串讲04 二次函数（考点串讲，7个常考点+13种重难点题型+5个易错+押题预测）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

九年级苏科版数学上学期期中考点大串讲 串讲04 二次函数 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 七大常考点：知识梳理 十三大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 五大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 考点一： 二次函数的概念 1.二次函数的概念 形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 考点透视 考点二：二次函数的图象与性质 y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0,k） （0,k） 最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. 5 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h,0） （h,0） 最值 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 6 二次函数 y=a(x-h)2+k y＝ax2＋bx＋c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最值 a＞0 a＜0 增减性 a＞0 a＜0 a＞0 开口向上 a ＜ 0 开口向下 x=h (h , k) y最小=k y最大=k 在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗ 在对称轴左边,x↗ y↗;在对称轴右边, x↗ y↘ y最小= y最大= 7 考点透视 考点三：二次函数图象的平移问题 y＝ax2 左、右平移 左加右减 上、下平移 上加下减 y＝-ax2 写成一般形式 沿x轴翻折 口诀：上加下减在中间，左加右减在末尾 考点透视 考点四：二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 向上 向下 y 左 右 正 负 考点透视 考点五：待定系数法求二次函数解析式 考点透视 考点六：二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 考点透视 考点七：二次函数的应用 1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解． 2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义． 题型剖析 题型一：二次函数的相关概念 【例1】m满足什么条件时，y=m2(x2+2x)-(2m+3)x2+(x+1)是关于x的二次函数? 解：y=m2(x2+2x)-(2m+3)x2+(x+1) =m2x2+2m2x-2mx2-3x2+x+1 =(m2-2m-3)x2+(2m2+1)x+1， 由题意可得：m2-2m-3≠0， 即(m+1)(m-3)≠0， ∴m≠-1且m≠3。 【分析】(1)√；(2)是三次函数，×；(3)整理得：y=6x2-13x，√； (4)√；(5) a≠0时，才是二次函数，×； (6) m2+1>0，√；(7) 整理得：y=4x+(m2-3)，是一次函数，×。 【变式1-1】下列各式中，一定是二次函数的有（　　） (1)y=2x2-4x+3；(2)y=4x3-3x+7；(3)y=(2x-3)(3x-2)-6； (4)y=x2-3x+5；(5)y=ax2+bx+c(a、b、c为常数)； (6)y=(m2+1)x2-2x-3(m为常数)；(7)y=m2+4x-3(m为常数) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 C 14 【变式1-2】关于x的二次函数y=(m+1)x2+(m-1)x+m，当m=0时，它是 函数；当m=-1时，它是 函数. 【详解】当m=0时，y=x2-x，是二次函数； 当m=-1时，y=-2x-1，是一次函数. 故答案为二次   一次 15 【变式1-3】下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？ y=; 【详解】解：y= 是y关于x的二次函数； 不是二次函数； 是一次函数，不是二次函数； 是s关于t的二次函数， 故y= 和是二次函数． 16 题型剖析 题型二：二次函数的图象与性质 【例2】已知点(－3，y1)，(1，y2)，(，y3)都在函数y＝x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是________． y1>y3>y2 方法二：如图，作出函数y＝x2的图象， 把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1>y3>y2； 解析：方法一：把x＝－3，，1，分别代入y＝x2中， 得y1＝9，y2＝1，y3＝2，则y1>y3>y2； 方法三：∵在对称轴的右边，y随x的增大而增大， 而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1)． 又∵3>>1，∴y1>y3>y2. 