专题12 弧长及扇形的面积（八大题型，50题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题12 弧长及扇形的面积（八大题型，50题） 目录 题型一：求弧长 1 题型二：求扇形半径 3 题型三：求圆心角 5 题型四：求某点的弧形运动路径长度 6 题型五：求扇形面积 8 题型六：求图形旋转后扫过的面积 10 题型七：求弓形面积 11 题型八：求其他不规则图形的面积 13 一、题型一：求弧长 1．（2024·江苏·模拟预测）如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·江苏徐州·一模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则 （弧长）． 3．（2024·江苏徐州·一模）如图，将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，若，则的长为 ． 4．（2024·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，，将绕点顺时针旋转，使点落在边上（记为，则点运动的路径长是 ．（答案保留 5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长 （结果保留）． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，，，半径为2的从点出发，沿方向滚动到点时停止，圆心运动的路程是 ． 7．（2024·江苏扬州·一模）如图，在中，，以为直径的与相交于点，为上一点． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 8．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，过点D作半圆O的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 二、题型二：求扇形半径 9．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，圆锥的底面圆半径，则扇形半径＝ ． 11．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为 12．（2021·江苏扬州·三模）如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，点M为上的一点，过M作于N，交AB于C，若MC＝CN＝，则此扇形的半径为 ． 13．（2024·江苏泰州·二模）如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长是 ． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 15．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为 ． 16．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积是 ． 三、题型三：求圆心角 17．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，的直径，D为半圆的中点，P点从D出发，沿的路径移动，移动到C点停止，Q点从B出发，沿下半圆的路径移动，移动到C点停止，Q的速度是P速度的倍，的长度变化的函数图像为（    ） A． B． C． D． 18．（22-23九年级上·江苏南京·期中）一个扇形的半径为，弧长为，则此扇形的面积为 cm2． 19．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）扇形的弧长是扇形的的半径为6，圆心角为 ． 20．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）一个圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则它的侧面展开扇形的圆心角度数是 ． 21．（2023·江苏镇江·二模）扇形的弧长为，半径是12，该扇形的圆心角为 度． 22．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 四、题型四：求某点的弧形运动路径长度 23．（2024·江苏盐城·二模）在活动课上，“雏鹰”小组用含角的直角三角尺设计风车．如图，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，以此方法做下去……，则点通过一次旋转至所经过的路径长为 ．（结果保留）    24．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形的边长为2，将长为2的线段的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按滑动到B止，在这个过程中，线段的中点M所经过的路径长为 ． 25．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转到 的位置，点B的对应点D首次落在斜边上，则点A的运动路径的长为 ．    26．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，，是弧上一动点，过点作，交于点，连接，，分别平分、，当点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ． 27．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，弦，点C是直径上方半圆上的动点（包括端点M，N），，和的平分线相交于点E，当点C从点M运动到点N时，则C，E两点的运动路径长的比值是 ． 28．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点、、都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法） ． (1)将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为，画出， (2)连接，的面积为 ． (3)点在旋转过程中经过的路径长为 ． 29．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，将绕点O顺时针旋转后得． (1)求点A扫过的弧的长； (2)求线段AB扫过的面积． 30．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． (1)求的长； (2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论； (3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 五、题型五：求扇形面积 31．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 32．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，与相切于点A，B，若的半径为6，，则弦与所围成的图形的面积是 ． 33．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，已知，点M是上的一个定点． (1)尺规作图：请在图中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N； (2)在（1）的条件下，若，，则所作的⊙O的劣弧与、所围成图形的面积是 ． 34．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图所示，在中，，，在上取点O，以O为圆心，以为半径作圆，与相切于点D，并分别与，相交于E，F（异于点B）．    (1)求证：平分； (2)若点E恰好是的中点，求扇形的面积． 35．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）已知扇形．