专题07 相似及相似三角形（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题07 相似及相似三角形 比例与比例线段 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若，则下列比列式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在比例尺是的无锡交通图上，某校两校区之间距离为厘米，则两校区之间的实际距离为 千米． 4．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）已知，则= ．化简= ． 5．（23-24九年级上·湖南娄底·期中）如果，那么的值等于 ． 黄金分割 6．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）已知线段，如果点P是线段的黄金分割点，且，那么的值为 ． 7．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知线段cm，点是的黄金分割点，且那么线段的长为 ． 8．（2021·陕西·模拟预测）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号） 9．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． (1)求该矩形画框的宽； (2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） 平行线分线段成比例 10．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，，若，则下面结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·上海·期中）如图，，则 ．    14．（23-24九年级上·重庆忠县·期中）如图，在等腰中，，点和点分别在和上，连接，将沿翻折，点的对应点刚好落在上，若，，，则的长为 ． 15．（23-24九年级上·广西桂林·期中）如图，是的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则 ． 16．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，． (1)，求； (2)，的长． 相似三角形的判定 17．（23-24九年级上·全国·期中）如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·上海青浦·期中）下列各组图形一定相似的是（    ） A．两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形 B．都有一个内角为80°的两个等腰三角形 C．任意两个等腰三角形 D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形 19．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 20．（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且．求证：． 21．（23-24九年级上·陕西商洛·期中）如图，在钝角中，，请用尺规作图法，在上求作一点，使得．(保留作图痕迹，不写作法) 22．（23-24九年级上·陕西·期中）已知：如图在菱形中，点E、F分别在边、上，，的延长线交的延长线于点H．求证：． 23．（23-24九年级上·北京通州·期中）如图，的高，相交于点O．    (1)写出一个与相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______； (2)请任选一对进行证明． 相似三角形的判定与性质综合 24．（23-24九年级上·上海·期中）已知在中，、分别是边、的中点，，与相交于点，那么等于（   ） A． B． C． D． 25．（23-24九年级上·上海·期中）如图，中，，，．经过点A 的直线交边于点D，在这个图形中，如果以为一边的三角形与相似，那么的长为 ． 26．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知，，求的长． 27．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知等边的边长为8，点D、P、E分别在边上，，E为中点，当与相似时，求的值． 28．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的面积． 29．（23-24九年级上·甘肃陇南·期中）如图所示，在四边形中，，且分别是的中点，与相交于点M． (1)求证：． (2)若，求． 30．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 31．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）如图，在正三角形中，，分别在，上，且，． 求证： (1)； (2)若，试求的长度． 相似三角形的动点问题 32．（23-24九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，对角线，为的中点，为边上一动点，以的速度从点向点运动，设运动时间为，连接并延长交于点，连接，则下列结论不成立的是（    ） A．四边形为平行四边形 B．若，则四边形为菱形 C．若，则四边形为矩形 D．若，则四边形为正方形 33．（23-24九年级·浙江·期中）如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ．    34．（23-24九年级上·广西贺州·期中）如图，在矩形中，，点从点以每秒的速度沿运动，同时点从点以每秒的速度沿运动，任何一个动点到达矩形的顶点另一个点马上停止运动，当点运动到时，，且． (1)求矩形对角线的长度； (2)当，运动时间为秒时，求四边形的面积与的函数关系，并写出自变量的取值范围． 35．（23-24九年级上·河南商丘·开学考试）如图1，中，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接． (1)若与相似，求t的值； (2)（如图2）连接，若，求t的值． 36．（23-24九年级上·湖南益阳·期中）如图，四边形中，，，，，，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿运动，过点P作，交于E，连接，当点Q与B重合时，两动点均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，求线段的长； (2)当运动t秒时线段的长（用含t的式子表示）； (3)运动过程中是否存在某一时刻，使与相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由． 37．