专题课1 数列的通项公式-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 S n+1 +1 S n +1 =2. 又 ∵S 1 +1=a 1 +1=2 ， ∴ {S n +1} 是以 2 为首项、 2 为公比的等比数列， 则 S n +1=2×2 n-1 =2 n ， 即 S n =2 n -1. 当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 =2 n -1- （ 2 n-1 -1 ） =2 n-1 . 又 ∵a 1 =1 符合 a n =2 n-1 ， ∴ 数列 {a n } 的通项公式为 a n = 2 n-1 ， n∈N * . （ 2 ） 解： b n = ［ lga n ］ = ［ lg2 n-1 ］， 若［ lg2 n-1 ］ =0 ， 则 0≤lg2 n-1 <1 ， 得 1≤n≤4 ； 若［ lg2 n-1 ］ =1 ， 则 1≤lg2 n-1 <2 ， 得 5≤n≤7 ； 若［ lg2 n-1 ］ =2 ， 则 2≤lg2 n-1 <3 ， 得 8≤n≤10 ； 若［ lg2 n-1 ］ =3 ， 则 3≤lg2 n-1 <4 ， 得 11≤n≤14 ； 若［ lg2 n-1 ］ =4 ， 则 4≤lg2 n-1 <5 ， 得 15≤n≤17. 故 T 15 =0×4+1×3+2×3+3×4+4×1=25. 14. （ 1 ） 解： ∵S n =2a n -a 1 （ n∈N * ）， ① ∴ 当 n≥2 时， S n-1 =2a n-1 -a 1 ， ② ①-② 得 a n =2a n -2a n-1 ， 即 a n =2a n-1 （ n≥2 ） . ∵b n =S n + 1 a n +4 ， ∴b 1 =a 1 + 1 a 1 +4. 又 ∵b 1 =6 ， ∴a 1 =1 ， ∴ 数列 {a n } 是首项为 1 、 公比为 2 的等比数列 ， ∴a n =2 n-1 . （ 2 ） 证明： 由 （ 1 ） 可得 S n =2a n -a 1 =2 n -1 ， ∴b n =S n + 1 a n +4=2 n -1+ 1 2 n-1 +4= 2 2n-1 +3 · 2 n-1 +1 2 n-1 （ n∈N * ）， ∴ 1 b n = 2 n-1 2 2n-1 +3 · 2 n-1 +1 = 2 n-1 （ 2 n +1 ）（ 2 n-1 +1 ） = 1 2 n-1 +1 - 1 2 n +1 ， ∴T n = 1 2 0 +1 - 1 2 1 +1 + 1 2 1 +1 - 1 2 2 +1 + … + 1 2 n-1 +1 - 1 2 n +1 = 1 2 - 1 2 n +1 < 1 2 ， ∴T n < 1 2 . 专题课 1 数列的通项公式 学习手册 变式训练 1 D 【解析】 当 n=1 时， 2 n -1 n =1≠0 ， 故 A 项 错误； 当 n=2 时， 2 n-1 -1 n = 1 2 ≠ 3 2 ， 故 B 项错误； 当 n= 1 时， n+ 1 n =2≠0 ， 故 C 项错误； 因数列 0 ， 3 2 ， 8 3 ， 15 4 ， …， 可以写成 1- 1 1 ， 2- 1 2 ， 3- 1 3 ， 4- 1 4 ， …， 故 其通项公式可以写成 a n =n- 1 n ， 故 D 项正确 . 故选 D. 变式训练 2 2n+2 姨 【解析】 ∵a n = 2+a 2 n-1 姨 ， ∴a 2 n =2+a 2 n-1 ， ∴a 2 n -a 2 n-1 =2 ， ∴ {a 2 n } 是以 4 为首项、 公差为 2 的等差数 列， ∴a 2 n =4+ （ n-1 ） ×2 ， ∴a n = 2n+2 姨 . 变式训练 3 解： （ 1 ） 当 n=1 时， a 1 =1 ； 当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 = 1 3 a n + 2 3 - 1 3 a n-1 - 2 3 ， 整理得 2 3 a n =- 1 3 a n-1 ， 即 a n a n-1 =- 1 2 ， ∴ {a n } 是以首项为 1 、 公比为 - 1 2 的等比数列， ∴a n = - 1 2 2 * n-1 . （ 2 ） 设 b n =n 2 a n ， {b n } 的前 n 项和为 S n . 当 n=1 时， b 1 =5 ， 则 a 1 =5 ； 当 n≥2 时， b n =S n -S n-1 =3n 2 +2-3 （ n-1 ） 2 -2=6n-3 ， 则 a n = 6n-3 n 2 （ n≥2 ） . 经检验， a 1 不符合上式， ∴a n = 5 ， n=1 ， 6n-3 n 2 ， n≥2 2 - - - , - - - . . 