专题4.8 数列的综合应用大题专项训练【七大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.8 数列的综合应用大题专项训练【七大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 等差、等比数列的交汇问题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正项等差数列满足：且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，，求数列的前项和. 2．（2024·吉林·模拟预测）已知数列满足：，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且， . (1)求数列、的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求证：. 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列，中，，，是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 5．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且． (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型二 数列的求和 6．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知等比数列的公比，且，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 7．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 8．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列的首项为1，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 9．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 10．（23-24高二下·湖南·期中）已知数列是等差数列，且，设数列前项和为，数列满足. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)求数列的前项和. 题型三 数列中的不等式恒成立、有解问题 11．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，若数列满足，且数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围． 12．（2024高二·全国·专题练习）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围． 13．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等比数列． (2)求满足的最大整数． 14．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知数列满足，其中且，为常数. (1)若求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下记，且数列前项和为，若存在，使得对任意的都成立，求实数的取值范围. 15．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知数列的前n项和为，且关于x的方程有两个相等的实数根． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，且对任意的恒成立，求实数的最大值． 题型四 数列中的不等式证明问题 16．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 17．（23-24高二下·安徽·期中）已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 18．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列，， ，，设数列的前n项和为．数列的前n项积为，若，，． (1)求数列的通项公式； (2)证明：，． 19．（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知为数列的前项和，为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求的最大值； (3)设，证明：. 20．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知数列. (1)证明：是等比数列； (2)已知数列. ①求的最大值； ②对任意的正整数，证明：. 题型五 数列的实际应用问题 21．（23-24高二下·全国·课堂例题）甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元． (1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式； (2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 22．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）某新能源汽车购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增. (1)设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为，写出的表达式； (2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年的年平均费用最少）？年平均费用的最小值是多少？ 23．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加． (1)设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式； (2)至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，） 24．（23-24高二上·山东青岛·期末）某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为、、、． (1)写出一个递推公式来表示与之间的关系； (2)将（1）中的递推公式表示成的形式，其中、为常数． (3)求其前项和的值．（精确到，其中） 25．（23-24高二上·福建厦门·期末）某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加0.01. (1)求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； (2)求该工厂今年全年生产的合格产品的数量. 