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知：的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5． (1)k为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)在（1）的条件下，，动点P从C出发以的速度向A运动，动点Q从A出发以的速度向B运动． ①t为何值时，？ ②t为何值时，与相似？ 相似三角形的应用 38．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，一个高为的油筒内有油，一根木棒长，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长，则桶内油的高度为（　　） A． B． C． D． 39．（23-24九年级上·四川内江·期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，则树高为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．如图2所示的小孔成像实验可简化为一个数学问题：与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 cm． 41．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形的边表示井的直径，在的延长线上，尺，尺，交于尺，根据以上条件，可求得井深为 尺． 42．（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，测得，，，则该古城墙的高是？ 位似变换 43．（23-24九年级上·四川资阳·期中）如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的值为（   ） A． B． C． D． 44．（23-24九年级上·全国·期中）已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ） A． B． C． D． 45．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图所示，四边形和是以点O为位似中心的位似图形．若，四边形的面积是，则四边形的面积是（ ） A． B． C． D． 46．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，与位似，点为位似中心，若，则与的面积比为（    ） A． B． C． D．2：1 47．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，将以点为位似中心放大后得到，若，且的周长为，则的周长是 （    ） A． B． C． D． 48．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则 ．    49．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图1，图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，按要求画图．      (1)在图1中，以点为位似中心画一个三角形，使它与的位似比为． (2)在图2 中，画一个与相似的，要求所画的三角形的顶点在格点上，与的相似比不为 1，且与（1）中所画的三角形不相同． 1．（23-24九年级上·河南·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，连接与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，点F是上一点，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·四川内江·期中）如图，平行四边形中，为的中点，延长至，使，连接交于点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，矩形中，，，点E为的中点，点G为上一点，连结、交于点 F，连结，当 时，线段的长度是 （    ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，作射线交延长线于点H，连结．若，，则的长为（    ） A．5 B．7 C．9 D． 6．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）如图，点是内一点，过点分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是，和，则的面积是 ． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，为的角平分线，点在的延长线上，于点，点在上，，连接交于点．若点是的中点，则的值为 ． 8．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，是的中线，作于，作交于． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 9．（23-24九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，与相交于O，，垂足为E，是的垂线，已知，，则 ． 10．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在矩形中，的角平分线与边交于点E，的角平分线与边的延长线交于点G，与边交于点F，如果，，那么 ． 11．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，点，，分别在，，边上，， ，．    (1)若，求线段的长； (2)若的面积是，求的面积． 12．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位）． (1)画出向下平移个单位得到； (2)以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比为，并写出点的坐标及的面积． 13．（23-24九年级上·四川内江·期中）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 14．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点． (1)如图1，连接，若平分，，试求的长度； (2)求证：； (3)如图2，连接，若，，，试求的面积． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相似及相似三角形 比例与比例线段 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴设 ， ， ∴ ， 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若 ，则下列比列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．由 得 ，故不符合题意； B．由 得 ，故不符合题意； C．由 得 ，符合题意； D．由 得 ，故不符合题意； 故选：C． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在比例尺是 的无锡交通图上，某校两校区之间距离为 厘米，则两校区之间的实际距离为 千米． 【答案】 【详解】解：设它们之间的实际距离约为x千米，， ，则 ， 解得： ， 故答案为： ． 4．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）已知 ，则 = ．化简 = ． 【答案】 【详解】解： 设 ， 则 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ． 故答案为： ． EMBED Equation.DSMT4 故答案为： ． 5．（23-24九年级上·湖南娄底·期中）如果 ，那么 的值等于 ． 【答案】 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ． 故答案为： 黄金分割 6．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）已知线段 ，如果点P是线段 的黄金分割点，且 ，那么 的值为 ． 【答案】 / 【详解】解： 点P是线段 的黄金分割点，且 ， ， ， 即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 整理得 或 （不合题意，舍去） ， 故答案为： ． 7．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知线段 cm，点 是 的黄金分割点，且 那么线段 的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵点 是线段 的黄金分割点， ， ∴ ， 故答案为： ． 8．（2021·陕西·模拟预测）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图， 为 的黄金分割点（ ），如果 的长度为 ，那么 的长度为 ．（结果保留根号） 【答案】 / 【详解】解：∵ 为 的黄金分割点（ ）， 的长度为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的长度为 EMBED Equation.DSMT4 ． 故答案为： ． 9．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比 也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为 厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． (1)求该矩形画框的宽； (2)生产画框所用的材料单价为 元 ，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） 【答案】(1) 厘米； (2) 元． 【详解】（1）解：∵矩形画框的宽与长的比值等于黄金分割比，且长为 厘米， ∴矩形画框的宽为 厘米； （2）解：矩形画框的面积为 （平方厘米）， ∴矩形画框的材料成本为 元， 答：生产一个该画框所需要的材料成本为 元． 平行线分线段成比例 10．（23-24九年级上·浙江·期中）如图， 中， 的平分线交 于点D，与 的垂线 相交于点E，过点D作 于点F，则 为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ ， ， ∵ 平分 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 即 ． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 11．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图， ，若 ，则下面结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查了比例的基本性质、平行线等分线段定理等知识点，掌握平行线等分线段定理成为解题的关键． 根据比例的性质、平行线分线段成比例列出比例式逐项判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故选：C 13．（23-24九年级上·上海·期中）如图， ，则 ．    【答案】6 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：6． 14．（23-24九年级上·重庆忠县·期中）如图，在等腰 中， ，点 和点 分别在和 上，连接，将 沿翻折，点 的对应点 刚好落在 上，若 ， ， ，则 的长为 ． 【答案】 【详解】如图，过点 作 ， ，则 ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， 将 沿翻折， ， ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查的知识点是平行线的判定、三线合一、勾股定理、平行线分线段成比例、翻折性质，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例． 15．（23-24九年级上·广西桂林·期中）如图， 是 的中线，E是 上一点， 的延长线交 于F， 的面积与 的面积之比是 ，且 ，则 ． 【答案】12 【详解】解：作 交 于 ， 是 的中线， ， ， ， 的面积与 的面积之比是 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ； 故答案为：12． 16．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图， ． (1) ，求 ； (2) ， 的长． 【答案】(1)6 (2)5 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ 的长为5． 相似三角形的判定 17．（23-24九年级上·全国·期中）如图，下列条件中不能判定 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．∵ ， ， ∴根据两角分别对应相等的两个三角形相似，可得 ； 故A不符合题意； B．∵ ， ， ∴根据两角分别对应相等的两个三角形相似，可得 ； 故B不符合题意； C．若 ， ∵ 的对应边为 ， 的对应边为 ， ∴不能推出 ； 故C符合题意； D．∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得 ； 故D不符合题意； 故选：C． 18．（23-24九年级上·上海青浦·期中）下列各组图形一定相似的是（    ） A．两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形 B．都有一个内角为80°的两个等腰三角形 C．任意两个等腰三角形 D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形 【答案】D 【详解】解：A. 两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形，没有明确对应边，不能判定两个三角形相似； B. 