3.5 分式的加法与减法&专题三-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（青岛版）

第3章分 式 3.5分式的加法与减法 第1课时同分母、异分母分式的加法与减法 N0.1课前自主预习防花做、特能格，落实点裤 6.计算： (1)3a+26 a 1.同分母的分式相加减，分母 ,把分 a2-6 a= 子 ,即士C= (2)2a-1+1 4 a 2.异分母的分式相加减，先 ,化成 的分式，然后再按 的分式 xy y- 7.计算： 加减法法则进行计算，即：么土4=©)士 c ac (1)2b+36 -x (ad)= ac (2)5a+6b+36-4a_a+36 3a'be 3ba'c 3cba?. N02课堂巩固训练卷蒸始，蒜方法、能力根升 (3)2x+1 3 知识点一同分母分式的加减法 x2+2xx2+2.x 1.下列各式计算正确的是 ( (4)2m+1_m十n1 m一nm-nm一n A.1+1=1 B.mtm2m a'b a+b a b ab (5)5a+3b2a a-b a-b C.b_b+11 1 -=0 aaa 2.计算 9 m-3m一3 的结果是 () A.m十3 B.m-3 C.13 D.m十3 m+3 m-3 知识点二异分母分式的加减法 3计算(a千)十D的结果是 1 () &分式报，是的最简公分母是 1一m A BGHlY 计算：0十日 C.1 D.x+1 10.计算义十工的结果正确的是( x-y'x+y 4.计算x一？+2二的结果是 : -2 x-2 A.1 A.0 B.2 C.-2D.2或-2 5计算产20寻的结果是 c D.22+y2 () 11.一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做 A.m+1 B.m-1 y小时完成，则两人一起完成这项工程需要 C.m-2 D.-m-2 小时 重雪年。。。。。。里华华 数学八年级上册 12.计算： a 4计算：5一马 1 (2)+9x+ x2-9 5.化简马十己 x2+3.xx2+6.x+9 x+10 6.计算：7+19x+909-t 1计算，2”十日0 8.已知x≠y,y=-x+2021,求代数式三 r-y 13.先化简，再求值. 十的值 0)中÷1-2若-3≤1.请 x2+2.x 先化简，得求值：等二-南其中 你选取一个合适的x的整数值代入求出原 -2. 式的值 2。+产g÷智其中a与2d 构成△ABC的三边长，且a为整数. 10.已知a-2b=2(a≠1) a2-4b 求。2-46+a+26a2+4ab-4的值. N03☑课后提升训练袋技巧、淡考向、冲剂满分 1,化简一_ah-等于 () ab ab-a 46 B号 山.先化简，再求值：（千2+8）÷日多 C. a D.-8 其中a是已知两边长分别为2和3的三角 形的第三边长，且a为整数. 2计算，二之的结果为 A书 B品 二x二y C.(y-1 贵 3.计算十11的结果为 ( A.1 B.x c D.+2 44 重。。量g里。，。了 第3章分式 第2课时 分式的混合运算 8.计算： N0.1课前自主预习防花双、情能格、落夹点衡 (1)x -1-x-1 分式的混合运算顺序：先 ,再 (2)x+2 x一1 ,然后 x2-2.xx2-4x+4 NO2课堂巩固训练装嘉盘、珠方法、能力提开 36w2 知识点分式的混合运算 1.下列等式成立的是 ( 41- x+1 A.1+2=3 21 a b atb B.2a+ba+b C.ab ab426 4+ba6 D.a n=兰+号，那么m-等 2.如果m=义-工， 于 () Q先化简，再求值1少名其 A.4 中a,b满足(a+1)2+|b+1|=0. C.0 D.-4 3.计算4二4÷(a十1-50-)的结果是() a A.4+2 a-2 B.42 a+2 C.(a-2)a+2 D.a+2 a 4计算。产。1-千6厂 10先化简，再求值：(。+产 5.记a*b=(a十b)2-(a-b),设A为代数 : 式若A“16千器则A a-4,其中a满足a2-4a-1=0. : (用含x,y的代数式表示). 