第10课 等腰三角形的判定定理-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第10课 等腰三角形的判定定理 ( 目标导航 ) 学习目标 1.经历等腰三角形判定定理的探索过程. 2.掌握等腰三角形判定定理:在同一个三角形中，等角对等边. 3.会利用等腰三角形的判定定理进行简单的推理、判断、计算和作图. 4.探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. ( 知识精讲 ) 知识点01 等腰三角形的判定定理 等腰三角形判定定理:如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 简称;在同一个三角形中，等角对等边. 知识点02 等边三角形的判定 等边三角形的判定定理： 1.三个角相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. ( 能力拓展 )考点01 等腰三角形的判定 【典例1】在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF． （1）求证：△BCD是等腰三角形． （2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数． 【即学即练1】已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC，求证：AB＝AC． 考点02 等边三角形的判定 【典例2】已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形． 【即学即练2】如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：△ADE为等边三角形． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．∠B＝40°，∠C＝80° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．2∠A＝∠B+∠C D．三个角的度数之比是2：2：1 2．下面叙述不可能是等腰三角形的是（　　） A．有两个内角分别为75°，75°的三角形 B．有两个内角分别为110°和40°的三角形 C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形 D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形 3．下列四个说法中，正确的有（　　）个．①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有两个角等于60°的三角形是等边三角形．③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC＝AB，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则AD的长为 　　． 5．一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为　　． 6．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是　　三角形． 7．若三角形的三边a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则它一定是　　三角形． 8．在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为 　　． 9．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由： （1）AD∥FG； （2）△AEF是等腰三角形． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D， （1）求∠ADC的度数； （2）过点A作AE∥BC，交CD的延长交于点E． ①求证：△ADE是等腰三角形； ②判断：△ACE是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由． 11.如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F． （1）当BE＝5，CF＝3，则EF＝　　； （2）当BE＞CF时，若CO是∠ACB的外角平分线，如图2，它仍然和∠ABC的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，试判断EF，BE，CF之间的关系，并说明理由． 12.如图，在△ABC中，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形． 题组B 能力提升练 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 14．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 15．已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 16．在△ABC中，∠A＝70°，当∠B＝　 　时，△ABC为等腰三角形． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 18.在一次数学课上，周老师在屏幕上出示了一个例题： 在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，画出图形（如图）， 给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC． （1）要求同学从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定△ABC是等腰三角形． 请你用序号在横线上写出所有情形．答：　 　； （2）选择第（1）题中的一种情形，说明是△ABC等腰三角形的理由，并写出解题过程．解：我选择 　 　． 19.如图： （1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想． （2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明． 20.如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB． （1）求证：△OBC为等腰三角形； （2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数． 21.如图，△ABD和△BCD均是边长为2的等边三角形，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 22.如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH． （1）请说出AD＝BE的理由； （2）试说出△BCH≌△ACG的理由； （3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明． 题组C 培优拔尖练 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，AD+EC＝AB． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数； （3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？ （4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD＝120°，并请说明理由． 