11.3.3 平面与平面平行-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第十一章 立体几何初步 学 学 习 目 标 1. 掌握空间两个平面的位置关系， 并会 判断 . 2. 掌握空间平面与平面平行的判定定 理， 并能应用这个定理证明一些空间位置关 系的简单命题 . 3. 平面与平面平行的判定定理的应用 . 要 点 精 析 要点 1 平面与平面平行的判定定理 （ 1 ） 文字语言： 如果一个平面内有两条 相交直线分别平行于另一个平面， 那么这两 个平面平行 . （ 2 ） 符号语言： a奂β ， b奂β ， a∩b＝P ， a∥α ， b∥α圯β∥α. （ 3 ） 图形语言： 如图 所示 . （ 4 ） 推论： 如果一个 平面内有两条相交直线分别平行于另一个平 面内的两条直线， 则这两个平面平行 . 注意： 等价转化思想， 即把面面平行转 化为线面平行 . 思考 1 如何从有无公共点的角度理 解两平面的位置关系？ 例 1 判断下列命题是否正确， 并说明 理由 . （ 1 ） 若平面 α 内的两条直线分别与平面 β 平行， 则 α 与 β 平行 . （ 2 ） 若平面 α 内有无数条直线分别与平 面 β 平行， 则 α 与 β 平行 . （ 3 ） 一个平面 α 内有两条不平行的直线 都平行于 β 平面， 则 α 与 β 平行 . （ 4 ） 如果一个平面内的任何一条直线都 平行于另一个平面， 那么这两个平面平行 . （ 5 ） 如果一个平面内的一条直线平行于 另一个平面， 那么这两个平面平行 . 解： （ 1 ） 平面 α 内的两条相交直线分 别与平面 β 平行才可以， 所以命题错误 . （ 2 ） 平面 α 内有无数条直线至少要有两 条相交直线分别与平面 β 平行才可以， 所以 命题错误 . （ 3 ） 同一平面内不平行的两条直线一定 相交， 由面面平行的判定定理知命题正确 . （ 4 ） 如果一个平面内的任何一条直线都 平行于另一个平面， 那么一定存在两条相交 直线都平行于另一个平面， 由面面平行的判 定定理知命题正确 . （ 5 ） 如果一个平面内的一条直线平行于 另一个平面， 不能保证存在两条相交直线都 平行于另一个平面， 两平面可以相交， 所以 命题错误 . 变式训练 1 判断 （正确的画 “ √ ”， 错误的画 “ × ”） （ 1 ） 没有公共点的两平面平行 . （ ） （ 2 ） 若两个平面都平行于同一条直线， 11.3.3 平面与平面平行 第 1课时 平面与平面平行的判定定理 α β ab P 83 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 则这两个平面平行 . （ ） （ 3 ） 若一个平面内有三个点到另一个平 面的距离相等， 则这两个平面平行 . （ ） 例 2 已知正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 ， 求 证： 平面 AB 1 D 1 ∥ 平面 C 1 BD. 分析： 要证明面面平行， 只需在其中 一个面内找到两条相交直线平行于另一个 面 . 而 荀AB 1 C 1 D 中的边 C 1 D 的平行线 AB 1 就是要找的一个面 AB 1 D 1 内的相交线中的 一条， 同理 B 1 D 1 为另一条 . 证明： ∵ 在正方体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， AD ∥ B 1 C 1 ， ∴ 四边形 AB 1 C 1 D 是平行四 边形， ∴AB 1 ∥C 1 D. 又 ∵C 1 D奂 平 面 C 1 BD ， AB 1 埭 平 面 C 1 BD. ∴AB 1 ∥ 平面 C 1 BD. 同理 B 1 D 1 ∥ 平面 C 1 BD. 又 ∵AB 1 ∩B 1 D 1 ＝B 1 ， AB 1 奂 平面 AB 1 D 1 ， B 1 D 1 奂 平面 AB 1 D 1 ， ∴ 平面 AB 1 D 1 ∥ 平面 C 1 BD. 变式训练 2 （多选题） 如图， 在正方 体 EFGH鄄E 1 F 1 G 1 H 1 中， 下列 四对平面彼此平行的一对是 （ ） A. 平面 E 1 FG 1 与平面 EGH 1 B. 平面 FHG 1 与平面 EF 1 H 1 C. 