专题09 排列组合与二项式定理（专项训练）-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（湖南专用）

09 排列组合与二项式定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）（23-24高三下·湖南对口株洲·开学考试）已知的二项展开式中含的系数为，则（    ） A． B． C． D．－2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】组合数的计算、由项的系数确定参数 【分析】根据二项式的通项公式分析. 【详解】二项式的通项公式为：. 需要找到含的项，此时，故. 的系数为. 得到，故. 故选：B. 2．（本题3分）（23-24高三下·湖南对口·对口/高职单招）从7名学生中选派2名学生分别到甲、乙两地参加社会实践活动，则不同的选派方法共有（    ） A．14种 B．21种 C．42种 D．49种 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】排列的意义理解、排列数的计算 【分析】根据排列的定义解决问题即可. 【详解】从7人中选出2人，由于分派两地，地点不同，因此符合排列的定义，直接用排列得出. 故选：C. 3．（本题3分）（17-18高三·湖南对口·一模）现有6个人站成一排照相，其中甲和乙必须相邻的不同站法有（    ） A．600种 B．480种 C．288种 D．240种 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算、相邻问题的排列问题 【分析】由排列的相邻问题，计算排列数即可. 【详解】因为甲和乙必须相邻， 所以将甲乙进行捆绑，方法数为种， 再排剩下的4个人和甲乙，方法数为种， 故甲和乙必须相邻的不同站法有种. 故选:D. 4．（本题3分）（2020高三·湖南对口·学业考试）展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】先写出二项式的通项公式，再分析常数项时取值，即可求解. 【详解】的通项公式是. 当时，. 此时. 故选：A. 5．（本题3分）（21-22高三下·湖南对口永州·阶段练习）展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据二项展开式的通项求常数项即可. 【详解】的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为. 故选：B. 6．（本题3分）（21-22高三下·湖南对口永州·阶段练习）从1，2，3，4中任取两个不同的数，其和为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率、组合数的计算 【分析】先计算所有的等可能结果，再计算和为偶数的结果，再计算概率即可. 【详解】因为从1，2，3，4中任取两个不同的数做加法，有种方法数， 和为偶数的结果有两种，为这两种方法数， 所以和为偶数的概率是. 故选：B. 7．（本题3分）（22-23高三上·湖南对口永州·阶段练习）从3名女生中任选1人，从4名男生中任选2人，去完成3项不同的工作，每人完成1项，不同的安排方法有（    ） A．18种 B．54种 C．72种 D．108种 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、全排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】由分步计数原理结合排列、组合的知识即可得解. 【详解】从3名女生中任选1人，有种方法，从4名男生中任选2人，有种方法， 最后每人完成一项工作，有种方法， 由分步计数原理得不同的安排方法有种. 故选：D 8．（本题3分）（14-15高三下·湖南对口怀化·二模）从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少一名女生的组队方案数为（    ） A．100 B．110 C．120 D．180 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】组合数的计算、实际问题中的组合计数问题 【分析】用方案总数减去没有女生的方案数即可. 【详解】10人中任选3人的组队方案有种， 没有女生的方案有种， 所以至少一名女生的组队方案数为种. 故选：B. 9．（本题3分）（20-21高三上·湖南对口·模拟预测）展开式中各项不含y的项的系数和为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二项展开式各项的系数和、三项展开式的系数问题 【分析】根据题意，令y为0，转化为求的系数和；再令可求解. 【详解】由于的展开式中不含y的项，即的展开式中y为0， 即求的展开式的系数和. 在中，令，得展开式中各项不含y的项的系数和为：. 故选：C 10．