【变式2-1】二次函数y=a(x-m)2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象不经过第 象限． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为(m,n)，且在第四象限， ∴m＞0,n＜0 则一次函数y=mx+n经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 18 【变式2-2】已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)是抛物线y=-(x-2)2-m+4上的三个点，若x1＞x2＞3，则（    ） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y1＞y3 D．y2＜y3＜y1 【详解】解：由题意得抛物线y=-(x-2)2-m+4的对称轴为直线x=2 ∵抛物线开口向下，且x1＞x2＞3 ∴y1＜y2＜y3． 故选：B． 19 【变式2-3】已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象过点A(1,y1)，B(5,y2)，若满足y1＞y2，则此时m的值是多少？ 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得：m=1或m=-5． （2）∵该函数的对称轴为y轴，点A(1,y1)，B(5,y2)，且y1＞y2， ∴在对称轴右边，y随x的增大而减小， ∴m+3＜0，解得m＜-3 ∴m=-5． 20 【变式2-4】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴为直线x=-1，给出下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④b2＜4ac；⑤a-b+c＜0．其中正确的结论是(   ) A．①④ B．②③ C．③④ D．③⑤ 21 【详解】解：由图可知： 抛物线开口向上，则a＞0， 抛物线与y轴的交点在负半轴上，则c＜0， 对称轴为直线x=-1，则，即b=2a＞0， ∴abc＜0，2a+b=2b＞0，故①②错误， 由图象可知当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故③正确， 由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故④错误， 由图象可知当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，故⑤正确， ∴正确的有③⑤， 故选：D． 22 【变式2-5】如图，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)与 x 轴交于点 A (－ 3，0)和点 B (1，0)，与 y 轴交于点 C . 下列说法：① abc ＜0；②抛物线的对称轴为直线 x ＝－1；③当－3＜ x ＜0时， ax2＋ bx ＋ c ＞0；④当 x ＞1时， y 随x 的增大而增大；⑤ am2＋ bm ≤ a － b ( m 为任意实数)，其中正确的是 ⁠. ②③⑤　 23 题型剖析 题型三：二次函数的平移问题 【例3】某抛物线的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=(x-1)2-4，则原抛物线的解析式为(   ) A．y=(x+1)2+1 B．y=(x+1)2-1 C．y=(x-1)2+2 D．y=(x-1)2-2 【详解】解：∵新抛物线的解析式是y=(x-1)2-4， ∴顶点为(-1,4)， ∵向左平移2个单位，再向上平移3个单位可得原抛物线的顶点， ∴原抛物线的顶点为(-1,-1)， ∴原抛物线的解析式是y=(x+1)2-1． 故选B． 【变式3-1】已知抛物线y=a(x-m)2+k(a≠0)经过点A(-3,0)B(4,0)两点，则关于x的一元二次方程a(x-m+1)2+k=0的解是 ． 【详解】解：根据题意得：把抛物线y=a(x-m)2+k向左平移1个单位得到抛物线y=a(x-m+1)2+k， ∵抛物线y=a(x-m)2+k经过点A(-3,0)B(4,0)两点， ∴抛物线y=a(x-m+1)2+k经过点(-4,0)、(3,0)两点， ∴当y=0 ，即a(x-m+1)2+k=0时，解得：x1=-4，x2=3 ∴a(x-m+1)2+k=0的解为x1=-4，x2=3． 故答案为：x1=-4，x2=3 25 【变式3-2】如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+1经过点(2,3)． (1)求该抛物线的解析式； (2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点(0,0)，求n的值． 【详解】（1）解：把点(2,3)代入y=-x2+bx+1得： -4+2b+1=3，解得b=3， ∴抛物线的解析式为：y=-x2+3x+1 （2）抛物线向下平移n个单位后得：y=-x2+bx+1-n， 把点(0,0)代入y=-x2+bx+1-n得：1-n=0 解得：n=1 即n的值为1． 26 题型剖析 题型四：待定系数法求二次函数解析式 【例4】已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求这个二次函数的表达式. 