6.1.1 函数的平均变化率-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练习（人教B版）

参 考 答 案 ∴ f （ n+1 ） =1+ 1 2 + 1 3 + … + 1 3n-1 + 1 3n + 1 3n+1 + 1 3n+2 ， ∴ f （ n+1 ） -f （ n ） = 1 3n + 1 3n+1 + 1 3n+2 . 故选 D. 8. A 【解析】 令 n=1 ， 2 ， 3 ， 得 1=3 （ a-b ） +c ， 1+2×3=3 2 （ 2a-b ） +c ， 1+2×3+3×3 2 =3 3 （ 3a-b ） +c c # # # # " # # # # $ ， 即 3a-3b+c=1 ， 18a-9b+c=7 ， 81a-27b+c=34 c # # # # " # # # # $ . 解得 a= 1 2 ， b= 1 4 ， c= 1 4 . 故选 A. 9. B 【解析】 假设当 n=k （ k≥2 ， k∈N * ） 时命题成立 . 则当 n=k+1 时， ［ 3 （ k+1 ） +1 ］· 7 k+1 -1- ［（ 3k+1 ）· 7 k -1 ］ = （ 3k+4 ）· 7 k+1 - （ 3k+1 ）· 7 k = ［（ 3k+1 ） +3 ］· 7 k+1 - （ 3k+1 ）· 7 k = （ 3k+ 1 ）· 7 k+1 +3 · 7 k+1 - （ 3k+1 ）· 7 k =6 （ 3k+1 ）· 7 k +3 · 7 k+1 =6 ［（ 3k+1 ）· 7 k -1 ］ +3 · 7 k+1 +6. ∵ （ 3k+1 ）· 7 k -1 能被 9 整除， ∴ 还需证明 3 · 7 k+1 +6 也能被 9 整除 . 故选 B. 提升练习 10. ABD 【解析 】 当 n=1 时 ， 式子 =1+k ， 故 A 错 误； 当 n=1 时， 式子 =1 ， 故 B 错误； 当 n=1 时， 式子 = 1+ 1 2 + 1 ３ ， 故 C 正确； f （ k+1 ） =f （ k ） + 1 ３k+2 + 1 3k+3 + 1 3k+4 - 1 k+1 ， 故 D 错误 . 故选 ABD. 11. n+ （ n+1 ） + （ n+2 ） + … + （ 3n-2 ） = （ 2n-1 ） 2 【解析】 将原等式变形如下： 1=1=1 2 2+3+4=9=3 2 3+4+5+6+7=25=5 2 4+5+6+7+8+9+10=49=7 2 … 由图知， 第 n 个等式的左边有 2n-1 项， 第一个数 是 n ， 是 2n-1 个连续整数的和 ， 则最后一个数为 n+ （ 2n-1 ） -1=3n-2 ， 右边是左边项数 2n-1 的平方 ， 故有 n+ （ n+1 ） + （ n+2 ） + … + （ 3n-2 ） = （ 2n-1 ） 2 . 12. 解： （ 1 ） ∵a 1 = 1 6 ， 前 n 项和 S n = n （ n+1 ） 2 a n ， ∴ 令 n=2 ， 得 a 1 +a 2 =3a 2 ， ∴a 2 = 1 2 a 1 = 1 12 . 令 n=3 ， 得 a 1 +a 2 +a 3 =6a 3 ， ∴a 3 = 1 20 . 