（本题3分）（20-21高三上·湖南对口·模拟预测）将正方体的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现有5种不同的颜色供选择，并且用其中3种颜色涂好了过顶点A的3个面，那么其余3个面的涂色的方案共有（    ） A．15种 B．14种 C．13种 D．12种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、几何计数问题 【分析】按使用的颜色种数分类，即5种颜色全都使用，只使用4种颜色，只使用3种颜色，最后利用加法原理可得结果. 【详解】 如图，设6个面为1对4、2对5、3对6，五种颜色为a、b、c、d、e，且1涂a，2涂b，3涂c， ①当5种颜色全都使用时，即只有一组对面颜色相同，设1和4同色，5和6有2种涂法(de或ed)，因为三个面各不相同，所以一共有种； ②当只使用4种颜色时，即有两组对面颜色相同，设1和4同色，2和5同色，6有2种涂法(d或e)，所以共有种； ③当只使用3种颜色时只能是1和4同色，2和5同色，3和6同色，即只有1种， 综上，共有种方法. 故选：C 评卷人 得分 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）（18-19高三·湖南对口·二模）职教活动周安排个表演节目，其中舞蹈节目有个，表演时要求舞蹈节目必须隔开的排列方法有 种.（用数字作答） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】不相邻排列问题 【分析】由排列的应用即可得解. 【详解】由题意可知个舞蹈节目应在个其他节目中插空. 则. 故答案为:. 12．（本题4分）（22-23高三下·湖南对口永州·阶段练习）将3本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则3本数学书相邻的概率为 . 【答案】/0.5 【难度】0.85 【知识点】相邻问题的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用、计算古典概型问题的概率 【分析】根据分步计数原理和排列法算出排法，再结合古典概率问题求解即可. 【详解】根据分步计数法，不考虑相邻问题，4本书排成一行有种排法； 3本数学书相邻的排法如下： 先排数学书有种排法， 再将3本数学书视为一个整体，再和语文书排列，有种排法， 所以3本数学书相邻的排法有种. 即3本数学书相邻的概率为. 故答案为：. 13．（本题4分）（2019高三·湖南对口·学业考试）已知的展开式中x的系数10，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】先得到二项式的通项公式，再根据x的系数10求参数. 【详解】的通项公式为. 当时，，此时. 题目已知，x的系数10，故，得到. 故答案为：2. 14．（本题4分）（21-22高三·湖南对口·三模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项展开式的通项公式即可求值. 【详解】已知的通项为， 令，，则， 所以的系数为. 故答案为：. 15．（本题4分）（21-22高三·湖南对口·三模）毕业前夕，某寝室的甲、乙、丙、丁四位同学站成一排拍摄一张合影，则甲和丁不相邻的站法种数是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】不相邻排列问题 【分析】根据排列的插空法解决问题即可. 【详解】由题意可知，共4个人排成一排， 其中甲和丁不相邻，则先对乙、丙进行排列共有种排列方法. 乙丙两人形成了3个空， 再将甲和丁排列放入3个空中共有种排列方法， 所以甲和丁不相邻的站法种数是. 故答案为：. 评卷人 得分 三、解答题（共70分） 16．（本题10分）（15-16高三·江苏盐城·三模）甲袋中有红球2只，白球4只，乙袋中有红球1只，白球3只． (1)若从每个袋中任取2只球，求取出的4球恰有1只为红球的概率； (2)若从乙袋中任取出一只球放到甲袋中，再从甲袋中求取出2只球，求取出的2球恰都为红球的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、组合数的计算、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）先求出从每个袋中任取2只球的事件总数，再求解恰有1只为红球的事件总数，再由古典概型概率公式求解即可. （2）根据从乙袋中取出的球的颜色不同，分别计算概率即可. 【详解】（1）从每个袋中任取2只球的方法数为种， 取出的4球恰有1只为红球的可能是从甲袋中取出了一只红球， 或从乙袋中取出了一只红球，则方法数为种， 所以取出的4球恰有1只为红球的概率. （2）当从乙袋中取出一个红球放入甲袋中， 则从甲袋中求取出2只球的方法数为种， 则取出的2球恰都为红球的方法数为种， 当从乙袋中取出一个白球放入甲袋中， 则从甲袋中求取出2只球的方法数为种， 则取出的2球恰都为红球的方法数为种， 取出的2球恰都为红球的概率. 17．