解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入表达式y=ax2+c中，得 a=2, c=－5. 解这个方程组，得 3=4a+c, －3=a+c, ∴所求二次函数表达式为：y=2x2－5. 分析：确定二次函数y＝ax2+c的表达式，只需确定a,c两个系数的值，需要知道两个点坐标，因此此题只要把已知两点坐标代入即可. 【变式4-1】已知二次函数图象的顶点坐标为(1，-2)，且与x轴一个交点的横坐标为3，求这个二次函数的表达式. 解:∵抛物线的顶点坐标为(1，一2)，与x轴的一个交点坐标为(3，0). 设二次函数表达式为y=a(x-1)2一2, 把(3，0)代入，得a(3-1)2-2=0, 解得a=. ∴二次函数的表达为y=(x-1)2-2. 28 【变式4-2】如图，已知二次函数的图象经过 A(2，0)，B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的表达式； A B C x y O 解:∵该图象经过点（2,0）和(1,－6)， { -2+2b+c=0 c=-6 解得 { b=4 c=-6 ∴二次函数的表达式为： 29 (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的积． 解:∵二次函数对称轴为 ∴c点坐标为（2,0） A B C x y O 30 【变式4-3】已知二次函数的图象经过点A(1,3)，其对称轴为直线x=2，函数的最大值为5. (1)求此函数的解析式； (2)当y随x的增大而减小时，x的取值范围为____________（请直接写出答案）. 【详解】（1）设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k． ∵对称轴为直线x=2，函数的最大值为5， ∴ h=2，k=5． 二次函数的图象经过点A(1,3)，可得3=a(1-2)2+5 解得a=-2 所以，二次函数的解析式为y=-2(x-2)2+5． （2）根据二次函数的图象和性质，可知当x＞2时，y随x的增大而减小． 故答案为：x＞2． 31 题型剖析 题型五：二次函数与方程的关系 【例5】已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有交点； 【例5】 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝. 当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1. 33 【变式5-1】已知二次函数y＝2x2－mx－m2. (1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点； (2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为(1，0)，求B点坐标. (1)证明：2x2－mx－m2＝0，Δ＝(－m)2－4×2×(－m2)＝9m2. ∵ m2≥0， ∴ 9m2≥0， ∴ 对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点.　 34 （2）解：把(1，0)代入二次函数表达式，得2－m－m2＝0，∴ m1＝－2，m2＝1.当m＝－2时，二次函数表达式为y＝2x2＋2x－4, 令y＝0，得2x2＋2x－4＝0， 解得x＝1或x＝－2， ∴ 二次函数图象与x轴的两个公共点的坐标是(1，0)，(－2，0). 又∵ A点坐标为(1，0)，∴ B(－2，0). 当m＝1时，同理可得B（）. 35 题型剖析 题型六：二次函数与不等式的关系 【例6】已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ px ＋ q ＝0的根为 x1＝－2， x2＝4.则关于 x 的不等式 x2＋ px ＋ q ＞0的解集为(　A　) A. x ＜－2或 x ＞4 B. －2＜ x ＜4 C. x ＜－2 D. x ＞4 A 37 题型剖析 题型七：二次函数的应用之图形几何问题 【例7】某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（    ）米． A．4 B．5 C．6 D．8 【详解】解：设中间隔开的墙长为xm，能建成的饲养室总占地的面积为Sm2， 根据题意得，S=x×(28+2-3x)=-3(x-5)2+75，-3＜0，有最大值， ∴当x=5时，S取得最大值， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 39 【变式7-1】如图，一块矩形区域ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为18米（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD的面积最大时AB的长．    【详解】解：设AB=x米，矩形的面积设为y（平方米）， 则AB+EF+CD=3x， ∴AD=BC=． ∴y=x·=． 由于二次项系数小于0，所以y有最大值， ∴当AB=x=-时，函数y取得最大值． ∴当AB=3米时，矩形ABCD的面积最大． 