专题4.10 数列全章十二大压轴题型归纳（拔尖篇）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.10 数列全章十二大压轴题型归纳（拔尖篇） 【人教A版（2019）】 题型1 求数列的前n项和 1．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）已知数列的前项和为．若，则（   ） A．48 B．50 C．52 D．54 2．（23-24高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式； (2)求数列前6项和． 4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且. (1)证明：是单调递减数列. (2)求数列的前项和. 题型2 数列的最大（小）项 1．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最大项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·北京海淀·三模）已知数列的通项公式为，前n项和为，前n项积为.则下列结论正确的个数为（    ） ①既有最小值，又有最大值， ②满足的n的值共有6个； ③使取得最小值的n为7； ④有最小值，无最大值； A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二·全国·课后作业）数列的通项公式为， (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)数列仅第7项最小，求实数的取值范围． 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 题型3 等差数列的判定与证明 1．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·上海·课后作业）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且. (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)若在数列中，，且，则判断数列是否为等差数列，并说明理由. 4．（23-24高二下·全国·课后作业）数列{an}满足，是常数． (1)当时，求及的值； (2)是否存在实数使数列为等差数列？若存在，求出及数列的通项公式；若不存在，请说明理由． 题型4 等差数列的前n项和及其最值 1．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知等差数列的公差大于0，，，则的前10项和为    （    ） A． B．0 C． D．5 2．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知等差数列的公差小于，前n项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且. (1)求； (2)若，记数列前项和为 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是等差数列，其前n项和为，，再从条件①：；条件②：.这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)数列的通项公式； (2)的最小值，并求当取得最小值时n的值. 题型5 等比数列的判定与证明 1．（2024·陕西西安·模拟预测）等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（    ） A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列 C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列 2．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）“数列和都是等比数列”是“数列是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024高二·全国·专题练习）已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数. (1)证明：对任意实数，数列不是等比数列； (2)试判断数列是否为等比数列. 4．（2024·四川乐山·一模）已知数列满足，，设. (1)求，，； (2)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (3)求的通项公式. 题型6 等比数列的前n项和及其最值 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为等比数列的前项和，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，已知． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和． 4．（2024·湖南·模拟预测）已知数列的前项和为，正项等差数列满足，且成等比数列. (1)求和的通项公式； (2)证明：. 题型7 等差、等比数列的综合应用 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为（    ） A．4 B．4或 C．6或 D．6 2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）若数列为正项等比数列，，数列为公差为6，首项为1的等差数列，则数列前5项和的最小值为（    ） A． B． C． D．65 3．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和. (1)求数列和的通项公式； (2)设的前项和，求证：． (3)设，求数列的前项和. 4．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且． (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型8 数列求和 1．