都有一个内角为80°的两个等腰三角形，不能得出两个三角形有两个角相等，不能判定两个三角形相似； C. 任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误; D. 如图， ∵两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形，即 , 为中线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴故本选项正确. 故选D 19．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，在三角形纸片中， ， ， ．将 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故选：B 20．（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ，且 ．求证： ． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 21．（23-24九年级上·陕西商洛·期中）如图，在钝角 中， ，请用尺规作图法，在 上求作一点 ，使得 ．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见解析 【详解】解∶如图，点 即为所作． 如图，作的是 的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 22．（23-24九年级上·陕西·期中）已知：如图在菱形 中，点E、F分别在边 、 上， ， 的延长线交 的延长线于点H．求证： ． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形 是菱形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 23．（23-24九年级上·北京通州·期中）如图， 的高 ， 相交于点O．    (1)写出一个与 相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______； (2)请任选一对进行证明． 【答案】(1) ， ， （写出一个即可） (2)证明见解析 【详解】（1）与 相似的三角形有 ， ， ， 故答案为： ， ， （写出一个即可）． （2） 证明：∵ 的高 ， 相交于点O， ∴ ． ∵ ， ∴ ．    相似三角形的判定与性质综合 24．（23-24九年级上·上海·期中）已知在 中， 、 分别是边 、 的中点， ， 与 相交于点 ，那么 等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， ∵ 、 分别是边 、 的中点， ∴ 为 的中位线， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 等于 ． 故选：C． 25．（23-24九年级上·上海·期中）如图， 中， ， ， ．经过点A 的直线交边 于点D，在这个图形中，如果以 为一边的三角形与 相似，那么 的长为 ． 【答案】 或 【详解】解：当 时， ， ， ， ； 当 时， ， ， ， ， ， 综上所述， 的长为 或 ， 故答案为： 或 ． 26．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知 ， ，求 的长． 【答案】9 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ． 27．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知等边 的边长为8，点D、P、E分别在边 上， ，E为 中点，当 与 相似时，求 的值． 【答案】2或6或 【详解】解：设 ， ∵等边 的边长为8， ∴ ， ∵E为 中点， ∴ ， ① 和 是对应边时， ， ∴ ， 即 ， 整理得， ， 解得 ， ， 即 的长为2或6， ② 和 是对应边时， ， ∴ ， 即 ， 解得 ， 即 ， 综上所述， 的值是2或6或 ． 28．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图在 中， ， ． (1)求证： ； (2)如果 ， ，求 的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 29．（23-24九年级上·甘肃陇南·期中）如图所示，在四边形 中， ，且 分别是 的中点， 与 相交于点M． (1)求证： ． (2)若 ，求 ． 【答案】(1)见解析 (2)3 【详解】（1）解：∵E是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）解：∵ ， ∴ ， ∵F是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 30．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图， 是一块锐角三角形余料，边 ，高 ，要把它加工成矩形零件 ，使一边在 上，其余两个顶点分别在边、 上， 交于 点． (1)当点 恰好为中点时， ______ ． (2)若矩形 的周长为 ，求出 的长度． 【答案】(1)60 (2) 【详解】（1）解：∵ 为 中点， ∴ ， ∵在矩形 中， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ． 故答案为： ． （2）解：∵四边形 为矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ ． ∴四边形 为矩形， ∴ ， ， ∵矩形 的周长为 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 31．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）如图，在正三角形 中， ， 分别在 ，上，且 ， ． 求证： (1) ； (2)若 ，试求 的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 的长度为 【详解】（1）证明： ， ， 是正三角形， ， ， ， ， ， ∴ ， （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： 的长度为 ． 相似三角形的动点问题 32．（23-24九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在 中，对角线 ， 为 的中点， 为边 上一动点，以 的速度从点 向点 运动，设运动时间为 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，则下列结论不成立的是（    ） A．四边形 为平行四边形 B．若 ，则四边形 为菱形 C．若 ，则四边形 为矩形 D．