专题08 相似三角形常见模型（九大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题08 相似三角形常见模型 A字型相似 1．（2023-24九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，．已知的面积为9，则阴影部分的面积为 ．    2．（2023-24 九年级上 山东潍坊·期中）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．    3．（2023-24九年级上·全国·课后作业）如图，，分别是与边上的高． 求证：． 4．（2023九年级上·全国·期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 8字型相似 5．（2023-24·九年级上 山东聊城·期中）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 6．（2023-24九年级上·广东珠海·期中）如图，在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则 ． 7．（2023-24九年级上·北京房山·期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 8．（2023-24九年级·全国·期中）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． AX字型相似 9．（2023-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为______． A． B． C． D． 10．（2023-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE=5，EF=2，则FG的长是 ． 母子型相似 11．（2023-24·浙江·期中）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 12．（2023-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 13．（2023-24九年级上·山西太原·期中）如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 14．（2023-24九年级上·广西贺州·期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．    15．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，交于点F，已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 双垂直型相似 16．（2023-24九年级上·河南漯河·期中）如图，在矩形中，是上一点，，垂足为，，的面积为，的面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 17．（2023-24九年级上·全国·期中）如图，四边形中，，，E为上一点，分别以、为折痕将两个角向内折起，点A、B恰好落在边的点F处，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 18．（2023-24 九年级上·全国·期中）在锐角△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE＝2，求AC边上的高． 一线三等角型相似 19．（2023-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接．当时，长为（　　）    A．6 B． C．10 D．6 20．（2023-24 九年级·全国·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 21．（2023-24九年级上·江苏扬州·假期作业）如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F． (1)求证：； (2)连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由． 22．（2023-24九年级上·山东日照·期中）已知等边三角形的边长为4． (1)如图，在边上有一个动点，在边上有一个动点，满足，求证：；    (2)如图，若点在射线上运动，点在直线上，满足，当时，求的长；    (3)在（2）的条件下，将点绕点逆时针旋转到点，求的面积． 手拉手型相似 23．（2023-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（　　） A．3 B．2 C．5 D． 24．（2023-24九年级上·甘肃白银·期中）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有 （填正确的序号） 25．（2023-24九年级上·四川成都·期中）如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 三角形内接矩形型相似 26．（2023-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．    27．（2023-24·九年级上 广东佛山·期中）如图，在中，．点，，分别在上，且四边形是正方形，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，…，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，则线段的长度是 ． 28．（2023-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，正方形的边长是6，且四个顶点都在的各边上，．    (1)求证：； (2)求的值． 辅助线构造A字型或8字型 29．（2023-24九年级上·四川德阳·期中）如图，已知F是内的一点，，，若四边形的面积为2，，，则的面积是（　　）． A．6 B．8 C．10 D．12 30．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在菱形中，点分别是上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ， ．    31．（2023-24 九年级上·四川绵阳·期中）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ． 1．（2023-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含角的直角三角板绕直角顶点旋转，、分别交边、于、，连接，当时，的长为（    ）    A．6 B． C． D． 2．（2023-24 九年级上·北京通州·期中）如图，在中，，，，点P为上一点，连接，以，为邻边作，连接，则的长的最小值为 ． 3．（2023-24九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为 ． 4．（2023-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 5．（2024·河南洛阳·三模）如图，等边三角形的边长为3，点分别在边和上．将沿着折叠，若点恰好落在边的三等分点处，此时的长为 6．（2024·安徽亳州·期中）如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上． （1）与的大小关系是 （填“相等”或“不相等”）； （2）若，则的长是 ． 7．（2023-24九年级·全国·期中）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是米，两个路灯的高度都是米，且； (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少? 8．（2023-24·九年级上 上海浦东新·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E． (1)求线段DE的长； (2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值． 9．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 相似三角形常见模型 A字型相似 1．（2023-24九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，．已知的面积为9，则阴影部分的面积为 ．    【答案】 【详解】解：∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，正确求得． 2．（2023-24 九年级上 山东潍坊·期中）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．    【答案】/ 【详解】解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）； 故答案为： 【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键． 3．（2023-24九年级上·全国·课后作业）如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【详解】解：证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 4．（2023九年级上·全国·期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 8字型相似 5．（2023-24·九年级上 山东聊城·期中）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴． 故选：A． 6．（2023-24九年级上·广东珠海·期中）如图，在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则 ． 