（2024高一·全国·竞赛）函数，则的值为（    ） A．2012 B． C．2013 D． 2．（2024·福建泉州·一模）记数列的前n项和分别为，若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖南·期末）数列的前项和为，当时，，数列满足：. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列，数列的前项和为，求. 4．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 题型9 数列与不等式综合 1．（24-25高三上·广东·开学考试）设数列的前项和为．对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川成都·期中）已知等差数列的前项和为，若，，记数列的前项和为，若对都有恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 4．（23-24高二下·广西·阶段练习）已知为正项数列的前n项和，，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 题型10 数列与其他知识的交汇问题 1．（23-24高二上·湖北武汉·期末）数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且）．则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0 D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为 3．（23-24高二下·广东肇庆·期末）如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为． (1)求和的值； (2)推测与的关系，并求出的表达式． 4．（23-24高二下·贵州遵义·期末）如图，已知点列在曲线上，点列在x轴上，，，为等腰直角三角形． (1)求，，；（直接写出结果） (2)求数列的通项公式； (3)设，证明：． 题型11 数列的新定义、新情景问题 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）记数列中前项的最大值为，则数列称为的“最值数列”，由所有的值组成的集合为.设的“最值数列”的前项和为. (1)若，且中有3个元素，求的取值范围； (2)若数列都只有4项，为的“最值数列”，满足且存在，使得，求符合条件的数列的个数； (3)若，求中能被2整除且不能被4整除的个数. 2．（24-25高三上·全国·阶段练习）如果一个严格单调递增数列的每一项都是正整数，且对任意正整数，恒成立，则称数列为“奇特数列”． (1)设等差数列的首项，公差为．若，求证：为“奇特数列”； (2)已知数列，其中为“奇特数列”，为大于的最小的的正整数倍，． ①求证：为“奇特数列”； ②求证：当时，． 3．（2025·江苏·模拟预测）设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的” (1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为 (2)若数列为“五彩的”且严格单调递增. （i）证明：数列和公差相等； （ii）证明：数列一定为等差数列. 4．（24-25高三上·山东德州·开学考试）若有穷数列满足：，若对任意的，与至少有一个是数列中的项，则称数列为数列. (1)判断数列是否为数列，并说明理由； (2)设数列为数列. ①求证：一定为中的项； ②求证：； (3)若数列为数列，且不是等差数列，求项数的所有可能取值. 题型12 数学归纳法的应用 1．（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 2．（23-24高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：可以被7整除. 3．（23-24高二·全国·课后作业）平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域． 4．（23-24高二下·北京房山·期中）已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项； (2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.10 数列全章十二大压轴题型归纳（拔尖篇） 【人教A版（2019）】 题型1 求数列的前n项和 1．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）已知数列的前项和为．若，则（   ） A．48 B．50 C．52 D．54 【解题思路】根据得到，，，，相加得到答案. 【解答过程】因为，所以，，，， 所以 故选：C. 2．（23-24高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【解题思路】列出数列的前几项，即可得到数列是以为周期的周期数列，再利用并项求和法计算可得. 【解答过程】因为，，所以， 所以数列是以为周期的周期数列， 又，， 所以. 故选：B. 3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式； (2)求数列前6项和． 【解题思路】（1）由与的关系，求数列的通项公式； （2）由直接求数列前6项和． 【解答过程】（1）数列的前n项和为， 时，， 时，， 不符合， 所以. （2）数列前6项和为. 4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且. (1)证明：是单调递减数列. (2)求数列的前项和. 【解题思路】（1）根据的关系可得，即可求证为等差，即可求解，进而可得，利用作商法即可求解， （2）根据为奇数和偶数，即可裂项求解. 【解答过程】（1）证明：当时，，得. 因为，所以. 当时，由， 得，即. 因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以. 当时，也适合该式，所以. 因为，且，所以是单调递减数列. （2）因为. 所以当为偶数时，， 当为奇数时，， 故 题型2 数列的最大（小）项 1．