专题4.7 数学归纳法【七大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.7 数学归纳法【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 数学归纳法的证明步骤】 2 【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 2 【题型3 用数学归纳法证明不等式】 3 【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 4 【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 5 【题型6 用数学归纳法证明数列问题】 6 【题型7 用数学归纳法证明其他问题】 7 【知识点1 数学归纳法】 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想 的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 【题型1 数学归纳法的证明步骤】 【例1】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【变式1-1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的，都有 ，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【变式1-3】（23-24高三·全国·对口高考）某同学用数学归纳法证明不等式，过程如下： （1）当时，，不等式成立． （2）假设当,且时，不等式成立，即，则当时，， ∴当时，不等式成立． 根据（1）和（2）可知对任何都成立．则上述证法（    ） A．全部过程均符合数学归纳法的原理 B．的验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理没有用到归纳假设 【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【变式2-2】（23-24高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【题型3 用数学归纳法证明不等式】 【例3】（2024高三·全国·专题练习）证明∶不等式成立. 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【变式3-2】（23-24高二下·河南南阳·期末）观察下列不等式：，，，，……． (1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题； (2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题． 【变式3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)． 【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 【例4】（23-24高二·全国·课堂例题）在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 【变式4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【变式4-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为． 【变式4-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知个半径相等的半圆的圆心在同一直线上，这个半圆每两个都相交，且都在直线的同侧，试用数学归纳法求这个半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧． 【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 【例5】（2024高二下·全国·专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【变式5-1】（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知,存在自然数,使得对任意,都能使整除,则最大的的值为 A．30 B．9 C．36 D．6 【变式5-2】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 【变式5-3】（23-24高三·全国·对口高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【题型6 用数学归纳法证明数列问题】 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【变式6-1】（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【变式6-2】（23-24高二下·北京房山·期中）已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项； (2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【变式6-3】（23-24高二上·上海·课后作业）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 【题型7 用数学归纳法证明其他问题】 【例7】（23-24高二下·山西吕梁·期末）给出下列不等式： ， ， ， ， （1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 【变式7-1】（2024高三·全国·专题练习）试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何分的邮资． 【变式7-2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：①，；②若、，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：“若，则”是真命题； (3)证明：若，，则. 【变式7-3】（2024·上海普陀·模拟预测）如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推. （1）写出点和的坐标； （2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.7 数学归纳法【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 数学归纳法的证明步骤】 2 【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 3 【题型3 用数学归纳法证明不等式】 6 【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 7 【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 10 【题型6 用数学归纳法证明数列问题】 12 【题型7 用数学归纳法证明其他问题】 15 【知识点1 数学归纳法】 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想 的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 【题型1 数学归纳法的证明步骤】 【例1】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【解题思路】根据题意，结合变到时，左边由项增加到项，即可求解. 【解答过程】由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到，故共有项， 又由变到时，左边由项增加到项， 从而左边增加了项. 故选：D. 【变式1-1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的，都有 ，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据数学归纳法的知识确定正确答案. 【解答过程】在等式中， 当时，， 故等式的左边为，右边为. 所以第一步应该验证的等式是. 故选：D. 