串讲02 第2章 常用逻辑用语（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

苏教版(2019)必修第一册 数学 期中考点大串讲 串讲 02 第2章 常用逻辑用语 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.命题的概念及结构、充分条件与必要条件 命题 真命题 假命题 p q 真命题 p⇒q 充分条件 必要条件 充分条件 必要条件 考点2.充要条件 p⇒q q⇒p p⇔q 充要条件 充要条件 充要条件 p⇔q 充要条件 考点3.　全称量词与全称量词命题 所有的 任意一个 ∀ 全称量词 ∀x∈M， p(x) 考点4.存在量词与存在量词命题 存在一个 至少有一个 ∃ 存在量词 ∃x∈M，p(x) 考点5.　全称量词命题的否定 ∃x∈M，綈p(x) 存在量词 考点6.存在量词命题的否定 ∀x∈M，綈p(x) 全称量词 02 典例透析 考点1.充分条件的判断 【例题1】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若x>1，则x2>1； (3)若A⊆B，则A∩B＝A； (4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； (5)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC. 考点1.充分条件的判断 解 考点2.必要条件的判断 解 考点3.利用充分条件、必要条件求参数的取值范围 【例题3】已知集合M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，p：x∈M，q：x∈N.若q是p的必要条件，求a的取值范围． 解 考点4.充要条件的判断 解　 (1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如当x＝－1时，x＋|x|＝0，所以p q， 所以p不是q的充要条件． (2)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解， 则a≠0，所以p q，所以p不是q的充要条件． 解 考点4.充要条件的判断 (3)当c＝0时，函数y＝ax2＋bx的图象经过原点；当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p⇔q，所以p是q的充要条件． 解 考点5.充要条件的证明 【例题5】设a，b，c为△ABC的三边，求证：关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明：①充分性： 因为∠A＝90°，所以a2＝b2＋c2， 所以x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0. 即(x＋a)2－c2＝0，(x＋a＋c)(x＋a－c)＝0， 所以x1＝－a－c，x2＝－a＋c. 同理，x2＋2cx－b2＝0可化为x2＋2cx＋c2－a2＝0， 即(x＋c)2－a2＝0，(x＋a＋c)(x＋c－a)＝0， 所以x3＝－a－c，x4＝a－c. 所以两个方程有公共根－a－c. 证明 考点5.充要条件的证明 ②必要性： 设两个方程有公共根α， 则α2＋2aα＋b2＝0，α2＋2cα－b2＝0， 两式相加，得α2＋(a＋c)α＝0， 所以α＝0或α＝－a－c. 若α＝0，代入任一方程，得b＝0，这与已知a，b，c为△ABC的三边相矛盾， 所以α＝－a－c，代入题中的任何一个方程，均可得a2＝b2＋c2，所以∠A＝90°. 综上所述，关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明 考点6.探求充要条件 【例题6】求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件． 解 考点6.探求充要条件 反过来，当k＝－2时，x2＋kx＋1＝x2－2x＋1＝0， 解得x1＝x2＝1. x2＋x＋k＝x2＋x－2＝0， 解得x3＝1，x4＝－2. 因此两个方程有公共实根1， 所以方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件是k＝－2. 解 考点7.全称量词命题与存在量词命题的识别 【例题7】判断下列命题的真假： (1)任何实数都有平方根； (2)存在有理数x，使x2－2＝0； (3)∀x∈R，x2－x＋1>0； (4)∃x∈Z，3x＋4＝5. 解 考点7.全称量词命题与存在量词命题的识别 考点8.含有量词的命题的应用 【例题8】已知命题p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0. 若p为真命题，则实数a的取值范围是______________． 答案 解析 考点9.全称量词命题的否定 【例题9】写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)等圆的面积相等； (3)每个三角形至少有两个锐角． 考点9.全称量词命题的否定 解 考点10.存在量词命题的否定 考点10.存在量词命题的否定 解 考点11.含有量词命题的否定的应用 【例题11】命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“对任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1.所以实数a的取值范围为{a|a≥1}． 解 03 考场练兵 1．(2024·重庆育才中学高一上期中)设p：|x|≤3，q：－4<x<5，则p是q的 (　　) A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由题设，p：－3≤x≤3，q：－4<x<5，所以p是q的充分不必要条件．故选A. 答案 解析 答案 解析 解析： a<0，b<0⇒a＋b<0.故选A. 答案 解析 4．(2024·安徽蚌埠二中高一上阶段考试)设x∈Z，集合A＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，B＝{y|y＝4n＋2，n∈N}．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则命题p的否定和命题p的真假为(　　) A．∃x∈A，2x∈B，且p是真命题 B．∃x∉A，2x∈B，且p是假命题 C．∃x∈A，2x∉B，且p是真命题 D．∀x∉A，2x∉B，且p是假命题 解析：命题p：∀x∈A，2x∈B，则命题p的否定为∃x∈A，2x∉B.对于x∈A，则2x＝4n＋2，n∈N，即2x∈B，故p是真命题．故选C. 答案 解析 5．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是 (　　) A．{a|a<－1} B．{a|a≥1} C．{a|a>1} D．{a|a≤－1} 解析：∵p为假命题，∴綈p为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.∴实数a的取值范围是{a|a≥1}．故选B. 答案 解析 答案 解析 答案 解析 8．(2024·安徽凤阳县第二中学高一上期中)下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是(　　) A．a>1 B．a>0 C．a<－1 D．a<1 答案 解析 9．已知集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，N＝{x|x＝4m＋1，m∈Z}，则“x∈M”是“x∈N”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 解析 解析：A是全称量词命题，但不是真命题，故A不满足题意；B是真命题，但不是全称量词命题，故B不满足题意；C是全称量词命题，也是真命题，故C满足题意；D是全称量词命题，但不是真命题，故D不满足题意．故选C. 答案 解析 11．