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最大项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】先化简，再借助函数的单调性分析得解. 【解答过程】， 因为， 所以时，数列单调递增，且；时，数列单调递增，且. ∴在数列的前100项中最小项和最大项分别是. 故选：B. 2．（2024·北京海淀·三模）已知数列的通项公式为，前n项和为，前n项积为.则下列结论正确的个数为（    ） ①既有最小值，又有最大值， ②满足的n的值共有6个； ③使取得最小值的n为7； ④有最小值，无最大值； A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】化简为，利用数列的单调性，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于①中，由数列的通项公式为， 可得，当时，数列的各项小于1，且是单调递减数列； 当时，数列的各项大于1，且是单调递减数列， 所以，数列的最小项为，最大项为，所以①正确； 对于②中，当时，满足； 当时，满足；当时，， 所以，满足时，，共有4个值，所以②不正确； 对于③中，当时，，随着的增大而增大，且； 当时，，随着n的增大而减小， 且， 当时，为正数，所以， 综上所述，使得取得最小值的为7，所以③正确； 对于④中，由上述中的讨论，可得在中，只有为负数，且， 所以存在最小值或， 从第8项开始，为正数，结合，可知随着的增大而增大，所以无最大值， 所以④正确. 故选：C. 3．（24-25高二·全国·课后作业）数列的通项公式为， (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)数列仅第7项最小，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）是关于的二次函数，求出对称轴，找到对称轴与角标的关系，求得结果；（2）与（1）类似，注意对称轴与角标的关系中的等号问题. 【解答过程】（1）由， ，对称轴， 因为不等式恒成立，所以， 所以. （2）由，对称轴， 因为数列仅第7项最小，所以， 解得. 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【解题思路】（1）根据求通项即可； （2）根据得到，然后列不等式求最大项即可. 【解答过程】（1）当时，，不满足上式， 当时，， 故数列的通项公式为. （2）由已知得， 当时，， 则，即， 得，  即， 所以当，的最大项为第7项， 又， 所以数列的最大项是该数列的第项. 题型3 等差数列的判定与证明 1．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】先假设数列是等差数列，结合等差数列的性质设出其首项及公差，计算可得数列亦为等差数列，举出恰当的数列的通项公式，使是等差数列，但不是等差数列即可得. 【解答过程】若数列是等差数列，可设其首项为，公差为， 则，则， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； 若数列是等差数列，取，则，符合要求， 但数列不为等差数列， 故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高二上·上海·课后作业）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据等差数列的定义判断． 【解答过程】设的公差为， 对于①，， 是等差数列，故①正确； 对于②，， 是等差数列，故②正确； 对于③，，是等差数列，故③正确； 对于④，若，则不是等差数列，故④错误； 故选：C． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且. (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)若在数列中，，且，则判断数列是否为等差数列，并说明理由. 【解题思路】（1）利用，求得数列的通项公式，进而可得结论； （2）利用（1）的结论可求得，可得结论. 【解答过程】（1）当时，， 当时，得， 则， 化简得， 当时，成立. 综上所述，数列的通项公式为， 当时，，故数列为等差数列. （2）因为，且， 所以， 当时，，故数列为等差数列. 4．（23-24高二下·全国·课后作业）数列{an}满足，是常数． (1)当时，求及的值； (2)是否存在实数使数列为等差数列？若存在，求出及数列的通项公式；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）根据条件，利用递推关系即可求出结果； （2）先假设存在，利用递推关系得出，从而建立关系式，得到，进而得到，，与等差数列定义不符合，从而得出结论.. 【解答过程】（1）由于，且， 所以当时，得，故， 从而. （2）数列不可能为等差数列，理由如下： 由， 得，， 若存在，使为等差数列，则， 即，解得， 于是，， 这与为等差数列矛盾．所以，不存在使是等差数列． 题型4 等差数列的前n项和及其最值 1．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知等差数列的公差大于0，，，则的前10项和为    （    ） A． B．0 C． D．5 【解题思路】由题中条件根据等差数列性质求出，，，再利用等差数列求和公式求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为，则． 由，得． 又，则， 又，则， 所以， 因此可得． 故选：C. 2．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知等差数列的公差小于，前n项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设等差数列的首项为，公差为，根据条件得到，，从而得到，即可求出结果. 【解答过程】设等差数列的首项为，公差为， 由，得到①，由，得到②， 由①②得到，，又，，由，解得， 所以，，， 又因为，所以当或时，的值最大，最大值为， 故选：A. 3．