专题08 二次曲线（专项训练）-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（湖南专用）

08 二次曲线 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）（20-21高三下·湖南对口·二模）若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 2．（本题3分）（22-23高二下·湖南对口长沙·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）（22-23高二下·湖南对口长沙·期末）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）（22-23高二下·湖南对口长沙·期末）已知双曲线的一个焦点坐标是，那么的值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 5．（本题3分）（19-20高三·湖南对口永州·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，直线l过交椭圆C于A、B两点，则的周长为（    ）． A．6 B．10 C．20 D．40 6．（本题3分）（22-23高三·湖南对口·三模）“”是“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 7．（本题3分）（19-20高三·湖南对口·三模）已知直线与双曲线相交，且交点位于双曲线的左、右两支，则直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）（19-20高三·广东·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）（22-23高二下·湖南对口长沙·期末）已知分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆上一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 10．（本题3分）（23-24高二下·湖南对口·期末）地物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）（19-20高三·湖南对口永州·阶段练习）若双曲线上存在四点A，B，C，D，使四边形为正方形，则此双曲线的离心率的取值范围为 ． 12．（本题4分）（23-24高二下·湖南对口·期末）已知双曲线的其中一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 . 13．（本题4分）（22-23高二上·湖南对口永州·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，A是椭圆上任意一点，的延长线交椭圆于B，则的周长是 ． 14．（本题4分）（23-24高三上·湖南对口永州·期末）若点P为椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的周长为 . 15．（本题4分）（17-18高三·湖南对口·一模）已知双曲线的一条渐近线的方程为，且双曲线C与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程为 ． 评卷人 得分 三、解答题（共70分） 16．（本题10分）（20-21高三下·湖南对口·二模）已知椭圆C：过点，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆C的方程 (2)已知点，点P是椭圆C上的一个动点，求的最值． 17．（本题10分）（23-24高二下·湖南对口长沙·期中）已知双曲线的左右焦点分别为、，离心率为，过点， (1)求双曲线C的方程； (2)求该双曲线的虚轴长及渐近线方程； (3)设点A的坐标为，点P是双曲线上的一点，当取最小值时，求点P的坐标． 18．（本题10分）（22-23高二下·湖南对口长沙·期末）已知双曲线的焦点坐标为，实轴长为6. (1)求双曲线标准方程； (2)若双曲线上存在一点使得，求的面积. 19．（本题10分）（21-22高三下·湖南对口永州·阶段练习）双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)倾斜角为的直线过点，且与双曲线交于，两点，为坐标原点，求面积. 20．（本题10分）（19-20高三·湖南对口永州·阶段练习）已知抛物线的顶点为坐标原点O，焦点F是圆的圆心． (1)求抛物线的方程． (2)设过点且斜率为的直线l与抛物线交于A，B两点，点M为圆上的任意一点，求面积的最大值． 21．（本题10分）（18-19高三·湖南对口·二模）如图所示，抛物线的准线方程是. (1)求抛物线的方程； (2)过的焦点作倾斜角为45°的直线与抛物线交于，两点，过点作与轴平行的直线与抛物线的准线交于点，试判断直线是否过抛物线的顶点，并说明理由. 22．（本题10分）（21-22高三·湖南对口·模拟预测）双曲线：的离心率是，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)设斜率为的直线与交于，两点，若与圆相切，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 08 二次曲线 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）（20-21高三下·湖南对口·二模）若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、已知圆的弦长求方程或参数、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据直线被圆截得的弦长公式，可得圆心到渐近线的距离，进而可得，再根据双曲线离心率的公式可求解. 【详解】由于对称性，不妨设双曲线的一条渐近线方程为， 圆的方程可化为， 可知圆心坐标为，半径. 设圆心到渐近线的距离为，则有 ，解得. 所以，即. 所以. 故选：C 2．（本题3分）（22-23高二下·湖南对口长沙·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】利用二元二次方程表示椭圆标准方程的性质即可得解. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， ，即，解得， 故选：D. 3．（本题3分）（22-23高二下·湖南对口长沙·期末）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据方程，判断焦点在轴，由椭圆中求焦点坐标即可. 【详解】， ，，焦点在轴， , ，， 焦点坐标为. 故选：B. 4．