24.课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法． 我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 请你在图2中用2种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种） 25.如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． （1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形； （2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10课 等腰三角形的判定定理 ( 目标导航 ) 学习目标 1.经历等腰三角形判定定理的探索过程. 2.掌握等腰三角形判定定理:在同一个三角形中，等角对等边. 3.会利用等腰三角形的判定定理进行简单的推理、判断、计算和作图. 4.探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. ( 知识精讲 ) 知识点01 等腰三角形的判定定理 等腰三角形判定定理:如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 简称;在同一个三角形中，等角对等边. 知识点02 等边三角形的判定 等边三角形的判定定理： 1.三个角相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. ( 能力拓展 )考点01 等腰三角形的判定 【典例1】在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF． （1）求证：△BCD是等腰三角形． （2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数． 【思路点拨】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，根据角的和差得到∠DBC＝∠DCB，于是得到结论； （2）根据三角形的内角和得到∠ABC＝（180°﹣40°）＝70°，推出△DBC是等边三角形，求得∠DBC＝60°，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵AE＝AF，∠A＝∠A，∠ABE＝∠ACF， ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴AB＝AC，∠ABE＝∠ACF， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACF， 即∠DBC＝∠DCB， ∴△BCD是等腰三角形； （2）解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝（180°﹣40°）＝70°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD， ∵∠DBC＝∠DCB， ∴△DBC是等边三角形， ∴∠DBC＝60°， ∴∠ABE＝10°， ∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形世界地图根据． 【即学即练1】已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC，求证：AB＝AC． 【思路点拨】先根据平行线性质得到∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，再根据角平分线的性质得到∠EAD＝∠DAC，从而推出∠B＝∠C，等角对等边所以AB＝AC． 【解析】证明：∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C． ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD＝∠DAC． ∴∠B＝∠C． ∴AB＝AC． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定的理解及运用 考点02 等边三角形的判定 【典例2】已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形． 【思路点拨】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF是等边三角形． 【解析】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF， ∴AE＝BF＝CD， 又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS）， ∴DE＝EF＝FD， ∴△DEF是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键． 【即学即练2】如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：△ADE为等边三角形． 【思路点拨】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，加上∠DAE＝60°，即可证明△ADE为等边三角形． 【解析】证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC， 即∠ACD＝120°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠1＝∠2＝60°， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， 又∵∠BAC＝60°， ∴∠DAE＝60°， ∴△ADE为等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边的条件． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．∠B＝40°，∠C＝80° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．2∠A＝∠B+∠C D．三个角的度数之比是2：2：1 【思路点拨】根据选项中△ABC三个角的关系，利用三角形的内角和定理可分别求出△ABC三个角的度数，进而根据等腰三角形的判定可得出答案． 【解析】解：对于选项A， ∵∠B＝40°，∠C＝80° ∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝60°， 故选项A不能判定△ABC为等腰三角形； 对于选项B， ∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， 可设∠A＝k，∠B＝2k，∠C＝3k， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴k+2k+3k＝180°， 解得：k＝30°， ∴∠A＝k＝30°，∠B＝2k＝60°，∠C＝3k＝90°， 故选项B不能判定△ABC为等腰三角形； 对于选项C， ∵2∠A＝∠B+∠C， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3∠A＝180°， 解得：∠A＝60°， 此时不能确定∠B和∠C的度数，无法判定△ABC的形状， 故选项C不能判定△ABC为等腰三角形； 对于选项D， ∵三个角的度数之比是2：2：1， 不妨假设∠A：∠B：∠C＝2：2：1， 可设∠A＝2k，∠B＝2k，∠C＝k， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2k+2k+2＝180°， 解得：k＝36°， ∴∠A＝2k＝72°，∠B＝2k＝72°，∠C＝k＝36°， ∵∠A＝∠B， ∴△ABC为等腰三角形， 故选项D可以判定△ABC为等腰三角形． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，理解等腰三角形的判定，灵活利用三角形的内角和定理进行角度的计算是解决问题的关键． 2．下面叙述不可能是等腰三角形的是（　　） A．有两个内角分别为75°，75°的三角形 B．有两个内角分别为110°和40°的三角形 C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形 D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形 【思路点拨】根据等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，分别求出每个角的度数，再进行判断即可． 【解析】解：A、有两个内角分别为75°，75°的三角形，另一内角为30°，可以构成等腰三角形； B、有两个内角分别为110°和40°的三角形，另一内角为30°，不能构成等腰三角形， C、有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形； D、有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形，与外角相邻的内角是40°，另外一个内角是40°，可以构成等腰三角形． 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是有两个角相等的三角形是等腰三角形，关键是根据三角形的外角、内角和定理分别求出每个角的度数． 3．下列四个说法中，正确的有（　　）个．①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有两个角等于60°的三角形是等边三角形．③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】由等边三角形的判定可知①②③正确，由等腰三角形的性质可知④不正确，可得出答案． 【解析】解：①∵三个角都相等的三角形是等边三角形， ∴①正确； ∵有两个角为60°的三角形是等边三角形， ∴②正确； ∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴③正确； ∵所有等腰三角形中都有两个角相等， ∴④不正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理． 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC＝AB，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则AD的长为 　10　． 【思路点拨】根据角平分线的定义和平行线的性质证明∠AFB＝∠ABF，∠DEC＝∠DCE，然后根据等角对等边得出AF＝AB，DF＝CD，最后根据线段的和差求解即可． 【解析】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠CBF， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AF＝AB， ∵AB＝6， ∴AF＝6， 又EF＝2， ∴AE＝AF﹣EF＝4， ∵DC＝AB，AB＝6， ∴DC＝6， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵AD∥BC， ∴∠BCE＝∠DEC， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝CD＝6， ∴AD＝AE+DE＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等知识，根据等腰三角形的判定得出AF＝AB，DF＝CD是解题的关键． 5．一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为　80海里　． 【思路点拨】先画出图形，∠NPM＝∠M，推出NP＝MN，求出MN即可． 【解析】 解：如图∠NPM＝180°﹣70°﹣40°＝70°， ∵向北的方向线是平行的， ∴∠M＝70°， ∴∠NPM＝∠M， ∴NP＝MN＝40海里×2＝80海里， 故答案为：80海里． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出NP＝MN，题目比较好，难度适中． 6．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是　等边　三角形． 【思路点拨】由于AB＝AC，∠B＝60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，判断得出△ABC为等边三角形即可解决问题． 【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC为等边三角形， 故答案为：等边． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质：有一个60°的等腰三角形为等边三角形；三个角都相等，每一个角等于60°． 7．若三角形的三边a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则它一定是　等腰　三角形． 【思路点拨】根据题意，三角形的三边a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，又三边均为非负数，故有a＝b，b＝c，a＝c中至少有一个成立，即可得出三角形一定为等腰三角形． 【解析】解：因为（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0， 所以，a＝b，b＝c，a＝c至少有一个成立， 所以，该三角形一定是等腰三角形． 故应填：等腰三角形． 【点睛】本题主要考查的是对等式的应用和等腰三角形的判定，属于常考类型． 8．在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为 　　． 【思路点拨】可利用等腰三角形的判定，说明三角形的三条边都相等，亦可利用等腰三角形的性质，说明该三角形的三个角都相等． 【解析】解：（法一）在△ABC中，∵∠A＝∠C， ∴BA＝BC． 又∵AB＝AC， AB＝AC＝BC． 所以△ABC是等边三角形． 故答案为：等边三角形． （法二）在△ABC中，∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． 又∵∠A＝∠C， ∴∠A＝∠B＝∠C． 所以△ABC是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质和判定是解决本题的关键。 9．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由： （1）AD∥FG； （2）△AEF是等腰三角形． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质推出AD⊥BC，根据平行线的判定推出即可； （2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得出∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，推出∠F＝∠AEF，根据等腰三角形的判定即可得到答案． 