九年级数学期中模拟卷（北京版北京专用，测试范围：北京版九年级上册第十八章-第二十章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期中模拟考试

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版九年级上册第十八章-第二十章。 5．难度系数：0.85。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（    ） A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 2．抛物线y＝x2－6x＋3的顶点坐标为( ) A．(3，－6) B．(3，12) C．(－3，－9) D．(－3，－6) 3．下列命题中，真命题的个数是（    ） ①有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；②两个全等三角形一定相似； ③有一个角对应相等的两个等腰三角形一定相似；④等边三角形都相似； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知二次函数的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 5．若反比例函数的图象在其所在的每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是AC的中点，过点D沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，则不同的剪法共有（　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 7．如图的顶点是一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限的交点，且，那么点坐标是（ ） A． B． C． D． 8．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔5海里的点处，如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东方向，轮船航行的距离的长是（    ） A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得抛物线的顶点坐标为 10．在某一时刻，测得一根高为1.5 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为60 m，则这栋楼的高度为 m． 11．如果两个相似三角形的对应高之比为2：5，那么它们的面积比为 ． 12．已知二次函数的图象经过点，则 ． 13．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形中较大的锐角度数为α．若大正方形的面积为10，小正方形的面积是4，则的值为 ． 14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝30°，∠C＝90°，∠ADB＝105°，sin∠BDC＝，AD＝4．则DC＝ . 15．如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，CD与BE交于点F，BE⊥CD，如果，，那么 . 16．抛物线（为常数，）经过两点，且与轴交点在的下方，下列四个结论：①；②若点在该抛物线上，则；③当时，的取值范围是；④关于方程始终有两个不相等的实数解；其中正确结论的序号是 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（4分）计算： （1）； （2）． 18．（5分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，某反比例函数的图象经过点． 求该反比例函数的解析式； 点和均在该反比例函数的图象上，点在轴上，请画出使的值最小的点位置，并求出此时点的坐标． 19．（6分）已知二次函数 (1)用配方法求该二次函数的顶点和对称轴： (2)画出所给函数的图象：并求出使的x的取值范围． 20．（5分）定义：我们把三边长的比为1：：的三角形称为半燕尾三角形． （1）请你在下面5×5和2×7的网格中分别画出一个顶点在格点上面积不同的半燕尾三角形． （2）你所画出的半燕尾三角形的最大内角为　 　度．    21．（6分）小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡面上，测得旗杆在水平地面上的影长，在斜坡坡面上的影长，太阳光线与水平线所成的角为． (1)若斜坡的坡度是，求点到旗杆的距离； (2)若太阳光线与斜坡坡面的夹角为，求旗杆的高度；（精确到1m）．（参考数据：，，，，） 22．（5分）如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，．求证：． 23．（5分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°． (1)求证：CE=CM． (2)若AB=4，求线段FC的长． 24．（6分）某种商品每件的进价为20元，在某段时间内若以每件元出售，可卖出件，获得的利润是元． (1)写出与之间的函数解析式； (2)应如何定价才能使利润最大？最大利润是多少元？ 25．（5分）某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：与成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式． 26．（5分）如图，==，且△ABC的面积与△ADE的面积差是15cm2， （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）求△ADE的面积． 27．（8分）如图，平行四边形，E，F为上的点，交于点P，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求证： (3)若P为中点，，，求的长． 28．（8分）如图1，抛物线与x轴，y轴的正半轴分别交于点和点，与x轴负半轴交于点A，动点M从点A出发沿折线向终点B匀速运动，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接. （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，当点N在线段上时，求证：； （3）当点N在线段上时，直接写出此时直线与抛物线交点的纵坐标； （4）设的长度为n，直接写出在点M移动的过程中，的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版九年级上册第十八章-第二十章。 