40 题型剖析 题型八：二次函数的应用之销售利润问题 【例8】“爱成都，创文明，迎大运”，卫生环境先着手，为提高工作效率，某清洁工具生产商投产一种新型垃圾夹，每件制造成本为20元，在试销过程中发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=-2x+52． (1)写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式； (2)当销售单价为多少元时，生产商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ 【详解】（1）由题意得：w=y(x-20)=(-2x+52)(x-20)=-2x2+92x-1040； （2）w=-2x2+92x-1040=-2(x-23)2+18， ∴当销售单价为23元时，每月能获得最大利润，最大利润是18万元； 【变式8-1】已知某商品的进价为每件40元．现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；定价为 元才能使利润最大． 【详解】解：设每涨价x元，获得的总利润为y元， 根据题意得：y=(60-40+x)(300-10x) =(20+x)(300-10x) ==-10x2+100x+6000 =-10(x-5)2+6250(0≤x≤30) ∴当x=5时，y的值最大，此时定价为：60+5=65（元） 故答案为：65． 42 题型剖析 题型九：二次函数应用之线段最值 解：(1)把点 A (1，0)和点 C (0，－3)的 坐标代入 y ＝ ax2＋2 x ＋ c ，得 解得 ∴ y ＝ x2＋2 x －3. 当 y ＝0时， x2＋2 x －3＝0， 解得 x1＝1， x2＝－3，∴ B (－3，0). 【例9】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax2＋2 x ＋ c 与 x 轴分别交于点 A (1，0)和点 B ，与 y 轴交于点 C (0，－3)，连接 BC . (1)求抛物线的解析式及点 B 的坐标. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax2＋2 x ＋ c 与 x 轴分别交于点 A (1，0)和点 B ，与 y 轴交于点 C (0，－3)，连接 BC . (2)点 P 为线段 BC 上的一个动点(点 P 不与点 B ， C 重合)，过点 P 作 y 轴的平行线交抛 物线于点 Q ，求线段 PQ 长度的最大值. 44 解：(2)设直线 BC 的解析式为 y ＝ kx ＋ b ， ∴解得∴ y ＝－ x －3， 设点 P ( m ，－ m －3)，则 Q ( m ， m2＋2 m －3)， ∴ PQ ＝(－ m －3)－( m2＋2 m －3)＝－ m2－3 m ＝－ ＋ ， ∴当 m ＝－ 时， PQ 的长度取最大 值，最大值为 . 45 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴的交点分别为 A 和 B (1，0)(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C (0，3)，点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式； 解：(1)把 B (1，0)， C (0，3)的坐标代 入 y ＝－ x2＋ bx ＋ c ，得 解得 ∴抛物线的解析式为 y ＝－ x2－2 x ＋3. 46 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴的交点分别为 A 和 B (1，0)(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C (0，3)，点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点. (2)过点 P 作 x 轴的平行线交 AC 于点 E ， 过点 P 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 D ， 求 PE ＋ PD 的最大值及点 P 的坐标. 47 解：(2)在 y ＝－ x2－2 x ＋3中，令 y ＝0得0＝－ x2－2 x ＋3， 解得 x ＝－3或 x ＝1， ∴ A (－3，0). 由 A (－3，0)， C (0，3)得直线 AC 的解析式为 y ＝ x ＋3. 设 P ( t ，－ t2－2 t ＋3)，则 D ( t ，0)， E (－ t2－2 t ，－ t2－2 t ＋3)， ∴ PD ＋ PE ＝－ t2－2 t ＋3＋(－ t2－2 t )－ t ＝－2 t2－5 t ＋3 ＝－2 ＋ ， ∵－2＜0，∴当 t ＝－ 时， PD ＋ PE 取最大值 ，此时 P . 48 题型剖析 题型十：二次函数应用之面积最值 【例10】如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ＜0)与 x 轴分别交于点 A 和点 B (1，0)，与 y 轴正半 轴交于点 C ，对称轴为直线 x ＝－1，且 OA ＝ OC ， P 为 抛物线上一动点. (1)直接写出抛物线的解析式； 解：(1)抛物线的解析式为 y ＝－ x2－2 x ＋3. 如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ＜0)与 x 轴分别交于点 A 和点 B (1，0)，与 y 轴正半轴交于点 C ，对称轴为直线 x ＝－1，且 OA ＝ OC ， P 为抛物线上一动点. (2)如图②，连接 AC ，当点 P 在直线 AC 上方时，求 四边形 PABC 面积的最大值，并求出此时 P 点的坐标. 50 解：(2)如图②，连接 OP . 