（注：所有作图都要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，请你作一条过圆心O的直线，使扇形的面积被这条直线平分； (2)如图2，已知，若扇形的面积被以O为圆心的平分，点C在上，点D在上，求OC的长，并在图2上作出这条． 六、题型六：求图形旋转后扫过的面积 36．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 37．（2024·江苏盐城·二模）如图，在扇形中，于点D，，将绕点O点逆时针旋转，则线段扫过的图形面积为是 ． 38．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，，将绕点A按逆时针方向旋转到（点A、B、E在同一直线上），则在运动过程中所扫过的面积为 ． 39．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为 ． 40．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到． (1)画出，并写出点的坐标， ， ； (2)在旋转变换过程中，线段扫过的图形面积为 ． 七、题型七：求弓形面积 41．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 42．（2024·江苏盐城·三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    43．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是的内接三角形，，，D 为延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为 4，求阴影部分的面积． 44．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 45．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，的直径，C为上一点，在的延长线上取一点P，连接交于点D，，．    (1)求的长； (2)计算图中阴影部分的面积． 八、题型八：求其他不规则图形的面积 46．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 47．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，边长为的正方形的对角线，相交于点，以为圆心，长为半径的弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 48．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心、为半径的圆经过点A，与交于点D． (1)试说明与相切； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 49．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点是的直径延长线上一点，，绕点按逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 50．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题12 弧长及扇形的面积（八大题型，50题） 目录 题型一：求弧长 1 题型二：求扇形半径 9 题型三：求圆心角 14 题型四：求某点的弧形运动路径长度 18 题型五：求扇形面积 30 题型六：求图形旋转后扫过的面积 37 题型七：求弓形面积 42 题型八：求其他不规则图形的面积 48 一、题型一：求弧长 1．（2024·江苏·模拟预测）如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理和弧长公式，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键；根据圆周角定理和弧长公式解答即可． 【详解】解：是直径， ， ， ， ， ∴的长π． 故选：A 2．（2024·江苏徐州·一模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则 （弧长）． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点，作D关于的对称点E，连接，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，最后运用弧长公式即可解答． 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接， 则， ∵ 的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为， ∴ 的长度为． 故答案为：． 3．（2024·江苏徐州·一模）如图，将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，连接，，根据折叠性质可得，，先证明为等边三角形，得到，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 扇形翻折，使点A与圆心O重合， ，， 又， 又， ， 为等边三角形， ， ． 故答案为：． 4．（2024·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，，将绕点顺时针旋转，使点落在边上（记为，则点运动的路径长是 ．（答案保留 【答案】 【分析】本题主要考查弧长的计算，由旋转可得，，在中，根据边的数量关系可得，再由得，最后根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：由旋转可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点D运动的路径长是． 故答案为：． 5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长 （结果保留）． 【答案】/ 【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，得到． 由平行四边形的性质推出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由题意得：， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，，，半径为2的从点出发，沿方向滚动到点时停止，圆心运动的路程是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长的计算，找到运动轨迹，将运动轨迹分为三部分进行计算是解题关键．根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：，，，分别计算出各部分的长再相加即可． 【详解】解：圆心O运动路径如图：    ∵；弧的长度为；， ∴圆心O运动的路程是． 故答案为：． 7．（2024·江苏扬州·一模）如图，在中，，以为直径的与相交于点，为上一点． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，弧长公式等知识，熟练掌握圆相关性质是解题关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得出，再根据同弧所对的圆周角相等，得出，从而得到，即可证明结论； （2）连接，由三角形内角和定理，得出，进而得出，然后利用圆周角定理，得出，最后利用弧长公式计算，即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， , ， ， , ，即， 点在上， 为的切线； （2）解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， 的长 8．