专题07 立体几何（专项训练）-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（湖南专用）

07 立体几何（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）（23-24高二下·湖南对口长沙·期中）若一个圆柱的底面半径是4，轴截面对角线长为10，则这个圆柱的侧面积为（    ）． A． B． C．48 D．24 2．（本题3分）（23-24高三下·湖南对口株洲·开学考试）如图所示的几何体是一个半球，底面圆的直径为1，则该几何体的表面积是（    ）    A． B． C． D． 3．（本题3分）（23-24高二下·湖南对口·二模）已知圆锥的高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）（22-23高二下·湖南对口长沙·期末）如图，正方体中，直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）（17-18高三·湖南对口·一模）已知圆柱的高为，它的两个底面所在的圆在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的体积是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）（23-24高三下·湖南对口永州·阶段练习）已知空间内，b，c，d为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列选项中正确的是（    ） A．，，则 B．，，则 C．，，，则 D．，，，则 7．（本题3分）（22-23高三·湖南对口·模拟预测）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面但不垂直 D．异面且垂直 8．（本题3分）（20-21高三·湖南对口·对口/高职单招）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 9．（本题3分）（21-22高三·湖南对口·模拟预测）已知，为两直线，，为两平面，下列说法正确的是（    ） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 10．（本题3分）（23-24高三下·湖南对口永州·一模）已知圆锥的高是3，其母线与底面所成的角是，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）（19-20高三·湖南对口·一模）已知四棱锥的底面是边长为3的正方形，底面，且与底面所成的角为，则四棱锥的体积等于 ． 12．（本题4分）（23-24高二上·湖南对口株洲·阶段练习）已知三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的大小是 ． 13．（本题4分）（14-15高三下·湖南对口怀化·二模）已知四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则该四棱锥的体积为 ． 14．（本题4分）（21-22高三下·湖南对口永州·阶段练习）已知正方体中，、分别为、的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为 . 15．（本题4分）（23-24高二下·湖南对口·期末）如图所示，在长方体中，已知，则异面直线与之间的距离为 . 评卷人 得分 三、解答题（共70分） 16．（本题10分）（22-23高三·湖南对口·二模）如图所示，在正三棱柱中，，是边的中点，交于点. (1)证明：平面; (2)若直线与平面所成的角为60°，求三棱锥的体积. 17．（本题10分）（18-19高三·湖南对口·二模）如图所示，已知正四棱柱的底面是正方形，，. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积. 18．（本题10分）（17-18高三·湖南对口·三模）如图，在正方体中，点是底面正方形的两条对角线的交点. (1)直线是否垂直平面？请说明理由； (2)求直线与所成角的大小. 19．（本题10分）（23-24高二下·湖南对口·二模）如图所示，直四棱柱的底面为梯形，．    (1)证明：平面； (2)若直四棱柱的体积为36，求二面角的正切值． 20．（本题10分）（19-20高三·湖南对口·三模）如题图所示，在三棱锥中，已知平面，，且，D是的中点，求： (1)二面角的平面角的正弦值； (2)与平面所成角的余弦值． 21．（本题10分）（22-23高三·湖南对口·三模）如图所示，已知正方体的棱长为8cm．    (1)求直线与平面ABCD所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积． 22．（本题10分）（23-24高三下·湖南对口永州·阶段练习）如图：在正四面体中，棱长为2，点D为的中点． (1)求直线与平面的夹角； (2)求三棱锥的体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 07 立体几何 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）（23-24高二下·湖南对口长沙·期中）若一个圆柱的底面半径是4，轴截面对角线长为10，则这个圆柱的侧面积为（    ）． A． B． C．48 D．24 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】圆柱的展开图及截面、圆柱表面积的有关计算 【分析】根据题意可求出圆柱的底面周长和高，即可求出侧面面积. 【详解】由题意可知， 轴截面的长为宽， 则圆柱侧面积为， 故选：A 2．（本题3分）（23-24高三下·湖南对口株洲·开学考试）如图所示的几何体是一个半球，底面圆的直径为1，则该几何体的表面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】根据图示，可知半球的表面积由球的表面积和圆的面积构成. 【详解】由题意得，底面圆的直径为1，则底面圆的半径 . 故选：D, 3．（本题3分）（23-24高二下·湖南对口·二模）已知圆锥的高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】圆锥的结构特征辨析、锥体体积的有关计算、由线面角的大小求其它量 【分析】由已知，根据线面角的概念可求得圆锥的半径，利用体积公式可求解. 