设 P ( m ，－ m2－2 m ＋3)， 易知 OA ＝ OC ＝3， OB ＝1. ∴四边形 PABC 的面积 S ＝ S△ PAO ＋ S△ POC ＋ S△ OBC ＝ ×3×(－ m2－2 m ＋3)＋ ×3×(－ m )＋ ×1×3 ＝ (－ m2－3 m ＋4) ＝－ ( m ＋ )2＋ . ∵－ ＜0， ∴当 m ＝－ 时， S 的值最大，最大值为 ，此时 P . 51 题型剖析 题型十一：二次函数的存在性问题 【例11】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－ x2－4 x ＋ c 与 x 轴交于点 A ， B (点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C ， 且点 A 的坐标为(－5，0). (1)求点 C 的坐标； 解：(1)∵点 A (－5，0)在抛物线 y ＝－ x2－4 x ＋ c 上， ∴0＝－(－5)2－4×(－5)＋ c ， 解得 c ＝5，∴点 C 的坐标为(0，5). 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－ x2－4 x ＋ c 与 x 轴交于点 A ， B (点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C ， 且点 A 的坐标为(－5，0). (2)若点 M 是抛物线上一点，点 N 是抛物线 对称轴上一点，是否存在点 M 使以 A ， C ， M ， N 为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，请直接写出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由. 解：(2)存在. 点 M 的坐标为(－3，8)或(3，－16)或(－7，－16). 53 题型剖析 题型十二：二次函数中角度问题 【例12】在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的顶点坐标为 C (3，6)，并与 y 轴交于点 B (0，3)，点 A 是对称轴与 x 轴的交点. (1)求抛物线的解析式； 解：(1)∵抛物线的顶点坐标为 C (3，6)，∴抛物线的解析式为 y ＝ a ( x －3)2＋6，将 B (0，3)的坐标代入可得 a ＝－ ， ∴ y ＝－ ( x －3)2＋6，即 y ＝－ x2＋2 x ＋3. 在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的顶点坐标为 C (3，6)，并与 y 轴交于点 B (0，3)，点 A 是对称轴与 x 轴的交点. (2)如图①， P 是抛物线上的一个动点，且 位于第一象限，连接 BP ， AP ，求△ ABP 的面积的最大值； 55 易知 BO ＝3， AO ＝3， 设 P ，则 S△ BPO ＝ n ， S△ APO ＝－ n2＋3 n ＋ ， S△ ABO ＝ ， ∴ S△ ABP ＝ S△ BOP ＋ S△ AOP － S△ ABO ＝－ n2＋ n ＝－ (　 n － )2＋ ， ∵－ ＜0，∴当 n ＝ 时， S△ ABP 取最大值，最大值为 . 解：(2)如图①，连接 PO ， 56 题型剖析 题型十三：二次函数中的最值问题 58 易错易混 易错点一：忽略二次函数的二次项系数不为0 易错易混 易错点二：二次函数的增减性 易错易混 易错点三：二次函数的平移 易错易混 易错点四：二次函数与方程、不等式的关系 63 易错易混 易错点五：营销问题 押题预测 65 66 67 68 69 70 71 72 感谢您的观看 Thank you 73 【变式6-1】如图，已知二次函数 的图象与轴有两个交点的横坐标分别为 和4，则当 时， 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 或 【详解】解：∵二次函数 的图象与轴有两个交点的横坐标分别为 和4， 根据图象可知，当 时， 的取值范围是 或 ， 故选：D． 【例13】如图，直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使 的值最小，求 的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得 ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、 ， 将点B、C的坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ， 故函数的表达式为： ，令 ，则 或3，故点 ； （2）如图1中，作点C关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点E，则此时 为最小， 函数顶点D坐标为 ，点 ， 设直线 的解析式为 ，将 、D的坐标代入得： ，解得 ， 直线 的表达式为： ，当 时， ，故点 ， 则 的最小值为 ； 1．若 是二次函数，则 m 的值为（    ） A．1 B． C．1 或 D．0 【详解】解：由于 是二次函数， 且 ， 且 ， ． 故选B． 2．已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵二次函数 ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线 ， 当 时， 随 的增大而增大， ． 