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，过点D作半圆O的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，，求得，推出是等边三角形，得到，，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， 为直径， ∴； （2）解：由（1）知， ∴ ∵ ∴，， 是等边三角形， 的长为， 二、题型二：求扇形半径 9．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用弧长公式计算扇形半径，扇形的半径为，然后用弧长公式即可求解，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】设扇形的半径为， ∴， 解得：， 故选：． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，圆锥的底面圆半径，则扇形半径＝ ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，由圆锥侧面展开图是扇形，可以利用求扇形面积公式即可求解，解题的关键是正确理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】由题意得：，其中， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为 【答案】 【分析】设的长为，根据扇形的弧长和半径最大的圆周长相等列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：设的长为， ，，， ， 则扇形的弧长为：，半径最大的圆周长为：， 恰好能作为一个圆锥的侧面和底面， ， 解方程得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥、矩形的性质，解题关键在于理解圆锥的侧面展开图与圆锥底面圆之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 12．（2021·江苏扬州·三模）如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，点M为上的一点，过M作于N，交AB于C，若MC＝CN＝，则此扇形的半径为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件求出，再连接，设半径为，则，构建，利用勾股定理求解． 【详解】解：， ， 且， ， ， ， 连接，设半径为，则， ， ， ， 在中，， ， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了求解扇形的半径、等腰三角形、直角三角形、勾股定理，解题的关键是：构造一个直角三角形，利用勾股定理求解． 13．（2024·江苏泰州·二模）如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 连接，根据扇形圆心角为，得到B，O，C三点共线，为圆O的直径，首先求得扇形的弧长，再利用弧长公式求出圆锥的母线长即可． 【详解】解：如图，连接， ， 为圆O的直径， B，O，C三点共线， 围成圆锥的底面半径为1， ， ， ， 故答案为：4． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．根据弧长公式，计算得到答案． 【详解】解：设扇形的半径是R， 则 解得：． 故答案为：． 15．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为 ． 【答案】3 【分析】 本题考查求扇形的半径，设半径为，根据扇形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，由题意，得：， 解得：（负值已舍掉）； 故答案为：3． 16．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积求法，利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积． 【详解】解：设扇形的半径为r．则 ，解得， ∴扇形的面积， 故答案为：． 三、题型三：求圆心角 17．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，的直径，D为半圆的中点，P点从D出发，沿的路径移动，移动到C点停止，Q点从B出发，沿下半圆的路径移动，移动到C点停止，Q的速度是P速度的倍，的长度变化的函数图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为，运用特殊值，几何排除法求解即可． 【详解】解：设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为， 如图，当时，则，的长为， 连接，作于点E，作，交的延长线于点E，则四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，故C，D不符合题意； 如图，当时，则，的长为， ∴的长为， 连接，作于点E，作，交的延长线于点E，则四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，故B不符合题意，A符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，弧长公式，解直角三角形，特殊值法的运用是解答本题的关键． 18．（22-23九年级上·江苏南京·期中）一个扇形的半径为，弧长为，则此扇形的面积为 cm2． 【答案】 【分析】先根据半径与弧长求出扇形的圆心角，从而求出扇形面积．或者直接运用扇形面积面积=也可以． 【详解】解：设扇形圆心角度数为，则， 解得， 扇形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了与扇形面积、弧长相关的计算，掌握相关计算方法是解题关键． 19．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）扇形的弧长是扇形的的半径为6，圆心角为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆心角的计算，熟练掌握弧长公式：是解题的关键． 把已知数据代入弧长公式：，计算即可得到答案． 【详解】解；设圆心角的度数为，根据题意可得：， 解得． 故答案为：． 20．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）一个圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则它的侧面展开扇形的圆心角度数是 ． 【答案】/240度 【分析】本题考查了圆锥的相关计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，结合弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为， 根据题意得， 解得：， 即它的侧面展开图的圆心角度数为． 故答案为：． 21．（2023·江苏镇江·二模）扇形的弧长为，半径是12，该扇形的圆心角为 度． 【答案】90 【分析】设此扇形的圆心角为，代入弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设此扇形的圆心角为， 由题意得，， 解得，， 故答案为：90． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式是解题的关键． 22．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形的面积；由弧长公式可求，即可求解；掌握和是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ． 四、题型四：求某点的弧形运动路径长度 23．（2024·江苏盐城·二模）在活动课上，“雏鹰”小组用含角的直角三角尺设计风车．如图，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，以此方法做下去……，则点通过一次旋转至所经过的路径长为 ．