下列存在量词命题中是假命题的是(　　) A．存在x∈Q，使2x－x3＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的自然数是偶数 D．存在一个实数与其相反数的和为0 答案 解析 12．(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则(　　) A．p是q的既不充分也不必要条件 B．p是s的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 解析：由已知，得p⇒r⇒s⇒q，q⇒r⇒s.所以p是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条件．故选BD. 答案 解析 答案 解析 答案 解析 15．(2024·河南商丘高一检测)已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋k＋2＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(k－1)x＋k2－3≠0.若p是真命题，q是假命题，则实数k的取值范围为_____________． 解析：若命题p为真命题，即关于x的方程x2－2x＋k＋2＝0有实根，则Δ1＝4－4(k＋2)≥0，解得k≤－1.若命题q为真命题，则Δ2＝4(k－1)2－4(k2－3)<0，解得k>2，故当q为假命题时，k≤2.因为p是真命题，q是假命题，所以实数k的取值范围为{k|k≤－1}． {k|k≤－1} 答案 解析 16．(2024·江苏宿迁青华中学高一上月考)设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围； (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围． 解 解 17．(2024·湖南岳阳高一上期中)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋3≤x ≤m2＋4}，如果命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，求实数a的取值范围． 解：因为“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，所以它的否定“∀m∈R，使得A∩B＝∅”为真命题， 当a<0时，A＝{x|0≤x≤a}＝∅，符合A∩B＝∅； 当a≥0时，因为m2＋3>0，所以由∀m∈R，A∩B＝∅可得a<m2＋3，对于m∈R恒成立， 因为m2＋3≥3，所以0≤a<3. 综上，实数a的取值范围为{a|a<3}． 解 知识点 　 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做_____．判断为真的语句是___________，判断为假的语句是__________． (2)当命题表示为“若p，则q”时， ____是命题的条件， ___是命题的结论． 知识点 　 一般地，“若p，则q”为_______，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作_____，并且说，p是q的__________，q是p的__________． 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作_____．此时，我们就说p不是q的__________，q不是p的________． pq 知识点　　 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有_____，就记作______．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为________． (2)条件与结论的等价性：如果p是q的____________，那么q也是p的_________． (3)概括：如果______，那么p与q互为_________． 知识点 (1)全称量词：短语“________”“ ___________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示． (2)全称量词命题：含有___________的命题，叫做全称量词命题． (3)符号表示 ①将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示． ②全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为： _________ ________． 知识点 (1)存在量词：短语“__________”“ _____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“_____”表示． (2)存在量词命题：含有__________的命题，叫做存在量词命题． (3)符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为： ________________． 知识点 全称量词命题p 綈p 结论 ∀x∈M，p(x) ________________ 全称量词命题的否定是___________命题 知识点 　 存在量词命题p 綈p 结论 ∃x∈M，p(x) eq \x(\s\up1(01))_______________ 存在量词命题的否定是eq \x(\s\up1(02))__________命题 解　(1)由于QR，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件． (2)由x>1可以推出x2>1. 因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (3)由A⊆B可以推出A∩B＝A. 因为p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3， 因此pq，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知， 若∠A>∠B， 则BC>AC. 因此p⇒q，所以p是q的充分条件． 【例题2】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若－2≤x≤5，则－1≤x≤5； (2)若△ABC为等边三角形，则△ABC是等腰三角形； (3)若a－3b＝0，则eq \f(a,b)＝3. 解：(1)当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立，所以pq，所以q不是p的必要条件． (2)因为等边三角形一定是等腰三角形，所以p⇒q， 所以q是p的必要条件． (3)当a＝b＝0时，a－3b＝0成立， 但是eq \f(a,b)＝3不成立，所以pq，所以q不是p的必要条件． 解：因为q是p的必要条件，所以M⊆N. 于是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1≥－3，,a＋1≤8，))解得－2≤a≤7. 故a的取值范围为{a|－2≤a≤7}． 　 【例题4】下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：x≠0，q：x＋|x|>0； (2)p：关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，q：a>0； (3)p：c＝0，q：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点． 解：若方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根，设为x0，则 2,0)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋kx0＋1＝0，①,xeq \o\al(2,0)＋x0＋k＝0. ②)) 由②，得k＝－xeq \o\al(2,0)－x0， 代入①，得xeq \o\al(3,0)＝1， 解得x0＝1，因此k＝－2. 