5．难度系数：0.85。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（    ） A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 2．抛物线y＝x2－6x＋3的顶点坐标为( ) A．(3，－6) B．(3，12) C．(－3，－9) D．(－3，－6) 3．下列命题中，真命题的个数是（    ） ①有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；②两个全等三角形一定相似； ③有一个角对应相等的两个等腰三角形一定相似；④等边三角形都相似； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知二次函数的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 5．若反比例函数的图象在其所在的每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是AC的中点，过点D沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，则不同的剪法共有（　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 7．如图的顶点是一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限的交点，且，那么点坐标是（ ） A． B． C． D． 8．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔5海里的点处，如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东方向，轮船航行的距离的长是（    ） A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得抛物线的顶点坐标为 10．在某一时刻，测得一根高为1.5 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为60 m，则这栋楼的高度为 m． 11．如果两个相似三角形的对应高之比为2：5，那么它们的面积比为 ． 12．已知二次函数的图象经过点，则 ． 13．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形中较大的锐角度数为α．若大正方形的面积为10，小正方形的面积是4，则的值为 ． 14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝30°，∠C＝90°，∠ADB＝105°，sin∠BDC＝，AD＝4．则DC＝ . 15．如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，CD与BE交于点F，BE⊥CD，如果，，那么 . 16．抛物线（为常数，）经过两点，且与轴交点在的下方，下列四个结论：①；②若点在该抛物线上，则；③当时，的取值范围是；④关于方程始终有两个不相等的实数解；其中正确结论的序号是 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（4分）计算： （1）； （2）． 18．（5分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，某反比例函数的图象经过点． 求该反比例函数的解析式； 点和均在该反比例函数的图象上，点在轴上，请画出使的值最小的点位置，并求出此时点的坐标． 19．（6分）已知二次函数 (1)用配方法求该二次函数的顶点和对称轴： (2)画出所给函数的图象：并求出使的x的取值范围． 20．（5分）定义：我们把三边长的比为1：：的三角形称为半燕尾三角形． （1）请你在下面5×5和2×7的网格中分别画出一个顶点在格点上面积不同的半燕尾三角形． （2）你所画出的半燕尾三角形的最大内角为　 　度．    21．（6分）小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡面上，测得旗杆在水平地面上的影长，在斜坡坡面上的影长，太阳光线与水平线所成的角为． (1)若斜坡的坡度是，求点到旗杆的距离； (2)若太阳光线与斜坡坡面的夹角为，求旗杆的高度；（精确到1m）．（参考数据：，，，，） 22．（5分）如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，．求证：． 23．（5分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°． (1)求证：CE=CM． (2)若AB=4，求线段FC的长． 24．（6分）某种商品每件的进价为20元，在某段时间内若以每件元出售，可卖出件，获得的利润是元． (1)写出与之间的函数解析式； (2)应如何定价才能使利润最大？最大利润是多少元？ 25．（5分）某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：与成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式． 26．（5分）如图，==，且△ABC的面积与△ADE的面积差是15cm2， （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）求△ADE的面积． 27．（8分）如图，平行四边形，E，F为上的点，交于点P，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求证： (3)若P为中点，，，求的长． 28．（8分）如图1，抛物线与x轴，y轴的正半轴分别交于点和点，与x轴负半轴交于点A，动点M从点A出发沿折线向终点B匀速运动，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接. （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，当点N在线段上时，求证：； （3）当点N在线段上时，直接写出此时直线与抛物线交点的纵坐标； （4）设的长度为n，直接写出在点M移动的过程中，的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版九年级上册第十八章-第二十章。 5．难度系数：0.85。