专题05 平面向量（专项训练）-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（湖南专用）

05 平面向量 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 1．（23-24高三上·湖南对口永州·期末）已知平面向量，则向量等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】向量线性运算的坐标表示 【分析】由向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】因为平面向量， 所以， . 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·单元测试）设，且，则锐角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】二倍角的正弦公式、给值求角型问题、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】解：向量，且， 所以，即， 又因为角为锐角， ． 故选：B. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知向量、满足，，，则向量、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据向量夹角公式计算角的余弦值，再结合夹角范围求解即可. 【详解】. ∵，∴. 故选：C. 4．（21-22高三·湖南对口·三模）已知点，向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】向量的坐标表示 【分析】设点，然后根据列方程组求出点的坐标，再根据向量的坐标表示即可求出向量. 【详解】已知点，点， 则， 即，解得，所以点的坐标为， 则向量. 故选：D. 5．（23-24高三下·湖南对口株洲·开学考试）已知向量，的夹角，，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】内积的运算律、已知内积求模 【分析】由结合数量积的运算可得结果. 【详解】 . 故选：C. 6．（23-24高三下·湖南对口永州·一模）已知向量，且，则（    ） A．9 B．117 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量的模、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的坐标表示求的值，再求. 【详解】∵， ∴， 解得：， 所以， 故, 故选:D. 7．（2020高三·湖南对口·学业考试）在平行四边形中，与交于点M，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量加法法则的几何应用及应用、向量数乘的有关计算 【分析】根据平行四边形内向量的加法、数乘等性质进行运算. 【详解】    ∵平行四边形中，与交于点M， ∴, 而， 故. 故选：B. 8．（19-20高三·湖南对口永州·阶段练习）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模、内积的坐标表示 【分析】根据向量模的坐标公式及平面向量线性运算的坐标运算法则计算可得. 【详解】，故选项A错误， ，故选项B错误， ，故选项C错误， ，故选项D正确. 故选：D 9．（20-21高三下·湖南对口·二模）已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的内积、内积的运算律 【分析】根据向量内积的定义及运算律可求解. 【详解】由题意， . 故选：B 10．（18-19高三·湖南对口·二模）已知两点，，则与向量同方向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】先求向量，由题可设所求向量且，利用向量的坐标表示可求，从而求解. 【详解】， 设与向量同方向的单位向量为，则， 即. 又， 故， 解得，（舍去）. 所以. 故选：B 评卷人 得分 二、填空题 11．（23-24高三下·湖南对口永州·阶段练习）已知向量，，若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、利用内积求参数 【分析】根据向量内积的坐标运算即可求解. 【详解】， 解得. 所以. . 故答案为：. 12．（23-24高三下·湖南对口·对口/高职单招）已知向量，，且，则实数 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由向量线性运算结果求参数、利用内积求参数、已知向量垂直求参数 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示结合向量垂直则内积为即可求解. 【详解】， . 因为， 所以. 解得. 故答案为：. 13．（22-23高三上·湖南对口常德·阶段练习）若，，与的夹角为，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的内积、已知内积求模 【分析】根据内积定义先求内积，再根据模长与内积的关系求解即可. 【详解】由题可知，， 则. 故答案为：. 14．（19-20高三·湖南对口永州·阶段练习）已知三顶点的坐标依次为，为、的中点，则与方向相反的单位向量的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】零向量与单位向量、向量的坐标表示、利用坐标求向量的模、线段中点的坐标 【分析】先求出点的坐标，再表示出的坐标，设出与方向相反的单位向量，根据单位向量的模长为即可得解. 【详解】因为，且为，的中点. 所以即. 因为，所以. 设与方向相反的单位向量的坐标是，. 所以，解得. 所以与方向相反的单位向量的坐标是. 故答案为：. 15．（22-23高三上·湖南对口常德·阶段练习）若，且，，则 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】坐标计算向量的模、已知向量垂直求参数 【分析】设出的坐标，根据向量的垂直与向量的模列出方程组即可得解. 【详解】设. 因为，所以. 又因为，则. 联立方程组. 解得. 当时，. 当时，. 所以或. 故答案为：或. 评卷人 得分 三、解答题 16．（17-18高三·湖南对口·三模）已知同一个平面内的四点. (1)若，求实数m的值； (2)若四边形为平行四边形，求实数n的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】相等向量、向量的坐标表示、向量坐标的线性运算解决几何问题、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）由已知，将用坐标表示出来，再根据向量垂直的坐标表示可求解； （2）由题可得，根据向量相等及向量的坐标表示，列方程组可求解. 【详解】（1）因为， 又因为， 所以， 解得； （2）由题意可知. 因为， 所以，解得 因此的值为. 17．（21-22高三下·湖南对口永州·阶段练习）已知向量，， (1)若，求的值； (2)设向量，，判断向量与向量是否垂直，并说明理由. 【答案】(1) (2)，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求解即可. （2）根据向量垂直的坐标表示进行判断证明即可. 