6若+且0<1则2-是 7.若}+x=32++1 重多雪。第多。■用海家 45 数学八年级上册 NO3课后提升训练练技巧、技等向、冲制满分 7.已知a,b,c是正数，且满足a十b十c=9, 1 1.若(ab=1,m= 十。十中。则mm的 、1 值为 b的值. c+ A.2021 B.0 C.1 D.2 2当=6y=3时，代数式（千，十 3x义的值是 x+2y" A.2 B.3 C.6 D.9 8先化简，再求值（十已）其 4化简：1+。）产。-2a+1 中x=-2 5,先化简(2写+一3)÷十6x+9,然后从 3x2-9.z 0≤x≤3的范围内选择一个合适的整数作 为x的值代人求值。 9,先化简，再求值：（任2·2，其 6化简求值：（千2十。小+2 中x=3. 其中a=2+2. 46 重国。。量g用。年0 第3章分式 专题三分式运算的八种技巧 技巧1约分计算法 技巧5裂项相消法即1=11】 1.计第牛品。4 d2-9 nn+1)nn+1) 5.计算： 1 1 a(a+1) (a+1)(a+2) 1 1 (a+2)(a+3)+…+(a+99)(a+100): 技巧2顺次相加法 技巧6整体代入法 2拼第华十年 6已知+日+-日日+日品求 abc一的值. ab+bc+ac 技巧3整体通分法 3.计算：a-2+。2 技巧7倒数求值法 7.已知-3x+1-1.求x-9x+1的值. 技巧8消元法 8.已知4x-3y-6z=0,x十2y-7x=0,且 技巧4换元通分法 4计算：63m-2+2-(8m-2m g0求的值 +,2n-3m 3m-21-1 47 金第多第司童面面西常金南南教重重课后提升训练 1.A 2.解：1)原式=2m.5pg.3)=1 2(x+1) 3pg Amn 5mnp 2n2 则将两分式进行通分得到：xx(r十D (2)原式=4+a)4-a).2(a+4).a-2 x-1 (a+4)2 a-4a+2 和x(r-1D(x+D (2)2a2b、4ab2、6ac2未知数系数的最小公倍数 2(a-2)_4-2a a十2a+2 为12，a、b、c的最高次数都是2，则将三分式进 3.解：(1)原式=-2xy) =_8.x2y (3z)3 27x3 行道分得到。%和 6bc2 9ac (3)(.x2-1)=(x-1)(x十1)，则它们的公分母 (2)原式=义，x ￥ =y 是(x一1)(x十1)，所以将三分式进行通分得 到： x十1 x-1 (x+1)(x-1)' (x+1)(x-1) 3.x 4.解：化简结果是：b;求值结果：一 2 和x+1)(x-1D (4)x2-2x=x(x-2),x2-4x+4=(x-2)2, 5.解：化简结装是：2d求值结果：一动 1 则它们的公分母是x(x一2)，所以将两分式进 6.解小明同学的说法正确.理由如下： 行通分得到：分和》 x2-4÷x2-2x.1 x(x-2)2 x2+x+1x3+x2+xx+2 11.解析因为3.x2-3=3(.x十1)(x-1). =x+2)(x-2).x(x2+x+1).1 所以这两个分式的分母的公因式为x一1，即 x2+x+1 x(x-2)‘+2=1即 =x-1, 不论x(x≠0，x≠士2)为何值，代数式的值都是 这两个分式的最简公分母为3(x十1)(x一1)， 1,所以小明同学的说法是正确的. 所以b=3(x+1)(x-1), 7.5 因为b=3a,所以3(x+1)(x-1)=3(x-1), 8 所以3(x十1-1)(.x-1)=0, 解得x=0或x=1(不符合题意，舍去). 3.4分式的通分 所以30-2 课前自主预习 3.5分式的加法与减法 分式的基本性质所有因式的最高次幂的积 课堂巩固训练 第1课时用分母、异分母分式的加法与减法 1.6x22.18a2bc3.m(m+3)(m-3) 课前自主预习 4.(x-1)(x-2)(x-3)5.(1)3.xy(2)3.x2y 6.C7.B 1.不变 相加减 b±c a 8.(1)6y 4x'z 3yz 12xy2'12xy'12xy 2.通分同分母 同分母 bc±ad ac 2)y y x 课堂巩固训练 ryry 1.D2.A3.A4.D5.B 课后提升训练 1.C2.A3.D4.C 6.