21.1 一元二次方程 知识题型讲练 2024-2025学年人教版九年级数学上册

2024-2025学年九年级上学期数学（人教版）知识题型讲练 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 一、学习目标 1.理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程转化为一般形式,确定出二次项系数、一次项系数和常数项. 2.理解一元二次方程的根的意义,能够运用代入法检验根的正确性. 二、知识要点 知识点1　一元二次方程的定义 一元二次方程定义：只含有 未知数，且未知数的最高次数为 （二次）的 方程叫做一元二次方程． 判断一个方程的四个标准：①方程是 方程．②方程中只含有 未知数．③化简后方程中未知数的最高次数是 ．④二次项的系数 ．同时满足这四个条件的方程是一元二次方程. 知识点2　一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式：．其中为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项． 一元二次方程的特点：方程左边是关于未知数的二次整式，右边为0. 注意事项：①“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．②一般形式中，、可以是任意实数，而二次项系数，若，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对进行讨论．③要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定、、的值，不要漏掉符号．④项及项的系数要区分开． 知识点3　一元二次方程的解 一元二次方程的解：使方程左右两边 的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将一个数 这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，这个数就是这个方程的解：若不相等，这个数就不是这个方程的解. 三、典例剖析 类型1　一元二次方程的概念 【例题1】下列函数中是二次函数的有（   ） ①； ②； ③； ④ A．个 B．个 C．个 D．个 解：①，是二次函数； ②，分母中含有字母，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数. 则二次函数共2个， 故选：B 【例题2】如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（   ） A．2 B．﹣3 C．3 D．±3 解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴p2﹣7＝2且p﹣3≠0， ∴p＝±3且p≠3， 即p＝﹣3． 故选：B． 〔方法归纳〕判断一个方程是否为一元二次方程,要紧扣概念,不能只看表面形式,要先把方程进行整理,使方程的右边为0,再观察是否具备以下三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可. 【真题剖析】（2024年莱山区·月考真题）下面关于x的方程中：，ax2+bx+c＝0，其中一元二次方程的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 〔知识点〕一元二次方程的定义 〔分析〕利用一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程）分别分析得出答案． 〔详解〕解：是一元一次方程，不合题意； 是一元二次方程，符合题意； 含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 不符合一元二次方程的定义，不合题意；x2+3x＝0是一元二次方程，符合题意； ax2+bx+c＝0不符合一元二次方程的定义，不合题意； ∴其中一元二次方程的个数为：2， 故选：A． 【迁移训练1】观察下列方程,其中一定是一元二次方程的是 .(填序号) ①2x2-5x=3;②x2-xy-y2=0;③x2=3;④x2+=0;⑤mx2-6x+2=0;⑥(x+2)(x+2)=x2+7. 【迁移训练2】下列方程中，一元二次方程是（   ） A.x2+=0 B.ax2+bx=0 C.(x-1)(x+2)=1 D.3x2-2xy-5y2=0 类型2　一元二次方程的一般形式 【例题1】将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 【例题2】已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．4或 解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 〔方法归纳〕(1)将一元二次方程化为一般形式的步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、二次项系数化为1.这些可根据具体题目灵活运用.其中,二次项系数、一次项系数、常数项均包括数字前的符号.(2)将一元二次方程化为一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.(3)若方程没有出现一次项,则一次项系数为0;若方程没有出现常数项,则常数项为0. 【真题剖析】（2024丰顺县•月考真题）若关于x的一元二次方程（2a﹣4）x2+（3a+6）x+a﹣8＝0没有一次项，则a的值为 　 　． 〔知识点〕一元二次方程的一般形式 〔分析〕根据一元二次方程的一般形式可知一次项为（3a+6）x，由方程没有一次项可得3a+6＝0，即可得答案． 〔详解〕解：∵关于 x的一元二次方程 （2a﹣4）x2+（3a+6）x+a﹣8＝0没有一次项， ∴3a+6＝0， 解得：a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【迁移训练1】将一元二次方程x(2x-1)=3转化为一元二次方程的一般形式是 . 【迁移训练2】一个关于x的一元二次方程,它的二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-5,则这个一元二次方程是 . 类型3　一元二次方程的解的意义 【例题1】已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（   ） A．﹣1 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3或1 解：把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0得， 2m+2+1﹣m2＝0， m2﹣2m﹣3＝0， 解得：m1＝3，m2＝﹣1， ∵（2m+2）x2+x﹣m2＝0， ∴2m+2≠0， ∴m≠﹣1， ∴m＝3， 故选：C． 〔易错警示〕利用方程解的意义求一元二次方程中未知字母的值时,要注意检验求出的字母不能使二次项系数为零. 【例题2】若是关于的方程的一个根，则的值是（   ） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， 故选：D． 