参考数据：，. 题型六 数列与其他知识的交汇问题 26．（23-24高二下·江西萍乡·期末）已知函数关于点对称，其中为实数. (1)求实数的值； (2)若数列的通项满足，其前项和为，求. 27．（2024·广西河池·模拟预测）已知在正项数列中，，点在双曲线上.在数列中，点在直线上，其中是数列的前项和. (1)求数列的通项公式并求出其前项和； (2)求数列的前项和； 28．（23-24高一下·上海·期末）设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足. (1)求证：； (2)求数列的通项公式； (3)设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由. 29．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）在2024年5月举行的第一届全国全民健身大赛（西南区）篮球项目贵州选拔赛暨2024年贵州省篮球公开赛中，铜仁市代表队凭借出色的技术和顽强拼搏的精神，从全省42支队伍中脱颖而出，闯进决赛．受此影响，铜仁市某校掀起了篮球运动的热潮，在一次篮球训练课上，甲、乙、丙三位同学进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人． (1)求2次传球后球在甲手中的概率； (2)设次传球后球在甲手中的概率为，求证数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)现在丁加入传球训练，且甲、乙、丙、丁四人分别站定于如图所示的四点（为正方形的四个顶点），且每次传球时，传球者将球传给相邻同学的概率为，传给对角线上同学的概率为（例如：甲传球给乙或丁的概率都是，传球给丙的概率是；若第一次仍由甲将球传出，则次传球后，试比较球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小，并说明理由． 30．（24-25高三上·山西运城·开学考试）已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求； (3)求的面积． 题型七 数列的新定义、新情景问题 31．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”. (1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列. (2)已知. （i）证明：数列为“线性数列”. （ii）记，数列的前项和为，证明：. 32．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）对于一个正项数列，若存在一正实数，使得且，有，我们就称是-有限数列. (1)若数列满足，，，证明：数列为1-有限数列； (2)若数列是-有限数列，，使得且，，证明：. 33．（2024·河南郑州·模拟预测）设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列． (1)若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由； (2)证明：若的通项公式为，则不是数列； (3)设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值． 34．（23-24高二下·广东清远·期末）若各项为正的无穷数列满足:对于，其中为非零常数，则称数列为指形数列;若数列满足:，且时，有 ，则称数列为凹形数列. (1)若，判断数列是不是指形数列?若是，证明你的结论，若不是，说明理由; (2)若，证明指形数列也是凹形数列; (3)若指形数列是递减数列，令，求使得成立的最小正整数. 35．（23-24高二下·贵州黔南·期末）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． (1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.8 数列的综合应用大题专项训练【七大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 等差、等比数列的交汇问题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正项等差数列满足：且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，，求数列的前项和. 【解题思路】（1）利用已知，，成等比数列，用等差数列基本量列方程并求解，再由等差数列通项公式可得结论； （2）分别利用等差与等比数列求和公式分组求和法可得结论. 【解答过程】（1）设正项等差数列的公差为，则， 由成等比数列， 得，则， 又，即，解得（舍），或. 所以. 数列的通项公式为. （2）由题意得，， 则，且， 故是以为首项，为公比的等比数列， 则， . 故数列的前项和为. 2．（2024·吉林·模拟预测）已知数列满足：，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解题思路】（1）根据得到为公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式求出，再设的公比为，列出方程，求出，得到通项公式； （2）化简得到，故为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案. 【解答过程】（1）因为， 故为公差为2的等差数列， 所以， 又，，成等差数列，故， 设的公比为，其中， 则，解得或， 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，舍去， 综上，，； （2），则， 故为公差为3的等差数列， 故. 3．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且， . (1)求数列、的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求证：. 【解题思路】（1）根据等差数列和等比数列的定义求得通项公式即可； （2）利用裂项相消法求得，再根据其单调性即可得证. 【解答过程】（1）由题意得，解得： ， 因为数列是公差为，数列是公比为，所以， ； （2）由（1）得：       易知在上单调递增，故当时，取最小值， 又恒成立，所以. 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列，中，，，是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【解题思路】（1）根据等差数列通项公式即可求出； （2）根据等比数列的通项即可求解； （3）根据等比数列的求和公式以及等差求和公式，结合分组求解计算即可. 【解答过程】（1）因为是公差为2的等差数列，， 所以. （2）因为，数列是公比为2的等比数列， 所以. （3）由（1）（2）得， 由于的首项为，故的前项和为， 的首项和公比均为2，故前项和为， 故的前项和. 5．