平面 F 1 H 1 H 与平面 FHE 1 D. 平面 E 1 HG 1 与平面 EH 1 G 例 3 如图， 三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， D ， P 分 别为棱 BA ， B 1 A 1 的中点， 求证 ： 平面 C 1 PA∥ 平面 CDB 1 . 分析： 要证明面面平行， 只需在其中 一个面内找到两条相交直线平行于另一个 面 . 而 △ABC 1 中的中位线 OD 的平行线 AC 1 和 荀ADB 1 P 中的边 DB 1 的平行线 AP 就是要 找的一个面 C 1 PA 内的两条相交线 . 证明： 如图， 连接 BC 1 与 CB 1 交 于 点 O ， 连 接 OD. ∵ 四边形 BCC 1 B 1 为平 行四边形 ， ∴O 为 B 1 C 中 点 ， 在 △ABC 1 中 ， 又 ∵D 为 AB 中 点 ， ∴OD∥AC 1 . 又 ∵OD奂 平面 CDB 1 ， AC 1 埭 平面 CDB 1 ， ∴AC 1 ∥ 平面 CDB 1 . ∵D ， P 分别为棱 BA ， B 1 A 1 的中点， ∴AD∥PB 1 且 AD=PB 1 ， ∴ 四边形 ADB 1 P 为平行四边形， ∴AP∥DB 1 . 又 DB 1 奂 平面 CDB 1 ， AP埭 平面 CDB 1 ， ∴AP∥ 平 面 CDB 1 ， AC 1 ∩AP =A ， AC 1 奂 平 面 C 1 PA ， AP奂 平面 C 1 PA ， ∴ 平面 C 1 PA∥ 平面 CDB 1 . 变式训练 3 如图， 在四棱锥 P鄄ABCD 中， E ， F ， G 分别是 PC ， PD ， BC 的中点， DC∥AB ， 求 证： 平面 PAB∥ 平面 EFG. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 H G F E E 1 F 1 H 1 G 1 P A B C D A 1 B 1 C 1 O P A B C D A 1 B 1 C 1 P D G F E A B C 图 11-3-23 图 11-3-24 图 11-3-25 图 11-3-26 图 11-3-27 84 第十一章 立体几何初步 学 总结 判定平面与平面平行的四种常 用方法 . （ 1 ） 定义法： 证明两个平面没有公共 点， 通常采用反证法 . （ 2 ） 利用判定定理： 一个平面内的两 条相交直线分别平行于另一个平面 . 证明时 应遵循先找后作的原则， 即先在一个平面 内找到两条与另一个平面平行的相交直线， 若找不到再作辅助线 . （ 3 ） 转化为线线平行： 平面 α 内的两 条相交直线与平面 β 内的两条直线分别平 行， 则 α∥β. （ 4 ） 利用平行平面的传递性： 若 α∥ β ， β∥γ ， 则 α∥γ. 要点 2 线面平行、 面面平行的综合应用 思考 2 判定线面平行的方法都有哪些？ 例 4 如图， 已知四 棱锥 P鄄ABCD ， 底面 ABCD 是平行四边形， E ， F ， G 分别为棱 BC ， PB ， AD 的中点 . （ 1 ） 求证： 平面 PCG∥ 平面 AEF. （ 2 ） 在线段 BD 上是否存在一点 H ， 使 得 FH∥ 平面 PCG ？ 并说明理由 . 分析 ： （ 1 ） 面面平行转化为线面平 行， 线面平行又转化为线线平行 . （ 2 ） 探究 问题一定要清楚证明什么， 探究什么 . 解 ： （ 1 ） 证明 ： ∵E ， G 分别是 BC ， AD 的中点， 且四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AG=CE ， AG∥CE ， ∴ 四边形 AECG 为平行 四边形， ∴AE∥CG. ∵AE埭 平面 PCG ， CG奂 平面 PCG ， ∴AE∥ 平面 PCG. 又 ∵E ， F 分别 是 BC ， BP 的中点， ∴EF∥PC. 而 PC奂 平面 PCG ， EF埭 平面 PCG ， ∴EF∥ 平面 PCG. 又 ∵AE∩EF=E ， EF奂 平面 AEF ， AE奂 平面 AEF ， ∴ 平面 PCG∥ 平面 AEF. （ 2 ） 在线段 BD 上存在一点 H ， H 为 AE 与 BM 交点， 使 FH∥ 平面 PCG ， 理由如下： 设 AE ， GC 与 BD 分别交于点 H ， M ， 连接 FH ， PM ， △BMC 中 E 为 BC 的中点 ， AE∥CG ， 则 H 是 BM 的中点， 又 ∵F 是 PB 的中点， ∴FH∥PM. ∵PM奂 平面 PCG ， FH埭 平面 PCG ， ∴FH∥ 平面 PCG. 