【详解】    如图，在圆锥中，高，母线与底面所成的角为， 所以半径， 所以该圆锥的体积. 故选：C 4．（本题3分）（22-23高二下·湖南对口长沙·期末）如图，正方体中，直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接由正方体的结构特征可得：，且三角形为等边三角形，即可知异面直线与所成角. 【详解】连接由正方体的结构特征可知：， 所以与所成角即为异面直线与所成角， 又因为三角形为等边三角形，所以与所成角，即异面直线与所成角为. 故选：C. 5．（本题3分）（17-18高三·湖南对口·一模）已知圆柱的高为，它的两个底面所在的圆在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】由圆柱的体积公式即可得解. 【详解】由题意可知圆柱的底面半径为. 所以圆柱的体积为. 故选:. 6．（本题3分）（23-24高三下·湖南对口永州·阶段练习）已知空间内，b，c，d为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列选项中正确的是（    ） A．，，则 B．，，则 C．，，，则 D．，，，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间中线面关系的图形表示和符号表示、平行公理、判断线面平行 【分析】根据线、面之间平行或垂直的判定方法，对选项的正误进行判断，即可解答此题. 【详解】解：对A：若，，则或直线b在平面内，故A错误； 对B：若，，则或直线b在平面内，故B错误； 对C：若，，，则或直线b在平面内，故C错误； 对D：因为，，，所以，故D正确. 故选：D 7．（本题3分）（22-23高三·湖南对口·模拟预测）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面但不垂直 D．异面且垂直 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】异面直线的判定、证明异面直线垂直 【分析】根据正方体的性质，以及异面直线的概念求解. 【详解】 根据正方体的性质，可知直线平面, 而平面，且两直线不平行，所以直线与异面. 连接，得到，而, 故. 综上，直线与异面且垂直. 故选：D. 8．（本题3分）（20-21高三·湖南对口·对口/高职单招）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断线面平行、判断面面平行、判断面面是否垂直、空间垂直的转化 【分析】根据线面的位置关系可判断A；举反例判断B、C；由面面垂直的判定定理可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：若，，则或，故选项A不正确； 对于B：如图，平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，但与相交，故选项B不正确；    对于C：如图，在正方体中，平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，， 但，故选项C不正确；    对于D：若，，可得或，若，因为，由面面垂直的判定定理可得；若，可过作平面与相交，则交线在平面内， 且交线与平行，由可得交线与垂直，由面面垂直的判定定理可得，故选项D正确； 故选：D. 9．（本题3分）（21-22高三·湖南对口·模拟预测）已知，为两直线，，为两平面，下列说法正确的是（    ） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】由题意根据直线与直线，平面与平面，平面与直线的位置关系判断. 【详解】对于选项A，可知，，则或与相交或与是异面直线，排除A； 对于选项B，可知，，则或或两平面相交，排除B； 对于选项C，可知，，则是面面垂直的判定定理，C正确； 对于选项D，可知，，则或在面内，排除D. 故选:C. 10．（本题3分）（23-24高三下·湖南对口永州·一模）已知圆锥的高是3，其母线与底面所成的角是，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】扇形面积公式及应用、圆锥表面积的有关计算 【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形半径为圆锥母线长，扇形的面积即为侧面积. 【详解】根据题意找到关系如图所示：    ∵母线与底面所成的角是，圆锥的高与底面垂直，为底面半径， ∴圆锥的高与底面半径垂直， 故有， ∵， ∴ ∵， 解得， ∴扇形弧长圆锥底面周长， 圆锥的侧面积扇形的面积. 故选:C. 评卷人 得分 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）（19-20高三·湖南对口·一模）已知四棱锥的底面是边长为3的正方形，底面，且与底面所成的角为，则四棱锥的体积等于 ． 【答案】9 【难度】0.94 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据题意画出图形，求出四棱锥的底面积和高，即可求出体积. 【详解】 因为底面，面, 所以, 与底面所成的角即为， 所以为等腰直角三角形， 面为正方形， 所以, 面的面积， . 故答案为：9 12．（本题4分）（23-24高二上·湖南对口株洲·阶段练习）已知三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的大小是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】先将两条异面直线平移为相交直线，找到角后放到三角形中求解即可. 【详解】, 直线与所成的角为异面直线与所成角， ， ， ， , 为等腰直角三角形， ， 异面直线与所成角为. 故答案为： 13．（本题4分）（14-15高三下·湖南对口怀化·二模）已知四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则该四棱锥的体积为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据线面垂直性质及勾股定理求出四棱锥的高，再代棱锥体积公式计算即可. 【详解】如图所示，连接，则在正方形中，， 且平面，且平面， 所以， 所以， 则四棱锥的体积为. 故答案为：. 14．