4.3.2 独立性检验-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 ＝ 2.89 28 ≈0.103 ， a 赞 ＝y-b 赞 t≈1.331-0.103×4≈0.92. ∴y 关于 t 的回归直线方程为 y 赞 ＝0.92＋0.10t. 将 2021 年对应的 t＝9 代入回归直线方程得y 赞 ＝0.92＋0.10×9＝1.82. ∴ 预测 2021 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨 . 4.3.2 独立性检验 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 饮食习惯与年龄的 2×2 列联表如下： （ 2 ） 由列联表得， 年龄在六十岁以上且饮食以肉类 为主的人群的概率为 27 124 . 变式训练 2 解： 由公式得 χ 2 ＝ 540× （ 60×200-260×20 ） 2 320×220×80×460 ≈9.638. ∵9.638>6.635 ， ∴ 有 99% 的把握说 40 岁以上的人患胃病与生活是 否有规律有关， 即生活不规律的人易患胃病 . 随堂练习 1. （ 1 ） × （ 2 ） √ （ 3 ） √ 2. B 【解析】 独立性检验是判断两个随机事件是否 有关系的方法， 而 ①③ 都是求概率问题， 不能用独立性 检验 . 故选 B. 3. 男正教授人数， 女正教授人数， 男副教授人数， 女副教授人数 【解析】 由研究的问题可知， 需收集的数 据应为男正教授人数， 女正教授人数， 男副教授人数， 女副教授人数 . 4. 49 ， 54 【解析 】 ∵a＋21＝70 ， ∴a＝49. 又 ∵a＋5＝b ， ∴b＝54. 5. 3.685 【解析】 χ 2 ＝ 50× （ 5×13-10×22 ） 2 27×23×15×35 ≈3.685. 6. 95% 【解析 】 ∵χ 2 ＝4.013>3.841 ， 查阅 χ 2 表知有 95% 的把握认为两个随机事件之间有关系 . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 ∵a＋11＝63 ， b＋15＝23 ， ∴a＝52 ， b＝8. 故 选 C. 2. D 【解析】 ∵7.014>6.635 ， 查阅 χ 2 表知有 99% 的 把握认为两个随机事件之间有关系 . 故选 D. 3. C 【解析】 根据独立性检验的思想方法， 正确选 项为 C. 4. B 【解析 】 χ 2 ＝ 407× （ 32×213-61×101 ） 2 93×314×133×274 ≈0.164< 2.706 ， 即没有充足的理由认为种子是否经过处理跟生病 有关 . 故选 B. 5. AB 【解析】 由事件的独立性知， A 正确； 由独立 性检验的意义知， B 正确； χ 2 的大小是判定事件 A 与 B 是否相关的一种方法， 不是唯一依据， C 不正确； 若事 件 A 与 B 相关， 则 A 发生 B 可能发生， 也可能不发生， D 不正确 . 故选 AB. 6. 99% 有关 【解析】 ∵χ 2 ＝7.63 ， ∴χ 2 ＞6.635 ， 因此， 有 99% 的把握说， 打鼾与患心脏病是有关的 . 7. 0.05 【解析】 根据 χ 2 ＞3.841 ， 可判断有 95% 的把 握认为主修统计专业与性别有关系 . 故出错的概率为 0.05. 8. 47 92 88 82 53 【解析】 由列联表得 45+E=98 ， 98+D=180 ， A+35=D ， E+35=C ， B+C=180 0 % % % % % % $ % % % % % % % & ， 解得 A=47 ， B=92 ， C=88 ， D=82 ， E=53 0 % % % % % % 3 % % % % % % % & . 9. 解： （ 1 ） 2×2 列联表如下表所示： （ 2 ） 计算可知， 午休的考生及格率为 P 1 ＝ 80 180 ＝ 4 9 . 不午休的考生及格率为 P 2 ＝ 65 200 ＝ 13 40 ， 由 P 1 >P 2 ， 可以粗 略判断午休与考生考试及格有关系， 并且午休的及格率 高， ∴ 在以后的复习中考生应尽量适当午休， 以保持最 佳的学习状态 . 10. 