【真题剖析1】（2024四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．2 B． C．2或 D． 〔知识点〕一元二次方程的定义、一元二次方程的解 〔分析〕本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 〔详解〕解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A. 【真题剖析2】（2024广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 〔知识点〕一元二次方程的解 〔分析〕本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 〔详解〕解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 【迁移训练1】已知a是关于x的方程x2-2x-8=0的一个根,则a2-2a的值为 . 【迁移训练2】关于x的一元二次方程(a+1)x2-ax+|a|-1=0的一个根为0,则a= . 四、巩固训练 1.已知(m-1)x2-2x+1=0是关于x的一元二次方程,则实数m的取值范围是（   ） A.m≤2 B.m≥2 C.m≠1 D.m≠2 2.将方程x(x-2)=x+3化成一般形式后,二次项系数和常数项分别为（   ） A.-3,3 B.-1,-3 C.1,3 D.1,-3 3.若x=3是关于x的方程2x2+ax-6=0的一个根,则a的值是 . 4.根据题意,列出方程(不必解答). (1)两个连续整数的积是210,求这两个数; (2)在一块长250 m、宽150 m的草地四周修一条路,路修好后草地的面积减少1191 m2,求这条路的宽度. 五、学习小结 六、课后作业 （一）选择题 1.下列方程，一定是一元二次方程的是（   ） . A.ax2+bx+c=0 B.8x+2=10 C. D.5x2+y=0 2.若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） . A. 任意实数 B.m≠-1 C. m>1 D. m>0 3.如果关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，那么p的值是（   ） . A. 1 B.±1 C.2 D.±2 4.若将关于y的方程化成一般形式后为，则m，n的值依次为（   ） . A. 1，0 B.0，1 C.-1，0 D.0，-1 5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b，则a-b的值为（   ） . A. 1 B.-1 C.0 D.-2 6.用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形.设长方形的长为x cm，则可列方程为（   ） . A. B. C. D. （二）填空题 1.一元二次方程的一般形式为 ，二次项系数与一次项系数的和为 . 2.已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为 . （三）解答题 1.已知m是关于x的一元二次方程的一个根，试求的值. 2. 先化简，再求值：，其中m是方程的根． 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期数学（人教版）知识题型讲练 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 一、学习目标 1.理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程转化为一般形式,确定出二次项系数、一次项系数和常数项. 2.理解一元二次方程的根的意义,能够运用代入法检验根的正确性. 二、知识要点 知识点1　一元二次方程的定义 一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2（二次）的整式方程叫做一元二次方程． 判断一个方程的四个条件：①方程是整式方程．②方程中只含有一个未知数．③化简后方程中未知数的最高次数是2．④二次项的系数不为0．同时满足这四个条件的方程是一元二次方程. 知识点2　一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式：．其中为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项． 一元二次方程的特点：方程左边是关于未知数的二次整式，右边为0. 注意事项：①“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．②一般形式中，、可以是任意实数，而二次项系数，若，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对进行讨论．③要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定、、的值，不要漏掉符号．④项及项的系数要区分开． 知识点3　一元二次方程的解 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将一个数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，这个数就是这个方程的解：若不相等，这个数就不是这个方程的解. 三、典例剖析 类型1　一元二次方程的概念 【例题1】下列函数中是二次函数的有（   ） ①； ②； ③； ④ A．个 B．个 C．个 D．个 解：①，是二次函数； ②，分母中含有字母，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数. 则二次函数共2个， 故选：B 【例题2】如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（   ） A．2 B．﹣3 C．3 D．±3 解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴p2﹣7＝2且p﹣3≠0， ∴p＝±3且p≠3， 即p＝﹣3． 故选：B． 〔方法归纳〕判断一个方程是否为一元二次方程,要紧扣概念,不能只看表面形式,要先把方程进行整理,使方程的右边为0,再观察是否具备以下三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可. 【真题剖析】（2024年莱山区·月考真题）下面关于x的方程中：，ax2+bx+c＝0，其中一元二次方程的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 〔知识点〕一元二次方程的定义 〔分析〕利用一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程）分别分析得出答案． 〔详解〕解：是一元一次方程，不合题意； 是一元二次方程，符合题意； 含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 不符合一元二次方程的定义，不合题意；x2+3x＝0是一元二次方程，符合题意； ax2+bx+c＝0不符合一元二次方程的定义，不合题意； ∴其中一元二次方程的个数为：2， 故选：A． 