（本题3分）（22-23高二下·湖南对口长沙·期末）已知双曲线的一个焦点坐标是，那么的值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c 【分析】利用双曲线可求 【详解】由双曲线的一个焦点坐标是可知，，，， ， ，，解得； 故选：C. 5．（本题3分）（19-20高三·湖南对口永州·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，直线l过交椭圆C于A、B两点，则的周长为（    ）． A．6 B．10 C．20 D．40 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中的焦点三角形问题 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由题意得，椭圆的标准方程为椭圆， 所以，即. 因为是椭圆的两个焦点，直线过交椭圆C于A、B两点. 所以由椭圆的定义可得， ， ， 所以的周长为. 故选：D. 6．（本题3分）（22-23高三·湖南对口·三模）“”是“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】由双曲线的焦点位置判断m，n的正负继而判断充分性与必要性即可. 【详解】若， 则当时， 方程表示焦点在y轴上的双曲线， 所以“”推不出“方程表示焦点在x轴上的双曲线”，故充分性不成立. 若方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则有， 即，故必要性成立. 故“”是“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的必要不充分条件. 故选:B. 7．（本题3分）（19-20高三·湖南对口·三模）已知直线与双曲线相交，且交点位于双曲线的左、右两支，则直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】由题可得此双曲线的渐近线方程，从而可得结果. 【详解】由题知此双曲线中，即可得其渐近线方程为， 又因为直线与双曲线的两支均有交点，可得此直线的斜率， 从而知直线的倾斜角范围为. 故选：D. 8．（本题3分）（19-20高三·广东·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据方程直接得到结果. 【详解】由题可知：抛物线， 所以准线方程为， 故选：A 9．（本题3分）（22-23高二下·湖南对口长沙·期末）已知分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆上一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】椭圆中距离（和差）的值或最值 【分析】利用椭圆的定义得即可求解. 【详解】，，， 由椭圆的定义可知，即，， 故选：C. 10．（本题3分）（23-24高二下·湖南对口·期末）地物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线的准线方程即可得解. 【详解】抛物线:的标准方程为，所以的准线方程为. 故选：D 评卷人 得分 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）（19-20高三·湖南对口永州·阶段练习）若双曲线上存在四点A，B，C，D，使四边形为正方形，则此双曲线的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由双曲线的渐近线方程和离心率公式代入求解即可. 【详解】因为双曲线上存在四点A，B，C，D，使得四边形ABCD为正方形， 所以可知四边形对角线的方程必然过原点，且对角线方程为， 因为双曲线的渐近线方程为， 因为对角线与双曲线有交点，所以可得，即， 因为双曲线的离心率为， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 12．（本题4分）（23-24高二下·湖南对口·期末）已知双曲线的其中一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据与的关系求得双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线的其中一条渐近线方程为， 所以，即，得， 故离心率. 故答案为：. 13．（本题4分）（22-23高二上·湖南对口永州·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，A是椭圆上任意一点，的延长线交椭圆于B，则的周长是 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】由已知，根据椭圆的定义，的周长为，据此可求解. 【详解】    由椭圆，可得， 如图，由已知条件并根据椭圆的定义，则 ，， 所以的周长. 故答案为：4 14．（本题4分）（23-24高三上·湖南对口永州·期末）若点P为椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的周长为 . 【答案】18 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】根据椭圆的定义即可求解的周长. 【详解】因为椭圆为， 所以， 所以，， 所以， 又因为点P为椭圆上一点，为椭圆的两个焦点， 所以，， 所以的周长为. 故答案为:18. 15．（本题4分）（17-18高三·湖南对口·一模）已知双曲线的一条渐近线的方程为，且双曲线C与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】由双曲线的渐近线方程求出之间的关系，再由双曲线C与椭圆有公共焦点求出，结合即可求出，进而写出双曲线的标准方程. 【详解】令，整理得， 即双曲线的渐近线方程为， 又是双曲线的一条渐近线方程， 所以，即， 椭圆的焦点为， 双曲线与椭圆共焦点，即， 由，可得， 解得，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 评卷人 得分 三、解答题（共70分） 16．（本题10分）（20-21高三下·湖南对口·二模）已知椭圆C：过点，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆C的方程 (2)已知点，点P是椭圆C上的一个动点，求的最值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为1 【难度】0.65 【知识点】求二次（型）函数的最值、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中有关距离及角度的范围、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】（1）先求出抛物线的焦点，可得椭圆的，从而有，将已知点代入椭圆方程，解方程组可求解； （2）设，则， 由向量模的坐标表示，用含的代数式表示，求二次函数在闭区间的最值可得解. 