【答案】1 【详解】解： 取BE中点H，连接FH与CH，如图所示： ∴EH=， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵F是AE的中点，H为BE中点， ∴FH为∆ABE的中位线， ∴FH∥AB∥CD，FH=， ∵E是CD中点， ∴CE， ∴CE=FH， ∵FH∥CD ∴四边形CEFH为平行四边形， ∴EG=GH=， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质定理等，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 7．（2023-24九年级上·北京房山·期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 【答案】1.5 【详解】解：∵AD与BC交于O点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式． 8．（2023-24九年级·全国·期中）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵ABCD， ∴△AOB∽△COE． ∴OE：OB=OC：OA； ∵ADBC， ∴△AOF∽△COB． ∴OB：OF=OC：OA． ∴OB：OF=OE：OB，即． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型． AX字型相似 9．（2023-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为______． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．（2023-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE=5，EF=2，则FG的长是 ． 【答案】10.5 【详解】解：∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CEB， ∴=， 又∵△ABE∽△CGE， ∴=， ∴， 将BE=5，EF=2，代入求得EG=12.5， FG=EG﹣EF=12.5﹣2=10.5． 故答案为：10.5 【点睛】此题考查学生相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解与掌握．利用相似三角形中的对应边成比例是解答此题的关键． 母子型相似 11．（2023-24·浙江·期中）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 【答案】 【详解】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 12．（2023-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，延长到，使，连接， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键． 13．（2023-24九年级上·山西太原·期中）如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 【答案】经过或秒时，与相似 【详解】解：设经过t秒时，与相似， 则，，， ∵， ∴当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：； 综上所述：经过或秒时，与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 14．（2023-24九年级上·广西贺州·期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．    【答案】证明见解析． 【详解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2 ∴， ∴ ∵∠C =∠C ∴△ACD∽△BCA． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键． 15．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，交于点F，已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 双垂直型相似 16．（2023-24九年级上·河南漯河·期中）如图，在矩形中，是上一点，，垂足为，，的面积为，的面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，矩形， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，相似比， ∴， 故选：． 17．（2023-24九年级上·全国·期中）如图，四边形中，，，E为上一点，分别以、为折痕将两个角向内折起，点A、B恰好落在边的点F处，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ． 根据折叠前后的图形全等得到， ，，， ，， ， ， ， ∴， ， （负值舍去）. 故选：A. 18．（2023-24 九年级上·全国·期中）在锐角△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE＝2，求AC边上的高． 【答案】6 【详解】过点B做BF⊥AC,垂足为点F， ∵AD,CE分别为BC,AB边上的高， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴Rt△ADB∽Rt△CEB, ∴，即， 且∠B=∠B， ∴△EBD∽△CBA, ∴, ∴, 又∵DE=2， ∴AC=6， ∴ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 一线三等角型相似 19．（2023-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接．当时，长为（　　）    A．6 B． C．10 D．6 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点Q作于点M，    ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．先证明是解题的关键． 20．（2023-24 九年级·全国·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，   ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 21．（2023-24九年级上·江苏扬州·假期作业）如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F． (1)求证：； (2)连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点为的中点，理由见解析 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ，， ； （2）点为的中点时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， 点为的中点． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用同角的余角找出;（2）利用相似三角形的性质得出． 22．（2023-24九年级上·山东日照·期中）已知等边三角形的边长为4． (1)如图，在边上有一个动点，在边上有一个动点，满足，求证：；    (2)如图，若点在射线上运动，点在直线上，满足，当时，求的长；    (3)在（2）的条件下，将点绕点逆时针旋转到点，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)7 (3) 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如下图，过点作于，    ∴， ∵是等边三角形，边长为4， ∴，， ∴， 在中，，， ∴，根据勾股定理得，， 在中，， 根据勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如下图，    由（2）知，， ∵， ∴， 由旋转知，，， ∵， ∴，， 过点作于， 在中，， 根据勾股定理得，， 过点作于， ∵， ∴， ∴， 过点作于， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用． 手拉手型相似 23．（2023-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（　　） A．3 B．2 C．5 D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接AI，AC， ∵以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG， ∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°， 在Rt△AGI和Rt△ADI中， ， ∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL）， ∴∠GAI＝∠DAI， ∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI， ∴∠IAH＝∠AID， ∴IH＝AH， 又∵IH＝HC， ∴IH＝HC＝AH， ∴∠IAC＝90°， ∴∠DAI+∠DAC＝90°， 又∵∠DAC+∠DCA＝90°， ∴∠DAI＝∠DCA， 又∵∠ADI＝∠ADC＝90°， ∴△ADI∽△CDA， ∴， ∴， ∴DI＝1， ∴CI＝ID+CD＝5， ∴IH＝IC＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，矩形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 24．（2023-24九年级上·甘肃白银·期中）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有 （填正确的序号） 【答案】①②③④ 【详解】解：如图，过作交于，交于， 四边形是矩形， ∴，，， ， 于点， ， ，故①符合题意； ∵， ，而E是AD的中点， ， ， ，故②符合题意； ∵， 四边形是平行四边形， ， ，， 于点，， ， 垂直平分， ，故③符合题意； ， ， ，， ， 又， ，故④符合题意； 故答案①②③④． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例． 25．（2023-24九年级上·四川成都·期中）如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：∵和都为等边三角形， ∴ ∴， 即， ∴ （2）解：∵； ∴， 设交于O， ∵， ∴； 如图①在上取点F，使，    同（1）可得 ∴为等边三角形， ∴； （3）解：    如图②，过点Q作于G，设， ∵点Q、R分别是等边和等边的重心， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题以“手拉手”全等三角形模型为背景，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推理是解题关键． 三角形内接矩形型相似 26．（2023-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．    【答案】6 【详解】解：设与交于点M．    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵和分别是和的高， ∴， ∴， ∵， 代入可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键． 27．（2023-24·九年级上 广东佛山·期中）如图，在中，．点，，分别在上，且四边形是正方形，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，…，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，则线段的长度是 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 同理， ， …… 由此发现，． 故答案为： 【点睛】此题属规律性题目，考查了性质及正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是找出规律，根据此规律求解． 28．（2023-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，正方形的边长是6，且四个顶点都在的各边上，．    (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：，，， ， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟记三角形相似的判定方法是解题关键． 辅助线构造A字型或8字型 29．（2023-24九年级上·四川德阳·期中）如图，已知F是内的一点，，，若四边形的面积为2，，，则的面积是（　　）． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】解：如图所示：延长、分别交于点M、N， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴令，则， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵, ∴,, ∴，． ∴设，则， ∴， ∴． ∵, ∴, ∴， 解得， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查相似三角形，平行线分线段成比例．一定的难度，利用相似三角形的性质：对应线段成比例进行求解线段的长度；利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 30．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在菱形中，点分别是上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ， ．    【答案】 5 6 【详解】解：如图，连接交于，   菱形的面积等于24， 四边形是菱形 ， 同理可证 ． 故答案为：5，6． 31．（2023-24 九年级上·四川绵阳·期中）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ． 【答案】 【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F， ∵AC⊥BC，∠ABC＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴， ∵∠ADC＝90°，CD=2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵DF∥BC， ∴△DEF∽△BEC， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键是作辅助线构造相似三角形与直角三角形． 1．（2023-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含角的直角三角板绕直角顶点旋转，、分别交边、于、，连接，当时，的长为（    ）    A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 过点作于点，   ，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解题的关键． 2．（2023-24 九年级上·北京通州·期中）如图，在中，，，，点P为上一点，连接，以，为邻边作，连接，则的长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：，，， ， 四边形为平行四边形， ，，， 点P为上一点， 要的长的最小，即， 平行线之间的距离处处相等， 即等于到的距离， 记到的距离为， ， 即，解得， 的长的最小值为， 故答案为：． 3．（2023-24九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，． ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即当最短时，最短、最长， ∵当时，最短、最长，此时， ∴， 则， 故答案为∶． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及线段最短，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．（2023-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 【答案】2.4 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠EDF=60°， ∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°， ∵∠B=60°， ∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED， ∴∠CDF=∠BED， ∴△BDE∽△CFD， ∴，即， ∵等边△ABC的边长为6 ， ∴，解得：． 故答案为：2.4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5．（2024·河南洛阳·三模）如图，等边三角形的边长为3，点分别在边和上．将沿着折叠，若点恰好落在边的三等分点处，此时的长为 【答案】或 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在右图中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点恰好落在边的三等分点处， ∴，或， 设，则， 当时，， 解得，， ∵， ∴， 解得，经检验是方程的解， 即； 当时，， 解得，， ∵， ∴， 解得，经检验是方程的解， 即， 故答案为：或 6．（2024·安徽亳州·期中）如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上． （1）与的大小关系是 （填“相等”或“不相等”）； （2）若，则的长是 ． 【答案】 相等 【详解】解：（1）等腰， ，． ∵， ， ， ， ， ； 故答案为：相等 （2）如图．过点作于点，过点作于点，交的延长线于点， 则， ∴， ∵， ∴，，， ，， ， ，， ， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 由勾股定理得． 故答案为： 7．（2023-24九年级·全国·期中）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是米，两个路灯的高度都是米，且； (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少? 【答案】(1)两路灯的距离为 (2)当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是 【详解】（1）解：， ， ，即， ， ， ， ，即， ，而， ∴， ∴． 答：两路灯的距离为； （2）解：如图2，他在路灯A下的影子为， ， ， ∴，即， 解得． 答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是． 8．（2023-24·九年级上 上海浦东新·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E． (1)求线段DE的长； (2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝30°， 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°， ∠DAC＝30°，AC＝6， ∴CD＝， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6， ∴BC＝， ∴BD＝BC－CD＝， ∵DE∥CA， ∴， ∴DE＝4； （2）解：如图． ∵点M是线段AD的中点， ∴DM＝AM， ∵DE∥CA， ∴＝． ∴DF＝AG． ∵DE∥CA， ∴＝，＝． ∴＝． ∵BD＝4， BC＝6， DF＝AG， ∴． 【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系． 9．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$