4.3.2 独立性检验-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1． 判断正误 （ 1 ） 2×2 列联表只有 4 个格子 . （ ） （ 2 ） χ 2 的大小是判断事件 A 与 B 是否相关的统计量 . （ ） （ 3 ） 当 χ 2 ≥3.841 时， 有 95% 的把握说事件 A 与 B 有关 . （ ） 2. 给出下列实际问题： ① 一种药物对某种病的治愈率； ② 两 种药物治疗同一种病是否有区别； ③ 吸烟者得肺病的概率； ④ 吸烟是否与性别有关系； ⑤ 网吧与青少年的犯罪是否有 关系 . 其中用独立性检验可以解决的问题有 （ ） A. ①②③ B. ②④⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤ 3. 某大学在研究性别与职称 （分正教授、 副教授） 之间是否 有关系， 你认为应该收集的数据是 . 4. 下面 2×2 列联表中： a ， b 的值分别为 . 4.3.2 独立性检验 B B 总计 A a 21 70 A 5 25 30 总计 b 46 35 5. 下面 2×2 列联表中的 χ 2 的值为 （结果保留 3 位小 数） . 6. 若由一个 2×2 列联表中的数据计算得 χ 2 =4.013 ， 那么有 的把握认为两个随机事件之间有关系 . B B 总计 A 5 10 15 A 22 13 35 总计 27 23 50 36 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 ＝ 2.89 28 ≈0.103 ， a 赞 ＝y-b 赞 t≈1.331-0.103×4≈0.92. ∴y 关于 t 的回归直线方程为 y 赞 ＝0.92＋0.10t. 将 2021 年对应的 t＝9 代入回归直线方程得y 赞 ＝0.92＋0.10×9＝1.82. ∴ 预测 2021 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨 . 4.3.2 独立性检验 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 饮食习惯与年龄的 2×2 列联表如下： （ 2 ） 由列联表得， 年龄在六十岁以上且饮食以肉类 为主的人群的概率为 27 124 . 变式训练 2 解： 由公式得 χ 2 ＝ 540× （ 60×200-260×20 ） 2 320×220×80×460 ≈9.638. ∵9.638>6.635 ， ∴ 有 99% 的把握说 40 岁以上的人患胃病与生活是 否有规律有关， 即生活不规律的人易患胃病 . 随堂练习 1. （ 1 ） × （ 2 ） √ （ 3 ） √ 2. B 【解析】 独立性检验是判断两个随机事件是否 有关系的方法， 而 ①③ 都是求概率问题， 不能用独立性 检验 . 故选 B. 3. 男正教授人数， 女正教授人数， 男副教授人数， 女副教授人数 【解析】 由研究的问题可知， 需收集的数 据应为男正教授人数， 女正教授人数， 男副教授人数， 女副教授人数 . 4. 49 ， 54 【解析 】 ∵a＋21＝70 ， ∴a＝49. 又 ∵a＋5＝b ， ∴b＝54. 5. 3.685 【解析】 χ 2 ＝ 50× （ 5×13-10×22 ） 2 27×23×15×35 ≈3.685. 6. 95% 【解析 】 ∵χ 2 ＝4.013>3.841 ， 查阅 χ 2 表知有 95% 的把握认为两个随机事件之间有关系 . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 ∵a＋11＝63 ， b＋15＝23 ， ∴a＝52 ， b＝8. 故 选 C. 2. D 【解析】 ∵7.014>6.635 ， 查阅 χ 2 表知有 99% 的 把握认为两个随机事件之间有关系 . 故选 D. 3. C 【解析】 根据独立性检验的思想方法， 正确选 项为 C. 4. B 【解析 】 χ 2 ＝ 407× （ 32×213-61×101 ） 2 93×314×133×274 ≈0.164< 2.706 ， 即没有充足的理由认为种子是否经过处理跟生病 有关 . 故选 B. 5. AB 【解析】 由事件的独立性知， A 正确； 由独立 性检验的意义知， B 正确； χ 2 的大小是判定事件 A 与 B 是否相关的一种方法， 不是唯一依据， C 不正确； 若事 件 A 与 B 相关， 则 A 发生 B 可能发生， 也可能不发生， D 不正确 . 故选 AB. 6. 99% 有关 【解析】 ∵χ 2 ＝7.63 ， ∴χ 2 ＞6.635 ， 因此， 有 99% 的把握说， 打鼾与患心脏病是有关的 . 7. 0.05 【解析】 根据 χ 2 ＞3.841 ， 可判断有 95% 的把 握认为主修统计专业与性别有关系 . 故出错的概率为 0.05. 8. 47 92 88 82 53 【解析】 由列联表得 45+E=98 ， 98+D=180 ， A+35=D ， E+35=C ， B+C=180 0 % % % % % % $ % % % % % % % & ， 解得 A=47 ， B=92 ， C=88 ， D=82 ， E=53 0 % % % % % % 3 % % % % % % % & . 9. 解： （ 1 ） 2×2 列联表如下表所示： （ 2 ） 计算可知， 午休的考生及格率为 P 1 ＝ 80 180 ＝ 4 9 . 不午休的考生及格率为 P 2 ＝ 65 200 ＝ 13 40 ， 由 P 1 >P 2 ， 可以粗 略判断午休与考生考试及格有关系， 并且午休的及格率 高， ∴ 在以后的复习中考生应尽量适当午休， 以保持最 佳的学习状态 . 10. 解： （ 1 ） 列联表补充如下： （ 2 ） 由 χ 2 ＝ 48× （ 220-60 ） 2 28×20×32×16 ≈4.286>3.841 ， ∴ 有 95% 的把握认为喜爱打篮球与性别有关 . （ 3 ） 喜爱打篮球的女生人数 X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2. 