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且. (1)求； (2)若，记数列前项和为 【解题思路】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，进而写； （2）应用裂项相消法求和即可. 【解答过程】（1）设公差为，结合题设有，解得. 故. （2）由（1）有， 故， 即. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是等差数列，其前n项和为，，再从条件①：；条件②：.这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)数列的通项公式； (2)的最小值，并求当取得最小值时n的值. 【解题思路】（1）应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算即可求出通项公式； （2）先求出，再根据二次函数的性质可得取得最小值. 【解答过程】（1）若选择①： 设等差数列的公差为d，由可得； 又，得，即， 解得，， 所以； 即数列的通项公式为. 若选择②： 设等差数列的公差为d，由可得； 又，即，得； 解得，， 所以； 即数列的通项公式为. （2）若选择①： 由可得，， 根据二次函数的性质可得当时，为最小值， 即当时，取得最小值，且最小值为. 若选择②： 由可得，， 根据二次函数的性质可得当或时，为最小值， 即当或时，取得最小值，且最小值为. 题型5 等比数列的判定与证明 1．（2024·陕西西安·模拟预测）等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（    ） A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列 C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列 【解题思路】利用等差、等比数列的定义判断A、B、C，特殊值判断D，即可得结果. 【解答过程】因为数列是等差数列，设其通项公式为， 所以是定值，所以数列一定是等比数列，选项正确; 因为数列为等比数列，设其通项公式为， 所以是定值， 所以数列一定是等比数列，选项正确; 因为，所以， 所以数列一定是等差数列，选项正确; 当时，，则不是等比数列，选项错误， 故选:. 2．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）“数列和都是等比数列”是“数列是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据等比数列的定义和通项公式可证明充分性成立，举例说明可证明必要性不成立，即可求解. 【解答过程】若数列 都是等比数列，设其公比分别为为常数)， 则， 所以当时，，为常数， 由等比数列的定义知，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故充分性成立； 若数列是等比数列，设， 当，时，满足， 但都不是等比数列，故必要性不成立. 所以“数列、都是等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数. (1)证明：对任意实数，数列不是等比数列； (2)试判断数列是否为等比数列. 【解题思路】（1）利用反证法，根据，可得矛盾，即可求解， （2）代入化简可得，利用等比数列的定义，即可求证. 【解答过程】（1）∵且，∴，． 假设存在一个实数，使数列是等比数列， 则，即，即，得，矛盾． 故对任意实数，数列不是等比数列． （2）∵， ∴， ∵， ∴当时，，此时数列不是等比数列； 当时，，此时，数列是等比数列． 4．（2024·四川乐山·一模）已知数列满足，，设. (1)求，，； (2)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (3)求的通项公式. 【解题思路】（1）根据题意，分别求得，进而求得的值； （2）根据题意，得到，即，结合等比数列的定义，即可得解； （3）由（2）得，结合，即可求得的通项公式. 【解答过程】（1）解：因为数列满足，，可得， 又因为，可得，，. （2）解：由数列满足，且，可得， 又因为，可得， 因为，所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列. （3）解：由（2）得，因为，可得， 所以的通项公式. 题型6 等比数列的前n项和及其最值 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为等比数列的前项和，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设等比数列的公比为，根据题意，求得，，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为， 因为，即，解得， 又因为，可得，解得， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【解题思路】先应用对数运算得出，再应用等比数列求和计算求值即可. 【解答过程】由题得，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则， 所以，即，故的最大值为9． 故选：A. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，已知． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和． 【解题思路】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【解答过程】（1）因为数列中，， 可得，,所以， 因为，所以数列是首项为2，公比为的等比数列． （2）由（1），可得，所以， 所以数列的前项和． 4．（2024·湖南·模拟预测）已知数列的前项和为，正项等差数列满足，且成等比数列. (1)求和的通项公式； (2)证明：. 【解题思路】（1）根据与之间的关系分析可知是首项为，公比为的等比数列，即可得，根据等比中项结合等差数列通项公式运算求解，即可得； （2）分析可知是以首项，公比为的等比数列，结合等比数列求和公式分析证明. 【解答过程】（1）由得， 两式相减可得，即. 当时，，即， 则，解得， 且，可知是首项为，公比为的等比数列， 可得. 