变式训练 4 解： ∵a n+1 -a n = 1 2 n ， ∴ 当 n≥2 时， a n -a n-1 = 1 2 n-1 ， …， a 4 -a 3 = 1 2 3 ， a 3 -a 2 = 1 2 2 ， a 2 -a 1 = 1 2 ， ∴a 2 -a 1 +a 3 -a 2 + a 4 -a 3 + … +a n -a n-1 = 1 2 + 1 2 2 + … + 1 2 n-1 ， ∴a n -a 1 = 1 2 - 1 2 n 1- 1 2 =1- 1 2 n-1 ， a n = 3 2 - 1 2 n-1 ， 经检验 n=1 时符合上式 . 变式训练 5 2 （ n-1 ） n 2 【解析】 ∵a n+1 =2 n · a n ， ∴ 当 n≥2 时， a n a n-1 =2 n-1 ， …， a 4 a 3 =2 3 ， a 3 a 2 =2 2 ， a 2 a 1 =2 ， ∴ a n a n-1 ·…· a 4 a 3 · a 3 a 2 · a 2 a 1 =2 n-1 ·…· 2 3 · 2 2 · 2=2 （ n-1 ） + … +3+2+1 ， ∴ a n a 1 =2 （ n-1 ） n 2 ， ∴a n =2 （ n-1 ） n 2 . 变式训练 6 解： （ 1 ） 由题意可得 a n+1 =4a n +1 ， ∴a n+1 + 1 3 =4 a n + 1 3 2 3 ， ∴ a n + 1 3 3 1 是以 1 为首项、 4 为公比的等比数 列， ∴a n + 1 3 =4 n-1 ， ∴a n =4 n-1 - 1 3 . （ 2 ） 将 a n+1 =2a n +3 · 2 n 两边同时除以 2 n+1 ， 得 a n+1 2 n+1 = a n 2 n + 3 2 ， 则 a n+1 2 n+1 - a n 2 n = 3 2 . 又 a 1 2 1 = 2 2 =1 ， 故数列 a n 2 n 3 1 是以 1 为首项、 3 2 为公差的等差数列 . 由等差数列的通项公式， 得 a n 2 n =1+ 3 2 （ n-1 ） = 3 2 n- 1 2 ， 38 参 考 答 案 ∴ 数列 {a n } 的通项公式为 a n = （ 3n-1 ） 2 n-1 . 变式训练 7 n 2n-1 【解析】 由 a n -a n+1 = a n a n+1 n （ n+1 ） （ n∈N * ） 可得， 1 a n+1 - 1 a n = 1 n （ n+1 ） = 1 n - 1 n+1 ∴ 1 a 2 - 1 a 1 = 1 1 - 1 2 ， 1 a 3 - 1 a 2 = 1 2 - 1 3 ， …， 1 a n - 1 a n-1 = 1 n-1 - 1 n （ n≥2 ）， 累加可得 1 a n - 1 a 1 =1- 1 n （ n≥2 ）， 即 a n = n 2n-1 . 当 n=1 时， a 1 =1 也符合上式， ∴a n = n 2n-1 . 随堂练习 1. D 【解析】 在数列 {a n } 中， a 1 =2 ， 由 2a n+1 -2a n =1 ， 得 a n+1 -a n = 1 2 ， ∴ 数列 {a n } 是首项为 2 、 公差为 1 2 的等 差数列， ∴a 101 =2+100× 1 2 =52. 故选 D. 2. n 2 +n+2 2 【解析】 ∵a n+1 -a n =n+1 ， ∴ 当 n≥2 时， a n -a n-1 =n ， …， a 4 -a 3 =4 ， a 3 -a 2 =3 ， a 2 - a 1 =2 ， ∴a 2 -a 1 +a 3 -a 2 +a 4 -a 3 + … +a n -a n-1 =2+3+4+ … +n ， ∴a n -a 1 = （ n-1 ）（ n+2 ） 2 ， a n = n 2 +n+2 2 ， 经检验 n=1 时符 合上式 . 3. 3 6n-1 【解析】 ∵a n+1 = a n 2a n +1 ， ∴ 1 a n+1 = 1 a n +2 ， ∴ 1 a n n $ 是以 5 3 为首项、 2 为公差的等差数列， ∴ 1 a n = 6n-1 3 ， ∴a n = 3 6n-1 . 4. 3 n-1 +1 【解析】 ∵a n+1 =3a n -2 ， ∴a n+1 -1=3 （ a n -1 ）， ∴ {a n -1} 是以 1 为首项、 3 为公比的等比数列， ∴a n -1=3 n-1 ， ∴a n =3 n-1 +1. 5. B 【解析】 第一个图案有白色地面砖 6 块， 第二 个图案有白色地面砖 10 块， 第三个图案有白色地面砖 14 块， 设第 n 个图案中有白色地面砖 a n 块， 用数列 {a n } 表示， 则 a 1 =6 ， a 2 =10 ， a 3 =14 ， 可知 a 2 -a 1 =a 3 -a 2 = … =4 ， ∴ 数列 {a n } 是以 6 为首项、 4 为公差的等差数列， ∴a n =6+ 4 （ n-1 ） =4n+2 ， 故选 B. 6. 