若 ，则四边形 为正方形 【答案】D 【详解】证明：∵ ， 为 的中点， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴      ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， 故A正确，不符合题意． ∵在 中，对角线 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 则 ， 当 时， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵四边形 是平行四边形， ∴四边形 是菱形， 故B正确，不符合题意． 当 时， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， 故C正确，不符合题意． 当 时， ， ， ∵在 中，对角线 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 不是菱形， ∴四边形 不是正方形， 故D错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的判定以及动点运动问题，难度适中，掌握矩形和菱形的判定是解本题的关键． 33．（23-24九年级·浙江·期中）如图，在 中， ， ，动点 从 点出发到 点止，动点 从 点出发到 点止，点 的运动速度为 ，点 的运动速度为 ．若 ， 两点同时出发，则当以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似时，运动时间为 ．    【答案】 或 【详解】设运动时间为 时，以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似时， 则 ， ， ， 与 对应， ， ∴ ， 即 ， ∴ ； 与 对应时， ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴当以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似时，运动时间为 或 ， 故答案为： 或 ． 34．（23-24九年级上·广西贺州·期中）如图，在矩形 中， ，点 从 点以每秒 的速度沿 运动，同时点 从 点以每秒 的速度沿 运动，任何一个动点到达矩形的顶点另一个点马上停止运动，当点 运动到 时， ，且 ． (1)求矩形 对角线 的长度； (2)当 ， 运动时间为 秒时，求四边形 的面积 与 的函数关系，并写出自变量 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： EMBED Equation.DSMT4 ， ， 又 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， 解得 ； （2）解： 四边形 为矩形， ， ． 点 从点 运动到点 时所用时间为 （秒）， 点 从点 运动到点 时所用时间为 （秒）． 点 到达点 时，点 、 同时停止运动． ． ， ． ． 35．（23-24九年级上·河南商丘·开学考试）如图1， 中， ，动点P从点B出发，在 边上以每秒 的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在 边上以每秒 的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒 ，连接 ． (1)若 与 相似，求t的值； (2)（如图2）连接 ，若 ，求t的值． 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）解：∵ ， ∴ , 由题意可得： ①当 时， ∵ ， ∴ ，解得： ； ②当 时， ∵ ， ∴ ，解得： ． 综上，当 或 时， 与 相似． （2）解：由题意可得： 如图：过P作 于点M， 交于点N， ∴ ， ∴ , ∴ ,即 ，解得： ， ， ∵ ， ∴ ，又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，解得： ． 36．（23-24九年级上·湖南益阳·期中）如图，四边形 中， ， ， ， ， ，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿 运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿 运动，过点P作 ，交 于E，连接 ，当点Q与B重合时，两动点均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当 时，求线段 的长； (2)当运动t秒时线段 的长（用含t的式子表示）； (3)运动过程中是否存在某一时刻，使 与 相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当 时， 与 相似 【详解】（1）当 时， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）由运动知， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由运动知， ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）∵ ， ∴ ， 若 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ (不合题意舍去)， 若 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故当 时， 与 相似． 37．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知： 的两边 的长是关于x的一元二次方程 的两个实数根，第三边 的长为5． (1)k为何值时， 是以 为斜边的直角三角形？ (2)在（1）的条件下， ，动点P从C出发以 的速度向A运动，动点Q从A出发以 的速度向B运动． ①t为何值时， ？ ②t为何值时， 与 相似？ 【答案】(1)当 时， 是以 为斜边的直角三角形 (2)①当t为1时， ；②当 的值为 或 时， 与 相似 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ， ∵ 是以 为斜边的直角三角形， ∴ ，即 ， 化简得： ， 解得 ， ， 当 时，方程为 ， 解得， ， ， ∴ 两边为3，4； 当 时，方程为 ， 解得， ， ， ∴ 两边为 ， ；不合题意，舍去． 综上：当 时， 是以 为斜边的直角三角形； （2）①解：∵ ， ∴ ， 如图1， 由题意知， ，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得， 或 （舍去）， ∴当t为1时， ； ②解：∵ 与 相似， ∴分 ， 两种情况求解； 当 时， ，即 ， 解得， ； 当 时， ，即 ， 解得， ； 综上所述，当 或 时， 与 相似． 相似三角形的应用 38．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，一个高为 的油筒内有油，一根木棒长 ，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长 ，则桶内油的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示： ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， 解得： ， 即桶内油的高度为： ． 