九年级数学期中模拟卷（山西专用，测试范围：人教版九年级上册第21章-第23章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期中模拟考试

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版九年级上册第21章-第23章。 6．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程的根情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 4．已知点是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，与关于点成中心对称，，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 7．水果店花元进了一批水果，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利元．若两次打折的折扣相同，设每次打折，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是（    ） A． B． C． D． 9．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．若，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．美术兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出56个月饼，美术兴趣小组人数是 ． 12．已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 1 5 y 0 5 9 5 则满足的x的取值范围是 ． 13．如图，，，将绕点逆时针旋转角，得到，设与交于点，连接，当为等腰三角形时， ． 14．某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱和高均为米，门宽为9米，上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面的最大高度为米，工人师傅站在倾斜木板上，木板点一端恰好落在门拱上且到点的水平距离为米，工人师傅能刷到的最大垂直高度为米，则在上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度为 米． 15．如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分）解下列方程： (1)； (2)． 17．（7分）已知抛物线，解答下列问题： (1)用配方法将该函数解析式化为的形式； (2)请指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 填空：开口方向：______，顶点坐标：______，对称轴：______． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为．    (1)将沿水平方向向左平移4个单位得，请画出； (2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出的坐标； (3)若与关于点成中心对称，则点的坐标是__________． 19．（8分）甲商品的售价为每件40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 20．（9分）学科实践 问题情境： 某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在校园科技节主题活动当天进行投石试验展示． 试验步骤： 第一步：如图，在操场上放置一块截面为的木板，该木板的水平宽度（米，竖直高度米，将投石机固定在点O处，紧贴木板的矩形厚木板表示城墙； 第二步：利用投石机将石块(石块大小忽略不计）从点A处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落地，其中点A到地面的高度米，测得米． 试验数据： 科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P时离地面的高度为1.5米，飞行的水平距离为4米． 问题解决： 已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； （2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度的取值范围； 拓展应用： （3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？ 21．（8分）（1）阅读理解： 如图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小． 思路点拨：考虑到PA，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解题过程． （2）变式拓展：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，,求EF的大小． 22．（12分）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（13分）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版九年级上册第21章-第23章。 6．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程的根情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 4．已知点是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，与关于点成中心对称，，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 7．水果店花元进了一批水果，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利元．若两次打折的折扣相同，设每次打折，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是（    ） A． B． C． D． 9．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．若，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．美术兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出56个月饼，美术兴趣小组人数是 ． 12．已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 1 5 y 0 5 9 5 则满足的x的取值范围是 ． 13．如图，，，将绕点逆时针旋转角，得到，设与交于点，连接，当为等腰三角形时， ． 14．某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱和高均为米，门宽为9米，上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面的最大高度为米，工人师傅站在倾斜木板上，木板点一端恰好落在门拱上且到点的水平距离为米，工人师傅能刷到的最大垂直高度为米，则在上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度为 米． 15．如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分）解下列方程： (1)； (2)． 17．（7分）已知抛物线，解答下列问题： (1)用配方法将该函数解析式化为的形式； (2)请指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 填空：开口方向：______，顶点坐标：______，对称轴：______． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为．    (1)将沿水平方向向左平移4个单位得，请画出； (2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出的坐标； (3)若与关于点成中心对称，则点的坐标是__________． 19．（8分）甲商品的售价为每件40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 20．