【详解】（1）因为椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合， 而抛物线的焦点为， 所以椭圆的焦点坐标为  即. 由题得 ， 解得，                   椭圆C的方程为 （2）设，则，从而 ， ， 因为， 所以当时，，当时，. 17．（本题10分）（23-24高二下·湖南对口长沙·期中）已知双曲线的左右焦点分别为、，离心率为，过点， (1)求双曲线C的方程； (2)求该双曲线的虚轴长及渐近线方程； (3)设点A的坐标为，点P是双曲线上的一点，当取最小值时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)虚轴长为，渐近线方程为 (3)或 【难度】0.85 【知识点】求平面直角坐标系中两点间的距离、根据离心率求椭圆的标准方程、求双曲线的实轴、虚轴、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】（1）根据双曲线的离心率和点坐标，以及，得到值，即可求得双曲线方程. （2）根据双曲线方程得到虚轴长和渐近线方程. （3）设点P坐标，计算的长度，求得最小值时的坐标. 【详解】（1）∵双曲线，且离心率， 得到，. 又∵双曲线过过点，代入方程，得到， ∴，故，. 所以，得到双曲线C的方程为. （2）由（1）得双曲线C的方程为， 所以虚轴长为. 渐近线方程为，代入，， 故渐近线方程为. （3）设点，点A的坐标为， 则， 而，即，代入， 得到. 故当时，取最小值时，此时， 故，当取最小值时，点坐标为或. 18．（本题10分）（22-23高二下·湖南对口长沙·期末）已知双曲线的焦点坐标为，实轴长为6. (1)求双曲线标准方程； (2)若双曲线上存在一点使得，求的面积. 【答案】(1) (2)1 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的面积问题 【分析】（1）根据双曲线的焦点坐标，以及实轴长得出的值，再求出，即可写出双曲线的标准方程. （2）利用双曲线的定义，由有，联立可解出的值，最后可求的面积. 【详解】（1）∵双曲线的焦点坐标为，实轴长为6， ∴焦点在轴上，，，即. ∴， 故双曲线的标准方程为： （2）根据双曲线的定义：, ∴， 即有， 又∵，∴， ∴， ∴. 19．（本题10分）（21-22高三下·湖南对口永州·阶段练习）双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)倾斜角为的直线过点，且与双曲线交于，两点，为坐标原点，求面积. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求共焦点的双曲线方程、根据抛物线方程求焦点或准线、韦达定理在双曲线中的应用、双曲线中的面积问题 【分析】（1）先求出抛物线的焦点，再根据双曲线的渐近线结合的关系，即可求出双曲线的方程. （2）根据直线与双曲线相交，联立方程组结合韦达定理解决问题即可. 【详解】（1）已知抛物线的焦点为， 所以双曲线中， 又有双曲线的渐近线方程为， ， 解得， 所以的方程为. （2）由题意可知的斜率，且过点 所以的方程为， 所以 消并整理得：， 显然，设， 则， 所以 又点到的距离 ∴ 20．（本题10分）（19-20高三·湖南对口永州·阶段练习）已知抛物线的顶点为坐标原点O，焦点F是圆的圆心． (1)求抛物线的方程． (2)设过点且斜率为的直线l与抛物线交于A，B两点，点M为圆上的任意一点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆心到直线的距离求值或最值、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）由抛物线的焦点的坐标求标准方程即可. （2）利用相交弦长公式求出，再由要使面积的最大，点M为圆C2上与直线平行的切线的切点，即点M到直线的最大距离为圆心到直线AB的距离加上半径，再求出面积即可. 【详解】（1）由圆的方程知圆心坐标为， 所以所求抛物线的焦点的坐标为， 所以抛物线的标准方程为． （2）因为直线l过点且斜率为−1， 所以直线l的方程为，即. 又因为直线l与抛物线C1交于A，B两点， 联立方程，得， 所以，， 所以， 点M为圆C2上的任意一点，要使面积的最大，点M为圆C2上与直线平行的切线的切点， 由圆的方程知圆心坐标为，圆心到直线的距离， 点M到直线的最大距离为. 所以面积的最大值为. 21．（本题10分）（18-19高三·湖南对口·二模）如图所示，抛物线的准线方程是. (1)求抛物线的方程； (2)过的焦点作倾斜角为45°的直线与抛物线交于，两点，过点作与轴平行的直线与抛物线的准线交于点，试判断直线是否过抛物线的顶点，并说明理由. 【答案】(1) (2)直线AC过抛物线的顶点O，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】斜率公式的应用、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）由抛物线的准线为，列式可求得，从而求解； （2）求出直线方程，联立抛物线方程，设出，两点的坐标，根据韦达定理，结合几何关系表示出的坐标，利用斜率判断A，O，C三点在同一直线上即可. 【详解】（1）因为抛物线准线方程是， 所以，得. 故抛物线的方程是； （2）直线AC过抛物线的顶点O，理由如下： 因为直线过抛物线的焦点坐标，且倾斜角为45°， 所以直线AB的方程是. 由得：， 设，则. 由韦达定理得 ， 直线OA的斜率， 直线OC的斜率. ∴， 即A，O，C三点在同一直线上， 故直线AC过抛物线的顶点O. 22．（本题10分）（21-22高三·湖南对口·模拟预测）双曲线：的离心率是，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)设斜率为的直线与交于，两点，若与圆相切，求证：. 【答案】(1) (2)详见解析 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】(1)根据点在双曲线上可得，由可求，进而求得，代入双曲线的方程可得结果. （2）设直线的方程为，根据直线与圆相切，得出，联立直线与双曲线的方程，得出，，将以上各式代入，即可得出，从而得证. 【详解】（1）由题知，得， . 故双曲线方程是. （2）设直线的方程为， 与圆相切，，即      ———① 由，得， 设，，则 ，，又， 故 ， 由①式可知， 故 【点睛】关键点点睛：本题采用设而不求的解题方法，将直线方程代入双曲线方程整理后，应用韦达定理求出，，并结合直线与圆相切，得出的代入计算出的值为0，从而得证． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$