变式训练 4 如图， 在三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中， E ， F ， G ， H 分别是 AB ， AC ， A 1 B 1 ， A 1 C 1 的中点， 求证： （ 1 ） B ， C ， H ， G 四点共面； （ 2 ） 平面 EFA 1 ∥ 平面 BCHG. 例 5 如图， 在长方 体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， AD= DD 1 =1 ， AB = 3 姨 ， E ， F ， G 分 别 为 AB ， BC ， C 1 D 1 的中点， 点 P 在平面 ABCD 内， 若直线 D 1 P∥ 平面 EFG ， 求 D 1 与满足题意的 P 构成 的平面截正方体的截面面积为 . P F G E A B C D H G F E A B C A 1 B 1 C 1 P F G E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 图 11-3-28 图 11-3-29 图 11-3-30 85 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 分析： 可证得平面 ACD 1 ∥ 平面 EFG ， 则 D 1 与满足题意的 P 构成的平面截正方体 的截面为 △ACD 1 . 解 析 ： 如 图 ， 连 接 D 1 A ， AC ， D 1 C ， ∵E ， F ， G 分别为 AB ， BC ， C 1 D 1 的中点， ∴AC∥EF ， EF埭 平面 ACD 1 ， 则 EF∥ 平面 ACD 1 . ∵EG∥AD 1 ， ∴ 同理得 EG∥ 平面 ACD 1 . 又 ∵EF∩EG=E ， 得平面 ACD 1 ∥ 平面 EFG ， ∴ 点 P 在直线 AC 上， 则 D 1 与满足题意 的 P 构成的平面截正方体的截面为 △ACD 1 ， ∵AB= 3 姨 ， AD=DD 1 =1 ， 在 △ACD 1 中， 有 AD 1 = 2 姨 ， ∴AC=2 ， CD 1 =2. ∴S △AD 1 C = 1 2 × 2 姨 × 2 2 - 2 姨 2 2 ' 2 姨 = 7 姨 2 . 变式训练 5 如图， 在四棱锥 P鄄ABCD 中， 底面 ABCD 为平行四边形 . 点 M ， N ， Q 分别在 PA ， BD ， PD 上， 且 PM ∶MA＝BN ∶ND＝PQ ∶QD. 求证： 平 面 MNQ∥ 平面 PBC. 数 学 文 化 《九章算术》 是古代中国的第一部自成 体系的数学专著， 与古希腊欧几里得的 《几 何原本》 并称现代数学的两大源泉 . 《九章 算术》 卷五记载： “今有刍甍， 下广三丈， 表四丈， 上袤二丈， 无广， 高一丈 . 问积几 何 . ” 译文： 今有如图所 示 的 屋 脊 状 楔 体 PQ鄄 ABCD ， 下 底 面 ABCD 是矩形， 假设屋脊没有 歪斜 ， 即 PQ 的中点 R 在底面 ABCD 上的投影为矩形 ABCD 的中心 点 O ， PQ∥AB ， AB=2PQ ， E 为线段 AB 的 中点， 试判断过 P ， E ， O 三点的平面截这 个屋脊状楔体 PQ鄄ABCD 所得截面与平面 QBC 的位置关系 . 分析： 可证 PE∥QB ， OE∥CB ， 可证 截面与平面 QBC 平行 . 解 ： ∵PQ∥EB 且 PQ =EB ， ∴ 四 边 形 PEBQ 为平行四边形， ∴PE∥QB. 而 BQ奂 平面 QBC ， PE埭 平 面 QBC ， ∴PE∥ 平面 QBC. ∵O 为矩形 ABCD 中心 ， E 为边 AB 的 中点， 连接 AC ， ∵AO=OC ， AE=EB ， ∴OE∥ CB ， 同理可证 OE∥ 平面 QBC. 