（本题4分）（21-22高三下·湖南对口永州·阶段练习）已知正方体中，、分别为、的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】找出异面直线成角，再运用余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值即可. 【详解】如图，连接，因为、分别为、的中点， 则， 所以为异面直线与所成的角或补角， 设正方体棱长为， 则，， 所以. 故答案为：. 15．（本题4分）（23-24高二下·湖南对口·期末）如图所示，在长方体中，已知，则异面直线与之间的距离为 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】找到异面直线的公垂线段，即可求解. 【详解】由长方体的性质可得，， 所以是异面直线与的公垂线， 所以异面直线与之间的距离为. 故答案为：2 评卷人 得分 三、解答题（共70分） 16．（本题10分）（22-23高三·湖南对口·二模）如图所示，在正三棱柱中，，是边的中点，交于点. (1)证明：平面; (2)若直线与平面所成的角为60°，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、线面角的概念及辨析、由线面角的大小求其它量 【分析】（1）由中位线可得，从而得证； （2）找到与平面所成的角，并求得，变换三棱锥的顶点和底面，易求其体积. 【详解】（1）证明：由题意可知E为的中点，D是BC的中点， 所以DE是的一条中位线， 于是 而平面，平面， 所以平面. （2）在中，，， 在正三棱柱中，平面 在平面内的射影为， 即是与平面ABC所成的角 故， 所以在中， . 故三棱锥的体积为 . 17．（本题10分）（18-19高三·湖南对口·二模）如图所示，已知正四棱柱的底面是正方形，，. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，即可证明线线垂直； （2）根据三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）证明：连接， ∵是正方形，故， ∵平面 ，平面，故， 而平面，平面，，∴平面, ∵平面，∴. （2）由长方体知， 平面， ∴三棱锥的体积： . 18．（本题10分）（17-18高三·湖南对口·三模）如图，在正方体中，点是底面正方形的两条对角线的交点. (1)直线是否垂直平面？请说明理由； (2)求直线与所成角的大小. 【答案】(1)直线平面，理由见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、求异面直线所成的角、判断线面是否垂直 【分析】（1）在正方体中，因为，，且，根据线面垂直的判定定理，可得平面； （2）连接，易证，故直线与所成的角为.在中可求解. 【详解】（1）直线平面. 理由如下： 在正方体中 因为，， 又，在平面内， 所以直线平面. （2）如图，连接. 因为且， 所以四边形为平行四边形， 从而. 因此，直线与所成的角为. 设正方体的的棱长为， 则，， 在中， . 所以在中，有， 所以是直角三角形，且， 故. 因此，直线与所成的角为. 19．（本题10分）（23-24高二下·湖南对口·二模）如图所示，直四棱柱的底面为梯形，．    (1)证明：平面； (2)若直四棱柱的体积为36，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、面面平行证明面面平行、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）通过证明面面平行，再证明平面即可. （2）过点作于，连接，通过线面垂直证明线线垂直，得出二面角，再求出结果即可. 【详解】（1）证明：因为,平面， 平面,所以平面. 又因为,平面,平面 所以平面. 因为平面, 平面,所以平面平面. 因为平面,所以平面. （2）    过点作于，连接. 在中,. 所以. 因为四棱柱的体积为， 所以. 因为平面平面， 所以. 又因为平面， 所以平面. 因为平面,所以. 由此可知为二面角的平面角. 故. 20．（本题10分）（19-20高三·湖南对口·三模）如题图所示，在三棱锥中，已知平面，，且，D是的中点，求： (1)二面角的平面角的正弦值； (2)与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求线面角、求二面角 【分析】（1）先利用垂面法找到二面角的平面角，再求正弦值即可解答； （2）利用线面角定义找到此角，再求余弦值. 【详解】（1）因为平面，且平面,平面, ， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以， 即二面角的平面角的正弦值为. （2）因为平面，平面，所以, 那么为与平面所成的线面角， 因为为中点，，所以, 所以, 所以, 即有, 故与平面所成角的余弦值为. 21．（本题10分）（22-23高三·湖南对口·三模）如图所示，已知正方体的棱长为8cm．    (1)求直线与平面ABCD所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、求线面角 【分析】（1）通过垂直关系及线面角定义找到线面角，求出线面角所在的直角三角形中各边长，再求余弦值即可. （2）求三棱锥高及底面积，再套用体积公式求解即可. 【详解】（1）因为平面， 所以在中，为直线与平面所成的角， 又因为， ， 所以 （2）因为平面， 所以三棱锥的高， 而三棱锥的底面积是， 所以三棱锥的体积为. 22．（本题10分）（23-24高三下·湖南对口永州·阶段练习）如图：在正四面体中，棱长为2，点D为的中点． (1)求直线与平面的夹角； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面角的概念及辨析、求线面角 【分析】（1）根据线面垂直找出直线与平面的夹角即可求解. （2）根据三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）解：在正四面体中， 和均为等边三角形 . 因为点D为的中点， 所以，. 因为平面平面. 所以平面. 则为直线与平面的夹角. 所以直线与平面的夹角. （2）解：取中点，连接. 因为， 所以是等腰三角形. 则. 由勾股定理可得. 则. 由（1）得，平面， 所以为三棱锥的高. . 即三棱锥的体积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$