3.3 一元一次方程的应用-【提分教练】2024-2025学年新教材七年级数学上册同步精导优化与设计方案（沪科版2024）

数学七年级上册 3.3一元一次方程的应用 3.3.1 几何图形问题与行程问题 NO.1基础巩固练 知识点2行程问题 4.甲、乙两人分别从相距2160m的A,B两地 知识点1几何图形问题 同时出发相向而行，4min后相遇，已知乙的 1.墙上钉着用一根彩绳围成 10 速度为5m/s,则甲的速度为 m/s. 10 的梯形形状的饰物，如图实 10 5.扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱 线所示（单位：cm).小颖将 6:10 :6 世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是 梯形下底的两个钉子去掉， 中国较早的数学著作之一，书中记载一道问 并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所 题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一 百五十里，鸳马先行一十二日，问良马几何 示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？ 日追及之.”题意是：快马每天走240里，慢 如果设长方形的长为xcm,根据题意，可列 马每天走150里，慢马先走12天，试问快马 方程为 ( 几天追上慢马.答：快马 天追上慢马. A.2(.x+10)=10×4+6×2 6.如图，现有两条乡村公路AB,BC,AB长为 B.2(.x+10)=10×3+6×2 1200米，BC长为1600米，一个人骑摩托 C.2.x+10=10×4+6×2 车从A处以20米秒的速度匀速沿公路 D.2(.x+10)=10×2+6×2 AB,BC向C处行驶：另一个人骑自行车从 2.一个长方形的周长是26cm,若这个长方形 B处以5米/秒的速度向C处行驶，并且两 的长减少1cm,宽增加2cm,就可以成为一 人同时出发， 个正方形，则长方形的长是 ( A.5 cm B.7 em B C.8 cm D.9 cm (1)求经过多少秒摩托车追上自行车： 3.如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱 (2)求两人均在行驶途中时，经过多少秒两 形的容器，内部底面积分别为80cm,100cm, 人在行进路线上相距150米. 且甲容器装满水，乙容器是空的.若将甲中 的水全部倒入乙中，乙中的水位高度比原先 甲的水位高度低了8cm,则甲容器的容 积是 () A.1280cm B.2560cm3 C.3200cm D.4000cm 48 。。g1g。g0 第3章一次方程与方程组 NO.2能力提升练 4.蒙城某中学组织学生去参加体检，队伍以8 千米/时的速度前进，校长让在队尾的一名 1.如图，在长方形ABCD中，放入5个形状大 学生跑步到队伍的最前面找带队老师传达 小相同的小长方形（空白部分），其中AB= 一个通知（通知时间忽略不计），然后立即返 7cm,BC=11cm,则阴影部分的总面积为 回队尾，这位学生的速度是12千米时，从 ( ) 队尾赶到排头又回到队尾共用了9分钟，求 A.18 cm B.21 cm 队伍的长度， C.24 em D.27 cm A D 甲 第1题图 第2题图 2.如图所示，甲、乙两人沿着边长为90m的正 方形，按A→B→C→D→A…的方向行走， 甲从A点以65m/min的速度行走，乙从B 点以75m/min的速度行走，当乙第一次追 冒核心素养练 上甲时，位于正方形的 () 5.寒风凛凛，爱心涌动，临近春节，我市某学校 A.边BC上 B.边DC上 部分师生冒着严寒为50km外的夕阳红敬 C.边AD上 D.边AB上 老院送过节物资，并为老人们表演节目.学 3.小明受到《乌鸦喝水》故事的启发，利用量杯 校司机小李开车以60kmh的速度带着师 和体积相同的小球进行了如图1、图2、图3 生和物资从学校出发，同时志愿者小王开车 的实验操作， 以90kmh的速度从敬老院出发前去迎接 小李，两车相遇后要给敬老院老人们表演节 49cm↑ 水 目的学生立即换乘小王的车去敬老院，学校 130cr 36 cm 出 司机小李带着老师和物资继续前行（车辆调 3个球 图1 图3 头与学生下车和上车的时间不计，两车的速 图2 度均保持不变).