(1)2 a-b (2)2(3)0 5.6.x3(x-y) 7.解 (1)原式=26_3b-2h-3b-b 6.2a2b -a2+2a-1 5a+5 (2)原式=5a+66+3b-4a-(a+3b)= 66 7.a-a)(a+1d'-a)(a+1) 3a'be 3a2 bc 2 8.6(x-1)29.6.x2 42 (3) 3 2x+4=2x+2 2x++2十2 x2+2.x 8.解 x2+y=2-y2=x2-y2 x(x+2) r-y y-r r-y r-y t-y 2 (x+y)二义=x+y xy (4)2m十1_m+n_1 因为x≠y,y=-x十2021， m一nm一nm-n 所以原式=x十(-x+2021)=2021. _2m+1-(m十n)-1_2m+1-m-n-1 1一n m一72 9.解原式=29十中7 2x(x-1)x =m-”=1. m-n -=2x x十1x+1 (5)原式=5a+3h-2a_3a+3b a2-b2 a2-62 x+1 -3 a+b 3 a+b(a-b)a-b' 当-2时，原式=有=2异=2 一2 8.15bc2 9. m-310.B11.y 10.解：当a-2b=2(a≠1)时， x+y a2-4b 2.解对之十 a2-4b+a+2b a+4ab-4b* 1-x 1-x (2)原式=+9+x+3)(x-3) (a+2b)(a-2b) x+3 (x+3)2 (a+2b)(a-2b)+(a+26)-(a-2b) 2(a+2b) =x十9十x-3_2x+6 2(a+2b)+(a+2b) -22 x+3 x+3 -2(.x+3) x+3 =2 3 13.解1)21÷(1-+2)= (x+1)2 11.解析原式= a(a-2) 9-4a x2+2.x a+2a-2)十a+2)a-2J× 器-将中 a-2_a-6a+9 (a-3)2 a-3(a+2)(a-2)^a-3(a+2) x+2 因为一3<x≤1且x≠0，x十2≠0，x十1≠0，x Xa-2=a-3 a-3a+2' 为整数，所以x=1. 由三角形的三边关系，得3一2<a<2十3， 当=1时，原式=1+1=2 1 即1<a<5, 又因为a为整数，所以a=2,3,4, (2)1 a十3a-3 当a=2或3时，分式无意义， a+3a-=。+‘ a a+3 1 所以=，当a=4时，原式-行名 a-4十1 a-3 =a”D-a-08-D。4周为 第2课时 分式的混合运算 a与2,4构成△ABC的三边长，且a为数，所 课前自主预习 以4-2<a<4+2,所以2<a<6.又因为a-3 乘方乘除加减 ≠0，a十3≠0，a2一4a≠0，所以a=5.当a=5 课堂巩固训练 1 时，原式一41 1.C2.D3.A 课后提升训练 a-b 5.(.x-2y) 1.B2.A3.A 4.15.1 6. 18 x2-81 7.1 "m-3 8.(1)1 -1 (2)x4 x(x-2) (3)y(4)x-3 43 9.解原式=1-a十b).g-b=1-a十b-- 2 (.x+2)(.x-2) a(a-b)a+b x(x+2) 2 .由(a+1)2+b+11=0得a+1=0,b+1 =02 a =0,所以a=-1,b=一1.所以原式=一1. 当x=3时，原式=3一2=1 10.解：原式=a+2)(a-2)ta1-a. 33 a(a-2)9 a-4 专题三分式运算的八种技巧 a-2y,由a满足d-4a-1=0得(a-2y2=5, 故原式一品 1.解：原式=aa+6)_(a+3)(a-3) a(a+3) (a+3)2 课后提升训练 =a+6_a-3-9 a+3a+3a+31 1.C2.C3.a 点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分 4.a-1 母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母 5.解析 原戈=(+) 分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分， x-3 x2+6.x+9=x2+6x+9.3.x(x-3) 然后再计算，这样可使计算过程简化. 