解： （ 1 ） 列联表补充如下： （ 2 ） 由 χ 2 ＝ 48× （ 220-60 ） 2 28×20×32×16 ≈4.286>3.841 ， ∴ 有 95% 的把握认为喜爱打篮球与性别有关 . （ 3 ） 喜爱打篮球的女生人数 X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2. 其概率分别为 年龄在六 十岁以上 年龄在六 十岁以下 总计 饮食以蔬 菜为主 43 21 64 饮食以肉 类为主 27 33 60 总计 70 54 124 及格人数 不及格人数 总计 午休 80 100 180 不午休 65 135 200 总计 145 235 380 性别 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 总计 男生 22 6 28 女生 10 10 20 总计 32 16 48 76 参 考 答 案 P （ X＝0 ） ＝ C 2 10 C 2 20 ＝ 9 38 ， P （ X＝1 ） ＝ C 1 10 C 1 10 C 2 20 ＝ 10 19 ， P （ X＝2 ） ＝ C 2 10 C 2 20 ＝ 9 38 ， 故 X 的分布列为 X 的均值为 E （ X ） ＝0＋ 10 19 ＋ 9 19 ＝1. 提升练习 11. ABD 12. C 【解析 】 男人中患色盲的比例为 38 480 ＝ 19 240 ， 要比女 人 中 患 色 盲 的比 例 6 520 ＝ 3 260 大 ， 其 差 值 为 19 240 - 3 260 ≈0.067 6 ， 差值较大 ， 故认为患色盲与性 别是有关的 . 故选 C. 13. （ 1 ） 72% ， 64% （ 2 ） 99% 【解析】 （ 1 ） 甲厂 抽查的产品中有 360 件优质品， 从而甲厂生产的零件的 优质品率估计为 360 500 ＝72% ； 乙厂抽查的产品中有 320 件 优质品， 从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 320 500 ＝ 64%. （ 2 ） χ 2 ＝ 1 000× （ 360×180-320×140 ） 2 500×500×680×320 ≈7.35>6.635 ， ∴ 有 99% 的把握认为 “两个分厂生产的零件的质量 有差异” . 14. 95% 【解析】 设 “从所有人中任意抽取一人， 取 到喜欢西班牙队的人” 为事件 A ， 由已知得 P （ A ） ＝ q+35 100 ＝ 3 5 ， ∴q＝25 ， p＝25 ， a＝40 ， b＝60. χ 2 ＝ 100× （ 25×35-25×15 ） 2 40×60×50×50 ＝ 25 6 ≈4.167>3.841. 故有超过 95% 的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢 程度有关 . 15. CD 【解析】 由题意可知 χ 2 ＝ 65× ［ a （ 30+a ） - （ 15-a ）（ 20-a ）］ 2 20×45×15×50 ＝ 13× （ 13a-60 ） 2 20×45×3×2 >3.841 ， 根据 a>5 且 15-a>5 ， a∈Z ， 求得当 a＝8 或 9 时满足题意 . 16. 解： （ 1 ） 由已知数据得 χ 2 ＝ 30× （ 10×8-6×6 ） 2 16×14×16×14 ≈1.158＜2.706. ∴ 没有充足的理由认为反感 “中国式过马路” 与性别有关 . （ 2 ） X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， P （ X＝0 ） ＝ C 2 8 C 2 14 ＝ 4 13 ， P （ X＝1 ） ＝ C 1 6 C 1 8 C 2 14 ＝ 48 91 ， P （ X＝2 ） ＝ C 2 6 C 2 14 ＝ 15 91 . ∴X 的分布列为 X 的均值为 E （ X ） ＝0× 4 13 ＋1× 48 91 ＋2× 15 91 ＝ 6 7 . 阶段性练习卷 （八） 1. A 【解析】 ∵ 变量 x 和 y 正相关， 则回归直线的 斜率为正， 故可以排除选项 C 和 D. ∵ 样本点的中心在 回归直线上， 把点 （ 3 ， 3.5 ） 的坐标分别代入选项 A 和 B 中的直线方程进行检验， 可以排除 B. 故选 A. 2. C 【解析】 对于变量 X 与 Y 而言， Y 随 X 的增大 而增大， 故变量 Y 与 X 正相关， 即 r 1 >0 ； 对于变量 U 与 V 而言， V 随 U 的增大而减小， 故变量 V 与 U 负相关， 即 r 2 <0 ， 故 r 2 <0<r 1 . 