【变式1-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【解题思路】分别计算出和的项数，进而作差即得结论． 【解答过程】因为， 所以，共项， 则共项， 所以比共增加了项， 故选：D. 【变式1-3】（23-24高三·全国·对口高考）某同学用数学归纳法证明不等式，过程如下： （1）当时，，不等式成立． （2）假设当,且时，不等式成立，即，则当时，， ∴当时，不等式成立． 根据（1）和（2）可知对任何都成立．则上述证法（    ） A．全部过程均符合数学归纳法的原理 B．的验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理没有用到归纳假设 【解题思路】根据数学归纳法的定义与证明即可判断. 【解答过程】根据数学归纳法的证明可知当的验证正确，归纳假设正确，故BC错误； 从到的推理中，并没有用到时的假设，故D正确，A错误， 故选：D. 【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【解题思路】应用数学归纳法证明即可. 【解答过程】当时，左边右边； 假设时，原等式成立，则时， 等式左边，因此时原等式也成立． 综上，都有． 【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【解题思路】（1）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立； （2）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立. 【解答过程】（1）证明：记， 当时，则有，等式成立， 假设当，等式成立，即， 则， 这说明当时，等式成立， 故对任意的，. （2）证明：设， 当时，，等式成立， 假设当时，等式成立， 即， 所以， ， 这说明当时，等式成立， 所以，对任意的，. 【变式2-2】（23-24高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 【解题思路】根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当时成立，进而假设时等式成立，证明时，等式也成立；即可得证． 【解答过程】设． ①当时，左边，右边，等式成立； ②设当时等式成立，即， 则当时， ． 由①②可知当时等式都成立． 【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【解题思路】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可； （2）按照数学归纳法的步骤证明即可； 【解答过程】（1）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. （2）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. 【题型3 用数学归纳法证明不等式】 【例3】（2024高三·全国·专题练习）证明∶不等式成立. 【解题思路】利用数学归纳法证明即可. 【解答过程】①当时，左边右边，∴不等式成立. ②假设当时不等式成立，即. ③当时， 左边 ， ∴当时，不等式也成立. 综上可得，原不等式恒成立. 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【解题思路】运用数学归纳法的步骤进行证明即可. 【解答过程】当时，不等式成立， 假设时原不等式成立，即， 则时，左边， 当时，， 即， 因此时原不等式也成立． 综上，对任意的正整数． 【变式3-2】（23-24高二下·河南南阳·期末）观察下列不等式：，，，，……． (1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题； (2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题． 【解题思路】（1）不完全归纳得解； （2）利用数学归纳法证明即可. 【解答过程】（1）解：不等式可写为：，，，， 所以归纳得到命题：（n为正整数）． （2）证明：①当n＝1时，易知命题成立； ②假设当 时，命题成立，即． 则当时， ， 即时，命题也成立． 由①②可知，． 【变式3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)． 【解题思路】利用数学归纳法可证明，先假设n＝k时成立，再证明n＝k＋1时成立即可. 【解答过程】当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． 假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即， 当n＝k＋1时， ， 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 综上，原不等式对任意n∈N*都成立． 【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 【例4】（23-24高二·全国·课堂例题）在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 【解题思路】先通过，2，3，4，5的结果归纳出，再用数学归纳法证明即可. 【解答过程】记n条直线把平面分成个部分，我们通过，2，3，4，5，画出图形观察的情况（如图）    从图中可以看出， ， ， ， ， . 由此猜想. 接下来用数学归纳法证明这个猜想. （1）当，2时，结论均成立. （2）假设当时结论成立，即. 那么，当时，第k+1条直线与前面的k条直线都相交，有k个交点， 这k个交点将这条直线分成k+1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分， 所以，结论也成立. 根据（1）和（2）可知，对，都有， 即. 【变式4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【解题思路】验证当时，结论成立；假设当时，结论成立，分析可知凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成，即可得出成立，这说明当时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立. 【解答过程】证明：当时，三角形的内角和为，即，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 假设凸边形，如下图所示： 则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成， 所以，， 这说明当时，结论成立， 故凸边形的内角和. 【变式4-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为． 【解题思路】按照数学归纳法证明步骤证明即可. 【解答过程】证明：（1）当时，两条直线的交点只有1个，又， 所以时，命题成立； （2）假设且时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数， 那么，当时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为， 因为任意两条直线不平行，所以直线l与其他k条直线的交点个数为k，又任意三条不过同一点， 所以上面k个交点两两不同，且与平面内其他的个交点也两两不同，从而k+1条直线共有个交点， 即 ， 所以当时，命题成立. 综上，原命题成立. 【变式4-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知个半径相等的半圆的圆心在同一直线上，这个半圆每两个都相交，且都在直线的同侧，试用数学归纳法求这个半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧． 【解题思路】设这个半圆被所有的交点最多分成段圆弧，由，，由此猜想，再用数学归纳法证明即可 【解答过程】设这个半圆被所有的交点最多分成段圆弧， 如图分别是，的情形． 由图可知，，，由此猜想． 现用数学归纳法证明该猜想． ①当时，猜想显然正确． ②假设时，猜想正确，即， 则当时，作出第个半圆，它与前个半圆均相交，最多新增个交点， 第个半圆自身被分成了段弧，同时前个半圆又各多分出1段弧， 故有， 即当时，猜想正确． 综上，对于，，都成立． 故这个半圆被所有的交点最多分成段圆弧． 