其概率分别为 年龄在六 十岁以上 年龄在六 十岁以下 总计 饮食以蔬 菜为主 43 21 64 饮食以肉 类为主 27 33 60 总计 70 54 124 及格人数 不及格人数 总计 午休 80 100 180 不午休 65 135 200 总计 145 235 380 性别 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 总计 男生 22 6 28 女生 10 10 20 总计 32 16 48 76 参 考 答 案 P （ X＝0 ） ＝ C 2 10 C 2 20 ＝ 9 38 ， P （ X＝1 ） ＝ C 1 10 C 1 10 C 2 20 ＝ 10 19 ， P （ X＝2 ） ＝ C 2 10 C 2 20 ＝ 9 38 ， 故 X 的分布列为 X 的均值为 E （ X ） ＝0＋ 10 19 ＋ 9 19 ＝1. 提升练习 11. ABD 12. C 【解析 】 男人中患色盲的比例为 38 480 ＝ 19 240 ， 要比女 人 中 患 色 盲 的比 例 6 520 ＝ 3 260 大 ， 其 差 值 为 19 240 - 3 260 ≈0.067 6 ， 差值较大 ， 故认为患色盲与性 别是有关的 . 故选 C. 13. （ 1 ） 72% ， 64% （ 2 ） 99% 【解析】 （ 1 ） 甲厂 抽查的产品中有 360 件优质品， 从而甲厂生产的零件的 优质品率估计为 360 500 ＝72% ； 乙厂抽查的产品中有 320 件 优质品， 从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 320 500 ＝ 64%. （ 2 ） χ 2 ＝ 1 000× （ 360×180-320×140 ） 2 500×500×680×320 ≈7.35>6.635 ， ∴ 有 99% 的把握认为 “两个分厂生产的零件的质量 有差异” . 14. 95% 【解析】 设 “从所有人中任意抽取一人， 取 到喜欢西班牙队的人” 为事件 A ， 由已知得 P （ A ） ＝ q+35 100 ＝ 3 5 ， ∴q＝25 ， p＝25 ， a＝40 ， b＝60. χ 2 ＝ 100× （ 25×35-25×15 ） 2 40×60×50×50 ＝ 25 6 ≈4.167>3.841. 故有超过 95% 的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢 程度有关 . 15. CD 【解析】 由题意可知 χ 2 ＝ 65× ［ a （ 30+a ） - （ 15-a ）（ 20-a ）］ 2 20×45×15×50 ＝ 13× （ 13a-60 ） 2 20×45×3×2 >3.841 ， 根据 a>5 且 15-a>5 ， a∈Z ， 求得当 a＝8 或 9 时满足题意 . 16. 解： （ 1 ） 由已知数据得 χ 2 ＝ 30× （ 10×8-6×6 ） 2 16×14×16×14 ≈1.158＜2.706. ∴ 没有充足的理由认为反感 “中国式过马路” 与性别有关 . （ 2 ） X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， P （ X＝0 ） ＝ C 2 8 C 2 14 ＝ 4 13 ， P （ X＝1 ） ＝ C 1 6 C 1 8 C 2 14 ＝ 48 91 ， P （ X＝2 ） ＝ C 2 6 C 2 14 ＝ 15 91 . ∴X 的分布列为 X 的均值为 E （ X ） ＝0× 4 13 ＋1× 48 91 ＋2× 15 91 ＝ 6 7 . 阶段性练习卷 （八） 1. A 【解析】 ∵ 变量 x 和 y 正相关， 则回归直线的 斜率为正， 故可以排除选项 C 和 D. ∵ 样本点的中心在 回归直线上， 把点 （ 3 ， 3.5 ） 的坐标分别代入选项 A 和 B 中的直线方程进行检验， 可以排除 B. 故选 A. 2. C 【解析】 对于变量 X 与 Y 而言， Y 随 X 的增大 而增大， 故变量 Y 与 X 正相关， 即 r 1 >0 ； 对于变量 U 与 V 而言， V 随 U 的增大而减小， 故变量 V 与 U 负相关， 即 r 2 <0 ， 故 r 2 <0<r 1 . 故选 C. 3. A 【解析 】 方法一 ： 利用公式 b 赞 = n i = 1 移 x i y i -nx y n i = 1 移 x 2 i -nx 2 = 0.56. a 赞 ＝y-b 赞 x =997.4. ∴ 回归直线方程为y 赞 =0.56x+997.4. 方法二： x =20 ， y =1 008.6 ， 将x ， y代入各直线方 程检验可知选 A. 4. C 【解析】 A ， B 是对 χ 2 的误解， 99% 的把握认为 吸烟和患肺病有关， 是指通过大量的观察试验得出的一 个数值， 并不是 100 个人中必有 99 个人患肺病， 也可能 这 100 个人全健康 . 5. A 【解析 】 χ 2 = 72× （ 8×18-14×32 ） 2 22×50×40×32 ≈4.726>3.841. 故选 A. 6. D 【解析】 事件 A 与 B 相互独立， 则A与 B ， A 与 B， A与B也相互独立. 故选 D. 7. AD 【解析】 y 赞 ＝b 赞 x+a 赞 表示y 赞 与 x 之间的函数关系， X 0 1 2 P 4 13 48 91 15 91 X 0 1 2 P 9 38 10 19 9 38 甲厂 乙厂 总计 优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 总计 500 500 1 000 男性 女性 总计 反感 10 6 16 不反感 6 8 14 总计 16 14 30 77