3.1 方程-【提分教练】2024-2025学年新教材七年级数学上册同步精导优化与设计方案（沪科版2024）

第3章一次方程与方程组 第3章 一次方程与方程组 3.1方程 3.1.1方程 基础巩固练 4.如图，为做一个试管架，在19cm长的木板 上钻若干个半径为1cm的圆孔，已知相邻 知识点1方程 两个圆孔的间距为】cm,若设木板上能钻x 1.已知式子：①3-4=-1：②2x-5y:③|3-π 个圆孔，可列方程为 =x-3:④1+1=3；⑤6x+4y=2:⑥3x2 2.x十1=0，其中是等式的有 是方程的有 ,(填序号)》 1 cm 1:m1m 知识点2从实际问题到方程 5.A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了 2.一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同 2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了 一公路同方向行驶，客车的行驶速度是 13元，如果设A种饮料单价为x元，可列方 70km/h,卡车的行驶速度是60km/h,客车 程为 比卡车早1h经过B地.设A,B两地间的 6.某市收取水费按以下规定：若每月每户用水 路程是xkm,由题意可得方程 () 不超过20立方米，则每立方米按1.2元收 A.70x-60x=1 B.60x-70.x=1 费：若超过20立方米，则超过部分按每立方 C0-希=1 C若希-1 米2元收费. (1)如果某户居民在某月用水x立方米，且 3.我国古代数学著作《孙子算经》中记载“多人 x≤20，则所交水费为 共车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车 元： (2)如果某户居民在某月用水x立方米，且 空：二人共车，九人步，问人与车各几何？”意 x>20,则所交水费为 思是今有若干人乘车，若每3人乘1车，最 元； (3)如果某户居民在某月所交水费的平均水 终剩余2辆车：若每2人乘1车，最终剩余9 个人无车可乘，问人与车各有多少？甲、乙 价为每立方米1.5元，设这户居民这个月共 用了x立方米的水，请写出x的范围，并列 两人所列方程如下，下列判断正确的是 () 出方程. 甲：设有x辆车，根据题意可列方程为3(x -2)=2x+9. 乙：设有x个人，根据题意可列方程为号一2 =x+9 2 A.甲对、乙错 B.甲错、乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 39 ,,, 数学七年级上册 知识点3方程的解 8.已知x=2是关于x的方程3.x十a=0的一 7.下列方程的解是x=2的是 个解，则a的值是 B.一3x+3=0 A.-6B.-3 C.-4 A.4x+8=0 D.-5 9.若a是方程x2一2.x1=0的解，则代数式 c-2 D.1-3x=5 a2-2a+2023的值为 3.1.2 等式的基本性质 NO.1基础巩固练 6.下面是小玲同学在一次课堂测验中利用等 式的性质解方程的过程，其中正确的是 知识点1等式的基本性质 ( 1.已知等式3a=2b+5,则将该等式变形错误 的是 ( ) A.-3-5=4,得x=4+5 A.3a-5=2b B.3ac=2bc+5 B.5y-3y=9-y,得5y-3y-y=9 ca-+胃 D.3a+1=2b+6 C.x+7=26,得x=19 2.下列说法不正确的是 ( ) D.-5x=20.得x=- A.若ac=bc,则a=b 7.用等式的基本性质解方程x一15=5，两边 B.若a=b,则a+c=b+c 都 ,得x= C若是-，则u=6 8.利用等式的性质解下列方程： (1)x-3=9.(2)5=2x-4. D.若a(c2+1)=b(c2+1),则a=b 3.根据等式的性质，若等式m=n可以变形得 到m十a=n一b,则a,b应满足的条件是 ( A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D.a=0,b≠0 4.设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图 所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架 (3)-4+5x=2x-5.(4)-号-2=10. 天平也平衡，则“？”处应该放 个 “●” 知识点2利用等式的基本性质解方程 5.解方程-手x=12时，应在方程两边( 3 易错点应用等式的基本性质2时忽视等式 : 两边不能同除以0致错 A,同时乘-3 B.同时乘4 9.阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步. C同时除以号 D.同时除以-3 为什么？ 4 2(x-1)-1=3(x-1)-1. 40 重e国0单g量0■00。多0 第3章一次方程与方程组 解：两边同时加上1，得2(x一1)=3(x一1). 6.小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯 (第一步) 循环小数都可以化为分数，例如，化0.3为 两边同时除以x一1，得2=3.（第二步） 分数，方法如下： 所以原方程无解.（第三步） 设x=0.3,即x=0.333….将方程两边都 乘10，得10.x=3.333…,即10.x=3十0.333 …,又因为x=0.333…,所以10x=3十x, 所以9x=3,则x=号所以0.3=青 尝试解决下列各题： (1)把0.1化成分数为 NO.2能力提升练 (2)利用小明的方法，把纯循环小数0.16化 1.方程2y一-○中被阴影盖住的 成分数. 是一个猪数此方程的解是y=一哥则这 个常数应是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2设ac为互不相等的数，且6=音a十 ■核心素养练 c, 则下列结论正确的是 () 7.观察下列两个等式：1-号-2×1×号-1,2 A.a>bc B.c>6>a C.a-b=4(b-c) D.a-c=5(a-b) 号-2×2×号-1.给出定义如下：我们称 3.若2a十3=0，则一4a一6= 使等式a一b=2ab-1成立的一对有理数a, 4.若a十9=b+8=c十7，则(a一b)2十(b-c)9 b为“同心有理数对”，记为(a,b).如：数对 -(c-a)2 1,号)，(2，)都是同心有理数对” 5.王老师在黑板上写了一个等式(m一3)x=5 根据上述材料，解答下列问题： (m一3)，小明说x=5:小刚说不一定，当x ≠5时，这个等式也可能成立.你认为他俩 (1)数对（一2,1），(3.号)中，是“同心有理数 的说法正确吗？用等式的性质说明理由， 对”的是 (2)若(a,3)是“同心有理数对”，求a的值； (3)若(m,n)是“同心有理数对”，则（一n, 一m)是否为“同心有理数对”？请说明 理由。 4110.解:(1)根据图形的变化可知,第个等式为(1 2.C 已知A,B两地间的路程为xkm,根据题意 +2+3+4+5+6)×2+7-7}, -1,故选C. 6070 所以第n个图形对应的等式为(1十2十3十.. +n-1)×2十n-”^{. 3.A 设有x辆车,依题意可得3(x-2)-2x+9 故答案为(1+2+3+4+5+6)×2+7-7}. (1+2+3十...+n-1)×2十n-n{. (2)因为(1+2+3十4+...+80)×2+81 述,甲对、乙错,故选A. -81, 4.解析:由题意可得(x十1)十2x-19,即3x+1 (1+2+3+4+..+9)×2+10=10, 19.故答案为3x+1-19. 答案:3.x+1-19 2 5.解析:由题意得B种饮料单价为(x十1)元,根据 10{②-10-45. 小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料,一共 1+2+3+4+...+9= 2 花了13元,可列方程为2x十3(x+1)-13. 所以10+11+.+80-(1+2+3+4+..+ 答案:2x+3(x+1)-13 80)-(1+2+3+4+..+9)-3195. 6.解;(1)由题意得x20时,所交水费为1.2x 11.解:(1)由题意得,第1个图形为。.故答案 元,故答案为1.2x. (2)由题意得x>20时,所交水费为20×1.2十 2(x-20)=(2x-16)元,故答案为(2x-16). (2)①由题意得a.-1+2+3+4+5+6-21. (3)由题意可得x20,根据题意得20×1.2十 故答案为21. 2(-20)-1.5x,即2x-16-1.5t. ②因为a-3,a.-6,a.-10,a-15, 7.B 把x一2代入各方程验证可得出x一2是方 所以a-a-6-3-3,a -a-10-6-4, 一a-15-10-5.故答案为3,4,5. ③因为a-a.-6-3-3-1+2. 8.A 把x-2代入方程得6十a-0,解得a--6 a-a-10-6-4-2+2, 故选A. a-a-15-10-5-3+2. 9.解析:因为a是方程x^}-2x-1一0的解,所以 ... a-2a-1=0,即a^{}-2a-1,所以a}-2a+$$ 所以a,-a.=n+2.故答案为n+2. 2023-1+2023-2024,故答案为2024. ④猜想:a十a-(n十2). 答案:2024 因为a.-3,a。=6,a=10,a.-15. 