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（    ） A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 【答案】A 【详解】解：反比例函数，随着值的增大，的值减小， 故选A． 2．抛物线y＝x2－6x＋3的顶点坐标为( ) A．(3，－6) B．(3，12) C．(－3，－9) D．(－3，－6) 【答案】A 【详解】∵y=x²−6x+3=x²−6x+9−9+3=(x−3)²−6， ∴抛物线顶点坐标为(3,−6). 故选A. 3．下列命题中，真命题的个数是（    ） ①有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；②两个全等三角形一定相似； ③有一个角对应相等的两个等腰三角形一定相似；④等边三角形都相似； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似，说法正确，为真命题； 两个全等三角形一定相似，说法正确，为真命题； 有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定相似，说法错误，为假命题； 等边三角形都相似，说法正确，为真命题； 真命题的个数为3， 故选：C 4．已知二次函数的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、图象的开口向下，则，此选项不符合题意； B、对称轴在y轴右边且，则，此选项符合题意； C、图象与y轴正半轴相交，则，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：B． 5．若反比例函数的图象在其所在的每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的图象在其所在的每一个象限内，都随的增大而增大， ∴， 解得，， 故选：D． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是AC的中点，过点D沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，则不同的剪法共有（　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【详解】如图所示： 当DF∥BC时，△ADF∽△ACB； 当DG∥AB时，△CDG∽△ABC； 当DE⊥AB时，△ADE∽△ABC； 故过点P的△ABC的相似线最多有3条． 故选C． 7．如图的顶点是一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限的交点，且，那么点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， ， ，， 在反比例函数解析式上， ， 由题意得， 解得：，，或，， 图象在第二象限， . 故选：. 8．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔5海里的点处，如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东方向，轮船航行的距离的长是（    ） A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【详解】解：如图，由题意可知， ， ， 在中， ，，海里， 海里． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得抛物线的顶点坐标为 【答案】（2,1） 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴此抛物线顶点是（0,0）， ∵将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 ∴平移后顶点坐标是（2,1）. 故答案是：（2,1）. 10．在某一时刻，测得一根高为1.5 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为60 m，则这栋楼的高度为 m． 【答案】30 【详解】解：设这栋楼的高度为hm， ∵在某一时刻，测得一根高为1.5m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m， ∴＝， 解得h＝30． 故答案为：30． 11．如果两个相似三角形的对应高之比为2：5，那么它们的面积比为 ． 【答案】4:25 【详解】因为两个相似三角形对应高之比为2:5，所以它们的相似比为2:5，所以面积比=（）2=4:25．故答案为4:25． 12．已知二次函数的图象经过点，则 ． 【答案】1 【详解】解：把点代入抛物线解析式得：， ∴； 故答案为1． 13．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形中较大的锐角度数为α．若大正方形的面积为10，小正方形的面积是4，则的值为 ． 【答案】 【详解】如图所示， ∵大正方形的面积为10，小正方形的面积为4， ∴AB=，CD=2， ∵△ADE≌△BCA， ∴AD=BC， ，， ． 故答案为：． 14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝30°，∠C＝90°，∠ADB＝105°，sin∠BDC＝，AD＝4．则DC＝ . 【答案】 【详解】在Rt△BCD中，∵∠C=90°，sin∠BDC=， ∴∠BDC=60°，∠CBD=90°-∠BDC=30°， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=105°+60°=165°， ∴∠ABC=360°-∠A-∠ADC-∠C=75°， ∴∠ABD=75°-30°=45°． 在△ABD中，过点D作AB的垂线，垂足为E， ∴， ∴BD=2， ∴DC=BD=． 15．如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，CD与BE交于点F，BE⊥CD，如果，，那么 . 【答案】 【详解】解：连接ED．∵D、E分别为边AB、AC的中点，∴ED∥BC，2ED=BC，∵ED∥BC，∴BF=2EF，CF=2FD．在Rt△BCF中，∵∠CBF=30°，BC=4，∴CF=2，BF=，∴EF= ．在Rt△EFC中，EC== =，∴AC=2EC=. 16．