（结果保留）    【答案】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质、旋转的性质以及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键．根据题意，点所经过的路径是圆弧，根据“直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半”，易知，结合旋转的性质可知，然后求出圆弧的长度即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴点通过一次旋转至所经过的路径长为． 故答案为：． 24．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形的边长为2，将长为2的线段的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按滑动到B止，在这个过程中，线段的中点M所经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要是考查了正方形的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式是解题的关键． 如图：根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M到正方形各顶点的距离都为1，故点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个圆弧，点M所经过的路线为半径为1圆的周长，求出即可． 【详解】解：连接， 当Q在A、B之间运动时，及B点形成直角三角形， ∵M为中点， ∴总有， ∴M点的运动轨迹是以点B为圆心的四分之一圆． 同理，当Q在B、C之间运动时，M点的运动轨迹是以点C为圆心的四分之一圆， ∴点M经过的路线为半径圆的周长，即为． 故答案为：． 25．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转到 的位置，点B的对应点D首次落在斜边上，则点A的运动路径的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的性质，由旋转的性质可求，可证是等边三角形，可得，由弧长公式可求解． 【详解】解： ∵将绕点C逆时针旋转到的位置， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点A的运动路径的长为， 故答案为：． 26．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，，是弧上一动点，过点作，交于点，连接，，分别平分、，当点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】根据、分别平分、，求出，连接，证明，得到，得到点路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧，构造，求出，，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，， ， ，分别平分、， ， 连接， ，，， ， ， 点的路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧的一部分， 过点、、作圆，作圆内接四边形，则， ， ，， ， 当重合时， 则， ，则是等边三角形 点的运动路径长为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题根据题意确定点所经过的路径，角平分线的定义，三角形内角和定理，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，求弧长，转化为定边对定角问题是解题的关键． 27．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，弦，点C是直径上方半圆上的动点（包括端点M，N），，和的平分线相交于点E，当点C从点M运动到点N时，则C，E两点的运动路径长的比值是 ． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，由圆周角定理和等角对等边的性质可知，据此可知，在以为圆心，长为半径的圆上，根据角平分线的性质、圆周角定理及等边三角形的判定可知为等边三角形，进而可知，由此可知，当由运动到到时，运动路径为，运动路径为，与对应的圆周半径相同，最后计算路径长度比即为圆心角之比． 【详解】解：如图1，延长交于点， 由平分得恒为劣弧中点． 由已知，得， 则， 得． 故在以为圆心，长为半径的圆上． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 如图2，当由运动到到时，运动轨迹为， 运动路径为与路径对应的圆周半径相同，计算路径长度比即为圆心角之比， 由得路径长度之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理、角平分线的性质、等边三角形的判定及其性质，以动点为背景，考查学生综合运用所学知识点能力，解题的关键是知道点运动轨迹是与点的运动路径对应圆周半径相同的． 28．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点、、都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法） ． (1)将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为，画出， (2)连接，的面积为 ． (3)点在旋转过程中经过的路径长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作旋转图形，勾股定理，求弧长，掌握旋转的性质是解题关键． （1）根据旋转的性质分别找到、、点的对应点，再依次连接即可； （2）由勾股定理可求出，由旋转的性质可得，，最后根据，即可求解； （3）根据点在旋转过程中经过的路径长是以点位圆心，为半径的圆周长的，以此计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由图可知，，， ， 由旋转可知，，， ， 故答案为：； （3），， 点在旋转过程中经过的路径长为， 故答案为：． 29．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，将绕点O顺时针旋转后得． (1)求点A扫过的弧的长； (2)求线段AB扫过的面积． 【答案】(1) (2)4π 【分析】本题考查扇形的面积，弧长的计算，旋转的性质，关键是掌握弧长公式，由图形得到阴影的面积． （1）由旋转的性质得到：，，根据弧长公式即可解答； （2）由旋转的性质得到阴影的面积，结合扇形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：由旋转的性质得到：，， ∴， ∴点A扫过的弧长是； （2）解：由旋转的性质得到：，，的面积的面积， ∵阴影的面积 ∴阴影的面积 30．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． (1)求的长； (2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论； (3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）由圆周角定理得出，由勾股定理可求出答案； （）延长到，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，得出，则为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出结论； （）连接，，证明，由全等三角形的性质得出 ，则点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上 (分左右两种情况)，求出的长，由弧长公式可得出答案． 