34.如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），连接、，求面积的最大值； (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 35.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点P是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 36.如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． $$