问：学校司机小李开车行驶 (1)投入第1个小球后，水位上升了 多长时间时两车相距5km? cm,此时量杯里的水位高度达到 了 cm: (2)请你求出投入多少个小球后，量杯内水 位最高，且无水溢出？（列方程求解） 49 数学七年级上册 3.3.2 储蓄问题与商品销售问题 No.1基础巩因练 A.5折 B.5.5折 C.7折 D.7.5折 知识点1储蓄问题 5.某商店同时以120元的价格卖出两件商品， 1.某储户去年8月份存入定期为1年的人民 其中一件赚20%，另一件赔20%，则商店在 币5000元（当时1年定期存款利率为 卖出这两件商品时 ( 1.50%),设到期后银行应向储户支付现金 A.不赚不赔 B.赚了10元 x元，则所列方程正确的是 ( C.赔了10元 D.赚了20元 A.x-5000=5000×1.50% 6.甲、乙两件服装的成本共800元，商店老板 B.x+5000=5000×1.50% 为获取利润，将甲服装按成本提高60%后 C.x+5000=5000×(1+1.50%) 标价，乙服装按成本提高50%后标价，在实 D.x+5000×1.50%=5000 际销售时，应顾客的要求，两件服装均按8 2.银行教育储蓄的年利率如下表： 折销售，结果共获利196元，若用方程(1十 一年期 二年期 三年期 60%).x×80%+(1十50%)×(800-x)× 2.25% 2.43% 2.70% 80%=800+196表示其中的数量关系，则 小明正在上七年级，今年7月他父母为他在 方程中x所表示的量是 银行存款30000元，以供三年后上高中使 A.甲服装的标价 B.乙服装的标价 用.要使三年后的收益最大，则小明的父母 C.甲服装的成本价 D.乙服装的成本价 应该采用 ) 7.某种商品因换季准备打折出售，若按定价 A.直接存一个三年期 的七五折出售将赔25元，而按定价的九 B先存一个一年期，一年后将本息和自动 折出售将赚20元，则该商品每件的定价 转存一个二年期 是 元. C.先存一个一年期，一年后将本息和自动 8.一家服装店在换季时积压了一批服装，为了 转存两个一年期 缓解资金压力，决定打折销售，其中一条裤 D.先存一个二年期，两年后将本息和自动 子的成本为80元，按标价五折出售将亏 转存一个一年期 30元. 知识点2商品销售问题 (1)求这条打五折的裤子的标价是多少元： 3.某鞋店销售某种品牌的运动鞋，去年每双可 (2)另一件上衣按标价打九折出售，和这条 获利m元，利润率为20%，今年进价提高了 打五折的裤子合计卖了230元，两件衣服恰 25%,鞋店将这种鞋的售价也相应提高，使 好不盈不亏，这件上衣的标价是多少元？ 每双仍可获利m元，则今年提价后的利润 率为 A.25% B.20% C.16% D.12.5% 4.如图，某商品实施促销“第2件半价”，若购买2 件该商品，则相当于这2件商品共打 ( 二件半价 50 第3章一次方程与方程组 NO.2能力提升练 4.某商店对A,B两种商品在进价的基础上提 高50%作为标价出售.春节期间，该商店对 1.小李以两种形式储蓄3000元，一种储蓄的 A,B两种商品开展促销活动，活动方案如下： 年利率为10%，另一种为11%，一年后本息 和为3315，则两种储蓄的存款分别为 商品 A B 标价（元/件） 150 225 A.1000元，2000元 春节期间每件商品按标价降按标价降 B.1500元，1500元 出售的价格 价10% 价a% C.2000元，1000元 (1)商品B降价后的售价为 元（用 D.500元，2500元 含a的代数式表示)： 2.某超市在元旦活动期间，推出如下购物优惠 (2)不考虑其他成本，在春节期间商店卖出 方案： A种商品20件，B种商品10件，获得总利 ①一次性购物在100元（不含100元）以内， 润1000元，试求a的值. 不享受优惠： ②一次性购物在100元（含100元）以上， 350元（不含350元）以内，一律享受九折 优惠： ③一次性购物在350元（含350元）以上，一 律享受八折优惠 ■核心素养练 小敏在该超市两次购物分别付了85元和 270元，若小敏把这两次购物改为一次性购 5.