3.1.2 等式的基本性质 所以a+a-6+3-9-3{-(1+2)②}, a+a-10+6-16-4-(2+2); 基础巩固练 a+a-15+10-25-5-(3+2)^{} 1.B A选项,因为3a-2b十5,所以等式两边都减 ._. 去5,得3a-5一2b,故本选项不符合题意;B选 所以a,+a=(n十2)*} 项,因为3a一26十5,所以等式两边都乘c,得 3ac一2bc+5c,故本选项符合题意;C选项,因为 第3章 一次方程与方程组 3a-2b十5,所以等式两边都除以3,得a= 3.1 方程 方程 3.1.1 十5,所以等式两边都加1,得3a十1-2b十6,故 本选项不符合题意,故选B. 基础巩固练 2.A A选项,ac=bc,当c-0时,a与b不一定相 1.解析:①3一4=-1是等式,不是方程;②2x- 等,错误,故此选项符合题意;B选项,若a-b. 5v既不是等式,也不是方程;③n是数字不是字 根据等式性质得a十c一b十c,正确,故此选项不 母,所以l3-π一π一3是等式,不是方程;④ 十 符合题意;C选项,若一,根据等式性质得a 1-3既是等式也是方程;6x十4v一2既是等 式也是方程;3x^{}-2x十1一0既是等式也是 一b,正确,故此选项不符合题意;D选项,若a 方程,故答案为①③④,④ (c*十1)一b(c*十1),根据等式性质得a=b,正 答案:①③④ )④ 确,故此选项不符合题意,故选A 47 3.A 根据等式的性质,若等式m一n可以变形得 2.D a,b,c的大小关系不能确定,所以A、B选项 到m十a=n-b,则a=-b,所以a十b-0,所以 的结论不一定正确,b一 a与互为相反数,故选A 4.解析: 5,得5b-4a十c.两边同时减去4b十c,得b-c yyy 4a-4b.两边同时乘,得--a-b,所以C xyy xx2 分 ## 选项的结论不正确,在5一4a十c的两边同时减 x+2y-3y 2+y-x+& _ 去5a,得5(b-a)一c-a.两边同时乘-1,得 3x=?z - 5(a-b)一a一c,所以D选项的结论正确.故 选D. 答案:3 3.解析:因为2a+3-0,所以-2a-3,所以-4a- $6.所以-4a-6-6-6-0.故答案为0 5.D 解方程-3 3--12时,应在方程两边同时除 答案:0 4.解析:因为a十9=b+8=c十7,所以a-b=-1 以_3 $-c=-1,c-a-2,所以原式-(-1)②+(- 6.C 1)*-2②--2,故答案为-2. 答案:-2 因为一 3-5=4.所以- 3-4+5. 5.解;小明的说法错误,小刚的说法正确,理由 A 如下: 故本选项错误 当m一3-0时,x为任意数; 因为5y-3y-9-y,所以5y-3y+y= B 当m-3关0时.x-5. 9.故本选项错误 6.解:(1)设x-0.1,即x=0.111..1.将方程两边 。 因为x+7-26,所以x-26-7-19,故 都乘10,得10x-1.111...,即10x-1+0.111 本选项正确 ...又因为x-0.111..,所以10x=1十x,所以 20 因为-5x-20,所以x-- 一一4,故 D 5 本选项错误 (2)设x-0.16,即x-0.1616...将方程两边 7.解析:解方程时将方程变形的原则是左边不含 都乘100,得100x-16.1616..,即100x-16+ 常数项,右边不含未知项,左边有一15,则两边 0.1616...又因为x-0.1616...,所以100x-16 需都加15,得x-15+5-20. 答案:加15 20 8.解:(1)等式的两边同时加3,得x一12. 7.解:(1)因为-2-1=-3,2x(-2)×1-1= (2)等式的两边同时加4,得2x一9.两边同时除 5,一3关一5,所以数对(一2,1)不是“同心有理 以2,得c一 . 以3-#-2×3#-1,所以(3-)是“同心# (3)等式的两边同时加4-2x,得3x=-1.两边 3 有理数对”,故答案为(3,). (4)等式的两边同时加2,得一-12.两边同时 3 (2)因为(a,3)是“同心有理数对”,所以a一3一 乘-3,得n--36. 6a-1. 9.解:解题过程第二步出错,理由:等式两边不能 等式两边同时减去a,得a-3-a-6a-a-1. 同时除以x-1,x-1可能为0. 整理得-3-5a-1. 能力提升练 等式两边同时加上1,得一3十1-5a-1+1.整 理得-2-5a. 1.C 设阴影部分盖住的数为a.将y一一 等式两边同时除以5,得a一- 32 66 # (3)是“同心有理数对”.理由如下: 因为(m,”)是“同心有理数对”,所以m一n 2mn-1,而-n-(-m)=-n+m=m-n= a-3.故选C. 2mn-1,所以(一n,一n)是“同心有理数对” 48