故选：D． 39．（23-24九年级上·四川内江·期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点B在同一直线上．已知纸板的两条边 ， ，测得边 离地面的高度 ，则树高 为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选A． 40．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．如图2所示的小孔成像实验可简化为一个数学问题： 与 交于点O， ．若点O到 的距离为 ，点O到 的距离为 ，蜡烛火焰倒立的像的高度 是 ，则蜡烛火焰的高度 是 cm． 【答案】10 【详解】解：∵ ∴ ， 又 ， ∴ 由相似三角形的性质得到： ． 解得， ． 即蜡烛火焰的高度 是 ， 故答案为：10． 41．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形 的边 表示井的直径， 在 的延长线上， 尺， 尺， 交 于 尺，根据以上条件，可求得井深 为 尺． 【答案】 【详解】解：依题意有 ， ∴ ， 即 ， 解得 ， ∴ （尺）． 故答案为： ． 42．（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点 处放一水平的平面镜，光线从点 出发经平面镜反射后刚好到古城墙 的顶端 处，若 ， 测得 ， ， ，则该古城墙 的高是？ 【答案】 【详解】解：由题意，结合镜面反射原理知： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴该古城墙的高度 是 ． 位似变换 43．（23-24九年级上·四川资阳·期中）如图，已知 与 是相似比为 的位似图形，点O为位似中心，若 内一点与 内一点 是一对对应点，则点 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 与 是相似比为 的位似图形， ∴ ， 又∵ 内一点 与 内一点 是一对对应点，关于原点对称， ∴ ， 故选：B． 44．（23-24九年级上·全国·期中）已知： ，下列图形中， 与 不存在位似关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、 与 是位似关系，故此选项不合题意； B、 与 是位似关系，故此选项不合题意； C、 与 是位似关系，故此选项不合题意； D、 与 对应边 和 不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意； 故选：D． 45．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图所示，四边形 和 是以点O为位似中心的位似图形．若 ，四边形 的面积是 ，则四边形 的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形 和 是以点 为位似中心的位似图形， ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴四边形 的面积是 ， 故选： ． 46．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图， 与 位似，点 为位似中心，若 ，则 与 的面积比为（    ） A． B． C． D．2：1 【答案】B 【详解】解： 与 是位似图形， ， 与 的位似比是 ． 与 的相似比为 ， 与 的面积比为 ， 故选：B． 47．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，将 以点 为位似中心放大后得到 ，若 ，且 的周长为 ，则 的周长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 与 位似， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ∵ ∴ ， ∴ ， ∵ 的周长为 ， ∴ 的周长为 ， 故选：C． 48．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知 与 位似，位似中心为 ，且 的面积与 的面积之比是 ，则 ．    【答案】/ 【详解】解；∵ 与 位似，且 的面积与 的面积之比是 ， ∴ 与 的位似比为 ， 又∵位似中心为点O， ∴ ， 故答案为： ． 49．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图1，图2，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点， 的顶点都在格点上，按要求画图．      (1)在图1中，以点 为位似中心画一个三角形，使它与 的位似比为 ． (2)在图2 中，画一个与 相似的 ，要求所画的三角形的顶点在格点上，与 的相似比不为 1，且与（1）中所画的三角形不相同． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求．    （2）如图所示， 即为所求，此时 ，相似比为 ．    1．（23-24九年级上·河南·期中）如图，在正方形 中， 是等边三角形，连接 与 相交于点H，给出下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵ 是等边三角形， ， ∵四边形 是正方形， ， ， ， ∴ ，故①正确； ∵ 是等边三角形， ， ∵四边形 是正方形， ， ， ， ∴ 是等边三角形， ， ， ， 在 中， ， ， ∴ ，故②正确； ， ， ， ， ， ∴ ，故④正确； 在 中， ， ∴ ， ∴ ，故③错误； 综上分析可知，正确的结论有3个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形 中， ，点E是 边上一点，且 ，点F是 上一点，若 ，则 的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接 ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 故选：B．    3．（23-24九年级上·四川内江·期中）如图，平行四边形 中， 为 的中点，延长 至 ，使 ，连接 交 于点 ，则 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∵ 为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 故选：A． 4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，矩形 中， ， ，点E为 的中点，点G为 上一点，连结 、 交于点 F，连结 ，当 时，线段 的长度是 （    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【详解】解：∵矩形 中， ， ，点E为 的中点， ∴ ， ， ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ，点E为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定以及性质，直角三角形的性质，以及勾股定理，掌握这些性质与定理是解题的关键. 