【解析】解：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵FG⊥BC， ∴AD∥FG． （2）∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD∥FG， ∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD， ∴∠F＝∠AEF， ∴AF＝AE， 即△AEF是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点的应用，能运用等腰三角形的性质（三线合一定理）进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D， （1）求∠ADC的度数； （2）过点A作AE∥BC，交CD的延长交于点E． ①求证：△ADE是等腰三角形； ②判断：△ACE是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由． 【思路点拨】（1）关键等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B＝∠ACB＝72°，求出∠DCB，根据三角形外角性质求出即可； （2）①根据平行线求出∠EAD，根据三角形内角和定理求出∠ADE，即可得出答案； ②先判断出∠BCE＝∠ACE，再判断出∠BCE＝∠E，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36° ∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°， ∵CD是∠ACB的平分线 ∴∠DCB＝∠ACB＝36°， ∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝72°+36°＝108°； （2）①证明：∵AE∥BC ∴∠EAB＝∠B＝72°， ∵∠B＝72°，∠DCB＝36°， ∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， 即△ADE是等腰三角形； ②解：结论：△ACE是等腰三角形． 理由：∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCE＝∠ACE， ∵AE∥BC， ∴∠BCE＝∠E， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴△ACE是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的性质的应用，主要考查学生的计算和推理能力． 11.如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F． （1）当BE＝5，CF＝3，则EF＝　8　； （2）当BE＞CF时，若CO是∠ACB的外角平分线，如图2，它仍然和∠ABC的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，试判断EF，BE，CF之间的关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，即可得出答案； （2）与（1）同理可证． 【解析】解：（1）∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O， ∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠BCO， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO， ∴BE＝OE＝5，OF＝CF＝3， ∴EF＝EO+FO＝8， 故答案为：8； （2）EF＝BE﹣CF，理由如下： ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC， ∵EO∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC， ∴∠ABO＝∠EOB， ∴EB＝EO， 同理可得FO＝FC， ∴EF＝EO﹣FO＝EB﹣FC． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键． 12.如图，在△ABC中，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形． 【思路点拨】根据等腰三角形的性质，得到∠DBC＝∠E＝30°，∠CDE＝∠E＝30°，可得∠BCD＝60°，求出∠BDC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BC，从而求出∠A＝∠ACB＝60°＝∠ABC，即可证明． 【解析】证明：∵DB＝DE， ∴∠DBC＝∠E＝30°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E＝30°， ∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°， ∴∠BDC＝90°， ∵BD是中线， ∴AB＝BC， ∴∠A＝∠ACB＝60°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．也考查了等腰三角形的性质． 题组B 能力提升练 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【思路点拨】由AB＝AC，∠BAC＝108°，得∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，易求∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，进而可求∠AED＝∠BAE＝72°，从而可判断△ABD、△ADC、△ABE、△ADE、△AEC是等腰三角形． 【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°， ∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C＝（180°﹣108°）＝36°， ∵BD＝AD＝AE， ∴△ABD、△ADE是等腰三角形，∠DAB＝∠B＝36°，∠AED＝∠ADE＝∠B+∠DAB＝72°， ∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣36°＝36°， ∴∠EAC＝∠C， ∴△ACE是等腰三角形，AE＝CE， ∵∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°， ∴∠BAE＝∠DAB+∠DAE＝72°， ∴∠BAE＝∠AED， ∴△BAE是等腰三角形，BA＝BE， 同理：△CAD是等腰三角形， 则图中等腰三角形的个数为6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，解题的关键是求出每个角的度数． 14．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【思路点拨】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质． 【解析】解：∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB， ∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线， ∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB， ∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF， ∴△DFB，△FEC都是等腰三角形． ∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC， ∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键． 