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且． (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解题思路】（1）先设等差数列的公差为，等比数列的公比为，再根据题干已知条件列出关于公差与公比的方程组，解出与的值，即可计算出等差数列与等比数列的通项公式； （2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再求数列的前项和时分奇数项与偶数项分别计算，奇数项求和运用错位相减法进行求和，偶数项求和时运用裂项相消法进行求和，最后综合即可得到前项和的结果． 【解答过程】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，化简，得， 整理，解得（舍去），或， 则， ，，． （2）由（1）可得， ， ， 令， 则， ， 两式相减，可得 ， ， 令， 则 ， ． 题型二 数列的求和 6．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知等比数列的公比，且，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用等比数列、等差数列性质求出公比及公差，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和即得. 【解答过程】（1）由题意得，而，解得， 所以. 由，得数列为等差数列，则，解得， 又，则，因此数列的公差为， 所以. （2）由（1）知， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以. 7．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【解题思路】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【解答过程】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 8．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列的首项为1，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解题思路】（1）结合题意，利用等比数列的概念即可求解等比数列通项； （2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解. 【解答过程】（1）因为数列的首项为1，且， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）知， 所以， 所以 . 9．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 【解题思路】（1）利用 来求得的通项公式. （2）利用分组求和法、裂项求和法等求和方法来求得数列的前2n项和． 【解答过程】（1）依题意，，， 当时，，解得，（舍去）. 当时，由得， 两式相减得， 即，由于， 所以，所以数列是首项为， 公差为的等差数列，所以（也符合）. （2）由（1）得， 所以 . 10．（23-24高二下·湖南·期中）已知数列是等差数列，且，设数列前项和为，数列满足. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)求数列的前项和. 【解题思路】（1）根据等差数列性质得到方程组，解出，再利用其前项和公式即可； （2）化简得，再利用裂项求和和分组求和即可. 【解答过程】（1）， ， . （2）， . 题型三 数列中的不等式恒成立、有解问题 11．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，若数列满足，且数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围． 【解题思路】（1）利用数列前和与项的关系可求得，再根据等差数列的通项公式即可求解； （2）由已知，利用裂项相消法求得，分离参数得，构造函数，再根据其单调性，求出，从而确定的范围. 【解答过程】（1）∵，当时，， 两式相减得：，整理得，              ∵，∴，当时，， ∴（舍）或，                                                   ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则； （2）由（1）知，，       ∴，   由 ，令， 则时，          所以，即随着增大，减小， 所以． 12．（2024高二·全国·专题练习）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围． 【解题思路】（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则答案可求； （2）由恒成立，得对一切恒成立，求出的最小值即可得答案. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，由，， 得解得 ∴，． （2）由恒成立，得恒成立， 即对一切恒成立． 当时，取得最小值1， ∴，即的取值范围是． 13．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等比数列． (2)求满足的最大整数． 【解题思路】（1）利用构造法，结合等比数列的定义，即可证明； （2）根据（1）的结果，结合等比数列前项和公式，即可求解不等式. 【解答过程】（1）证明：由，两边取倒数，并整理得， 则，因为，所以数列是等比数列． （2）由（1）得， 则， 显然为单调递增数列，则满足条件的最大整数为99． 14．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知数列满足，其中且，为常数. (1)若求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下记，且数列前项和为，若存在，使得对任意的都成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）利用题目数据求得，再根据等比中项判断数列为等比数列，然后求解等比数列通项公式即可. （2）先利用错位相减法求和，然后利用有解和恒成立法则列不等式求解即可. 【解答过程】（1）将，代入，解得， 所以，即， 所以为等比数列，首项为，公比为， 所以； （2）由（1）得， ， ， 可得， 所以， 存在，使得， 即，所以，即，所以的取值范围为. 15．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知数列的前n项和为，且关于x的方程有两个相等的实数根． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，且对任意的恒成立，求实数的最大值． 【解题思路】（1）方程有两个相等实根，即，可得，利用与的关系式即可求解. （2）由（1）知，得，利用错位相减法可得，再由对任意的恒成立，得对任意的恒成立，即，求出最小值即可求解. 