故选 C. 3. A 【解析 】 方法一 ： 利用公式 b 赞 = n i = 1 移 x i y i -nx y n i = 1 移 x 2 i -nx 2 = 0.56. a 赞 ＝y-b 赞 x =997.4. ∴ 回归直线方程为y 赞 =0.56x+997.4. 方法二： x =20 ， y =1 008.6 ， 将x ， y代入各直线方 程检验可知选 A. 4. C 【解析】 A ， B 是对 χ 2 的误解， 99% 的把握认为 吸烟和患肺病有关， 是指通过大量的观察试验得出的一 个数值， 并不是 100 个人中必有 99 个人患肺病， 也可能 这 100 个人全健康 . 5. A 【解析 】 χ 2 = 72× （ 8×18-14×32 ） 2 22×50×40×32 ≈4.726>3.841. 故选 A. 6. D 【解析】 事件 A 与 B 相互独立， 则A与 B ， A 与 B， A与B也相互独立. 故选 D. 7. AD 【解析】 y 赞 ＝b 赞 x+a 赞 表示y 赞 与 x 之间的函数关系， X 0 1 2 P 4 13 48 91 15 91 X 0 1 2 P 9 38 10 19 9 38 甲厂 乙厂 总计 优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 总计 500 500 1 000 男性 女性 总计 反感 10 6 16 不反感 6 8 14 总计 16 14 30 77 第四章 概率与统计 学 学 习 目 标 1. 了解 2×2 列联表 、 随机变量 χ 2 的 意义 . 2. 理解独立性检验中 P （ χ 2 ≥k ） 的具体 含义 . 3. 掌握独立性检验的方法和步骤， 并能 解决实际问题 . 要 点 精 析 要点 1 2×2 列联表及随机事件的概率 1. 2×2 列联表 如果随机事件 A 与 B 的样本数据如下 表形式： 在这个表格中， 核心的数据是中间的 4 个格子， 所以这样的表格通常称为 2×2 列 联表 . 2. 2×2 列联表中随机事件的概率 如上表， 记 n＝a＋b＋c＋d ， 则： （ 1 ） 事件 A 发生的概率可估计为 P （ A ） ＝ a+c n . （ 2 ） 事件 B 发生的概率可估计为 P （ B ） ＝ a+b n . （ 3 ） 事件 AB 发生的概率可估计为 P （ AB ） ＝ a n . 例 1 “一本书， 一碗面， 一条河， 一 座桥” 曾是兰州的城市名片， 而现在 “兰州 马拉松” 又成为兰州的另一张名片， 随着全 民运动健康意识的提高， 马拉松运动不仅在 兰州， 而且在全国各大城市逐渐兴起， 参与 马拉松训练与比赛的人口逐年增加 . 为此， 某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统 计调查 . 其中一项调查是调查人员从参与马 拉松运动的人中随机抽取 200 人， 对其每周 参与马拉松长跑训练的天数进行统计， 得到 以下统计表： 若某人平均每周进行长跑训练天数不少 于 5 天， 则称其为 “热烈参与者”， 否则称 为 “非热烈参与者” . （ 1 ） 经调查， 该市约有 2 万人参与马 拉松运动， 试估计其中 “热烈参与者” 的 人数； （ 2 ） 根据上表的数据， 填写下列 2×2 列 联表 . 解： （ 1 ） 以 200 人中 “热烈参与者 ” 的频率作为概率， 可得该市 “热烈参与者” 4.3.2 独立性检验 A A 总计 B a b a+b B c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 平均每周进行长跑 训练的天数 不大于 2 天 3 天或 4 天 不少于 5 天 人数 30 130 40 热烈参与者 非热烈参与者 总计 男 140 女 55 总计 75 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 的人数约为 20 000× 40 200 =4 000. （ 2 ） 由题意可得 2×2 列联表如下： 反思感悟 列 2×2 列联表的关注点： （ 1 ） 作 2×2 列联表时， 注意应该是 4 行 4 列， 计算时要准确无误 . （ 2 ） 作 2×2 列联表时， 关键是对涉及 的变量分清类别 . 变式训练 1 在对人们饮食习惯的一次调查中， 共调 查了 124 人， 其中六十岁以上的 70 人， 六 十岁以下的 54 人 . 