设等差数列的公差为， 因为成等比数列，则， 即，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得，则， 可知是以首项，公比为的等比数列， 则 ， 所以. 题型7 等差、等比数列的综合应用 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为（    ） A．4 B．4或 C．6或 D．6 【解题思路】设插入的第一个数为a，根据等比数列的性质，求出插入的另一个数，最后根据等差数列的性质进行求解即可. 【解答过程】设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为． 由a，，20成等差数列，得．整理得，解得或． 当时，插入的两个数的和为． 当时，插入的两个数的和为． 故选：B. 2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）若数列为正项等比数列，，数列为公差为6，首项为1的等差数列，则数列前5项和的最小值为（    ） A． B． C． D．65 【解题思路】由已知可得，利用导数可求其最小值. 【解答过程】因为数列为公差为6，首项为1的等差数列， 所以 若数列为正项等比数列，，设公比为， 则， 所以数列前5项和为， 设，求导可得， 令，可得， 在上为增函数，又， 当时，，所以在上为增函数， 又， 所以当,，，， 所以， 当,, 所以则数列前5项和的最小值为. 故选：A. 3．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和. (1)求数列和的通项公式； (2)设的前项和，求证：． (3)设，求数列的前项和. 【解题思路】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，分别求得的值，即可求得数列和的通项公式； （2）由（1）求得，结合裂项法求和，求得数列的前项和，即可得证； （3）根据题意，求得数列的通项公式，结合等差数列的求和公式和乘公比错位法求和，即可求解. 【解答过程】（1）解：由等比数列的各项均为正数，设公比为， 因为成等差数列，且满足， 可得，即，即， 解得，所以， 设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为. （2）证明：由（1）知，， 可得， 则 ， 因为，所以，故. （3）解：因为，可得， 则数列的前项和， 令， 令，则， 两式相减得 ， 所以， 所以数列的前项和. 4．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且． (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解题思路】（1）先设等差数列的公差为，等比数列的公比为，再根据题干已知条件列出关于公差与公比的方程组，解出与的值，即可计算出等差数列与等比数列的通项公式； （2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再求数列的前项和时分奇数项与偶数项分别计算，奇数项求和运用错位相减法进行求和，偶数项求和时运用裂项相消法进行求和，最后综合即可得到前项和的结果． 【解答过程】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，化简，得， 整理，解得（舍去），或， 则， ，，． （2）由（1）可得， ， ， 令， 则， ， 两式相减，可得 ， ， 令， 则 ， ． 题型8 数列求和 1．（2024高一·全国·竞赛）函数，则的值为（    ） A．2012 B． C．2013 D． 【解题思路】由题意可得，再由倒序相加法求解即可. 【解答过程】由可得：， 所以，， 所以设 ， 则两式相加可得： ． 故选：B. 2．（2024·福建泉州·一模）记数列的前n项和分别为，若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用等差数列前n项和公式,联立方程组,可求出通项公式，再利用裂项相消法,求出数列的前n项和，即可求得. 【解答过程】因为是等差数列，可设公差为，由， 可得，解得：， 所以， 再由得：， 则数列的前n项和分别为， 即， 所以， 故选：A. 3．（23-24高二下·湖南·期末）数列的前项和为，当时，，数列满足：. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列，数列的前项和为，求. 【解题思路】（1）根据给定条件，结合数列第项与前项和的关系变形，再利用等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，进而求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和即得. 【解答过程】（1）由时，，知数列是等差数列， 由得，知数列的公差为1， 则， ， 当时，，且也满足上式， ， ，由为定值，知数列是等比数列. （2）易得， 则 则 两式相减得， 化简得. 4．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 【解题思路】（1）利用 来求得的通项公式. （2）利用分组求和法、裂项求和法等求和方法来求得数列的前2n项和． 【解答过程】（1）依题意，，， 当时，，解得，（舍去）. 当时，由得， 两式相减得， 即，由于， 所以，所以数列是首项为， 公差为的等差数列，所以（也符合）. （2）由（1）得， 所以 . 题型9 数列与不等式综合 1．（24-25高三上·广东·开学考试）设数列的前项和为．对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据递推关系可得为等比数列，即可结合累加法求解，由等比求和公式得，即可代入不等式化简得，构造，作差得数列单调性，即可求解. 【解答过程】由，得，又， 所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列，所以， 则， 进而数列是以2为公比，1为首项的等比数列，可得， 不等式恒成立， 即． 设，则， 当时，，为递减数列， 所以， 所以，解得． 故选：D． 2．