王叔叔十月份的工资为8000元，超过5000 物，则小敏需付款 () 元的部分需要交3%的个人所得税。 A.284元 B.308元 (1)王叔叔十月份的税后工资是多少元？ C.312元 D.320元 (2)王叔叔将该月税后工资的一半存人银 3.某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种 行，然后用余额购买一部定价为3000元的 商品每件进价为60元，乙种商品每件进价 某品牌手机，恰好遇到手机店开展活动，该 为100元. 款手机打八折，则买完手机后还剩下多 (1)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共 少元？ 50件，所用资金恰好为3600元，求购进甲、 (3)某家超市正在开展促销活动，促销方案 乙两种商品各多少件： 如下： (2)在(1)的条件下，若甲种商品每件售价为 商品原价 优惠方案 66元，要使得这50件商品卖出后获利 不超过500元的部分 不打折 10%,则乙种商品每件售价为多少元？ 超过500元但不超过800元的部分 打八折 超过800元的部分 打七五折 : 若王叔叔在此次促销活动中付款980元，他 购买的商品原价是多少元？ 51 数学七年级上册 3.3.3 比例分配问题及其他问题 NO.1亿基础巩固练 4.清代诗人徐子云曾写过一首诗： 知识点1比例分配问题 巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。 1.为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长 三百六十四只碗，看看用尽不差争 对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛 三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹， 峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分 请问先生明算者，算来寺内几多僧？ 析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4： 大意如下：山林中有一座古寺，不知道寺内 2:3,本月六安瓜片销售额是上月销售额的 有多少僧人.已知一共有364只碗，刚好能 a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的(a 够用完.每三个僧人一起吃一碗饭，每四个 3)倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同 僧人一起吃一碗羹.请问寺内一共有多少僧 时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月 人？请解答上述问题. 总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与 上月销售额的比值. 知识点2其他问题 5.受连日暴雨影响，某地甲、乙两个村庄突发 2.车间原计划用15小时生产一批零件，实际 泥石流灾害，急需从市中心东、西两个储备 每小时多生产了10件，用了13小时不但完 仓库调运救灾物资.已知这两个储备仓库均 成了任务，而且还多生产了80件，设原计划 有救灾物资15吨，其中A村需要18吨，B 每小时生产x个零件，那么下列方程正确 村需要12吨从东仓库运往A、B两村的运 的是 ( 费分别为60元/吨和20元/吨，从西仓库运 A=点x+10)+80 往A、B两村的运费分别为40元吨和30 元吨 B+10) 132+80 (1)设从东仓库调运x吨救灾物资去A村， C.15.x=13(x+10)+80 完成下列表格： D.13(.x+10)=15.x+80 运往A村的 运往B村的 3.已知今年甲的年龄比乙的年龄多12岁，4 物资/吨 物资/吨 年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，则甲 从东仓库调运 今年的年龄是 的物资/吨 A.20岁 B.16岁 从西仓库调运 C.15岁 D.12岁 的物资/吨 第3章一次方程与方程组 (2)调运结束结算运费时发现，支付给东，西 (1)若租用10条电瓶船，两种电瓶船都租用 两个仓库的运费相差220元，求(1)中x 了，所有电瓶船恰好坐满，需花费1060元， 的值 侧租用了几条四座电瓶船？ (2)若每只游船均坐满，直接列举出所有可 行的租船方案，并计算出每种方案的价格， 指出最省钱的方案。 No.2能力提升练 1.水门塘是霍邱县的一张文化名片，为打造水 门塘风光带，现有一段长为280米的堤岸维 ■核心素养练 修任务由A,B两个工程队先后接力完成.A 4.如图，数轴上有三点A、B和C,其中A点表 工程队每天维修12米，B工程队每天维修 示一3，B点表示2，C点在原点处 10米，两个工程队共用时25天，则A工程 队维修堤岸 ( 54-3-2-10123451 A.160米 B.170米 (1)0-(-3)川=0-(-3)=3，|0-21=2 C.180米 D.190米 一0=2，即用字母表示线段长为AC=3,BC 2.学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已 =2,则AB= ,设P、Q在数轴上表 知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天， 示的数分别为一100和220，则线段PQ= 若先由乙做1天，再由两人合作完成任务， 两人共得到报酬900元，若按各人的工作量 (2)若P,Q在数轴上表示的数分别为m,n 计算报酬，则分配方案为 ( (m<n),则线段PQ= A.甲360元，乙540元 (3)若动点P,Q分别从一3和2处同时出 B.甲450元，乙450元 发，沿数轴负方向运动t(1>0)秒，已知点P C.甲300元，乙600元 的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是 D.甲540元，乙360元 每秒2个单位长度，问： 3.姥山岛地处巢湖市中庙街道西南方向，是巢 ①t的值为2时，P,Q两点的距离是多少？ 湖中最大的岛屿.姥山岛四面皆水，如同一 (列算式解答) 叶飘于水中，为八百里巢湖唯一“湖上绿 ②t的值为 时，P,Q两点之间的距 洲”，是巢湖第一胜境.某校七年级2班学生 离为2. 计划周末去巢湖姥山岛游玩，游船价格如 下表： 船型 四座电瓶船 六座电瓶船 价格 100元/小时 120元/小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩1小时， 请解决下面问题 532.解：当x=2时，代数式5(x一1)一2(x-2)一4 解得y=70. =5.x-5-2x+4-4=3x-5=3×2-5=1, 第二种情况：摩托车超过自行车150米时，20y 即y=1,代入方程中得到2X1一号=号×1十 =150+5y+1200, 2-2 解得y=90. ■，解得■=1. 答：经过70秒或90秒两人在行进路线上相距 即这个常数是1. 150米. 3.解：4.x-(3a+1)=6.x+2a-1, 能力提升练 4.x-3a-1=6.x+2a-1, 1.D2.C -2x=5a, 3.解：(1)无小球时，水位高度为30cm,加入3个 x=- 2. 小球时，水位上升了6cm, 所以每增加1个小球，水位上升2cm. 4-8=-+2 3 2 故投入第1个小球后，水位上升了2cm, 2(x-4)-48=-3(x+2), 此时量杯里的水位高度达到了32cm. 2x-8-48=-3x-6, 故答案是2,32. 5.x=50, (2)设投入个小球后，量杯内水位最高，且无 x=10. 水溢出. 因为两个方程的解相同， 由题意得2n十30=49，解得n=号。 所以-3a=10,所以a=-4 因为投入的小球个数为整数，且小于等于号，故 1 4.解：1)因为2x-2=2x+1,所以2x 2x=1 =9.所以授入9个小球后，量杯内水位最高， 十2，所以=3，解得=2. 且无水溢出. 4.解：设队伍的长度为x千米 (2)因为1-21吉，所以10-22r+1D 5 128+12千8品解得x=0.5. =x十3，所以10一4x一2=x十3，所以一4x一x 答：队伍的长度为0.5千米. =3-10+2,所以一5x=-5,解得x=1. 5.