六十岁以上的人中有 43 人的饮食以蔬菜为主， 另外 27 人则以肉类 为主； 六十岁以下的人中有 21 人的饮食以 蔬菜为主， 另外 33 人则以肉类为主 . （ 1 ） 请根据以上数据作出饮食习惯与年 龄的列联表； （ 2 ） 求年龄在六十岁以上且饮食以肉类 为主的人群的概率 . 要点 2 独立性检验 1. 定义： 在 2×2 列联表中， 定义随机 变量 χ 2 ＝ n （ ad-bc ） 2 （ a+b ）（ c+d ）（ a+c ）（ b+d ） ， 任意给定 α （称为显著性水平 ） ， 可以找到满足条件 P （ χ 2 ≥k ） ＝α 的数 k （称为显著性水平 α 对 应的分位数） . （ 1 ） 若 χ 2 ≥k 成立， 就称在犯错误的概 率不超过 α 的前提下， 可以认为 A 与 B 不 独立 （也称 A 与 B 有关）， 或说有 1-α 的把 握认为 A 与 B 有关 . （ 2 ） 若 χ 2 <k 成立， 就称不能得到前述 结论 . 这一过程通常称为独立性检验 . 2. 统计学中， 常用的显著性水平 α 以及 对应的分位数 k 如下表所示： 思考 若 χ 2 <k 成立， 则说明事件 A 与 B 无关， 对吗？ 例 2 某人研究中学生的性别与成绩、 视力这两个变量的关系， 随机抽查 52 名中 学生， 得到统计数据如表 1 与表 2 ， 则与性 别有关联的可能性较大的变量是 . 表 1 热烈参与者 非热烈参与者 总计 男 35 105 140 女 5 55 60 总计 40 160 200 α＝P （ χ 2 ≥k ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 性别 成绩 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女 10 22 32 总计 16 36 52 76 第四章 概率与统计 学 表 2 解： ∵ χ 2 1 = 52× （ 6×22-14×10 ） 2 16×36×32×20 = 52×8 ２ １６×36×32×20 ， χ 2 2 = 52× （ 4×20-16×12 ） 2 16×36×32×20 = 52×112 2 16×36×32×20 ， ∴ χ 2 2 >χ 2 1 ， 故视力与性别有关联的可能性 较大 . 例 3 某商场为提高服务质量， 随机调 查了 50 名男顾客和 50 名女顾客， 每位顾客 对该商场的服务给出满意或不满意的评价， 得到下面列联表： （ 1 ） 分别估计男、 女顾客对该商场服务 满意的概率 . （ 2 ） 能否有 95% 的把握认为男、 女顾客 对该商场服务的评价有差异？ 附： χ 2 ＝ n （ ad-bc ） 2 （ a+b ）（ c+d ）（ a+c ）（ b+d ） . 解： （ 1 ） 由调查数据， 男顾客中对该 商场服务满意的频率为 40 50 =0.8 ， 因此男顾客 对该商场服务满意的概率的估计值为 0.8. 女 顾客中对该商场服务满意的频率为 30 50 =0.6 ， 因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计 值为 0.6. （ 2 ） χ 2 ＝ 100× （ 40×20-30×10 ） 2 50×50×70×30 ≈4.762. 由 于 4.762>3.841 ， 故有 95% 的把握认为男 、 女顾客对该商场服务的评价有差异 . 反思感悟 独立性检验的应用需要注意的问题： （ 1 ） χ 2 计算公式较复杂， 一是公式要 清楚； 二是代入数值时不能张冠李戴； 三 是计算时要细心 . （ 2 ） 判断时把计算结果与临界值比较， 其值越大， 有关的可信度越高 . 变式训练 2 为了调查胃病是否与生活规律有关， 在 某地对 540 名 40 岁以上的人的调查结果 如下： 根据以上数据判断 40 岁以上的人患胃 病与生活是否有规律有关吗？ 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 α＝ P （ χ 2 ≥k ） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 总计 80 460 540 生活有规律 20 200 220 患胃病 未患胃病 总计 生活不规律 60 260 320 性别 视力 好 差 总计 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 36 52 77