2.5直线与圆的位置关系例题精讲与跟踪训练-2024—2025学年苏科版数学九年级上册

1．（2024•米东区一模）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，点C在OP上，满足∠CBP＝∠ADB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．

【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC＝90°，即可得出结论；

（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．

【解答】（1）证明：连接OB，如图，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝90°，

∴∠A+∠ADB＝90°，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA，

∵∠CBP＝∠ADB，

∴∠OBA+∠CBP＝90°，

∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，

∴BC⊥OB，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵OA＝2，

∴AD＝2OA＝4，

∵OP⊥AD，

∴∠POA＝90°，

∴∠P+∠A＝90°，

∴∠P＝∠D，

∵∠A＝∠A，

∴△AOP∽△ABD，

∴＝，即＝，

解得：BP＝7．

【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．

2．（2024•鼓楼区校级二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D

作⊙O的切线BD，线段DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠A＝∠D．

（1）求证：DG∥BC；

（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求S△BFD．

【分析】（1）先根据切线的性质得到∠ABD＝90°，再证明∠AGE＝∠ABD＝90°，接着根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后根据平行线的判定方法得到结论；

（2）连接OF、BF，如图，设OE＝AE＝x，利用角平分线的定义得到∠ACF＝∠BCF＝45°，则根据∠AOF＝2∠ACF＝90°，所以OF∥BD，接着根据平行线分线段成比例定理求出x，所以OB＝4，然后根据三角形面积公式计算．

【解答】（1）证明：∵BD为⊙O的切线，

∴BD⊥AB，

∴∠ABD＝90°，

∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，

∴∠AGE＝∠ABD＝90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠AGE＝∠ACB，

∴DG∥BC；

（2）解：连接OF、BF，如图，设OE＝AE＝x，

∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，

∴∠ACF＝∠BCF＝45°，