抛物线（为常数，）经过两点，且与轴交点在的下方，下列四个结论：①；②若点在该抛物线上，则；③当时，的取值范围是；④关于方程始终有两个不相等的实数解；其中正确结论的序号是 【答案】①④ 【详解】解：二次函数的图象与轴的交点分别，，且函数与轴交点在的下方， 开口向上，对称轴为直线，， ，， ，故①正确； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，点，，在该抛物线上，且， ，故②错误； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 抛物线的最小值为，， 最小值为， 当时，时取最大值为，即， 当时，的取值范围是，故③错误； ，， ， 二次函数的图象开口向上，与轴的交点分别，， 二次函数的图象与直线有两个交点， 关于方程始终有两个不相等的实数解，故④正确； 故答案为①④． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（4分）计算： （1）； （2）． 【详解】解：（1） ；...........................................................2分 （2） ．...........................................................4分 18．（5分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，某反比例函数的图象经过点． 求该反比例函数的解析式； 点和均在该反比例函数的图象上，点在轴上，请画出使的值最小的点位置，并求出此时点的坐标． 【详解】解: 设反比例函数解析式为 把代入，得， 反比例函数解析式为...........................................................2分 把，（3，n）代入反比例函数解析式得，3n=3，解得，n=1 点坐标为（3,1），点C的坐标为（1,3）； 作C点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则，且 ， 设直线的解析式为， 则，解得 直线的解析式为， 当时，，解得 点坐标为．...........................................................5分 19．（6分）已知二次函数 (1)用配方法求该二次函数的顶点和对称轴： (2)画出所给函数的图象：并求出使的x的取值范围． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）根据与x轴的交点坐标，顶点坐标，与y轴的交点即可画出图像，时即函数图象在x轴下方，利用函数图象与x轴交点即可得到答案． 【详解】（1）∵， ∴顶点坐标为，对称轴为；...........................................................2分 （2）∵二次函数 ∴列表如下： x 0 1 2 3 4 y 0 1 0 ∴画出函数图象如下： ...........................................................5分 由图象可得，当时，或．...........................................................6分 20．（5分）定义：我们把三边长的比为1：：的三角形称为半燕尾三角形． （1）请你在下面5×5和2×7的网格中分别画出一个顶点在格点上面积不同的半燕尾三角形． （2）你所画出的半燕尾三角形的最大内角为　 　度．    【详解】解：（1）如图所示：   ...........................................................2分 （2）由网格可得： ，，，， 的三边比为， 可得， ， ， ． 故半燕尾三角形的最大内角为135度． 故答案为：135．...........................................................6分 21．（6分）小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡面上，测得旗杆在水平地面上的影长，在斜坡坡面上的影长，太阳光线与水平线所成的角为． (1)若斜坡的坡度是，求点到旗杆的距离； (2)若太阳光线与斜坡坡面的夹角为，求旗杆的高度；（精确到1m）．（参考数据：，，，，） 【详解】（1）解：如图， 过点作交于点，过点作交于点， 则四边形是矩形， ∴，． ∵斜坡的坡度是， 即：， 设，， 在中，根据勾股定理得，解得， ∴， ∴点到旗杆的距离约为．...........................................................3分 （2） 根据平行线的性质得：， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴旗杆的高度约为．...........................................................6分 22．（5分）如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，．求证：． 【详解】解：∵，，，． ∴，， ∴，， ∴，..........................................................3分 又∵， ∴．..........................................................5分 23．（5分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°． (1)求证：CE=CM． (2)若AB=4，求线段FC的长． 【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点， ∴MC=MA=MB， ∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B， ∵∠A=50°， ∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°， ∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°， ∵∠ACE=30°， ∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°， ∴∠MEC=∠EMC， ∴CE=CM；...........................................................3分 （2）解：∵AB=4， ∴CE=CM=AB=2， ∵EF⊥AC，∠ACE=30°， ∴FC=CE•cos30°=．...........................................................5分 24．