令 n=4 ， 得 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =10a 4 ， ∴a 4 = 1 30 . （ 2 ） 猜想 a n = 1 （ n+1 ）（ n+2 ） ， 下面用数学归纳法给出证明 . ① 当 n=1 时， 结论成立； ② 假设当 n=k （ k∈N * ， k≥1 ） 时 ， 结论成立， 即 a k = 1 （ k+1 ）（ k+2 ） ， 则当 n=k+1 时， S k = k （ k+1 ） 2 · a k = k 2 （ k+2 ） ， S k+1 = （ k+1 ）（ k+2 ） 2 · a k+1 ， 即 S k +a k+1 = （ k+1 ）（ k+2 ） 2 · a k+1 ， ∴ k 2 （ k+2 ） +a k+1 = （ k+1 ）（ k+2 ） 2 · a k+1 ， ∴ k （ k+3 ） 2 · a k+1 = k 2 （ k+2 ） ， ∴a k+1 = 1 （ k+2 ）（ k+3 ） ， ∴ 当 n=k+1 时结论成立 . 由 ①② 可知， 对一切 n∈N * 都有 a n = 1 （ n+1 ）（ n+2 ） 成立 . 6.1 导数 6.1.1 函数的平均变化率 学习手册 变式训练 1 （ 1 ） C （ ２ ） A 【解析】 （ 1 ） ∵y=2x 2 ， ∴Δy=2× （ 2+Δx ） 2 -2×2 2 =2 （ Δx ） 2 + 8Δx. 故选 C. （ 2 ） 函数 f （ x ） =x 在 ［ 0 ， 1 ］ 的平均变化率为 m 1 = 1-0 1-0 =1 ； 函数 g （ x ） =x 2 在 ［ 0 ， 1 ］ 的平均变化率为 m 2 = 1 2 -0 2 1-0 =1 ； 函数 h （ x ） =x 3 在 ［ 0 ， 1 ］ 的平均变化率为 m 3 = 1 3 -0 3 1-0 =1 ； ∴m 1 =m 2 =m 3 . 故选 A. 变式训练 2 B 【解析】 在 t 0 处， 虽然有 W 甲 （ t 0 ） =W 乙 （ t 0 ）， 但 W 甲 （ t 0 -Δt ） <W 乙 （ t 0 -Δt ）， ∴ 在相同时间 Δt 内， 甲厂比 乙厂的平均治污率小， ∴ 乙厂治污效果较好 . 故选 B. 变式训练 3 解： （ 1 ） 当 x 从 200 变到 220 时， 总成本 第六章 导数及其应用 47 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 c 从 c （ 200 ） =540 元变到 c （ 220 ） =626 元 . 此时总成本 c 关 于产量 x 的平均变化率为 c （ 220 ） -c （ 200 ） 220-200 = 86 20 =4.3 （元 / 件）， 它表示产量从 x=200 件到 x=220 件变化时平均每件的总 成本 . （ 2 ） 设气球的半径为 r ， 体积为 V ， 则 V= 4 3 仔r 3 ， ∴r= 3V 4仔 仔 " 1 3 ． 例如 ， 当 0.5≤V≤1 时 ， 半径 r 的平均变化率 = r（1 ） -r （ 0.5 ） 1-0.5 = 1 0.5 3 4仔 仔 " 1 3 - 1.5 4仔 仔 " 1 3 3 % ≈0.26. 当 1 ≤V ≤1.5 时 ， 半 径 r 的 平 均 变 化 率 = r（1.5 ） -r （ 1 ） 1.5-1 = 1 0.5 4.5 4仔 仔 " 1 3 - 3 4仔 仔 " 1 3 3 % ≈0.18. 由以上两个结果可以看出， 气球体积由 0.5 增至 1 ， 再由 1 增至 1.5 ， 二者都增大了 0.5 ， 但 r 的平均变化率 却由 0.26 变成 0.18 ， 变小了 ． 也就是说， 随着气球体积 的逐渐增大， 它的半径的平均变化率逐渐变小 ． 随堂练习 1. A 【解析】 Δx=1.1-1=0.1 ， Δy=f （ 1.1 ） -f （ 1 ） = （ 1.1 2 - 1 ） - （ 1 2 -1 ） =0.21. 