3.x2-9x x-3x2+6.x+9 =3x· x2+6.x+9≠0,3.x2-9x≠0，.x-3≠0， .x≠0和士3，又0≤x3且x为整数， 2x+2x+4r-2z(+1)+2z-D+ x2-1x2+1x+1(x-1)(x2+1) x=1或x=2.当x=1时，原式=3；当x=2 42=4x2+4x2=4x3(x+1)十4x(x-1D 时，原式=6. x+1x-1x+1 (x-1)(.x+1) 6解：原式-[a2”2+a+2a-2] 1 8.x x-1 +2a+。之 (a-1) a-1+1=a a-2a-2' 4.解：设3n一2n=x, 当a=2十√2时，原式=√2十1. 则原式=x十 +72 x-1 1解析圆为市。十十中。一吕 =z(x2-1)+x2(x-1)-x2(2-1)-x(x+1D (x+1)(x-1) 所以6+是e+。=9x9-10. -2x (x+1)(.x-1) 因为a十b+c=9, 4n-6m 所以a=9-(b十c),b=9-(a十c), (3m-2n+1)(3m-2n-1) c=9-(a+b), 1 +1 +b 反解：原成=日-十中2+2 所以a千b+开e+中a a+3+…+ 1 1 1 11 =9-(a+b)+9-(h+c2+9-(a+c2 a+99-a+100=a-a+100 a+b b+c c十a 100 。61+。-1+。-1=10-3=7 9 a(a+100)' c十a 8.解：原式=1-1二+卫2×1-x=-2 1-x2 上面各式两边分别相加， 当x=一号时，原式=4. 得（公+6+）×2=日++ 解（中）2 所以日++ 44 易知abc≠0， 8.解：设营-}=k(k≠0)，所以工=26y=3张，所 3 所以 abc =180 ab+bctac 11+1 31 C a b 以+y-26+36=-5. "x-y 2k-3k 7.解：由2-3x十可 9.D10.B11.D =一1，知x≠0， 所以t-3x+1--1. 3a,b=5 点拨：由比例的性质，得c= a. 5 2 所以+c6a+3a 9_3 所以x-3+=-1,即x+1=2 a 6-21 因为-+1=-9+号-(+)- 课后提升训练 1.C2.C3.A4.C -7. 6. 8 6.4:9 13 7.112 r 所以-9x2+1-7 8&.ta y-a 8.解：以x,y为主元，将已知的两个等式化 9.解析 t-y =(x+y)(x-y2=x+y 4x-3y=6g, x-2xy+y (x-y) x一y 为 x+2y=7x. 解法-：由受=学，可设x=2y=3(k≠0， 所以x=3,y=2z(x≠0). 所以，原式= 5×9x2+2×4z2-x2 所以原式=十y=6十3张=-5. =-13. x-y 2k-3k 2×9x2-3X4x2-10x 解法二：周为号-言所以y=昌， 3.6比和比例 3 5 所以原式=士y= 2 =-5. 第1课时比和比例的基本性质 x-y x-3x 、1 课前自主预习 10.解：因为=a,y=2 1.两个比相等 比例 a+b'文a二6所以x= 十6y, *=q-6 比例外项比例内项 y. 3.ad=bc4.连比a:b:c相同 a+63:y:a-b 所以x:y:= 2y=2a:(2a 课堂巩固训练 +2b):(a2-b2). 1.342号 7 3.10 ,85.2 11.解：因为x:y=(a-b):(a十b),y:x=(a-b) 4. :(a+b), 6.解折1授号-合-后-=k≠0).则a=3张，6 ; a十6，=4十b 所以x=4一b a-6y,所以x:y: -2k,c=6k, a+6>:y:4十b a-b 所以a+2b十c=3k+2×2k+6k=13k=26,所 a-P=(a2-2ab+6):(a2-6 以k=2, :(a2+2ab+b). 所以a=3×2=6,b=2×2=4,c=6×2=12. 第2课时 成比例线段 (2)因为x是6a,b的比例中项， 课前自主预习 所以x2=6ab=6×6×4=144, 所以x=12(舍负). 1.a与b相除a:b或号 a b a 45