【迁移训练1】观察下列方程,其中一定是一元二次方程的是①③.(填序号) ①2x2-5x=3;②x2-xy-y2=0;③x2=3;④x2+=0;⑤mx2-6x+2=0;⑥(x+2)(x+2)=x2+7. 【迁移训练2】下列方程中，一元二次方程是（ C   ） A.x2+=0 B.ax2+bx=0 C.(x-1)(x+2)=1 D.3x2-2xy-5y2=0 类型2　一元二次方程的一般形式 【例题1】将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 【例题2】已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．4或 解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 〔方法归纳〕(1)将一元二次方程化为一般形式的步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、二次项系数化为1.这些可根据具体题目灵活运用.其中,二次项系数、一次项系数、常数项均包括数字前的符号.(2)将一元二次方程化为一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.(3)若方程没有出现一次项,则一次项系数为0;若方程没有出现常数项,则常数项为0. 【真题剖析】（2024丰顺县•月考真题）若关于x的一元二次方程（2a﹣4）x2+（3a+6）x+a﹣8＝0没有一次项，则a的值为 　 　． 〔知识点〕一元二次方程的一般形式 〔分析〕根据一元二次方程的一般形式可知一次项为（3a+6）x，由方程没有一次项可得3a+6＝0，即可得答案． 〔详解〕解：∵关于 x的一元二次方程 （2a﹣4）x2+（3a+6）x+a﹣8＝0没有一次项， ∴3a+6＝0， 解得：a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【迁移训练1】将一元二次方程x(2x-1)=3转化为一元二次方程的一般形式是2x2-x-3=0. 【迁移训练2】一个关于x的一元二次方程,它的二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-5,则这个一元二次方程是2x2+3x-5=0. 类型3　一元二次方程的解的意义 【例题1】已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（   ） A．﹣1 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3或1 解：把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0得， 2m+2+1﹣m2＝0， m2﹣2m﹣3＝0， 解得：m1＝3，m2＝﹣1， ∵（2m+2）x2+x﹣m2＝0， ∴2m+2≠0， ∴m≠﹣1， ∴m＝3， 故选：C． 〔易错警示〕利用方程解的意义求一元二次方程中未知字母的值时,要注意检验求出的字母不能使二次项系数为零. 【例题2】若是关于的方程的一个根，则的值是（   ） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， 故选：D． 【真题剖析1】（2024四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．2 B． C．2或 D． 〔知识点〕一元二次方程的定义、一元二次方程的解 〔分析〕本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 〔详解〕解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A. 【真题剖析2】（2024广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 〔知识点〕一元二次方程的解 〔分析〕本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 〔详解〕解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 【迁移训练1】已知a是关于x的方程x2-2x-8=0的一个根,则a2-2a的值为8. 【迁移训练2】关于x的一元二次方程(a+1)x2-ax+|a|-1=0的一个根为0,则a=1. 四、巩固训练 1.已知(m-1)x2-2x+1=0是关于x的一元二次方程,则实数m的取值范围是(　C　) A.m≤2 B.m≥2 C.m≠1 D.m≠2 2.将方程x(x-2)=x+3化成一般形式后,二次项系数和常数项分别为(　D　) A.-3,3 B.-1,-3 C.1,3 D.1,-3 3.若x=3是关于x的方程2x2+ax-6=0的一个根,则a的值是-4 . 4.根据题意,列出方程(不必解答). (1)两个连续整数的积是210,求这两个数; (2)在一块长250 m、宽150 m的草地四周修一条路,路修好后草地的面积减少1191 m2,求这条路的宽度. 解：(1)设其中较小的整数为x,则另一个整数为(x+1), 依题意,得x(x+1)=210. (2)设这条路的宽为x m,则(250-2x)(150-2x)=250×150-1191. 五、学习小结 六、课后作业 （一）选择题 1.下列方程，一定是一元二次方程的是（   ） . A.ax2+bx+c=0 B.8x+2=10 C. D.5x2+y=0 2.若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） . A. 任意实数 B.m≠-1 C. m>1 D. m>0 3.如果关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，那么p的值是（   ） . A. 1 B.±1 C.2 D.±2 4.若将关于y的方程化成一般形式后为，则m，n的值依次为（   ） . A. 1，0 B.0，1 C.-1，0 D.0，-1 5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b，则a-b的值为（   ） . A. 1 B.-1 C.0 D.-2 6.用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形.设长方形的长为x cm，则可列方程为（   ） . A. B. C. D. （二）填空题 1.一元二次方程的一般形式为 ，二次项系数与一次项系数的和为 . 2.已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为 . （三）解答题 1.已知m是关于x的一元二次方程的一个根，试求的值. 2. 先化简，再求值：，其中m是方程的根． 【课后作业参考答案】 （一）1. C 2. B 3. D 4. A 5. A 6. B （二）1. 6x2+10x-5=0 16 2. 1 （三）1.解： ∵m是关于x的一元二次方程的一个根， ∴，∴，. ∴. ∴. 2. 解：原式= = = =. m是方程的根， ∴，即. ∴原式==. 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$