故函数的平均变化率 Δy Δx = 0.21 0.1 =2.1. 故 选 A. 2. D 【解析】 函数在某点处横坐标的增量可正可负， 不确定， 但不可为 0. 故选 D. 3. 3 4 【 解 析 】 由 函 数 f （ x ） 的 图 象 知 ， f （ x ） = x+3 2 ， -1≤x≤1 ， x+1 ， 1≤x≤3 3 ， ∴ 函数 f （ x ）在区间 ［ 0 ， 2 ］ 上的平均 变化率为 f （ 2 ） -f （ 0 ） 2-0 = 3- 3 2 2 = 3 4 . 4. - 1 2 【解析】 当 x=1 时， y=1 ； 当 x=2 时， y= 1 2 . ∴ 平均变化率为 1 2 -1 2-1 =- 1 2 . 5. 解： 函数 f （ x ）在 ［ -3 ， -1 ］ 上的平均变化率为 f （ -1 ） -f （ -3 ） -1- （ -3 ） = ［ 2× （ -1 ） +1 ］ - ［ 2× （ -3 ） +1 ］ 2 =2 ， 函数 f （ x ）在 ［ 0 ， 5 ］ 上的平均变化率为 f （ 5 ） -f （ 0 ） 5-0 =2. 函数 g （ x ）在 ［ -3 ， -1 ］ 上的平均变化率为 g （ -1 ） -g （ -3 ） -1- （ -3 ） =-2. 函数 g （ x ）在 ［ 0 ， 5 ］ 上的平均变化率为 g （ 5 ） -g （ 0 ） 5-0 =-2. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 依题意， y 的变化为 f （ t+Δt ） -f （ t ） . 故选 D. 2. C 【解析】 ∵y=x 2 ， ∴ Δy Δx = （ 1+Δx ） 2 -1 Δx =Δx+2. 故选 C. 3. C 【解析】 由题意得， v 1 =k OA ， v 2 =k AB ， v 3 =k BC ， 由 题图易知 k OA <k AB <k BC ， ∴v 1 <v 2 <v 3 . 4. BC 【解析 】 在 0 到 t 0 范围内， 甲、 乙的平均速 度都为 v= s 0 t 0 ， 故 A 错误， B 正确； 在 t 0 到 t 1 范围内， 甲的平均速度为 s 2 -s 0 t 1 -t 0 ， 乙的平均速度为 s 1 -s 0 t 1 -t 0 ， ∵s 2 -s 0 > s 1 -s 0 >0 ， t 1 -t 0 >0 ， ∴ s 2 -s 0 t 1 -t 0 > s 1 -s 0 t 1 -t 0 ， 故 C 正确， D 错误 ． 故 选 BC． 5. 3 【解析】 ∵ Δy Δx = （ m 2 -c ） - （ 1 2 -c ） m-1 = m 2 -1 m-1 =m+1=4 ， ∴m=3. 6. 6 姨 -2 【解析】 ∵Δx= 1 2 ， ∴ Δy Δx = 1+Δx 姨 - 1 姨 Δx = 1+ 1 2 姨 -1 1 2 = 6 姨 -2. 7. ［ 3 ， 4 ］ 【解析】 函数 f （ x ）在区间上的平均变化 率为 Δy Δx ， 由函数图象可得， 在区间 ［ 4 ， 7 ］ 上， Δy Δx < 0 ， 即函数 f （ x ）在区间 ［ 4 ， 7 ］ 上的平均变化率小于 0 ； 在区间 ［ 1 ， 2 ］， ［ 2 ， 3 ］， ［ 3 ， 4 ］ 上时， Δy Δx >0 且 Δx 相同 ， 由图象可知函数在区间 ［ 3 ， 4 ］ 上的 Δy Δx 最大 . ∴ 函数 f （ x ）在区间 ［ 3 ， 4 ］ 上的平均变化率最大 . 8. 