解：有以下三种情况： 设被污染的常数为a,把x=1代入方程得2一a ①在两车相遇之前，两车相距5km. =号十1，解得a= 1 设从出发到两车相距5km的时间为11h. 所以被污染的常数是 由题意，知60，十90，+5=50，解得6=品 ②在两车相遇之后，两车未到敬老院，相距 5.解：由题意可知2(2x-1)十1=5(x+a). 5km.设当两车相遇时所需时间为xh, 把x=4代入，得a=一1. 把a=-1代入原方程得2x一1+1=x1 由题意，知60x十90x=50,解得x=3 5 2 设从两车相遇之后到两车相距5km时所需时 去分母，得2(2.x-1)+10=5(x-1). 去括号，得4.x-2+10=5.x-5. 间为t2h. 移项、合并同类项，得一x=一13.解得x=13. 由题意，知904，-604=5，解得，=行 3.3一元一次方程的应用 所以此时学较司机小李开车行张的时间为号十 3.3.1几何图形问题与行程问题 合-2. 基础巩固练 ③在两车相遇之后，一车先到敬老院，两车相距 1.A2.C3.C4.45.20 5 km. 6.解：(1)设经过x秒摩托车追上自行车. 由题意得20x=5.x十1200， 小王从出发，相逼到回到敬老院共需要号，而 解得x=80. 答：经过80秒摩托车追上自行车. 号h时学技司机小率行致了号×60=40(kam, (2)设经过y秒两人在行进路线上相距150米. 离敬老院还有10km. 第一种情况：摩托车还差150米追上自行车时， 设当小王到达敬老院后两车相距5km时所需 20y-1200=5y-150, 时间为th. 51 由题意，知60，=10-5，解得t6=12: 3.3.3比例分配问题及其他问题 所以北时学校司机小李开车行胶的时间为号十 基础巩固练 1.解：设上月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种 茶叶的销售额数据分别为4x,2x,3x 棕上，学校司机小幸开车行被品h或号山或 根据题意得4.x·a十2.x·(a一3)十3.x=2(4x十 孚h时，两车相E5km 2x+3),解得a=子 答：本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值 3.3.2储蓄问题与商品销售问题 基础巩固练 2.D已知原计划每小时生产x个零件，则可得 1.A2.A3.C4.D5.C6.C 13(x+10)=15x+80,故选D. 7.300 3.A设今年甲的年龄为x岁，则今年乙的年龄为 8.解：(1)设这条裤子的标价为x元，则0.5.x=80 (x-12)岁，根据题意得x+4=2(x一12十4)， 30,解得x=100. 解得x=20.故选A. 答：这条打五折的裤子的标价为100元 4解：设专内有x名僧人.由题意得营+着-364 (2)设这件上衣的标价为y元，则0.9y+80一30 =230,解得y=200. 解得x=624. 答：这件上衣的标价是200元. 答：寺内一共有624名僧人. 能力提升练 5.解：(1)填表如下： 1.B2.B 运往A村 运往B村 3.解：(1)设购进甲种商品x件，则购进乙种商品 的物资/吨 的物资/吨 (50-x)件， 根据题意，得60.x+100(50一x)=3600, 从东仓库调运 解得x=35,则50-x=15. 15-x 答：购进甲种商品35件，乙种商品15件. 的物资吨 (2)设乙种商品每件售价为y元， 根据题意，得66×35十15y=(1+10%)× 从西仓库调运 的物资！吨 18-x x-3 3600,解得y=110. 答：乙种商品每件售价为110元， (2)由题意知，支付给东仓库的运费为60.x十20 4.解：(1)B商品标价是225元，出售价格按标价降低 (15-x)=(40.x十300)元，支付给西仓库的运费 a%,则降价后的售价是225(1一a%)元. 为40(18-x)十30(.x-3)=(630-10.x)元.若 故答案为225(1一a%). 40.x+300-(630-10x)=220,解得x=11:若 (2)设A商品进价为m元，则m(1+50%)= 150,解得m=100. 630-10.x-(40x+300)=220,解得x=2.2,此 设B商品进价为n元，则n(1+50%)=225,解 时x一3<0，不符合题意，舍去 得n=150. 答：x的值为11. 