（本题10分）（22-23高三·江西·模拟预测）从5名男生，4名女生中，任选3名参加体能测试，求： (1)选到的3名同学中恰有1名女生的概率是多少？ (2)选到的3名同学中至少有1名女生的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】写出某事件的对立事件、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）先求出任选3名参加体能测试的可能，再求出恰有1名女生参加体能测试的可能，根据古典概型的概率公式即可求解. （2）利用对立事件的概率公式即可求解. 【详解】（1）从5名男生，4名女生中，任选3名参加体能测试有种可能， 选到的3名同学中恰有1名女生有种可能， 所以恰有1名女生的概率是. （2）因为至少有1名女生的对立事件为没有女生， 则没有女生，即全是男生共有种可能， 所以没有女生的概率为， 所以至少有1名女生的概率为. 18．（本题10分）（20-21高三·浙江湖州·一模）已知的二项展开式中，各项系数之和是256， (1)求的值； (2)二项展开式中是否存在常数项？若存在，请求出常数项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在常数项，为 【难度】0.85 【知识点】求指定项的二项式系数、二项式的系数和 【分析】（1）赋值法令代入二项式，根据求得的系数和等于256，即可求得. （2）根据二项式的通项式，将的指数设为零，即可求得常数项. 【详解】（1）对于二项式，其各项系数之和可通过令来求解， 即， 解得. （2）的展开式通项为， 令，得到. 此时. 所以存在常数项，为. 19．（本题10分）（22-23高三·江西·模拟预测）现有8名女生和4名男生，从中任意挑选2人参加数学竞赛． (1)求选中的2人都是女生的概率； (2)求选中的2人中有1名女生1名男生的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、分步乘法计数原理及简单应用、组合数的性质及应用 【分析】（1）根据组合数的计算和古典概型概率公式即可解得. （2）根据分步乘法计数原理和古典概型概率公式即可解得. 【详解】（1）由题可知，总人数为人， 从人中任选人的情况有种， 选到人都是女生的情况有种， 则选到人都是女生的概率为. （2）由题，从男生中选人的情况有种， 从女生中选人的情况有种， 又由（1）可知所有选人情况共有种， 则选中的人中有名女生和名男生的概率为. 20．（本题10分）（20-21高三·浙江·一模）已知二项展开式的二项式系数之和为64，求： (1)n的值； (2)展开式的常数项． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和 【分析】（1）由二项式系数的性质结合题干条件求出； （2）先写出二项展开式的通项，再令的指数幂为求解即可. 【详解】（1）因为二项展开式的二项式系数之和为64， 所以，解得. （2）由（1）得， 则二项展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式的常数项. 21．（本题10分）（21-22高三·浙江·模拟预测）已知的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等.求： (1)的最高次项的系数； (2)各项系数的和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）根据二项展开式的项的通项公式求解即可. （2）根据二项展开式的项的系数之和求解即可. 【详解】（1）因为的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等， 所以，得，所以二项展开式的通项公式为， 因为含的最高次项，所以该项的系数为； （2）令，可得各项系数的和为. 22．（本题10分）（17-18高三·河南新乡·模拟预测）在某校举行的春季运动会上，某班有2名男生和2名女生共4人参加．运动会后，他们4人想站成一排合影留念． (1)如果2名男生相邻，2名女生也相邻，那么一共有多少种不同的站法？ (2)2名女生站在中间的概率是多少？ 【答案】(1)8 (2) 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】（1）采用捆绑法可求解； （2）设“2名女生站在中间”为事件A，分别求出4人站成一排和事件A所包含的基本事件数，根据古典概型公式可求解. 【详解】（1）由题意，将2名男生看作一个元素，2名女生也看作一个元素，利用捆绑法， 则不同的站法有：（种）； （2）设“2名女生站在中间”为事件A，4人站成一排，共包含个基本事件， 其中事件A包含个基本事件， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 09 排列组合与二项式定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）（23-24高三下·湖南对口株洲·开学考试）已知的二项展开式中含的系数为，则（    ） A． B． C． D．