解 ： ∵ 函数 f （ x ）在 ［ 2 ， 2+Δx ］ 上的平均变化 率 为 Δy Δx = f （ 2+Δx ） -f （ 2 ） Δx = - （ 2+Δx ） 2 + （ 2+Δx ） - （ -4+2 ） Δx = -4Δx+Δx- （ Δx ） 2 Δx =-3-Δx ， ∴ 由 -3-Δx≤-1 ， 得 Δx≥-2. 又 ∵Δx>0 ， 即 Δx 的取值范围是 （ 0 ， +∞ ） . 9. 解： （ 1 ） 在 t=0 和 t=10 时， 蜥蜴的体温分别为 T （ 0 ） = 120 0+5 +15=39 ， T （ 10 ） = 120 10+5 +15=23 ， 故从 t=0 到 t= 10 ， 蜥蜴的体温下降了 16 ℃. 48 参 考 答 案 （ 2 ） 平均变化率为 T （ 10 ） -T （ 0 ） 10-0 =- 16 10 =-1.6. 它表示 从 t=0 到 t=10 ， 蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6 ℃. 提升练习 10. B 【解析】 Δx=0.3 时， ①y=x 在 x=1 附近的平均 变化率 k 1 =1 ； ②y=x 2 在 x=1 附近的平均变化率 k 2 =2+Δx= 2.3 ； ③y=x 3 在 x=1 附近的平均变化率 k 3 =3+3Δx+ （ Δx ） 2 = 3.99 ； ④y= 1 x 在 x=1 附近的平均变化率 k 4 =- 1 1+Δx =- 10 13 . ∴k 3 >k 2 >k 1 >k 4 . 故选 B. 11. ACD 【解析】 在 t 1 时刻， 为两图象的交点， 即 此时甲 、 乙两人血管中的药物浓度相同 ， 故 A 正确 ； 甲、 乙两人在 t 2 时刻的切线的斜率不相等， 即两人的瞬 时变化率不相同， 所以甲、 乙两人血管中药物浓度的瞬 时变化率不相同， 故 B 不正确； 根据平均变化率公式可 知， 甲、 乙两人的平均变化率都是 f （ t 3 ） -f （ t 2 ） t 3 -t 2 ， 故 C 正 确； 在 ［ t 1 ， t 2 ］ 时间段， 甲的平均变化率是 f （ t 2 ） -f （ t 1 ） t 2 -t 1 ， 在 ［ t 2 ， t 3 ］ 时间段， 甲的平均变化率是 f （ t 3 ） -f （ t 2 ） t 3 -t 2 ， 显然不 相等， 故 D 正确 . 故选 ACD. 12. f （ x ） =x 2 【解析】 在 （ 1 ， +∞ ） 上取 （ a ， a+1 ）， Δy 1 Δx = f （ a+1 ） -f （ a ） a+1-a =2a+1 ， Δy 2 Δx = g （ a+1 ） -g （ a ） a+1-a =ln 1+ 1 a a " ， ∵a≥1 ， ∴2a+1≥3 ， ln 1+ 1 a a " ≤ln 1+ 1 1 a " =ln2<1 ， ∴ Δy 1 Δx > Δy 2 Δx ， ∴ 函数 g （ x ） =lnx 在区间 （ 1 ， +∞ ） 上 的增长速度慢于函数 f （ x ） =x 2 的增长速度， 故增长较快 的为 f （ x ） =x 2 . 13. 解 ： （ 1 ） h （ 0 ）表示航天飞机发射前的高度 ， h （ 1 ）表示航天飞机升空后第 1 s 时的高度， h （ 2 ）表示航 天飞机升空后第 2 s 时的高度 . （ 2 ） 航天飞机升空后第 2 s 内的平均速度为 v= h （ 2 ） -h （ 1 ） 2-1 = 5×2 3 +30×2 2 +45×2+4- （ 5×1 3 +30×1 2 +45×1+4 ） 1 =170 （ m/s ） . 