【解答过程】（1）方程有两个相等的实数根， 则，即， 当时，， 当时，，符合， （2）由（1）知，， ①， ②， ①②得， ， 整理得：. 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 故， 又单调递增，单调递增， 单调递增， 故，当且仅当时取到最小值. 所以实数的最大值为. 题型四 数列中的不等式证明问题 16．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【解题思路】（1）利用递推公式作差计算即可求得通项公式； （2）利用（1）的结论及裂项相消法求和，再利用数列的单调性计算范围即可证明. 【解答过程】（1）已知， 当时，； 当时，， 则， 显然时，，满足上式， 综上，； （2）由上知:， 故， 易知单调递增， 时，， 又，即，证毕. 17．（23-24高二下·安徽·期中）已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 【解题思路】（1）利用公式时，，得到关于数列的递推关系式，法一，转化为，利用累乘法求通项公式，法二，转化为，判断数列是常数列，即可求通项公式； （2）首先根据（1）的结果求数列的通项公式，并放缩为，利用裂项相消法求和，即可证明. 【解答过程】（1）根据题意，当时， 法一： ∴ 当时， ，也满足. 法二： 可得， 所以数列是常数列， . （2），， 首项满足，所以， 所以， 设数列， 数列前n项和为， 分析可得，数列从第2项开始放缩成， 设数列 数列前n项和为， 所以. 18．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列，， ，，设数列的前n项和为．数列的前n项积为，若，，． (1)求数列的通项公式； (2)证明：，． 【解题思路】（1）根据分析可得，进而可得，结合与的关系可得，结合等比数列运算求解； （2）根据积项可得，整理可得，即可证明. 【解答过程】（1）因为，则， 两式相减可得，即， 又因为，则， 整理可得，则， 两式相减可得，则，且， 可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，所以. （2）由（1）可得， 因为， 若，则； 若，则； 综上所述：. 又因为 ， 又因为，则， 所以. 19．（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知为数列的前项和，为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求的最大值； (3)设，证明：. 【解题思路】（1）根据递推公式得出等差数列再应用基本量运算得出通项公式； （2）分组求和分别求出,再计算化简结合指数函数单调性计算求解； （3）先根据得出,再证明，结合等比数列求和证明右侧不等式 【解答过程】（1）由，得，所以数列为等差数列， 所以，所以. 又，所以， 设的公差为d，即解得 所以的通项公式是. （2）由（1）知，所以 ， ， 令，得， 设，则数列是递增数列. 又，， 所以n的最大值为5. （3）由（2）知， 设是的前n项和，则，所以是递增数列， 所以成立. 又， 所以当时，，所以， 得， 所以. 综上，. 20．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知数列. (1)证明：是等比数列； (2)已知数列. ①求的最大值； ②对任意的正整数，证明：. 【解题思路】（1）借助所得表示出及，再作商后结合等比数列判定定理即可得证； （2）①结合（1）中所得可得数列的通项公式，再借助分离常数法可得数列的单调性，即可得解；②将所需证明的转化为证明，从而只需证明，借助数列的通项公式，结合基本不等式放缩得到即可得证. 【解答过程】（1）由可得， ， 两式相除可得，又， 故是首项为公比为的等比数列； （2）①由（1）可知，，解得，故， ，故随的增大而减小， 即时的值最大，且最大值； ②， ， 当且仅当时取等； ， 其中，当且仅当时取等； ，其中， 故，当且仅当时取等； 故，当且仅当时取等； 由此对任意恒成立，即原不等式成立. 题型五 数列的实际应用问题 21．（23-24高二下·全国·课堂例题）甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元． (1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式； (2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 【解题思路】（1）根据求甲超市第年销售额的表达式，利用累加法求乙超市第年销售额的表达式； （2）利用（1）中得表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 【解答过程】（1）设甲超市前年总销售额为，第年销售额为， 则， 因为时，， 则时，， 故； 设乙超市第年销售额为，则， 时，， ， 显然时也符合， 所以 . （2）当时，，，有； 当时，，，有； 当时，，，故乙超市有可能被收购， 当，令，则， 整理得， 又当时，，故当且时，必有， 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 22．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）某新能源汽车购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增. (1)设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为，写出的表达式； (2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年的年平均费用最少）？年平均费用的最小值是多少？ 【解题思路】（1）根据给定条件，利用等差数列前n项和公式，即可得到的表达式. （2）由（1）的结论，求出使用n年平均费用表达式，再利用基本不等式，求解即得. 【解答过程】（1）依题意，汽车每年的保养维修费构成以0.2为首项，0.2为公差的等差数列， 所以 ，. （2）设该车的年平均费用为S万元， ， 则有仅当，即时取等号， 所以汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是万元. 23．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加． (1)设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式； (2)至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，） 【解题思路】(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入； (2)设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得，结合(1)进行化简并换元参数解不等式，进而可得结果. 