解：(1)因为负数没有平方根，所以该命题为假命题． (2)因为方程x2－2＝0没有有理根， 所以该命题为假命题． (3)因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)>0恒成立， 所以该命题为真命题． (4)因为3x＋4＝5不存在整数解，所以该命题为假命题． 解析：由题意可得，当p为真命题时，方程x2＋3x＋a＝0有实根，即32－4a≥0，得a≤eq \f(9,4)，故实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤\f(9,4))))). eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤\f(9,4))))) 解：(1)该命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－eq \f(1,4)时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以该命题的否定是真命题． (2)该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知该命题的否定是假命题． (3)该命题的否定是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知该命题的否定为假命题． 【例题10】写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有的素数是偶数； (2)∃x∈R，x2＋x＋eq \f(1,4)≠0； (3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 解：(1)该命题的否定为“所有的素数都不是偶数”，是假命题，如2是素数也是偶数． (2)该命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋eq \f(1,4)＝0”，是假命题，因为当x＝1时，x2＋x＋eq \f(1,4)＝eq \f(9,4)≠0. (3)该命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”，是假命题，因为当x＝－1时，x3＋1＝0. 2．(2024·浙江名校协作体高三上学期开学考试)设命题p：∀n∈N，n2<3n＋4，则p的否定为(　　) A．∀n∈N，n2>3n＋4 B．∀n∈N，n2≤3n＋4 C．∃n∈N，n2≥3n＋4 D．∃n∈N，n2>3n＋4 解析　因为命题p：∀n∈N，n2<3n＋4，所以p的否定为∃n∈N，n2≥3n＋4.故选C. 3．a<0，b<0的一个必要条件是(　　) A．a＋b<0 B．a－b>0 C.eq \f(a,b)>1 D.eq \f(a,b)<－1 6．(2024·湖南长郡中学高三月考)若命题p：“∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0”为假命题，则a的取值范围是(　　) A．(－4，0] B．[－4，0) C．[－3，0] D．[－4，0] 解析　命题p：“∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0”为假命题，即命题綈p：“∀x∈R，ax2＋2ax－4<0”为真命题．当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意；当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0.综上可知，－4<a≤0.故选A. 7．命题“∀1≤x≤2，x2－2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是(　　) A．a≥1 B．a≥3 C．a≥2 D．a≤4 解析　因为命题“∀1≤x≤2，x2－2a≤0”是真命题，所以a≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2))) eq \s\do7(max)＝2，则一个必要不充分条件是a≥1.故选A. 解析：因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1x2<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－4a>0，,\f(1,a)<0，))解得a<0.选项中只有a<－1⇒a<0.故选C. 解析：∵集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，N＝{x|x＝4m＋1，m∈Z}，∴NM，∴“x∈M”是“x∈N”的必要不充分条件．故选B. 10．(2024·山东临沂高一上期中)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x＋1>0 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．所有菱形的四条边都相等 D．∀x>0，eq \r(x)是无理数 解析：因为存在x＝0∈Q，使2x－x3＝0成立，故A是真命题；因为x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)>0对x∈R恒成立，因此B是假命题；因为2是自然数也是偶数，故C是真命题；因为1的相反数为－1，1＋(－1)＝0，故D是真命题．故选B. 13．(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x2－3x＋4>0 B．∀x∈{1，－1，0}，5x＋4>0 C．∃x∈N，eq \r(x)≤x D．∃x∈N＋，使x为29的约数 解析：对于A，因为2x2－3x＋4＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,2)x＋\f(9,16)))－eq \f(9,8)＋4＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4))) eq \s\up12(2)＋eq \f(23,8)>0，故A是真命题；对于B，因为当x＝－1时，5x＋4<0，故B是假命题；对于C，令x＝4，则eq \r(4)＝2≤4，故C是真命题；对于D，因为1和29都是29的约数，故D是真命题．故选ACD. 14．(2024·福建厦门第六中学高三检测)已知命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”为假命题，则实数m的取值范围为______________________． 解析　因为命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”为假命题，所以命题“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4m≥0，解得m≤1.故实数m的取值范围为(－∞，1]． (－∞，1] 解：(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a≤1，,1＋2a≥4，,2－a≤1＋2a，))解得a≥eq \f(3,2)， 所以a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≥\f(3,2))))). (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件， 所以B⊆A， ①当B＝∅时，满足B⊆A，此时2－a>1＋2a，得a<eq \f(1,3)； ②当B≠∅时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a≥1，,1＋2a≤4，,2－a≤1＋2a，))解得eq \f(1,3)≤a≤1. 综上，a的取值范围为{a|a≤1}． $$