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在 中， ，以 为边分别向外作正方形 和正方形 ，作射线 交 延长线于点H，连结 ．若 ， ，则 的长为（    ） A．5 B．7 C．9 D． 【答案】C 【详解】解：∵在 中， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵以 为边分别向外作正方形 和正方形 ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 6．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）如图，点 是 内一点，过点 分别作直线平行于 的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是 ， 和 ，则 的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，由题意可得， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 的面积分别为 ， ∴对应边的比为 ， ∵四边形 ，四边形 是平行四边形， ∴ ， 设 ，则 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积为 ． 故答案为： ． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在 中， ， 为 的角平分线，点 在 的延长线上， 于点 ，点 在 上， ，连接 交 于点 ．若点 是 的中点，则 的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ∵ ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴设 ， ， ∵H是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ＝ ． 故答案是： ． 8．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在 中， ， 是 的中线，作 于 ，作 交 于 ． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 及 的长． 【答案】(1)见解析 (2) EMBED Equation.DSMT4 【详解】（1）证明： ， 是 的中线， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ． 由（1）知： ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ． ， 是 的中线， ； ． ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 9．（23-24九年级上·全国·期中）如图，在矩形 中， 与 相交于O， ，垂足为E， 是 的垂线，已知 ， ，则 ． 【答案】 【详解】解：∵ 是 的垂线， ∴ ， ∵四边形为 矩形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ 为 的中点， 又∵ 是 的垂线， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， 故答案为： ． 10．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在矩形 中， 的角平分线 与边 交于点E， 的角平分线与边 的延长线交于点G，与边 交于点F，如果 ， ，那么 ． 【答案】 / 【详解】解：.∵在矩形 中， 的角平分线 与边 交于点E， ∴ , ， ∴ ， ∵直角三角形 ， ∴ ， 又∵ 的角平分线与边 的延长线交于点G，与边 交于点F， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 .∵ ∴ ， 解得 . 故答案为： . 11．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， ， ．    (1)若 ，求线段 的长； (2)若 的面积是 ，求 的面积． 【答案】(1) ； (2) 的面积为 ． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ； （2）解：由（ ）得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积为 ． 12．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）已知： 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为 ， ， ．（正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位）． (1)画出 向下平移 个单位得到 ； (2)以点 为位似中心，在网格中画出 ，使 与 位似，且位似比为 ，并写出 点的坐标及 的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， ， 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求， （2）解：如图所示， 即为所求， ， ． 13．（23-24九年级上·四川内江·期中）如图，正方形 中， 为 上一点， 是 的中点， ，垂足为 ，交 的延长线于点 ，交 于点 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵四边形 是正方形， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 14．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，在 中， ， 分别是边 ， 上的中线， 与 相交于点 ． (1)如图1，连接 ，若 平分 ， ，试求 的长度； (2)求证： ； (3)如图2，连接 ，若 ， ， ，试求 的面积． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)27 【详解】（1）解：如图，连接 ， 、 分别是边 、 边上的中线， 是 的中位线， ，且 ， ， 平分 ， ， ， ， 即 的长度为3； （2）证明： 、 分别是边 、 边上的中线， 是 的中位线， ，且 ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ； （3）解：延长 交 于点 ， ， 、 分别是 、 边上的中线， ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形 的顶角平分线， ， ， 即 ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$