（23-24高二下·四川成都·期中）已知等差数列的前项和为，若，，记数列的前项和为，若对都有恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】设等差数列的公差为，求得，求得，结合裂项法求和，求得，得到，结合题意，即可求解. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，，可得，所以， 则，可得， 所以的前项和为 ， 又因为，，且单调递增， 因为对都有恒成立，所以，所以实数的最小值为. 故选：B. 3．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）时，有，将它与已知式子相比可得，检验是否满足该式子即可得解； （2）先通过分组求和、等比数列求和公式得，然后对分离参数得不等式对恒成立，从而只需求出的最大值即可得解. 【解答过程】（1）因为， 所以时，， 所以当时，， 又满足上式， 所以； （2）由（1）知， 所以 ， 所以， 即不等式对恒成立， 令，， 令，可得， 当时，，此时，即此时有， 数列的最大项为，所以． 4．（23-24高二下·广西·阶段练习）已知为正项数列的前n项和，，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【解题思路】（1）根据给定的递推公式，结合变形，再利用等差数列定义求出通项. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性及有界性推理即得. 【解答过程】（1）正项数列的前n项和为，，当时，， 两式相减得， 显然，则，当时，，即， 又，则，而，解得，即， 从而，，数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则， 因此 ，，，即， 又数列单调递增，， 所以. 题型10 数列与其他知识的交汇问题 1．（23-24高二上·湖北武汉·期末）数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且）．则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据与关系求出通项，代入求出的通项，再根据裂项相消法求出的前项和. 【解答过程】由题意得，当时，， 又满足上式， ，. ， . 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0 D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为 【解题思路】分析点运动一次留在下底面和离开下底面的概率，以及移动一次从上底面回到下底面的概率，根据概率乘法公式和加法公式求解可判断A；根据题意寻找与之间的递推关系可判断B；分析点Q由点A移动到点处所需最少次数可判断C；根据递推关系构造数列，由等比数列通项公式可求得，可判断D. 【解答过程】在正方体中，每一个顶点有3个相邻顶点，其中两个在同一底面， 所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，离开下底面的概率为， 在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动， 所以移动4次后不可能到达点，故C正确， 对于D，因为，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，得， 所以，故D正确. 故选：B. 3．（23-24高二下·广东肇庆·期末）如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为． (1)求和的值； (2)推测与的关系，并求出的表达式． 【解题思路】（1）根据古典概型的概率求出，根据相互事件及互斥事件的概率公式求出； （2）依题意可得，即可得到，从而得到是以，公比为的等比数列，即可求出. 【解答过程】（1）依题意第一秒灯点等可能的在顶点、、处，其中在底面上的顶点为、， 所以， 第一秒灯点在顶点为、处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为； 第一秒灯点在顶点为处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为； 所以第二秒灯点在底面上的概率； （2）第秒亮灯点在底面上的概率为， 在底面上的概率为， 所以， 所以，所以是以，公比为的等比数列， 所以，则. 4．（23-24高二下·贵州遵义·期末）如图，已知点列在曲线上，点列在x轴上，，，为等腰直角三角形． (1)求，，；（直接写出结果） (2)求数列的通项公式； (3)设，证明：． 【解题思路】（1）直线的方程为，与抛物线方程联立可得，可求得，，同理可得； （2）由题意可得，进而可得，可求数列的通项公式； （3）由（2）可得，进而可证结论成立. 【解答过程】（1）由为等腰直角三角形，所以直线的直线斜率为1， 故直线的方程为，与抛物线方程联立可得，可解得或， 从而可得，可得的横坐标为1，因为，解得， 由，所以，可得， 可得，解得； （2）由题意可得，所以， 所以，所以， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， （3）由（1）可得， 所以， 所以， ， 所以. 题型11 数列的新定义、新情景问题 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）记数列中前项的最大值为，则数列称为的“最值数列”，由所有的值组成的集合为.设的“最值数列”的前项和为. (1)若，且中有3个元素，求的取值范围； (2)若数列都只有4项，为的“最值数列”，满足且存在，使得，求符合条件的数列的个数； (3)若，求中能被2整除且不能被4整除的个数. 【解题思路】（1）根据中有3个元素结合数列单调性定义分类讨论可得，，从而可得参数的取值范围； （2）就可得中必有，就在数列中的不同位置分类讨论后可得的个数； （3）根据特殊角的三角函数结合可得其通项，从而求即可. 【解答过程】（1）因为， 所以 当时，，当时， 故当时为增函数，时为减数列， 因为中有3个元素，所以，即， 所以，解得，所以的取值范围是. （2）若，则有1个， ①若且，则有3种可能，有3个， ②若且，则， 若，则，若的值可能是4或6， 若的值可能是2或4或6，符合条件的有6个， ③若均不为8，则， 的值可能分别为：， 符合条件有10个， ，综上得符合条件的有20个. （3）由题意得， 所以， 所以，能被4整除， ，不能被2整除， ， 能被2整除，不能被4整除， ，不能被2整除， 所以中能被2整除，但不能被4整除的有个. 