由题意得[150×(1-10%)-100]×20+[225 能力提升练 (1-a%)-150]×10=1000, 1,.C设A工程队维修提岸x米，根据题意，得号 解得a=20.即a的值是20. 5.解：(1)5000+(8000-5000)×(1-3%)= +280一1=25，解得x=180,故A工程队维修 10 7910(元). 堤岸180米。 答：王叔叔十月份的税后工资是7910元. 2.B设乙做1天后，两人一起合作y天能完成剩 (2)7910x号-395（元）. 余工作量，由题意，得十名=1一合，解得y 3955-3000×80%=1555(元). 答：买完手机后还剩下1555元. =2,所以乙共完成总工作量的日×(2十1)= (3)设他购买的商品原价是x元 根据题意，得500十(800-500)×80%+(.x 名：报酬为号×900=460（元），甲完成总工作量 800)×75%=980,解得x=1120. 答：他购买的商品原价是1120元. 的号×2-2报到为号×900=450（元）. 52 3.解：(1)设租用了x条四座电瓶船，则租用了(10 (2)由②得n=2m-1.③ 一x)条六座电瓶船. 把③代入①，得10m-5+3m=8, 根据题意，得100.x+120(10一x)=1060,解得 解得m=1. x=7. 把m=1代入③得n=1. 答：租用了7条四座电瓶船. 则方程组的解为 m=1, (2)由(1)可知，共有学生4×7+6×(10一7)= n=1. 46(名). (3)由②，得x=-2-2y,③ 方案一：租用10条四座电瓶船，1条六座电瓶 把③代入①，得2(-2-2y)-3y=3, 船，总费用为100×10+120×1=1120（元）； 解得y=一1. 方案二：租用7条四座电瓶船，3条六座电瓶船， 把y=一1代入③，得x=0. 总费用为1060（元）： 方案三：粗用4条四座电瓶船，5条六座电瓶船， 所以原方程组的解为口=0， y=-1. 总费用为100×4+120×5=1000（元）： (4)把②代入①，得2(1-y)+4y=5, 方案四：租用1条四座电瓶船，7条六座电瓶船， 总费用为100×1+120×7=940（元），因为940 解得=是 <1000<1060<1120, 所以最省钱的方案是租用1条四座电瓶船，7条 把=2代入②，释x= 2. 六座电瓶船. 1 t= 4.解：(1)AB=2-(-3)=5,PQ=220-(-100) 2 所以原方程组的解为 =320.故答案为5；320. y=2 (2)根据题意可得PQ=n一m.故答案为n一m. /x=3, (3)①根据题意可得，t的值为2时，点P表示的 7.解：把 y=-5 代入方程4x十2y=2,左边=4× 数为一3一2×1=一5，点Q表示的数为2一2× 3十2×（一5）=2，右边=2，左边=右边. 2=-2,PQ=1-2-(-5)|=3. ②经过t秒，点P表示的数为一3一t,点Q表示 所以{5是方程4x十2y=2的解： 的数为2一21，则1(2一2t)-(-3-t)|=2,化简 得|5-1=2，可得5-1=2或5-1=-2，解得 =3,代入方程x十y=一1. 把 y=-5 1=3或1=7.故答案为3或7. 左边=3十(-5)=一2，右边=一1，左边≠右边. 3.4二元一次方程组及其解法 所以=3，不是方程x十y=-1的解， 1y=-5 3.4.1认识二元一次方程组 所以 红=3，不是二元一次方程组 ly=-5 基础巩固练 1.D2号 -23.D4.-15.C6.D 4x+2y=2·的解. x+y=-1 x=11·(答案不唯一） 能力提升练 7. y=1 1.B2.D x+y=100, 3.解：由题意得题中的两个方程组与方程组 8. 3r+3y=10o 2x一y=1·的解相同， x+2y=3 3.4.2代入法解二元一次方程组 解方程组 2xy=1得=1. x+2y=3,ly=1. 基础巩固练 将 任代入ax+=l得a+-, 1.A2.②③ ①③④③3.B4.C5.B y=1 ax-by=5,a-b=5, 6.解：(1)把①代入②，得2(3-y)-3y=1,解得y =1. 解得口=3， 1b=-2. 把y=1代入①，得x=2. 4解：1)起：名代入方程组得a十8，解 所以原方程组的解为 x=2, y=2 lc-4=-1 1y=1. 得c=3. 53