6.1.2 导数及其几何意义 学习手册 变式训练 1 （ 1 ） B 【解析 】 ∵Δx= （ x 0 +h ） - （ x 0 -h ） =2h. ∴lim h→0 f （ x 0 +h ） -f （ x 0 -h ） h =2lim h→0 f （ x 0 +h ） -f （ x 0 -h ） 2h =2f ′ （ x 0 ） . 故 选 B. （ 2 ） 解 ： ∵Δy =f （ 1 +Δx ） -f （ 1 ） =3 （ 1 +Δx ） 2 -3 =6Δx + 3 （ Δx ） 2 ， ∴ Δy Δx =6+3Δx ， ∴ f ′ （ 1 ） =lim Δx→0 Δy Δx =lim Δx→0 （ 6+3Δx ） =6. 变式训练 2 解： ∵ Δs Δt = s （ 1+Δt ） -s （ 1 ） Δt = （ 1+Δt ） 2 + （ 1+Δt ） +1- （ 1 2 +1+1 ） Δt =3+Δt ， ∴lim Δt→0 Δs Δt =lim Δt→0 （ 3+Δt ） =3. ∴ 物体在 t=1 处的瞬时变化率为 3. 即物体在 t=1 s 时的瞬时速度为 3 m/s. 变式训练 3 A 【解析】 ∵ 函数 y=f （ x ）的图象在点 P 处的 切线方程是 y=- 1 3 x+6 ， ∴ f （ 5 ） = 13 3 ， f ′ （ 5 ） =- 1 3 . ∴ f （ 5 ） + f ′ （ 5 ） =4. 故选 A. 变式训练 4 B 【解析 】 f （ 3 ） -f （ 2 ） = f （ 3 ） -f （ 2 ） 3-2 . 由图可 知， f ′ （ 3 ） < f （ 3 ） -f （ 2 ） 3-2 <f ′ （ 2 ）， 即 f ′ （ 3 ） <f （ 3 ） -f （ 2 ） <f ′ （ 2 ） . 变式训练 5 解： （ 1 ） y′=lim Δx→0 Δy Δx =lim Δx→0 （ x+Δx ） 2 -x 2 Δx =2x. 设所求切线的切点为 A （ x 0 ， y 0 ） . ∵ 点 A 在曲线 y=x 2 上 ， ∴y 0 =x 2 0 . 又 ∵A 是切点， ∴ 过点 A 的切线的斜率 k= 2x 0 . ∵ 所求的切线过点 （ 3 ， 5 ） 和 A （ x 0 ， y 0 ） 两点， ∴ 其 斜率又为 y 0 -５ x 0 -３ = x 2 0 -5 x 0 -3 ， ∴2x 0 = x 2 0 -5 x 0 -3 ， 解得 x 0 =1 或 x 0 =5. 从而切点 A 的坐标为 （ 1 ， 1 ） 或 （ 5 ， 25 ） . 当切点为 （ 1 ， 1 ） 时 ， 切线的斜率 k 1 =2x 0 =2 ； 当切点为 （ 5 ， 25 ） 时， 切线的斜率 k 2 =2x 0 =10. ∴ 所求的切线有两条， 方程 分别为 y-1=2 （ x-1 ）和 y-25=10 （ x-5 ）， 即 2x-y-1=0 和 10x-y-25=0. 变式训练 4 答图 49 第六章 导数及其应用 练 效 果 评 价 1. 函数 y=f （ t ）， 当自变量 t 由 t 改变到 t+Δt 时， y 的变化为 （ ） A. f （ t+Δt ） B. f （ t ） +Δt C. f （ t ）· Δt D. f （ t+Δt ） -f （ t ） 2. 在曲线 y=x 2 的图象上取一点 （ 1 ， 1 ） 及附近一点 （ 1+Δx ， 1+Δy ）， 则 Δy Δx 为 （ ） A. Δx+ 1 Δx +2 B. Δx- 1 Δx -2 C. Δx+2 D. 2+Δx- 1 Δx 3. 