故选： ． 3．要将函数的图象向右平移 个单位长度．再向上平移 个单位长度得到的二次函数为 ，那么 ． 【详解】解： ， 把抛物线 向左平移 个单位长度，向下平移 个单位长度得到抛物线的解析式为 ， ∴， ， ， ∴ ， 故答案为： ． 4．如图，抛物线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，顶点为C，直线 的解析式为 ． (1)抛物线的解析式为______； (2)当 时， 的取值范围是______； (3)当 时，x的取值范围是______； （3）解：∵抛物线 与直线： 交于点 与点B，且点B在y轴上， ∴由图象可得，当 时， 或 ； 故答案为： 或 （4）解：∵抛物线 的对称轴为 ，且与x轴交于点 ， ∴抛物线与x轴的另一交点为 ，∴由图象可得，当 时， ． 故答案为： 【详解】（1）解：由图象可得抛物线的顶点C为 ，∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于点 ，∴ ，∴ ， ∴抛物线的解析式为 ． 故答案为： （2）解：当 时，，当 时， ， 由图象可得，当 时， 随x的增大而增大，当 时， 取得最大值，为 ，当 时， 随x的增大而减小，∴当 时， ． 故答案为： 5．某商场销售一批商品，已知进价为每件6元，平时以12元的价格出售，平均每天可售出80件，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每降价1元，商场平均每天可多售出40件． (1)若商场平均每天要盈利280元，每件商品应定价多少元？ (2)若该商场要每天盈利最大，每件商品应定价多少元？盈利最大是多少元？ 【详解】（1）解：设每件商品应定价为 元，根据题意得：， ， ， 或13， 商场决定采取适当的降价措施，∴每件商品应定价为7元； （2）设每件商品应定价 元时，利润为 元， ， ， 有最大值， 即当 时， 有最大值为640元， 答：每件商品应定价10元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利640元． 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）对于二次函数 的性质描述正确的是 （    ） A．该函数图象开口朝下 B．该函数图象的对称轴在y 轴右侧 C．当 时，y 随 x 的增大而减小 D．该函数图象与y 轴的交点位于y 轴正半轴 【详解】A、 ，该函数图象开口朝上，故A不符合题意； B、 对称轴为 ，该函数图象的对称轴在y 轴右侧，故B符合题意； C、 对称轴为 ，当 时，y 随 x 的增大而增大，故C不符合题意； D、 时 ，即与y轴交点为原点，故D不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知二次函数 与 轴无交点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：根据题意得 ， 解得 ． 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）已知关于 的二次函数 ，当 时， 的取值范围为 【详解】解： 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线顶点坐标为 ， 在 范围内，当 ，函数有最大值为1；当 时函数有最小值： ， 故答案为： ． 4．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图是二次函数 的图象，下列结论：①二次三项式 的最大值为4；② ；③ ；④ ；⑤使 成立的x的取值范围是 ．其中正确的结论有： ．（填上序号即可） 【详解】解：由抛物线的图象可知：二次函数 的图象的顶点为，抛物线开口向下， ∴二次函数 有最大值4， ∴二次三项式 的最大值为4，故①的结论正确； 由抛物线的图象可知：抛物线经过 ，，三点， ∴ ，解得： ∴ ，故②的结论不正确； ∴ ，故③的结论正确； ∴ ，故④的结论不正确； 由抛物线的图象可知： 成立的x的取值范围是 或 ，故⑤的结论不正确， 综上，正确的结论有：①③， 故答案为：①③． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线 经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使 的值最小，求 的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得 ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、 ， 将点B、C的坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ， 故函数的表达式为： ， 令 ，则 或3，故点 ； （2）如图1中，作点C关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点E，则此时 为最小， 函数顶点D坐标为 ，点 ， 设直线 的解析式为 ，将 、D的坐标代入得： ，解得 ， 直线 的表达式为： ，当 时， ，故点 ， 则 的最小值为 ； （3）①当点P在x轴上方时，如图2中， ∵ ，则 ， 过点B作 于点H，设 ，则 ， 由勾股定理得： ，即 ，解得： ， 则 ，则 ； ②当点P在x轴下方时， 同理可得 ； 故点P的坐标为 或 ． $$