（6分）某种商品每件的进价为20元，在某段时间内若以每件元出售，可卖出件，获得的利润是元． (1)写出与之间的函数解析式； (2)应如何定价才能使利润最大？最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：由题意得到 即与之间的函数解析式为；........................................................2分 （2）解：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值， 即定价为60元才能使利润最大，最大利润是1600元．...........................................................6分 25．（5分）某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：与成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式． 【详解】解：由题意得：设 ∵当投入改造经费1万元时，年产量是2万只 ∴ 解得： ..........................................................3分 ∴ 即： ..........................................................5分 26．（5分）如图，==，且△ABC的面积与△ADE的面积差是15cm2， （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）求△ADE的面积． 【详解】（1）证明：∵==，∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC；..........................................................2分 （2）∵△ADE∽△ABC， ∴=（）2=， 设S△ADE=4x，S△ABC=9x， ∵△ABC的面积与△ADE的面积差是15cm2， ∴9x﹣4x=15， ∴x=3， ∴S△ADE=4x=12cm2．...........................................................5分 27．（8分）如图，平行四边形，E，F为上的点，交于点P，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求证： (3)若P为中点，，，求的长． 【详解】（1）证明：连接，交于O， ∵在中，， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是菱形；...........................................................3分 （2）∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∴；...........................................................5分 （3）∵P为中点， ∴，， ∴， ∵O为中点， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 设，， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴在菱形中，．...........................................................8分 28．（8分）如图1，抛物线与x轴，y轴的正半轴分别交于点和点，与x轴负半轴交于点A，动点M从点A出发沿折线向终点B匀速运动，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接. （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，当点N在线段上时，求证：； （3）当点N在线段上时，直接写出此时直线与抛物线交点的纵坐标； （4）设的长度为n，直接写出在点M移动的过程中，的取值范围. 【详解】（1）将B(4,0),C(0,4)代入y=a+c得: , ∴............................................................1分 (2)由已知可得A（-4，0）， ∴AO=CO=4, ∠MAO=∠NCO=45°, 由旋转可知OM=ON，又∵∠NOM=60°, ∴△MON是等边三角形，∠NMO=∠MNO =60°, ∴∠AMO=∠CNO, ∴△AOM≌△CON, ∴AM=CN; ...........................................................3分 (3)当N在BC上时，分两种情况： ①    M在AC上，如图所示:此时MN∥x轴，与y轴交于点D，过点N作NE⊥OB交OB于点E.可设N（a,4-a）, ∵△MON为等边三角形, ∴ND=a, OD=4-a,ON=2a, 由勾股定理可得+=, 解得-2, -2(不合题意，舍去), ∴OD=4-a＝6-, ∴MN与抛物线图象交点的纵坐标是6-;...........................................................4分 ②    M在BC上，如图所示， 此时MN所在直线与抛物线交于点B、C. ∴MN与抛物线图象交点的纵坐标是0或4. 综上，直线MN与抛物线图象交点的纵坐标是0或4或6-...........................................................5分 (4)作等边△AOD、等边△OCE, △AOM绕点O旋转60°与△ODN重合得∠CAO＝∠EDO＝45°, 当M在AC上时，点N的轨迹是经过D且与OD成45°的一条线段DE. ∴的最大值为＝+＝48. 同理，当M在BC上时，N的轨迹为线段EF. 的最小值为B到EF的距离BP. ∵△OEF为等腰直角三角形，∴OH＝2, 由E（），F(2, )可得直线解析式y=(2+)x-(4+), 可得G（-4，0），∴OG=-4,BG=8-, 由△BPG∽△OGH可得=, 得BP= 此时＝=8-, ∴8-≤48. ...........................................................8分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1 6 8 A A C B C C 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.(2.1) 10.30 11.4:25 12.1 13. 