汽车行驶的路 程 s 和时间 t 之间的函 数图象如图所示 ， 在 时间段 ［ t 0 ， t 1 ］， ［ t 1 ， t 2 ］， ［ t 2 ， t 3 ］ 上的平 均速度分别为 v 1 ， v 2 ， v 3 ， 则三者的大小关 系为 （ ） A. v 2 =v 3 <v 1 B. v 1 <v 2 =v 3 C. v 1 <v 2 <v 3 D. v 2 <v 3 <v 1 4. （多选题） 如图显 示物体甲 、 乙在时间 0 到 t 1 范围内路程的变化 情况 ， 下列说法正确的 是 （ ） A． 在 0 到 t 0 范围内， 甲的平均速度大 于乙的平均速度 B． 在 0 到 t 0 范围内， 甲的平均速度等于 乙的平均速度 C． 在 t 0 到 t 1 范围内， 甲的平均速度大于 乙的平均速度 D． 在 t 0 到 t 1 范围内， 甲的平均速度小 于乙的平均速度 5. 若函数 f （ x ） =x 2 -c 在区间 ［ 1 ， m ］ 上 的平均变化率为 4 ， 则 m= . 6. 函数 y= x 姨 在 x=1 附近， 当 Δx= 1 2 时的平均变化率为 . 7. 函数 f （ x ）的 图象如图 ， 则函数 f （ x ）在下列区间上 平均变化率最大的 是 . 8. 若函数 f （ x ） =-x 2 +x 在 ［ 2 ， 2 +Δx ］ （ Δx>0 ） 上的平均变化率不大于 -1 ， 求 Δx 的范围 . 6.1 导 数 6.1.1 函数的平均变化率 第六章 导数及其应用 第 3 题图 第 7 题图 甲 t 乙 s s 1 s 0 s 2 O t 0 t 1 第 4 题图 27 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 练 9. 蜥蜴的体温与阳光的照射有关， 其关 系为 T （ t ） = 120 t+5 +15 ， 其中 T （ t ）为体温 （单 位 ： ℃ ）， t 为太阳落山后的时间 （单位 ： min ） . （ 1 ） 从 t=0 到 t=10 ， 蜥蜴的体温下降了 多少？ （ 2 ） 从 t=0 到 t=10 ， 蜥蜴的体温的平均 变化率是多少？ 它代表什么实际意义？ 提 升 练 习 10. 在 x=1 附近， 取 Δx=0.3 ， 在四个函 数 ①y=x ， ②y=x 2 ， ③y=x 3 ， ④y= 1 x 中， 平均 变化率最大的是 （ ） A. ④ B. ③ C. ② D. ① 11. （多选题） 为了评估某种治疗肺炎 药物的疗效， 现有关部门对该药物在人体血 管中的药物浓度进行测量 . 设该药物在人体 血管中药物浓度 c 与时间 t 的关系为 c=f （ t ）， 甲、 乙两人服用该药物后， 血管中药物浓度 随时间 t 变化的关系如图所示 . 给出下列四个结论 ， 其中正确的有 （ ） A. 在 t 1 时刻， 甲、 乙两人血管中的药 物浓度相同 B. 在 t 2 时刻， 甲、 乙两人血管中药物 浓度的瞬时变化率相同 C. 在 ［ t 2 ， t 3 ］ 这个时间段内， 甲、 乙两 人血管中药物浓度的平均变化率相同 D. 在 ［ t 1 ， t 2 ］， ［ t 2 ， t 3 ］ 两个时间段 内， 甲血管中药物浓度的平均变化率不相同 12. 函数 f （ x ） =x 2 与 g （ x ） =lnx 在区间 （ 1 ， +∞ ） 上增长较快的是 . 13. 航天飞机升空后一段时间内， 第 t s 时的高度为 h （ t ） =5t 3 +30t 2 +45t+4 ， 其中 h 的 单位为 m ， t 的单位为 s. （ 1 ） h （ 0 ）， h （ 1 ）， h （ 2 ）分别表示什么？ （ 2 ） 求第 2 s 内的平均速度 . 第 11 题图 28