12.1幂的运算3.积的乘方 教案 2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

3.积的乘方 1.经历探索积的乘方的运算法则的过程,进一步体会幂的意义.理解积的乘方运算法则. 2.在探索积的乘方的运算法则的过程中,发展推理能力和有条理的表达能力.学习积的乘方的运算法则,提高解决问题的能力. 3.体会探究数学法则的乐趣,增加学习数学的信心与兴趣. 重点:积的乘方法则的应用. 难点:积的乘方法则的推导. 已知地球的半径大约为6×103 km,你能求出地球的体积大约是多少吗? 解:球的体积计算公式:V=πr3. 则地球的体积约为V=π(6×103)3 km3. 知识点1　积的乘方 1.计算: (1)10×102×103=　106　; (2)(x5)2=　x10　.  2. (1)同底数幂的乘法:am·an=　am+n(m,n都是正整数)　; (2)幂的乘方:(am)n=　amn(m,n都是正整数)　.  [想一想] 同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点? [互动探究] 问题1　下列两题有什么特点? (1)(ab)2;(2)(ab)3. 解:底数为两个因式相乘,积的形式. [师] (ab)3这种形式为积的乘方,我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗? 问题2　根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行计算: (ab)2=(ab)·(ab)(乘方的意义) =(aa)∙(bb)(乘法交换律、结合律) =a2b2(同底数幂相乘的法则). 同理: (ab)3=(ab)·(ab)·(ab)(乘方的意义) =(aaa)·(bbb)(乘法交换律、结合律) =a3b3(同底数幂相乘的法则). [提问] (ab)n=? 教师带领学生依据乘方的意义及前面积累的经验,推导积的乘方公式,并由学生表述文字语言和数学公式. 解:已知(ab)3=a3b3, 猜想(ab)n=anbn(n为正整数). (ab)n=(乘方的意义) =·(乘法交换律、结合律) =anbn(乘方的意义). 所以(ab)n=anbn(n为正整数)成立. [归纳] 积的乘方法则:(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. [想一想] 三个或三个以上的积的乘方等于什么? [教学说明] 三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质,如(abc)n=anbncn(n为正整数). 范例应用 例1　计算: (1)(3x)2; (2)(-2b)5; (3)(xy2)2; (4)(-3ab2c3)3. 解:(1)(3x)2=32x2=9x2. (2)(-2b)5=(-2)5·b5=-32b5. (3)(xy2)2=x2·(y2)2=x2y4. (4)(-3ab2c3)3=(-3)3·a3b6c9=-27a3b6c9. [方法总结] 运用积的乘方法则进行计算时,注意每个因式都要乘方,尤其是字母的系数不要漏乘方. 例2　计算: (1)-4xy2·(xy2)2·(-2x2)3; (2)(-a3b6)2+(-a2b4)3. 解:(1)-4xy2·(xy2)2·(-2x2)3 =-4xy2·x2y4·(-8x6) =32x9y6. (2)(-a3b6)2+(-a2b4)3 =a6b12+(-a6b12) =0. [方法总结] 涉及积的乘方的混合运算,一般先算积的乘方,再算乘法,最后算加减,然后合并同类项. 知识点2　积的乘方的逆用 积的乘方的性质可以逆用,即anbn=　(ab)n(n为正整数)　;anbncn=　(abc)n(n为正整数)　.  范例应用 例3　计算:(-0.125)2 018×(-8)2 017. 解:(-0.125)2 018×(-8)2 017 =(-0.125)2 017×(-8)2 017×(-0.125) =[(-0.125)×(-8)]2 017×(-0.125) =12 017×(-0.125) =-0.125. 1.下列运算正确的是( C ) A.x·x2=x2 B.(xy)2=xy2 C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4 2.(-an-1)2等于( A ) A.a2n-2 B.-a2n-1 C.a2n-1 D.-a2n-2 3.计算: (1)2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7; (2)(3xy2)2+(-4xy3)·(-xy); (3)(-2x3)3·(x2)2. 解:(1)2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7 =2x6·x3-27x9+25x2·x7 =2x9-27x9+25x9 =0. (2)(3xy2)2+(-4xy3)·(-xy) =9x2y4+4x2y4 =13x2y4. (3)(-2x3)3·(x2)2 =-8x9·x4 =-8x13. 4.如何简便计算0.042 004×[(-5)2 004]2? 解:法一　0.042 004×[(-5)2 004]2 =(0.22)2 004×54 008 =0.24 008×54 008 =(0.2×5)4 008 =14 008 =1. 法二　0.042 004×[(-5)2 004]2 =0.042 004×[(-5)2]2 004 =0.042 004×252 004 =(0.04×25)2 004 =12 004 =1. 5.如果(an·bm·b)3=a9b15,求m,n的值. 解:因为(an·bm·b)3=a9b15, 所以(an)3·(bm)3·b3=a9b15. 所以a3n·b3m·b3=a9b15. 所以a3n·b3m+3=a9b15. 所以3n=9,3m+3=15. 所以n=3,m=4. 1.(ab)n=anbn(n为正整数). 2.积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 注意:先确定积中的因式,再分别乘方,注意系数要单独作为一个因式进行乘方. 3.积的乘方 本课时教学可先由学生依据同底数幂的乘法、幂的乘方等法则的推导与应用自主探究出积的乘方法则,并应用于具体解题之中.教师注意引导学生发现幂的乘法三个法则之间的异同,并利用具体问题指导学生解题时先观察分析问题特征,再合理选用法则.课堂中,可采用口答、动手做做等方式组织学生比赛,从中培养学生计算能力,教师依据具体情形予以点评指点,查漏补缺,使学生全方位从本质上理解知识. 学科网（北京）股份有限公司 $$