（9分）学科实践 问题情境： 某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在校园科技节主题活动当天进行投石试验展示． 试验步骤： 第一步：如图，在操场上放置一块截面为的木板，该木板的水平宽度（米，竖直高度米，将投石机固定在点O处，紧贴木板的矩形厚木板表示城墙； 第二步：利用投石机将石块(石块大小忽略不计）从点A处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落地，其中点A到地面的高度米，测得米． 试验数据： 科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P时离地面的高度为1.5米，飞行的水平距离为4米． 问题解决： 已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； （2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度的取值范围； 拓展应用： （3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？ 21．（8分）（1）阅读理解： 如图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小． 思路点拨：考虑到PA，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解题过程． （2）变式拓展：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，,求EF的大小． 22．（12分）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（13分）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版九年级上册第21章-第23章。 6．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 移项，得， 提公因式，得， 则或， ∴，． 故选：D． 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 3．关于的一元二次方程的根情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 【答案】B 【详解】由题意可知：，，， 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 4．已知点是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴当时，函数值最大， 又∵到的距离比到的距离小， ∴， 故选：B． 5．如图，与关于点成中心对称，，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】C 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：C． 7．水果店花元进了一批水果，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利元．若两次打折的折扣相同，设每次打折，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 8．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 把点纵坐标代入中得： (舍去负值)，即， 所以． 故选：C． 10．如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．若，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在上截取，连接，过B作交延长线于H，则， 由旋转性质得，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则，， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．美术兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出56个月饼，美术兴趣小组人数是 ． 【答案】8 【详解】解：设美术兴趣小组有x人， ， 解得：，（负值舍去）， ∴美术兴趣小组有8人． 故答案为：8． 12．已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 1 5 y 0 5 9 5 则满足的x的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：由得， 由表格可知抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴， 联立， 解得：或， ∴，， 作出函数和图象，如图所示： 由图象可得，当或时，，即． 故答案为：或． 13．如图，，，将绕点逆时针旋转角，得到，设与交于点，连接，当为等腰三角形时， ． 【答案】或 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转角，得到 ，， ， ， 根据三角形的外角性质，， 是等腰三角形，分三种情况讨论， ①时，，无解， ②时，， 解得， ③时，， 解得， 综上所述，旋转角度数为或． 故答案为：或． 14．某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱和高均为米，门宽为9米，上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面的最大高度为米，工人师傅站在倾斜木板上，木板点一端恰好落在门拱上且到点的水平距离为米，工人师傅能刷到的最大垂直高度为米，则在上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度为 米． 【答案】4 【详解】解：以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意知，抛物线顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， ， 将点代入抛物线解析式得，， 解得， 抛物线对应的函数的解析式为， 将代入中，得， 点坐标为， 设直线的解析式为， 将点代入得，， ， 直线的解析式为， 设工人能够刷到的最大高度点为，过作轴的垂线交直线于点， 设点的坐标为，则， ， 师傅能刷到的最大垂直高度是米， 当时，即， 解得，， 米， 工人师傅刷不到的最大水平宽度为米， 故答案为：4． 15．如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形 ， 逆时针旋转得到 ，， 又 、、三点共线 在和中 设 ， 在中，由勾股定理得， 即 解得：，. 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分）解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ∴， ....................................................................................................................3分 ∴， .........................................................................................................4分 ∴，． ........................................................................... ... 5分 （2）∵， ∴ ...................................................................................8分 ∴， ...........................................................................................9分 解得，． .........................................................................................10分 17．