14.2 15.2W 16.①④ 5 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(4分) 【详解】：(1)sin30-3tan30+2cos30+tan45 +2× +1 3 2 支5+51 3 2分 (2)cos245- cos60 +tan245 -tan260 1-sin30 =1-1+1-3 2 5 24分 18.(5分) 【详解】解：国设反比例函数解析式为y= 把A1,3)代入，得=1x3=3, 云反比例函数解析式为y= 2分 (2)把B(3,m),(3,n)代入反比例函数解析式得3m=3,3n-3,解得m=1,n=1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 1 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 B点坐标为(3,1)，点C的坐标为(13)： 作C点关于x轴的对称点C,连接BC交x轴于P点， 则C1,-3),且PC=PC .PB+PC PB+PC'=BC' 设直线BC的解析式为y=mx+, m+n=-3 m=2 则 3m+n=1解得 n=-5 “直线BC的解析式为y=2x-5, 当=0时，2x-5=0,解得x=5 P点坐标为(G,0)】 5分 19.(6分) 【分析】(1)利用配方法求解即可： (2)根据与x轴的交点坐标，顶点坐标，与y轴的交点即可画出图像，y≤0时即函数图象在×轴下方， 利用函数图象与x轴交点即可得到答案。 【详解】(1)y=-x2+4x-3=-x2-4x-3=-(x-2+1, ∴.顶点坐标为2,1，对称轴为x=2: 2分 (2),二次函数y=-x2+4x-3 ∴列表如下： 0 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 0 0 -3 .画出函数图象如下： 2 2 444445分 6 7 -1=8 由图象可得，当y≤0时，x≤1或x之3.4…6分 20.(5分) 【详解】解：(1)如图所示： 42分 B (2)由网格可得： 4AD=√2，DC=2,AC=V0,4D:DC:4C=1:E:5, :△ACB的三边比为1：√2：5， :可得AADC∽AACB, ∠DCA=LABC, .∠DAC+∠DCA=∠DAC+∠ABC=45°， ∠ACB=∠ADC=1350, 故半燕尾三角形的最大内角为135度。 故答案为：135.6分 21.(6分) 【详解】(1)解：如图， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 TI306 E---- D 过点D作DE⊥AB交AB于点E,过点C作CF⊥DE交DE于点F, 则四边形BEFC是矩形， ∴.BE=CF,BC=EF=16(m) :斜坡CD的坡度是1：√5，CD=10m 即：乐方 设CF=x,DF=5x, 在R△CDF中，根据勾股定理得x2+(5x)2=102,解得x=5, ∴.DF=√3x=5V3e8.5(m) DE=DF+EF=16+8.5=24.5≈25(m) .点D到旗杆AB的距离约为25m.3分 (2) E口- 根据平行线的性质得：∠ADE=30°， LADC=70°， ∴.∠CDE=70°-30°=40°， 在Rt△CDF中， :sin40°=CF CD' .CF=BE=CD-sin40°x10×0.64=6.4m, 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 4 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 ,c0s40°= DF CD ∴.DF=CDc0s40°≈10×077=7.7m, ∴.DE=DF+EF=16+7.7=23.7m, 在RtAADE中， tan30= DE ∴.AE=DE,tan30°=23.7× l3.9m. 1 ∴.AB=AE+BE=13.9+6.4=20.3≈20m. .旗杆AB的高度约为20m,4n6分 22.(5分) 【详解】解：AB=12,AC=8,BD=8,EC=2. ∴.AD=AB-BD=12-8=4,AE=AC-CE=8-2=6, :4P.4是，4E61 AC82’AB122' 4D=4AE、1 ·ACAB2 ’3分 又：∠A=LA, .△ADEn△ACB,44e4a…5分 23.(5分) 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°，点M为边AB的中点， ∴.MC-MA-MB, ∴.∠MCA=∠A,∠MCB=∠B, :∠A=50°， ∴.∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°， ∴.∠EMC=∠MCB+∠B=80°， ,∠ACE=30°， ∴.∠MEC=∠A+∠ACE=80°， .∠MEC=∠EMC, ∴.CE=CM; .3分 (2)解：AB-4, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 5 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 CE-CM-AB-2, 'EF⊥AC,∠ACE=30°， :.FC-CE-cos30- 5分 24.(6分) 【详解】(1)解：由题意得到y=x-20(100-x=-x2+120x-2000 即y与X之间的函数解析式为y=-r2+120r-2000;2分 (2)解：y=-x2+120x-2000=-x-60)2+1600, a=-1<0, .抛物线开口向下， ∴.当x=60时，y有最大值1600， 即定价为60元才能使利涧最大，最大利润是1600元.6分 25.(5分) 【详解】解：由题意得：设3-y= x+1 当投入改造经费1万元时，年产量是2万只 3-2高 解得：=2 3分 3-y=2 +1 即：y=3-2-3x+1 x+1x+1 5分 26.(5分) 【详解】(1)证明：D但2 AB AC 3 ∠A=∠A, ∴.△ADE∽△ABC: 2分 (2),'△ADE∽△ABC, SAABC 设SAADE=4K,SAABC=9X, ,△ABC的面积与△ADE的面积差是15cm2, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 .9x-4x=15, X=3, .S△ADE=4水-l2cm2.5分 27.(8分) 【详解】(1)证明：连接AC,交BD于O, 在口ABCD中，AO=CO, 又AE=CE,EO=EO, .aA0E≌aC0E(SSS), ∴.∠A0E=∠COE, :∠A0E+∠C0E=180, .