－2 2．（本题3分）（23-24高三下·湖南对口·对口/高职单招）从7名学生中选派2名学生分别到甲、乙两地参加社会实践活动，则不同的选派方法共有（    ） A．14种 B．21种 C．42种 D．49种 3．（本题3分）（17-18高三·湖南对口·一模）现有6个人站成一排照相，其中甲和乙必须相邻的不同站法有（    ） A．600种 B．480种 C．288种 D．240种 4．（本题3分）（2020高三·湖南对口·学业考试）展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）（21-22高三下·湖南对口永州·阶段练习）展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）（21-22高三下·湖南对口永州·阶段练习）从1，2，3，4中任取两个不同的数，其和为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）（22-23高三上·湖南对口永州·阶段练习）从3名女生中任选1人，从4名男生中任选2人，去完成3项不同的工作，每人完成1项，不同的安排方法有（    ） A．18种 B．54种 C．72种 D．108种 8．（本题3分）（14-15高三下·湖南对口怀化·二模）从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少一名女生的组队方案数为（    ） A．100 B．110 C．120 D．180 9．（本题3分）（20-21高三上·湖南对口·模拟预测）展开式中各项不含y的项的系数和为（    ） A． B． C． D．1 10．（本题3分）（20-21高三上·湖南对口·模拟预测）将正方体的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现有5种不同的颜色供选择，并且用其中3种颜色涂好了过顶点A的3个面，那么其余3个面的涂色的方案共有（    ） A．15种 B．14种 C．13种 D．12种 评卷人 得分 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）（18-19高三·湖南对口·二模）职教活动周安排个表演节目，其中舞蹈节目有个，表演时要求舞蹈节目必须隔开的排列方法有 种.（用数字作答） 12．（本题4分）（22-23高三下·湖南对口永州·阶段练习）将3本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则3本数学书相邻的概率为 . 13．（本题4分）（2019高三·湖南对口·学业考试）已知的展开式中x的系数10，则 ． 14．（本题4分）（21-22高三·湖南对口·三模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 15．（本题4分）（21-22高三·湖南对口·三模）毕业前夕，某寝室的甲、乙、丙、丁四位同学站成一排拍摄一张合影，则甲和丁不相邻的站法种数是 ． 评卷人 得分 三、解答题（共70分） 16．（本题10分）（15-16高三·江苏盐城·三模）甲袋中有红球2只，白球4只，乙袋中有红球1只，白球3只． (1)若从每个袋中任取2只球，求取出的4球恰有1只为红球的概率； (2)若从乙袋中任取出一只球放到甲袋中，再从甲袋中求取出2只球，求取出的2球恰都为红球的概率． 17．（本题10分）（22-23高三·江西·模拟预测）从5名男生，4名女生中，任选3名参加体能测试，求： (1)选到的3名同学中恰有1名女生的概率是多少？ (2)选到的3名同学中至少有1名女生的概率是多少？ 18．（本题10分）（20-21高三·浙江湖州·一模）已知的二项展开式中，各项系数之和是256， (1)求的值； (2)二项展开式中是否存在常数项？若存在，请求出常数项；若不存在，请说明理由. 19．（本题10分）（22-23高三·江西·模拟预测）现有8名女生和4名男生，从中任意挑选2人参加数学竞赛． (1)求选中的2人都是女生的概率； (2)求选中的2人中有1名女生1名男生的概率． 20．（本题10分）（20-21高三·浙江·一模）已知二项展开式的二项式系数之和为64，求： (1)n的值； (2)展开式的常数项． 21．（本题10分）（21-22高三·浙江·模拟预测）已知的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等.求： (1)的最高次项的系数； (2)各项系数的和. 22．（本题10分）（17-18高三·河南新乡·模拟预测）在某校举行的春季运动会上，某班有2名男生和2名女生共4人参加．运动会后，他们4人想站成一排合影留念． (1)如果2名男生相邻，2名女生也相邻，那么一共有多少种不同的站法？ (2)2名女生站在中间的概率是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$