（7分）已知抛物线，解答下列问题： (1)用配方法将该函数解析式化为的形式； (2)请指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 填空：开口方向：______，顶点坐标：______，对称轴：______． 【详解】（1）解： ...................................................4分 （2）解：， 该函数图象的开口向上；顶点坐标是；对称轴是直线； 故答案为：向上，，直线． ...........................................................7分 18．（8分）如图，在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为．    (1)将沿水平方向向左平移4个单位得，请画出； (2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出的坐标； (3)若与关于点成中心对称，则点的坐标是__________． 【详解】（1）如图，即为所求； ....................................................................3分 （2）如图，即为所求，    B2的坐标为（-4，-2），C2的坐标为（-3，-4）． ....................................................................6分 （3）如图，点的坐标是． 故答案为：． ...................................................................................8分 19．（8分）甲商品的售价为每件40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【详解】（1）解：设这种商品平均降价率是x， 依题意得： ................................................................................2分 解得：，（舍去） 答：这个降价率为。 .................................................................................3分 （2）设降价y元，则多销售件， .................................................4分 根据题意得， ......................................................6分 解得：， .....................................................................................7分 因为尽可能扩大销售量，所以（舍去） 答：该商品在原售价的基础上，再降低25元．- ...............................................8分 20．（9分）学科实践 问题情境： 某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在校园科技节主题活动当天进行投石试验展示． 试验步骤： 第一步：如图，在操场上放置一块截面为的木板，该木板的水平宽度（米，竖直高度米，将投石机固定在点O处，紧贴木板的矩形厚木板表示城墙； 第二步：利用投石机将石块(石块大小忽略不计）从点A处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落地，其中点A到地面的高度米，测得米． 试验数据： 科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P时离地面的高度为1.5米，飞行的水平距离为4米． 问题解决： 已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； （2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度的取值范围； 拓展应用： （3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？ 【详解】（1）依题意，∵石块飞到最高点P时离地面的高度为1.5米，飞行的水平距离为4米．且 ∴设该抛物线的函数表达式， 把代入， ..............................................................................................1分 ∴， ...................................................................................................................2分 解得， ∴； .......................................................................................................3分 （2）∵测得米，，米，且紧贴木板的矩形厚木板表示城墙， ∴轴，（米）， ∴， 把代入， 得出， ..........................................................................4分 设， ∵石块越过了城墙后落地，且紧贴木板的矩形厚木板表示城墙， ∴米，则， ∴把代入， 得， ...........................................................................................5分 ∴， 解得或者（舍去）， ∴在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度的取值范围为； ..............6分 （3）∵该木板的水平宽度（米，竖直高度米）， ∴， 设线段的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴线段的解析式为， ∵在上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准， 设这支木杆的长度为， 如图：设木杆的顶端为W， ∴，其中， 设抛物线到点W的距离为， 则， ........................7分 ∵，开口向下， ∴取大值， ∵， ∴把代入， 得出，此时这支木杆有最大长度，即有最大值， 即． ...............................................................................................................................9分 21．（8分）（1）阅读理解： 如图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小． 思路点拨：考虑到PA，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解题过程． （2）变式拓展：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，,求EF的大小． 【详解】（1）将△ABP绕顶点A逆时针旋转到△ACP′处，则△ACP′≌△ABP ∠,△是等边三角形 ....................................................................................................................2分 在△中， △是Rt△ ∠ ∠ ......................................................................................................4分 （2） 将△ABE绕顶点A逆时针旋转到△ACE′处，则△ACE′≌△ABE 根据“SAS”可得△AEF≌△ ......................................................................................................................6分 在Rt△中， ..........................................................8分 22．