【解答过程】（1）由题知，每年的追加投入是以40为首项，为公比的等比数列， 所以，； 同理，每年牧草收入是以30为首项，为公比的等比数列， 所以，. （2）设至少经过n年，牧草总收入超过追加总投入，即， 即， 令，，则上式化为，即， 解得，即，所以，， 即，所以， 所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入． 24．（23-24高二上·山东青岛·期末）某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为、、、． (1)写出一个递推公式来表示与之间的关系； (2)将（1）中的递推公式表示成的形式，其中、为常数． (3)求其前项和的值．（精确到，其中） 【解题思路】（1）由题设条件可得出的值，以及数列的递推公式； （2）由及（1）中的递推公式可求出、的值，即可得出结果； （3）分析可知，数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的值. 【解答过程】（1）解：由题意，得， 第年年初的计划存栏数是在第年年初的计划存栏数的基础上增长，再减去， 则. （2）解：将化成， 对比，可得，解得， 所以，（1）中的递推公式可表示为. （3）解：由（2）可知，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，则， 所以， . 25．（23-24高二上·福建厦门·期末）某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加0.01. (1)求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； (2)求该工厂今年全年生产的合格产品的数量. 参考数据：，. 【解题思路】（1）记第月的产量为，第月的产品合格率为，确定数列为等比数列，数列为等差数列，根据等差数列以及等比数列的通项公式，结合判断第月生产的不合格产品数的增减性，即可求得答案； （2）设今年前个月生产的合格产品总数为，利用错位相减法即可求得，结合近似计算，即得答案. 【解答过程】（1）记从今年1月起，第月的产量为，第月的产品合格率为. 由题可知，数列为等比数列，首项，公比， 数列为等差数列，首项，公差， 所以，， 所以今年2月份生产的不合格产品数为； 设第月生产的不合格产品数为，则， 所以， 当时，；当时，；当时，， 所以， 即5月或6月生产的不合格产品数最多； （2）设今年前个月生产的合格产品总数为，则， 由于，， 所以①， ②， ①－②得 所以， 即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604个. 题型六 数列与其他知识的交汇问题 26．（23-24高二下·江西萍乡·期末）已知函数关于点对称，其中为实数. (1)求实数的值； (2)若数列的通项满足，其前项和为，求. 【解题思路】（1）根据函数中心对称性，整理方程，解得答案； （2）根据倒序相加法，可得答案. 【解答过程】（1）由题知，即， 整理得，解得 ； （2）由题知，，且， 则， 又， 故， 即. 27．（2024·广西河池·模拟预测）已知在正项数列中，，点在双曲线上.在数列中，点在直线上，其中是数列的前项和. (1)求数列的通项公式并求出其前项和； (2)求数列的前项和； 【解题思路】（1）由已知有，根据等差数列定义写出通项公式和前n项和公式； （2）由题设，，作差整理得，再结合等比数列求和公式即可求解 【解答过程】（1）由点在上，则. 数列是以2为首项，1为公差的等差数列. 所以，. （2）因为点在直线上，①，②， 两式相减，得，则. 由①式，令得，故， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以. 28．（23-24高一下·上海·期末）设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足. (1)求证：； (2)求数列的通项公式； (3)设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据数量积的坐标运算与二次函数的单调性求解即可； （2）根据数列前项和与通项公的关系求解即可； （3）利用，结合作除法根据求解的最大项即可. 【解答过程】（1）证明：由已知， 而函数在上是增函数，所以 （2）因为，所以， 两式相减，得，当时不满足， 所以数列的通项公式为 （3）因为， 又， 当，即时随的增大而增大. 又，即，即当或9时取最大值. 所以存在或9，使得成立. 29．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）在2024年5月举行的第一届全国全民健身大赛（西南区）篮球项目贵州选拔赛暨2024年贵州省篮球公开赛中，铜仁市代表队凭借出色的技术和顽强拼搏的精神，从全省42支队伍中脱颖而出，闯进决赛．受此影响，铜仁市某校掀起了篮球运动的热潮，在一次篮球训练课上，甲、乙、丙三位同学进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人． (1)求2次传球后球在甲手中的概率； (2)设次传球后球在甲手中的概率为，求证数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)现在丁加入传球训练，且甲、乙、丙、丁四人分别站定于如图所示的四点（为正方形的四个顶点），且每次传球时，传球者将球传给相邻同学的概率为，传给对角线上同学的概率为（例如：甲传球给乙或丁的概率都是，传球给丙的概率是；若第一次仍由甲将球传出，则次传球后，试比较球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小，并说明理由． 【解题思路】（1）分析出两次传球后球在甲手中的事件含有的基本事件，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得. （2）由第n次传球后球在甲手中的事件发生，必有第次传球后球不在甲手中的，得即可推理得证. （3）设设第n次传球后球在甲乙丙丁手中的概率分别为，由题意推理计算得它们的通项，再比较大小即得. 【解答过程】（1）依题意，传球2次后球在甲手中包括两个基本事件，即：甲乙甲和甲丙甲， 所以传球2次后球在甲手中的概率为. （2）设第n次传球后球在甲手中的概率为， 则当时，第次传球后球在甲手中的概率为，第次传球后球不在甲手中的概率为， 显然，若要第n次传球后球在甲手中，则第次传球后球必定不能在甲手中， 无论此时球在乙或丙的手中，传给甲的概率都是，则有，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列，，即. （3）设第n次传球后球在甲手中的概率，球在乙手中的概率， 球在丙手中的概率,则球在丁手中的概率， 则有， ，， ，， 于是，且，又， 则是以为首项，为公比的等比数列，， 又于是， 而，且有， 于是，又，则， 若为奇数，则，此时， 若为偶数，则，此时. 30．（24-25高三上·山西运城·开学考试）已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求； (3)求的面积． 