【详解】（1）∵是的直径， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）， 证明如下：延长到，使，连接， ∵，， ∴， 在△ADF和△BDC中， ， ∴， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴； （3）连接，， ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）： 设弧所在圆的圆心为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， ∴点的路径长为． 【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形内心的定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，弧长公式以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 五、题型五：求扇形面积 31．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积=弓形的面积， ∴阴影部分的面积 =扇形的面积的面积 ， 故选：C． 32．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，与相切于点A，B，若的半径为6，，则弦与所围成的图形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】连接，，过O作于H，求出，从而，利用勾股定理求出，然后分别求出扇形和的面积即可． 【详解】解：如图， 连接，，过O作于H， ∴， ∵，与相切于点A，B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， ∵扇形的面积， ∴弦与所围成的图形的面积=扇形的面积的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，垂径定理，切线的性质，勾股定理，关键是求出扇形和的面积． 33．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，已知，点M是上的一个定点． (1)尺规作图：请在图中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N； (2)在（1）的条件下，若，，则所作的⊙O的劣弧与、所围成图形的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算． （1）先作的平分线，再过M点作的垂线交于点O，接着过O点作于N点，然后以O点为圆心，为半径作圆，则满足条件； （2）先利用切线的性质得到，，根据切线长定理得到，则，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，然后根据扇形的面积公式，利用⊙O的劣弧与、所围成图形的面积进行计算． 【详解】（1）如图，为所作； （2）∵和为的切线， ∴，，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴的劣弧与、所围成图形的面积 故答案为： 34．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图所示，在中，，，在上取点O，以O为圆心，以为半径作圆，与相切于点D，并分别与，相交于E，F（异于点B）．    (1)求证：平分； (2)若点E恰好是的中点，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，以此可得，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行得，进而得到，由可得，即可证明； （2）连接、，易得，根据直角三角形中线的性质的，因此为等边三角形，则，根据平行线的性质得，于是可证明为等边三角形，再利用扇形的面积公式计算即可； 本题考查切线的性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、直角三角形的中线性质、扇形的面积公式根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，如图，      ∵与⊙O相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接、，如图，    ∵是的中点， ， 在中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ． 35．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）已知扇形．（注：所有作图都要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，请你作一条过圆心O的直线，使扇形的面积被这条直线平分； (2)如图2，已知，若扇形的面积被以O为圆心的平分，点C在上，点D在上，求OC的长，并在图2上作出这条． 【答案】(1)图见解析 (2)OC＝1；图见解析 【分析】本题考查扇形的面积公式，以及角平分线和垂直平分线的作图法，作图痕迹容易漏掉弧，是易错点，解题技巧是将扇形面积比转化为半径的比； （1）面积被平分即作角平分线，据此要求画图即可． （2）通过扇形面积公式找到所在圆的半径和扇形的半径关系，直接求解即可，再通过两扇形面积比转化为半径比，最后画出垂直平分线，构造等腰直角三角形，然后补全图形即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：由题可知，，， ， ， ， 先画出线段的垂直平分线即可得到点， 再取，则等腰直角， ， 以为半径，为圆心画圆即可得到． 六、题型六：求图形旋转后扫过的面积 36．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，扇形面积的计算．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而得出，再根据旋转可得旋转的圆心角为，半径，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：连接，如下图：    ∵，， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴， 弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，    由题意可得：， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 扫过的部分的面积就是， 故选：D． 37．（2024·江苏盐城·二模）如图，在扇形中，于点D，，将绕点O点逆时针旋转，则线段扫过的图形面积为是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积和阴影部分的面积计算．将阴影部分面积转化为两扇形面积的差是解题的关键． 由于绕点O点逆时针旋转得到．可见，阴影部分面积为扇形面积减去扇形,分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【详解】解：如图，在扇形中，于点D， 在中，根据勾股定理可得： ． 绕点O点逆时针旋转得到， ， ， 扇形面积为：， 扇形面积为：， 阴影部分面积为：， 故答案为：． 38．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，，将绕点A按逆时针方向旋转到（点A、B、E在同一直线上），则在运动过程中所扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积的计算，矩形的性质，利用勾股定理列式求出，根据旋转的性质可得，然后根据扇形的面积的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在矩形中，∵， ∴， 由旋转的性质得，， ∴在运动过程中所扫过的面积． 又的面积为 ∴在运动过程中所扫过的面积为， 故答案为：． 39．