（12分）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将，代入直线得： ， 解得：， ...............................................................................................................1分 故直线的解析式为：； 将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； .............................................................................3分 （2）如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ...............................................................................5分 ， ， 当时，取最大值， 此时； ...................................................................................................................7分 （3）在抛物线：中，令，则；在直线：中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ........................................9分 ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， .......................................................................................................................11分 综上，点的坐标为或或或． ..............12分 23．（13分）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 【详解】（1）解：点，是，的中点， ，， 点，是，的中点， ，， ，， ， ， ..................................................................................................................................2分 ， ， ， ， ， ， ， ， .....................................................................................................................4分 故答案为：，； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下：由旋转知，， ，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， .................................................................................................................6分 是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ， 同（1）的方法得，， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形； ..................................................................................8分 （3）解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接， ∵， ∴当点三点共线时，最大， 如图： 最大时，的面积最大，最大， 在中，，， ∴由勾股定理得：， ∵点M为中点， ， .................................................................................................................10分 在中，，同上可求， ， 同上可得：， ∴， ..............................................................................................................12分 ． ..................................................................13分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 2 3 6 8 9 10 0 B B C C D 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.812.x<-3或x>2 13.40°或20° 14.4 15. 2 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(10分) 【详解】(1)解：x2-2x=4, (x-1=5, 3分 x-1=±5， 4分 .x,=1+5,x=1-5. 5分 (2)(x-1)(x+2)=2(x+2), ∴.(x-1)(x+2)-2(x+2)=0 8分 .(x-3)(x+2)=0, 99分 解得x1=-2,x=3. 10分 17.(7分) 【详解】(1)解：y=2(x2-2x+1-1)+5=2(x-1)+3 4分 (2)解：：a=2>0,m=-1,k=3, ∴该函数图象的开口向上；顶点坐标是(1,3)；对称轴是直线x=1; 故答案为：向上，(13)，直线x=1. 7分 18.(8分) 【详解】(1)如图，△A,BC,即为所求； 3分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 (2)如图，△4B,C即为所求， 64-32 012.345x B2的坐标为(-4，-2)，C2的坐标为(-3,4). 6分 (3)如图，点P的坐标是(-2,0) 故答案为：（-2,0) 8分 19.(8分) 【详解】(1)解：设这种商品平均降价率是x, 依题意得：40(1-x)=32.4 ..c..2分 解得：x=0.1=10%,x3=1.9(舍去) 答：这个降价率为10%。 3分 (2)设降价y元，则多销售 500+’×10 件 0.2 4分 根据题意得(40-y) 500+×10 =26250, 0.2 6分 解得：乃=25，=5 7分 因为尽可能扩大销售量，所以y=5(舍去) 答：该商品在原售价的基础上，再降低25元。-8分 20.(9分) 【详解】(1)依题意，，石块飞到最高点P时离地面的高度PE为1.5米，飞行的水平距离OE为4米.且 0A=0.3 .设该抛物线的函数表达式y=a(x-4)+1.5, 把A(0,0.3)代入y=a(x-4)+1.5, 11441449110*191191141119151191511141111904,,了分 .0.3=a×(0-4)+1.5, 2分 解得a=-0.075, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 ∴.y=-0.075(x-4)+1.5: .3分 (2),测得BC=0.7米，CD=0.5,OD=5米，且紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙， ∴.BD⊥x轴，0.5+0.7=1.2（米)， ∴.B(51.2) 把x=5代入y=0.075(x-4)+1.5, 得出y=0.075×(5-4)+1.5=1425>1.2,4分 设BF=n, ,石块越过了城墙后落地，且紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙， ∴.FG=BD=1.2米，则F(5+ml2), .把F(5+1.2)代入y=-0.075(x-4)+1.5, 得12=-0.075(5+n-4）+1.5,5分 ∴.-0.3=-0.075(1+n), 解得n=1或者n=-3（舍去) ∴.在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度BF的取值范围为0<BF<1;6分 (3)该木板的水平宽度(OD=5米，竖直高度CD=0.5米)， ∴.C(5,0.5), 设线段OC的解析式为y=a(0≤x≤5)， 把C(5,0.5)代入y=a(0≤x≤5)， 得0.5-k×5, .k=01, .