【详解】（1）已知，， 且， 则有， 解得. （2）已知，， 则有， ， 又有， 所以. 18．（21-22高三·湖南对口·模拟预测）已知向量，向量. (1)求向量，的夹角； (2)若向量，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】利用向量的数量积公式与夹角公式求解； 根据两向量平行时，横纵坐标的关系求解. 【详解】（1）依题意， （2） 解得： 19．（19-20高三·湖南对口永州·阶段练习）已知， (1)求与的夹角； (2)求； (3)若，求△的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及应用、内积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）根据向量模长与内积关系以及内积定义列式求夹角余弦值，结合夹角范围即可求出角. （2）根据向量运算律去括号并代内积定义计算即可. （3）由两向量夹角得到角，再代三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由可得： ，即， 解得，且， 则. （2） （3）若，则与的夹角为， 且由（1）可知，与的夹角为， 则由可得：，且， 则. 20．（22-23高三·湖南对口·模拟预测）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为 (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用内积求参数、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）设双曲线方程，根据题设条件得到，即可求解. （2）联立直线方程与双曲线方程，根据直线与双曲线有两个不同交点，以及，求解的取值范围. 【详解】（1）∵双曲线C的右焦点为，右顶点为， ∴设双曲线方程为，即，，. 故双曲线方程为. （2）联立直线与双曲线C：的方程，得到， ，整理得，. ∵直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，设， ∴，且. 由得. 将整理得，，即. 解得，. 结合，得 ， 代入， 得到，化简得， 解得， 而且， ∴，得到或. 综上，的取值范围为. 21．（19-20高三·湖南对口·一模）已知向量，． (1)若，求实数的值； (2)若向量，的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】内积的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示即可得解. （2）由向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为且，.    所以. 解得. （2）因为的夹角是钝角. 所以且与不共线. 所以. 解得且. 所以的取值范围为. 22．（17-18高三·湖南对口·一模）已知向量，． (1)若，求的值； (2)若向量与的夹角为，求实数的值． 【答案】(1). (2). 【难度】0.65 【知识点】向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模、由向量共线（平行）求参数、利用内积求参数 【分析】（1）由向量平行的坐标表示及向量线性运算的坐标表示即可得解. （2）由向量的内积即可得解. 【详解】（1）因为. 所以. 解得．                                                      所以． 因此. （2）因为且. 所以. 化简得. 解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 05 平面向量 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 1．（23-24高三上·湖南对口永州·期末）已知平面向量，则向量等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·单元测试）设，且，则锐角等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知向量、满足，，，则向量、的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高三·湖南对口·三模）已知点，向量，则向量（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·湖南对口株洲·开学考试）已知向量，的夹角，，，则（    ） A． B． C． D．4 6．（23-24高三下·湖南对口永州·一模）已知向量，且，则（    ） A．9 B．117 C． D． 7．（2020高三·湖南对口·学业考试）在平行四边形中，与交于点M，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（19-20高三·湖南对口永州·阶段练习）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 9．（20-21高三下·湖南对口·二模）已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 10．（18-19高三·湖南对口·二模）已知两点，，则与向量同方向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题 11．（23-24高三下·湖南对口永州·阶段练习）已知向量，，若，则 ． 12．（23-24高三下·湖南对口·对口/高职单招）已知向量，，且，则实数 ． 13．（22-23高三上·湖南对口常德·阶段练习）若，，与的夹角为，则 . 14．（19-20高三·湖南对口永州·阶段练习）已知三顶点的坐标依次为，为、的中点，则与方向相反的单位向量的坐标是 ． 15．（22-23高三上·湖南对口常德·阶段练习）若，且，，则 . 评卷人 得分 三、解答题 16．（17-18高三·湖南对口·三模）已知同一个平面内的四点. (1)若，求实数m的值； (2)若四边形为平行四边形，求实数n的值. 17．（21-22高三下·湖南对口永州·阶段练习）已知向量，， (1)若，求的值； (2)设向量，，判断向量与向量是否垂直，并说明理由. 18．（21-22高三·湖南对口·模拟预测）已知向量，向量. (1)求向量，的夹角； (2)若向量，求实数的值. 19．（19-20高三·湖南对口永州·阶段练习）已知， (1)求与的夹角； (2)求； (3)若，求△的面积． 20．（22-23高三·湖南对口·模拟预测）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为 (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）求的取值范围． 21．（19-20高三·湖南对口·一模）已知向量，． (1)若，求实数的值； (2)若向量，的夹角是钝角，求实数的取值范围． 22．（17-18高三·湖南对口·一模）已知向量，． (1)若，求的值； (2)若向量与的夹角为，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$