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为 ． 【答案】π 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，垂径定理，图形扫过的面积等知识，确定点M的运动路径是关键．首先确定是直角三角形，可得为定长，可确定点M的运动路径即可求得结果． 【详解】解：如左图，连接， ∵M是的中点， ∴，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 当点C在A点时，则点D是的中点E；当点C运动到的中点E时，点D与点B重合，如右图， ∴点M的运动路径是以O为圆心，2为半径的一段，且圆心角， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴扫过的阴影部分的面积等于扇形的面积， ∴扫过的面积为为：， 故答案为：． 40．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到． (1)画出，并写出点的坐标， ， ； (2)在旋转变换过程中，线段扫过的图形面积为 ． 【答案】(1)图见解析，， (2) 【分析】本题考查了作图—旋转变换，扇形的面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转的性质以及扇形的面积公式是解此题的关键． （1）利用旋转变换的性质分别作出点的对应点，再顺次连接即可，由图即可得出点的坐标； （2）由勾股定理可得，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ， 由图可得：，， 故答案为：，； （2）解：由勾股定理得：， 线段扫过的图形面积为：， 故答案为：． 七、题型七：求弓形面积 41．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 42．（2024·江苏盐城·三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    【答案】10 【分析】由垂径定理知，再由勾股定理得到，求得，然后由弧田面积公式即可得出结果． 本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理解直角三角形，新定义——弧田面积公式，是解答本题的关键． 【详解】由题意得：于点D， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴弧田面积， ∴弧田的面积为10平方米． 故答案为：10． 43．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是的内接三角形，，，D 为延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为 4，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查切线的判定和求弓形的面积： （1）圆周角定理结合等边对等角，求出，进而得到，即可得证； （2）连接，过点作，用扇形的面积减去三角形的面积求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴的度数为， ∴优弧的度数为：， ∴优弧所对的圆心角的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）连接，过点作， 则：， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 44．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理及弓形面积计算， ()由圆周角定理得出，得出，由得出 ，由圆周角定理得出 ，即可得出结论； ()连接，，可证明，，得到，利用勾股定理可求得，再由分割法可求得阴影部分的面积； 熟练掌握圆周角定理及分割法计算弓形面积是解题的关键． 【详解】（1）证明:∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）如图，连接，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ， ． 45．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，的直径，C为上一点，在的延长线上取一点P，连接交于点D，，．    (1)求的长； (2)计算图中阴影部分的面积． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）作于点E，连接，解直角三角形，即可求得的长，再根据勾股定理和垂径定理，即可解答； （2）根据阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积，即可解答． 【详解】（1）解：作于点E，连接， ， ， ，， ， ， ， ∴， ； （2）解：， ， ， ∴阴影部分的面积为．    【点睛】本题考查了垂径定理，扇形的面积计算，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式． 八、题型八：求其他不规则图形的面积 46．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，，与交于，由折叠的性质可证，是等边三角形，由扇形面积公式可计算出扇形的面积，再求出的面积，由可求出阴影面积．本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握分割法求阴影面积． 【详解】解：连接，，，，与交于， 由折叠性质可得，，，， ， ，， ∴，是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 故选：D． 47．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，边长为的正方形的对角线，相交于点，以为圆心，长为半径的弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，不规则图形的面积，根据正方形的性质求出，利用阴影部分的面积等于计算即可． 【详解】解：四边形是边长为的正方形， ，， ， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 48．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心、为半径的圆经过点A，与交于点D． (1)试说明与相切； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定、勾股定理、扇形面积的计算等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据题意可得出，从而可判断出直线与的位置关系； （2）根据图中阴影部分的面积等于的面积-扇形的面积”即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 又∵点A在上， ∴与相切； （2）解：∵的半径为2， ∴， 又∵， ∴， ∴． 49．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点是的直径延长线上一点，，绕点按逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出，则，根据切线的判定定理即可得解； （2）根据阴影部分的面积，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是的切线； 理由如下： 连接，如图所示： 根据题意得，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆综合，涉及等边三角形判定与性质、等腰三角形判定与性质、三角形外角和、切线的判定与性质、勾股定理、扇形面积的计算、旋转的性质等知识，熟练切线的判定与性质、扇形面积的计算是解题的关键． 50．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$