15．已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【思路点拨】可将题目所给的关于a、b、c的等量关系式进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据非负数的性质求出a、b、c三边的数量关系，进而可判断出△ABC的形状． 【解析】解：原式可化为2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，即a2+b2+c2+a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0； 根据完全平方公式，得：（a﹣b）2+（c﹣a）2+（b﹣c）2＝0； 由非负数的性质，可知：a﹣b＝0，c﹣a＝0，b﹣c＝0；即：a＝b＝c．所以△ABC是等边三角形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定以及非负数的性质．需将已知的等式转化为偶次方的和，根据非负数的性质解答． 16．在△ABC中，∠A＝70°，当∠B＝　55°、70°、40°　时，△ABC为等腰三角形． 【思路点拨】运用分类讨论的数学思想，借助三角形的内角和定理求出∠B的值，即可解决问题． 【解析】解：若∠A为顶角，且∠A＝70°， 则∠B＝∠C＝ ＝55°； 若∠A为底角，且∠B为底角， 则∠B＝∠A＝70°； 若∠A为底角，且∠B为顶角， 则∠A＝∠C＝70°， ∠B＝180°﹣140°＝40°， 故答案为55°、70°、40°． 【点睛】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是运用分类讨论的数学思想，借助三角形的内角和定理来逐一判断、解析． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【思路点拨】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【解析】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题． 18.在一次数学课上，周老师在屏幕上出示了一个例题： 在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，画出图形（如图）， 给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC． （1）要求同学从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定△ABC是等腰三角形． 请你用序号在横线上写出所有情形．答：　①③，①④，②③和②④　； （2）选择第（1）题中的一种情形，说明是△ABC等腰三角形的理由，并写出解题过程．解：我选择 　①④　． 【思路点拨】（1）要证△ABC是等腰三角形，就要证∠ABC＝∠ACB，根据已知条件即可找到证明∠ABC＝∠ACB的组合； （2）可利用△DOB与△EOC全等，得出OC＝OB，再得出∠OCB与∠OBC相等，就能证明∠ABC与∠ACB相等． 【解析】解：（1）①③，①④，②③和②④； （2）以①④为条件，理由： ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB． 又∵∠DBO＝∠ECO， ∴∠DBO+∠OBC＝∠ECO+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 故答案为：①③，①④，②③和②④；①④． 【点睛】此题主要考查利用等角对等边来判定等腰三角形；题目对学生的要求比较高，利用等量加等量和相等是正确解答本题的关键． 19.如图： （1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想． （2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明． 【思路点拨】（1）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠PRC与∠AQR的关系； （2）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠BQP与∠PRC的关系． 【解析】解：（1）AR＝AQ，理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． ∵RP⊥BC， ∴∠B+∠BQP＝∠C+∠PRC＝90°， ∴∠BQP＝∠PRC． ∵∠BQP＝∠AQR， ∴∠PRC＝∠AQR， ∴AR＝AQ； （2）猜想仍然成立．证明如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C． ∵∠ABC＝∠PBQ， ∴∠PBQ＝∠C， ∵RP⊥BC， ∴∠PBQ+∠BQP＝∠C+∠PRC＝90°， ∴∠BQP＝∠PRC， ∴AR＝AQ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；题中有两个类别的特殊三角形，等腰三角形是两个底角相等，直角三角形是两个锐角互余，还有对顶角相等的条件，为角的关系转化提供依据． 20.如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB． （1）求证：△OBC为等腰三角形； （2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数． 【思路点拨】（1）连接OA，如图，利用等腰三角形的性质得到CF⊥AB，则CF垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，所以OB＝OC，从而得到结论； （2）利用等腰三角形的性质得到CF平分∠ACB，则∠BCF＝∠ACF＝23°，再利用OB＝OC得到∠OBC＝∠OCB＝23°，接着根据互余计算出∠DEC＝44°，然后根据三角形外角性质计算∠BOE的度数． 【解析】（1）证明：连接OA，如图， ∵AC＝BC，点F为AB的中点， ∴CF⊥AB， ∴CF垂直平分AB， ∴OA＝OB， ∵DE垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴△OBC为等腰三角形； （2）解：∵CA＝CB，CF⊥AB， ∴CF平分∠ACB， ∴∠BCF＝∠ACF＝23°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝23°， ∵∠EDC＝90° ∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝90°﹣23°﹣23°＝44°， ∵∠OEC＝∠OBE+∠BOE， ∴∠BOE＝44°﹣23°＝21°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了线段垂直平分线的性质． 21.如图，△ABD和△BCD均是边长为2的等边三角形，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 【思路点拨】（1）利用菱形的性质和正三角形的特点进行证明； （2）△BEF为正三角形，可解用（1）全等的结论证明； 【解析】证明：（1）∵△ABD和△BCD都为正三角形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC， ∵AE+DE＝AD＝2，而AE+CF＝2， ∴DE＝CF， ∴△BDE≌△BCF（SAS）； （2）∵△BDE≌△BCF， ∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF， ∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°， ∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°， ∴△BEF为正三角形； 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，难度一般，关键是利用菱形的性质和正三角形的特点进行证明． 