∠A0E=∠C0E=90°，即AC⊥BD, 口ABCD是菱形3分 (2):四边形ABCD为菱形， .B0=D0, BE DF, ∴.B0-BE=D0-DF,即OE=OF, :AC⊥BD ∴AE=AF, AE2=AG·AD, .AF2=AG AD, 454G ·ADAF ∠FAG=∠DAF, ∴.△AFGn△ADF, ∴.∠AFD=LAGF, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 .∠AFB=∠DGF, ,在菱形ABCD中，AB=AD, .∠ABD=∠ADB, .△ABFn△FDG, :欺 DG FG ∴.BF,FG=AF·DG: 5分 (3):P为BC中点， .S.AP=S.ACP S.EoP=S.Ecr SABE=S.ACE ,O为4C中点， .S.ABC=28,40 S=2S.4E0 .S.40=3SaB0, 即时40-80=3号40-E0, ∴.0B=3E0, 设OE=x,OB=3x, 在Rt△AB0中，AO=AB2-BO2, 在Rt△AE0中，AO2=AE2-EO, .AB2-BO2=AE2-EO2, 即52-(3x=32-x2, 解得：x1=2,x=-2(舍去)， 0B=32, .在菱形ABCD中，BD=2OB=6√248分 28.(8分) 【详解】(1)将B(4,0),C(0,4)代入y=ax2+c得： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 8 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 16a+c=0 解得 d=- 4 c=4 C=4 ∴.抛物线的函数表达式为y= X2+4.l分 (2)由已知可得A(-4,0), ∴.A0=C0=4 ∠MAO=∠NCO=45°. 由旋转可知OM=ON,又.∠NOM=60°， ∴.△MON是等边三角形，∠NMO=∠MNO=60°， ∴.∠AMO=∠CNO .△AOM≌△CON, ∴.AM=CN, 3分 (3)当N在BC上时，分两种情况： ①M在AC上，如图所示：此时MN∥x轴，与y轴交于点D,过点N作NE⊥OB交OB于点E可设N (a,4-a), D .△MON为等边三角形 ∴.ND=aOD=4-aON=2a, 由勾股定理可得a2+(4-a2=(2a2 解得a,=25-2,a,=-25-2(不合题意，舍去) ∴.0D=4-a=6-2√5， MN与抛物线图象交点的纵坐标是6-2√5；4分 ②M在BC上，如图所示， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 9 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 B 此时MN所在直线与抛物线交于点B、C MN与抛物线图象交点的纵坐标是0或4 综上，直线MN与抛物线图象交点的纵坐标是0或4或6-25.5分 (4)作等边△AOD、等边△OCE, △AOM绕点O旋转60°与△ODN重合得∠CAO=∠EDO=45, 当M在AC上时，点N的轨迹是经过D且与OD成45的一条线段DE ∴.BW2的最大值为BD2=(4+2)2+(2√5)2=48 同理，当M在BC上时，N的轨迹为线段EF BN2的最小值为B到EF的距离BP. :△0F为等腰直角三角形，OH=2 由卫(25,2)，下2，-25)可得直线解析式y(2+5x4+4W5), 可得G(4V5-4,0),∴.OG=4V3-4BG=8-45, 由△BPG∽△OGH可得 BP 8-43 √24W5-4 得BP=√6-√2此时BN的最小值=BP2=8-4√5， .8-4W3≤n2≤48..8分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 10 ( ) ( ) 2024-2025学年九年级数学期中模拟卷 数学答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 2 分，共 16 分） 9． ______________ 10 ． ______________ 11 ． ______________ 12 ． ______________ 13 ． ______________ 14 ． __ ____________ 15 ． ______________ 16 ． ______________ 三 、解答题：本题共 12 小题，共 68 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 1 7 ．（ 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 5 分） 19 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 5 分） 21． （ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 5 分） 23 ．（ 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24．（ 6 分） 25．（5分） 26 ．（ 5 分） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 27 ．（ 8 分） 28 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级数学期中模拟卷 数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5 分） 19．（6 分） 20．（5 分） 21．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7[A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 2 分，共 16 分） 9．______________ 10．______________11．______________ 12．______________13．______________14．______________ 15．______________16．______________ 三、解答题：本题共 12 小题，共 68分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步棸。 17．（4 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（5 分） 23．（5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（6 分） 25．（5 分） 26．（5 分） 27．（8 分） 28．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！