【解题思路】（1）由点在抛物线上，代入即可求解； （2）方法一：求得过，且斜率为的直线方程， ，联立方程组，求得方程的两根，得到，结合等差数列的定义，即可得证； 方法二：由点在抛物线上，得到方程组，两式相减，结合向量公式，得到，即可得证； （3）由（2）得到，结合梯形和的面积，求得的面积，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为点在抛物线上，可得，解得． （2）证明：由（1）知：，即， 方法一：因为点在抛物线上，则，且， 过，且斜率为的直线， 联立方程组，可得， 解得或，所以，可得， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列， 所以，． 方法二：因为点在抛物线上， 所以，两式相减得：． 所以：可得， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列， 所以，． （3）解：由（2）知：， 可得梯形的面积为： 即，同理可得， 又由梯形的面积为： ， 即，则的面积为： ． 题型七 数列的新定义、新情景问题 31．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”. (1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列. (2)已知. （i）证明：数列为“线性数列”. （ii）记，数列的前项和为，证明：. 【解题思路】（1）依题意可得，则，即可求出、，从而得到，结合等比数列的定义证明即可； （2）（i）首先求出，令，求出、，再计算即可证明； （ii）由（i）可得 ，利用裂项相消法求出，即可得证. 【解答过程】（1）因为为“线性数列”，所以， 所以，即，解得， 所以， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）（i）因为，则， 令，即，解得，所以， 因为 ， 所以，所以数列为“线性数列”； （ii）因为，则 ， 所以 ， 因为，，所以， 所以. 32．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）对于一个正项数列，若存在一正实数，使得且，有，我们就称是-有限数列. (1)若数列满足，，，证明：数列为1-有限数列； (2)若数列是-有限数列，，使得且，，证明：. 【解题思路】（1）利用累加法可得，结合数列的单调性及1-有限数列的定义可知为1-有限数列； （2）利用放缩法和裂项相消法可证不等式成立. 【解答过程】（1）因为且为正项数列，故， 而，，故当时，， 因为，故， 由累加法可得， 故， 故数列为1-有限数列； （2） 因为且，， 故 . 33．（2024·河南郑州·模拟预测）设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列． (1)若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由； (2)证明：若的通项公式为，则不是数列； (3)设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值． 【解题思路】（1）由题知，再根据T数列的定义，即可作出判断； （2）先假设是数列，从而有，再进行验证，即可证明结果； （3）根据题设得到，取对数后可得，分类讨论后可求. 【解答过程】（1）是T数列， 理由：由题知，即， 所以，， 当时，，所以是T数列． （2）假设是数列，则对任意正整数，总是中的某一项， ， 所以对任意正整数，存在正整数满足：， 显然时，存在，满足，     取，得，所以， 可以验证：当，2，3，4时，都不成立， 故不是T数列. （3）已知是等比数列，其首项，公比， 所以， 所以， 由题意知对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 即对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 即对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 若，则，任意，这不可能成立； 若， 故对任意，总存在使得该等式成立， 故必为整数， 取，则有正整数解，故， 若，则，此时方程对任意， 必有正整数解； 若，则， 此时方程对任意， 必有正整数解； 综上，或． 34．（23-24高二下·广东清远·期末）若各项为正的无穷数列满足:对于，其中为非零常数，则称数列为指形数列;若数列满足:，且时，有 ，则称数列为凹形数列. (1)若，判断数列是不是指形数列?若是，证明你的结论，若不是，说明理由; (2)若，证明指形数列也是凹形数列; (3)若指形数列是递减数列，令，求使得成立的最小正整数. 【解题思路】（1）根据对数运算得，即证明其为指形数列； （2）根据指形数列的概念求得，再计算，结合基本不等式即可证明其为凹形数列； （3）根据指形数列的定义得，再利用其为递减数列得，从而求得，再利用等比数列求和公式得，最后引入高斯函数，分类讨论即可. 【解答过程】（1）数列是指形数列. 当时，， ， 即数列是指形数列. （2）若是指形数列，且，则， 此时数列是以为首项，为公差的等差数列， ， 当，且时， 等号不成立，，即若， 则指形数列也是凹形数列. （3）若是指形数列，且，则， 此时数列是以为首项，为公差的等差数列， ，. 该指形数列是递减数列， ，即，得， . . ，， ，. 令等于不大于的最大正整数， 当时，； 当时，，以上. 35．（23-24高二下·贵州黔南·期末）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． (1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 【解题思路】（1）根据题意得到，且，，再解不等式组即可； （2）首先假设存在等差数列符合要求，从而得到成立，再分类讨论和的情况，即可得到答案. （3）首先设数列的公比为q，则，根据题意得到，从而得到为最小项，同理得到为最小项，再利用“数列”的定义得到，或，，再分类讨论即可得到答案. 【解答过程】（1）由题意得，且，解得，所以实数m的取值范围是． （2）不存在．理由：假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则， 由得． 由题意，得对均成立，即． 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以这样的等差数列不存在． （3）设数列的公比为q，则． 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“K数列”，只需，即． 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即． 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以或． 当时，，则． 令，则， 又， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“K数列”． 当时，，则． 因为，所以数列不是“K数列”． 综上所述，当时，，数列为“K数列”； 当时，，数列不是“K数列”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$