22.如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH． （1）请说出AD＝BE的理由； （2）试说出△BCH≌△ACG的理由； （3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明． 【思路点拨】（1）证明△ACD≌△BCE即可得出答案； （2）根据△ACD≌△BCE，∴∠CBH＝∠CAG，由∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上，得出∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60° 根据AC＝BC即可证明； （3）由△ACG≌△BCH，∴CG＝CH，根据∠ACG＝60°即可证明； 【解析】解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形 ∴AC＝BC，EC＝DC ∠ACB＝∠ECD＝60° ∴∠ACD＝∠ECB ∴△ACD≌△BCE ∴AD＝BE； （2）∵△ACD≌△BCE ∴∠CBH＝∠CAG ∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上 ∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60° 又∵AC＝BC ∴△ACG≌△BCH； （3）△CGH是等边三角形，理由如下： ∵△ACG≌△BCH ∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等） 又∵∠ACG＝60° ∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）； 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，关键是全等三角形的判定与性质的应用。 题组C 培优拔尖练 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，AD+EC＝AB． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数； （3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？ （4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD＝120°，并请说明理由． 【思路点拨】（1）利用全等三角形得出两边相等即可． （2）简单的角度的计算，由∠A可先求出∠B，∠C的大小，进而求出∠DEF的大小， （3）等腰直角三角形的判定，可先假设其成立，再进行验证． （4）先猜想出∠A的度数，再由全等三角形的判定定理得出△DBE≌△ECF，再根据全等三角形的对应角11相等即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵AB＝AC ∴∠B＝∠C． 在△DBE和△ECF中 ∵， ∴△DBE≌△ECF（SAS）． ∴DE＝EF． ∴DEF是等腰三角形． （2）解：∠A＝40°，∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C＝70°． ∴∠BDE+∠DEB＝110°． △DBE≌△ECF． ∴∠FEC＝∠BDE， ∴∠FEC+∠DEB＝110°， ∴∠DEF＝70°． （3）解：假设△DEF是等腰直角三角形即∠DEF＝90°， ∴∠BDE+∠DEB＝90°． ∴∠B＝∠C＝90°． ∴这与三角形的内角和定理相矛盾， ∴△DEF不可能是等腰直角三角形． （4）猜想∠A＝60°时，∠EDF+∠EFD＝120°． ∵∠A＝60°，∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C＝60°． ∴∠BDE+∠DEB＝120°． ∵△DBE≌△ECF． ∴∠FEC＝∠BDE， ∴∠FEC+∠DEB＝120°， ∴∠DEF＝60°． ∴∠EDF+∠EFD＝120°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质及全等三角形的性质及判定定理；其中的反证法是一种很重要的方法，注意掌握． 24.课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法． 我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 请你在图2中用2种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种） 【思路点拨】先以底边为腰作顶角为45°的等腰三角形，然后再作腰的垂线得到含顶角为90°的等腰三角形和顶角为135°的等腰三角形； 先过腰上的高得到顶角为90°的等腰三角形，再作此高的垂直平分线得到顶角为135°的等腰三角形和顶角为45°的等腰三角形． 【解析】解：如图所示： 或如图所示： 【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质作出草图，然后利用基本作图的方法作图．也考查了等腰直角三角形的性质． 25.如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． （1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形； （2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据题意得出EC＝CD＝DB，进而可证得△ABD≌△ACE，从而可判断出结论． （2）在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF，从而证得△ADF≌△EDC，进而得出结论． 【解析】（1）证明：∵a∥AB，且△ABC为等边三角形， ∴∠ACE＝∠BAC＝∠ABD＝60°，AB＝AC， ∵BD＝CD， ∴AD⊥BC ∵∠ADE＝60°， ∴∠EDC＝30°， ∴∠DOC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACB＝90°， ∴∠DEC＝∠DOC﹣∠ACE＝30°， ∴∠EDC＝∠DEC， ∴EC＝CD＝DB， ∴△ABD≌△ACE． ∴AD＝AE，且∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形； （2）在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF， ∵∠ACB＝60°， ∴△DCF是等边三角形， ∵∠ADF+∠FDE＝∠EDC+∠FDE＝60°， ∴∠ADF＝∠EDC， ∵∠DAF+∠ADE＝∠DEC+∠ACE， ∴∠DAF＝∠DEC， ∴△ADF≌△EDC（AAS）， ∴AD＝ED， 又∵∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，难度较大，注意基本性质的掌握及熟练应用是解答本题的关键． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$