解： 当 n=1 时， a 1 =1 ； 当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 =2n-a n -2 （ n-1 ） +a n-1 ， 整理得 a n = 1 2 a n-1 +1 ， 构造得 a n -2= 1 2 （ a n-1 -2 ）， ∴ {a n -2} 是以 -1 为首项、 1 2 为公比的等比数列， ∴a n -2=- 1 2 2 & n-1 ， ∴a n =2- 1 2 2 & n-1 ， 经检验 n=1 时符合 上式 . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 ∵a 6 =S 6 -S 5 = 6 7 - 5 6 = 1 42 ， ∴ 1 a 6 =42. 故 选 C. 2. B 【解析】 ∵a n =a n a n+1 +a n+1 ， ∴ 1 a n+1 = 1 a n +1 ， ∴ 1 a n n n 是 以 1 为首项、 1 为公差的等差数列， ∴ 1 a n =n ， ∴a n = 1 n . 当 n=10 时， a 10 = 1 10 ， ∴m=10. 故选 B. 3. C 【解析】 ∵a n+1 =3a n +4 ， ∴a n+1 +2=3 （ a n +2 ）， ∴ {a n + 2} 是以 3 为首项 、 3 为公比的等比数列 ， ∴a n +2=3 n ， ∴a n =3 n -2. 故选 C. 4. A 【解析】 ∵a n+1 = （ a n -1 ） 2 ， ∴a 1 =1 ， a 2 =0 ， a 3 =1 ， a 4 = 0 ， … . 以此类推 a 2 020 =0. 故选 A. 5. B 【解析】 ∵a 1 =1 ， ∴S 1 +1×a 1 =2. ∵ {S n +na n } 为常数列， ∴S n +na n =2 ， 即 S n =2-na n ， ∴ 当 n≥2 时 ， a n =S n -S n-1 ， 整理得 （ n+1 ） a n = （ n-1 ） a n-1 ， ∴ a n a n-1 = n-1 n+1 ， ∴ a n a n-1 ·…· a 4 a 3 · a 3 a 2 · a 2 a 1 = n-1 n+1 × … × 3 5 × 2 4 × 1 3 ， ∴a n = 2 n （ n+1 ） . 当 n=1 时， 上式也成立 . 故选 B. 6. B 【解析】 a n+1 -a n = 1 n - 1 n+1 ， a 1 =1 ， a 2 -a 1 =1- 1 2 ， a 3 -a 2 = 1 2 - 1 3 ， a 4 -a 3 = 1 3 - 1 4 ， … a n -a n-1 = 1 n-1 - 1 n （ n≥2 ）， 以上各项相加得 a n =1+1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + … + 1 n-1 - 1 n . ∴a n = 2n-1 n （ n≥2 ） . 39 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 ∵a 1 =1 也适合上式， ∴a n = 2n-1 n （ n∈N + ） . 故选 B. 7. a n =3n 【解析】 ∵a 2 =6 ， a n a n+1 -a n =n （ n∈N * ）， ∴a 1 =3 且 na n+1 = （ n+1 ） a n ， 即 a n+1 a n = n+1 n . 由累乘法得 a n = a n a n-1 · a n-1 a n-2 ·…· a n a 1 · a 1 = n n-1 × n-1 n-2 × … × 2 1 ×a 1 =na 1 =3n ， ∴a n+1 -a n =3 （ n+1 ） -3n=3 ， 则数列 {a n } 是首 项为 3 、 公差为 3 的等差数列， 通项公式为 a n =3n. 8. 1 n 2 +5n-4 2 【解析】 ∵a n+2 =2a n+1 -a n +1 ， ∴ （ a n+2 -a n+1 ） - （ a n+1 -a n ） =1. 又 ∵a 2 -a 1 =4 ， 则数列 {a n+1 -a n } 是首项为 4 、 公差为 1 的等差数列， ∴a n+1 -a n =n+3 ， ∴a n -a n-1 =n+2 （ n≥2 ）， a n-1 -a n-2 =n+1 ， … a 2 -a 1 =4. 累加得 a n -a 1 = （ n-1 ）（ n+6 ） 2 ， ∴a n = n 2 +5n-4 2 （ n=1 符 合上式） . 9. 2n 【解析】 当 n≥2 时， 2a n =2S n -2S n-1 ， 整理得 a n a n-1 = n n-1 ， ∴ a n a n-1 ·…· a 4 a 3 · a 3 a 2 · a 2 a 1 = n n-1 × … × 4 3 × 3 2 × 2 1 ， ∴ a n a 1 =n. ∵2 （ a 1 +a 2 ） =3a 2 ， ∴a 1 =2 ， ∴a n =2n. 10. 