2．（24-25高三上·全国·阶段练习）如果一个严格单调递增数列的每一项都是正整数，且对任意正整数，恒成立，则称数列为“奇特数列”． (1)设等差数列的首项，公差为．若，求证：为“奇特数列”； (2)已知数列，其中为“奇特数列”，为大于的最小的的正整数倍，． ①求证：为“奇特数列”； ②求证：当时，． 【解题思路】（1）根据“奇特数列”的定义结合糖水不等式求解证明； （2）①根据结合“奇特数列”的定义可证明；②根据为“奇特数列”， 设，利用分析法将所要证问题转化为只需证，即证.先由，可证，再证明，只需证，即证．利用“奇特数列”的定义求解得证. 【解答过程】（1）先证明已知，，则， ， ，，， ，即. 由题易知数列的每一项都是正整数， 由，所以数列严格单调递增， 又， 所以，所以为“奇特数列”． （2）①因为为“奇特数列”， 所以严格单调递增，且每一项都是正整数． 因为， 所以严格单调递增，且每一项都是正整数． 又，即，即， 所以，所以，即． 所以为“奇特数列”． ②由为“奇特数列”的定义，设． 要证，即证，只需证，即证. 因为，所以． 所以． 因为，所以要证，只需证，即证，只需证，即证． 因为， 所以． 因为成立，所以． 又，所以．得证． 3．（2025·江苏·模拟预测）设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的” (1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为 (2)若数列为“五彩的”且严格单调递增. （i）证明：数列和公差相等； （ii）证明：数列一定为等差数列. 【解题思路】（1）根据数列定义判断证明即可； （2）分别应用定义结合数列的单调性证明即可 【解答过程】（1）①不是 中不是等差数列，①不是 “五彩的”； ②是   ， ， 符合定义②是 “五彩的”. （2）（i）对正整数n，设，， 其中d，为正整数，整数b，c满足，， 由于数列单调递增，则对于任意正整数n，， 即， 即， 同除以n并令n趋近正无穷得，即证. （ii）对于正整数n，设， 由数列单调递增，知， 又因为， 故数列必然存在最大项A，最小项B， 下证即可，设正整数t使得， 一方面，由于数列以d为公差， ， 另一方面，， 从而， 又， ， 同理可得，即，即证. 4．（24-25高三上·山东德州·开学考试）若有穷数列满足：，若对任意的，与至少有一个是数列中的项，则称数列为数列. (1)判断数列是否为数列，并说明理由； (2)设数列为数列. ①求证：一定为中的项； ②求证：； (3)若数列为数列，且不是等差数列，求项数的所有可能取值. 【解题思路】（1）根据题干给出数列的定义进行判断即可；（2）①根据数列的定义证明；②根据数列结合累加法即可证明；（3）根据数列的定义结合数列不是等差数列，对参数k进行分类讨论即可. 【解答过程】（1）（1）数列不为数列， 因为和6均不是数列中的项， 所以数列不为数列. （2）①记数列的各项组成的集合为，又， 由数列为数列，，所以，即，所以， 设，因为，所以，得证. ②因为， 则， 将上面的式子相加得：. 所以. （3）（i）当时，由（2）知，， 这与数列不是等差数列矛盾，不合题意. （ii）当时，存在数列，符合题意，故可取4， （答案不唯一，满足即可） （iii）当时，由（2）知，，① 当时，，所以. 又， ， 所以， 即. 由，得：， 所以，② 由①②两式相减得：， 这与数列不是等差数列矛盾，不合题意. 综上，满足题设的可能取值只有4. 题型12 数学归纳法的应用 1．（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【解题思路】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可； （2）按照数学归纳法的步骤证明即可； 【解答过程】（1）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. （2）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. 2．（23-24高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：可以被7整除. 【解题思路】用数学归纳法证明． 【解答过程】证明：（1）时，，能被7整除， （2）假设时，命题成立，即能被7整除，设（是正整数）， 则时， ，是正整数，所以能被7整除， 所以时，命题成立， 综上，原命题成立，（是正整数）可以被7整除． 3．（23-24高二·全国·课后作业）平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域． 【解题思路】利用数学归纳法进行证明. 【解答过程】当时，1个圆将平面分为2个区域，，显然命题成立， 假设当时，个圆将平面分为个区域， 当时，第个圆与前k个圆交于2k个点，这2k个点把这个圆分为2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成两部分， 因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k个部分， 即， 即当时，命题成立 根据数学归纳法可得：平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，这个圆把平面分成了个区域. 4．（23-24高二下·北京房山·期中）已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项； (2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【解题思路】（1）由题意逐个计算即可得； （2）由（1）的计算结果可猜想出数列的通项公式，利用数学归纳法证明即可得. 【解答过程】（1）由且，则， ，； （2）由（1）的计算结果可猜想，证明如下： 当时，，等式成立； 假设当时等式成立，即有， 则当时，有， 即当时，等式成立； 故猜想成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$