【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 【例5】（2024高二下·全国·专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【解题思路】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 【解答过程】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D. 【变式5-1】（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知,存在自然数,使得对任意,都能使整除,则最大的的值为（    ） A．30 B．9 C．36 D．6 【解题思路】依题意，可求得、、、的值，从而可猜得最大的的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【解答过程】由，得， ，， ，由此猜想. 下面用数学归纳法证明： (1)当时，显然成立。 (2)假设时， 能被36整除，即 能被36整除； 当时, 是2的倍数， 能被36整除， 当时，也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数都有能被36整除， 的最大值为36. 故选：C. 【变式5-2】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 【解题思路】先验证时，能被整除；假设当时，能被整除，再证明能被整除，结合归纳原理可得出结论成立. 【解答过程】证明：（1）当时，能被整除，所以结论成立； （2）假设当时结论成立，即能被整除． 则当时， ， 因为能被整除，能被整除， 所以，能被整除，即即时结论也成立． 由（1）（2）知命题对一切都成立． 【变式5-3】（23-24高三·全国·对口高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【解题思路】 求出、的最大公约数，可得出的值，然后利用数学归纳法证明出都能被整除，即可得出结论. 【解答过程】解：，， 所以，、的最大公约数为， 猜想：对任意的，能被整除， 当时，猜想显然成立； 假设当，猜想成立，即能别整除， 即存在，使得， 则当时， ， 因为为奇数，则为偶数，则能被整除， 所以，能被整除， 这说明当时，猜想也成立， 故对任意的，对任意正整数都能被整除，且. 故的最大值为. 【题型6 用数学归纳法证明数列问题】 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【解题思路】（1）分别将代入求解即可； （2）先猜想通项公式，再应用数学归纳法及证明即可. 【解答过程】（1）当时，由已知条件可得，即， 解得； 当时，由已知条件可得，将代入得， 解得； 当时，由已知条件可得，同理解得． （2）由（1）可以猜想，时，等式成立； 假设当时，等式也成立，即， 又因为， 将代入上式解得， 所以时命题成立． 综合可得，当时，． 【变式6-1】（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【解题思路】（1）先根据和项与通项关系求得，解得； （2）先证明成立，再根据成立推导成立即可. 【解答过程】（1）当时 所以 当时； （2）①当时，，即时，结论成立； ②假设当时，结论成立，即 当时， 因为 即当时，结论成立； 由①②得，. 【变式6-2】（23-24高二下·北京房山·期中）已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项； (2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【解题思路】（1）由题意逐个计算即可得； （2）由（1）的计算结果可猜想出数列的通项公式，利用数学归纳法证明即可得. 【解答过程】（1）由且，则， ，； （2）由（1）的计算结果可猜想，证明如下： 当时，，等式成立； 假设当时等式成立，即有， 则当时，有， 即当时，等式成立； 故猜想成立. 【变式6-3】（23-24高二上·上海·课后作业）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 【解题思路】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可. 【解答过程】（1）因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以舍去， 同理可得：舍去，舍去，舍去， 所以，，，，； （2）猜想：，证明过程如下： 当时，显然成立， 假设当时成立，即， 当时，， 解得：，或， 因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 显然， 所以，舍去， 所以当时，成立， 综上所述：. 【题型7 用数学归纳法证明其他问题】 【例7】（23-24高二下·山西吕梁·期末）给出下列不等式： ， ， ， ， （1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 【解题思路】（1）猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，即得解； （2）递推部分，利用时结论，替换括号内部分 即得证. 【解答过程】解：（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点： ，，，， 猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为， 所以，不等式的一般结论为： （2）证明：①当时显然成立；    ②假设时结论成立，即：成立，   当时，    即当时结论也成立. 由①②可知对任意，结论都成立. 【变式7-1】（2024高三·全国·专题练习）试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何分的邮资． 【解题思路】利用数学归纳法证明. 【解答过程】1°当n=8时，结论显然成立． 2°假设当时命题成立． 若这k分邮资全用3分票支付，则至少有3张，将3张3分票换成2张5分票就可支付k+1分邮资； 若这k分邮资中至少有一张5分票，只要将一张5分票换成2张3分票就仍可支付k+1分邮资． 故当n=k+1时命题也成立． 综上，对的任何自然数命题都成立． 【变式7-2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：①，；②若、，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：“若，则”是真命题； (3)证明：若，，则. 【解题思路】（1）结合性质①②证明，然后利用性质③即可求解； （2）结合（1）中结论，利用数学归纳法即可求解； （3）结合已知条件，先证明，然后证明，然后证明即可求解. 【解答过程】（1）正确，理由如下： 由①②可知，，， 由③可知，. （2）由②可知，对于，，故只需证明对于，， 由（1）中知，， 可知，， 假设正整数，可得， 故对于，都成立， 从而“若，则”是真命题. （3）若，且，由①②知，，， 由③知，，， 又由②③知，，则， 又由②知，， 因为，， 故时，， 因为，，所以，， 所以由（2）知，，，， 又由，则， 又因为，所以，从而，故， 从而，. 【变式7-3】（2024·上海普陀·模拟预测）如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推. （1）写出点和的坐标； （2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明. 【解题思路】（1）将直线，曲线方程联立，由即可求得，由垂直关系可得直线方程，令即可求得坐标，依次类推即可求得结果； （2）由（1）可归纳出；设，，由直线方程可求得坐标，由直线斜率为可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论. 【解答过程】（1）由得：，即； 直线方程为：，即， 令，解得：，； 直线方程为：，由得：，即； 直线方程为：，即， 令，解得：，； 直线方程为：， 由得：，即； 直线方程为，即， 令，解得：，； （2）由（1）猜想的坐标为， 设，，则直线的方程为：， 令，解得：，， 直线的斜率为，即，即， ， 用数学归纳法证明的坐标如下： ①当时，满足； ②假设当时，成立， 那么当时，由得： ，解得：， 即当时，成立； 综上所述：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$