线段OC的解析式为y=01x(0≤x≤5)， ,在OC上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准， 设这支木杆的长度为m, 如图：设木杆的顶端为W, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 P B F Am木杆 E DGx .W(x,0.1x+m),其中0≤x≤2， 设抛物线到点W的距离为$， 则s=y-0.1x-m=-0.075(x-4)+1.5-0.1x-m=-0.075x2+0.5x+0.3-m,7分 -0.075<0,开口向下， 0.5 10 .= 2×(-0.075)3取大值， 0≤x≤2， ∴.把x=2代入s=0.075x2+0.5x+03-m, 得出-0.075×2+0.5×2+0.3-m=0,此时这支木杆有最大长度，即m有最大值， 即m=1. …9分 21.(8分) 【详解】(1)将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，则△ACP≌△ABP .PA=PA=3,PB=PC=4 ∠PAP=60°，.△PAP是等边三角形 ..PP =PA=3 2分 在△PPC中，PP+PC2=9+15=25=PC2 △PPC是Rt△ .∠PPC=90 ∠APB=150 (2)将△ABE绕顶点A逆时针旋转90到△ACE'处，则△ACE'≌△ABE ∴AE=AE,BE=CE ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 根据“SAS"可得△AEF≌△AEF :.FE=FE …6分 在Rt△EFC中， EC+FC=EF .EF2=BE2+CF2=52+42=41,EF=41 8分 22.(12分) 【详解】(1)解：将A(-10),D(5,-6)代入直线y=:+n得： [-k+n=0 5k+n=-61 「k=-1 解得： n=-1' 11分 故直线1的解析式为：y■-x-1: 将A(-10),D(5,-6)代入抛物线解析式得： 「-1-b+c=0 -25+5b+c=-6' b=3 解得： c=4' 一抛物线的表达式为：y=-X+3红+4；3分 (2)如图，过点P作PQ⊥x轴，交直线1于点Q, 由题意设点P(,-+31+4),则点Q(t,-t-1), 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 .P0=-+3t+4-(-t-1)=-t2+4t+5, 5分 802-((-+4+到-3t-2+27, -1<t<5, 当t=2时，S4D取最大值27， 此时P(2,6): 7分 (3)在抛物线：y=-x+3x+4中，令x=0,则y=4；在直线1：y=-x-1中，令x=0,则y=-1: .N(0,4),C(0-1), .C=4-(-1)=5, M Mi M ①当WC是平行四边形的一条边时，设P(x-x2+3x+4),则点M(x,-x-1), 由题意得：yw-yp=5,即：-x2+3x+4+x+15, 解得：x=2±V14或x=0或x=4(舍去x=0,此时M和C重合)， 则点M坐标为(2+14，-3-4或(2-14，-3+14)或(4.-5)： .9分 ②当C是平行因边形的对角线时，则℃的中点坐标为Q》】 设点P(m,-m2+3m+4,则点M(n,-n-1), :以N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 ∴.VC的中点即为PM中点， .0=m+n,3。-m+3m+4+(-n-1) 2， 2 2 解得：n=0或n=-4(舍去x=0,此时M和C重合)， 故点M(-4,3), 1l分 综上，点M的坐标为(2+14，-3-14或(2-14，-3+14或(4，-5)或(-4,3).…12分 23.(13分) 【详解】(I)解：点P,N是BC,CD的中点， ÷PNIBD,PN=BD, 2 点P,M是CD,DE的中点， :.PMIICE,PM=CE, AB=AC,AD=AE, ..BD=CE, ∴PM=PN, 2分 PN BD, ∴.∠DPN=∠ADC, .PM ICE, .∠DPM=∠DCA, ∠B4C=90°， ∴.∠ADC+∠ACD=90°， ∴.∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°， ∴.PM⊥PN, 44分 故答案为：PM=PN,PM⊥PN: (2)解：△PMN是等腰直角三角形 理由如下：由旋转知，∠BAD=∠CAE, .AB=AC,AD=AE, .△ABD≌△ACE(SAS, .∠ABD=∠ACE,BD=CE, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 利用三角形的中位线得，PN=BD,PM=CE, ..PM=PN, 6分 ·△PMN是等腰三角形， 同(1)的方法得，PM∥CE, ,.∠DPM=∠DCE, 同(1)的方法得，PN∥BD, ∴，∠PNC=∠DBC, ,'∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC, ∴.∠PN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC =∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC, :∠BAC=90°，∴，∠ACB+∠ABC=90°， ∴.∠MPN=90°， △PMN是等腰直角三角形； 48分 (3)解：如图，同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形，连接AN,AM, ,MN≤AM+AN, ∴.当点A,M,N三点共线时，MN最大， 如图： E M D ∴N最大时，△PMN的面积最大，N最大=AM+AN, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 在△ADE中，AD=AE=2,∠DAE=90°， .由勾股定理得：DE=√2AD=2√2， ,点M为DE中点， AM-DE- 10分 在Rt△ABC中，AB=AC=4,同上可求AN=22, “.MWa大=2N5+2=3V2, 同上可得：MN=√2PM, PM=2MN.2 2 5ww-v-a 21 413分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ( ) ( ) 2024-2025学年九年级上学期期中模拟卷数学答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A ] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11 ． ______________ 12 ． ______________ 13 ． ______________ 14 ． ______________ 15 ． ______________ 三 、解答题：本题共 8 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 1 6 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 8 分） 19． （ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（ 9 分） 21．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ． （13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期期中模拟卷 数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7 分） 18．（8 分） 19．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10[A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．______________ 12．______________13．______________ 14．______________ 15．______________ 三、解答题：本题共 8小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步棸。 16．（10 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（9 分） 21．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12 分） 23．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！