解： 由题意知， 当 n≥2 时， S n -S n-1 =-2S n S n-1 ， 整理得 1 S n - 1 S n-1 =2 ， 故 1 S n n $ 是以 1 2 为首项、 2 为公 差的等差数列， ∴ 1 S n =2n- 3 2 ， 即 S n = 2 4n-3 . 当 n≥2 时 ， a n =-2S n S n-1 =-2 · 4 （ 4n-3 ） （ 4n-7 ） = -2 1 4n-7 - 1 4n-3 3 & ， ∴a n =2 1 4n-3 - 1 4n-7 3 & . 当 n=1 时， 不符合此式， 故 a n = 2 ， n=1 ， 2 1 4n-3 - 1 4n-7 3 & ， n≥2 2 ) ) ) ( ) ) ) * . 提升练习 11. B 【解析】 由题意知， 每天所走路程形成以 a 1 为 首项、 公比为 1 2 的等比数列， 则 a 1 1- 1 2 6 3 & 1- 1 2 =378 ， 解得 a 1 =192 ， 则 a 2 =96 ， 即第二天走了 96 里 . 故选 B. 12. ABD 【解析】 ∵a n+1 = a n 3a n +2 ， ∴ 1 a n+1 =2 · 1 a n +3 ， ∴ 1 a n+1 +3=2 1 a n + 3 & 3 ， ∴ 1 a n + + $ 3 是以 4 为首项、 2 为公比的 等比数列， ∴ 1 a n +3=4 · 2 n-1 ， ∴ 1 a n =2 n+1 -3 ， ∴a n = 1 2 n+1 -3 ， 故 {a n } 为单调递减数列 . T n = 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + … + 1 a n =2 2 +2 3 +2 4 + … +2 n+1 -3n ， ∴T n =2 n+2 -3n-4. 故选 ABD. 13. n 【解析】 当 n=1 时， a 1 =1 ； 当 n≥2 时， 2a n =2S n -2S n-1 =a 2 n+1 -n-1- （ a 2 n -n ）， 整理得 a 2 n+1 = （ a n +1 ） 2 . ∵a n >0 ， ∴a n+1 =a n +1 ， ∴ {a n } 是以 1 为首项、 1 为公差的等差数列， ∴a n =n. 14. （ 1 ） 证明： 由题意知， 当 n≥2 时， S n = b n b n-1 ， 代 入 2 S n + 1 b n =2 ， 整理得 2b n-1 +1=2b n ， 即 b n -b n-1 = 1 2 . 又 ∵ 2 S 1 + 1 b 1 =2 ， 可得 b 1 = 3 2 ， 故 {b n } 是以 3 2 为首项、 1 2 为公差的等差数列 . （ 2 ） 解： 由 （ 1 ） 知， b n = n+2 2 ， 则 2 S n + 2 n+2 =2 ， ∴S n = n+2 n+1 . 当 n=1 时， a 1 =S 1 = 3 2 ； 当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 =- 1 n （ n+1 ） ， 故 a n = 3 2 ， n=1 ， - 1 n （ n+1 ） ， n≥2 2 ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) * . 专题课 2 数列求和 学习手册 变式训练 1 解： ∵a 1 =1 ， a n+1 =4a n . 40 日期： 班级： 姓名： 1. 在数列 {a n } 中， a 1 =2 ， 2a n+1 -2a n =1 ， 则 a 101 的值为 （ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 2. 在数列 {a n } 中， a 1 =2 ， a n+1 =a n +n+1 ， 则 a n = . 3. 在数列 {a n } 中， 若 a 1 = 3 5 ， a n+1 = a n 2a n +1 ， 则 a n = . 4. 在数列 {a n } 中， 若 a 1 =2 ， a n+1 =3a n -2 ， 则 a n = . 5. 黑、 白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干 个图案： 则第 n 个图案中的白色地面砖有 （ ） A. 4n-2 块 B. 4n+2 块 专题课 1 数列的通项公式 第 1 个 第 2 个 第 3 个 第 5 题图 … 13 C. 3n+3 块 D. 3n-3 块 6. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =2n-a n ， 求数列 {a n } 的通项 公式 . 14