又 ∵PE∩EO=E ， PE ， EO奂 平面 PEO ， ∴ 平面 PEO∥ 平面 OBC. ∴ 截面与平面 QBC 平行 . O P Q R A B C D M N Q P D A B C P F G E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 图 11-3-31 图 11-3-32 图 11-3-33 86 第十一章 立体几何初步 学 学 习 目 标 1. 掌握空间两个平面的位置关系， 并会 判断 . 2. 掌握空间平面与平面平行的性质定 理， 并能应用这个定理证明一些空间位置关 系的简单命题 . 3. 平面与平面平行的性质定理的应用 . 要 点 精 析 要点 1 平面与平面平行的性质定理 （ 1 ） 文字语言： 如果两个平行平面同时 与第三个平面相交， 那么它们的交线平行 . （ 2 ） 符号语言： α∥β ， α∩γ＝a ， β∩γ＝b 圯a∥b. （ 3 ） 图形语言： 如图所示 . （ 4 ） 作用： 证明两直线平行 . 思考 1 两个平行平面与另两个平行 平面相交所得四条直线的位置关系是什么？ 例 1 判断下列命题是否正确， 并说明 理由 . （ 1 ） 如果两个平面分别平行于第三个平 面， 那么这两个平面平行 . （ 2 ） 若两个平面平行， 则两个平面内的 所有直线都相互平行 . （ 3 ） 若两个平面平行， 则两个平面内一 定存在两条互相平行的直线 . （ 4 ） 若两个平面平行， 其中一个平面内 的直线必平行于另一个平面 . 分析： 依据面面平行的定义 、 性质 定理 . 解： （ 1 ） 正确 （可以作为平面与平面 平行的性质应用） . （ 2 ） 不正确 . 因为两个平面平行， 所以 分别在两个平面内的两条直线无公共点， 它 们平行或异面 . （ 3 ） 正确 . 因为两个平面平行， 一定存 在与这两个平面同时相交的平面， 这两条交 线就是满足条件的直线 . （ 4 ） 正确 . 因为两个平面平行， 所以这 两个平面无公共点， 所以其中一个平面内的 直线必和另一个平面无公共点， 所以它们 平行 . 变式训练 1 判断 （正确的画 “ √ ”， 错误的画 “ × ”） （ 1 ） 若一个平面内的两条直线都与另一 个平面平行， 则这两个平面平行 . （ ） （ 2 ） 若一个平面内的两条相交直线分别 平行于另一个平面内的两条直线， 则这两个 平面平行 . （ ） （ 3 ） 若平面 α∥ 平面 β ， l奂 平面 β ， m奂 平面 α ， 则 l∥m. （ ） （ 4 ） 已知两个平面平行， 若有第三个平 面与其中的一个平面平行， 那么它与另一平 面也平行 . （ ） 例 2 如图， 在直三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中， 第 2课时 平面与平面平行的性质定理 α β γ a b 87 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 E ， F 分别为 A 1 C 1 ， B 1 C 1 的中 点， D 为棱 CC 1 的中点， G 是 棱 AA 1 上一点， 且满足 mA 1 G= 2AA 1 ， 若平面 ABD∥ 平面 GEF ， 试求 m 的值 . 分析： 依据面面平行的性质定理可得 AD∥GE ， 由 △ADC∽△EGA 1 利用形似比 求解 . 解： ∵ 平面 ABD∥ 平面 GEF ， 平 面 A 1 C 1 CA∩ 平 面 ABD =AD ， 平 面 A 1 C 1 CA∩ 平面 GEF=GE ， ∴ 由面面平行的性质定理可得 AD∥ GE ， ∴△ADC∽△EGA 1 . 又 ∵D 为 C 1 C 的中点 ， E 为 A 1 C 1 的中 点， ∴ A 1 E AC = A 1 G CD = 1 2 ， 即 A 1 G= 1 2 CD= 1 2 × 1 2 C 1 C= 1 4 A 1 A ， 由 mA 1 G= 2AA 1 ， 得 m=8 ， ∴m 的值为 8. 变式训练 2 如图 ， 在三棱锥 P鄄ABC 中 ， D ， E ， F 分别是 PA ， PB ， PC 的中点， M 是 AB 上一 点， 连接 MC ， N 是 PM 与 DE 的交点， 连接 NF ， 求证： NF∥CM. 例 3 如图， 已知三棱 台 DEF鄄ABC ， G ， H 分别为 AC ， BC 的中点， 2DE=AB. 求 证 ： BD ∥ 平 面 FGH. 分析： 依据面面平行的判定定理可得 平面 ABED∥ 平面 FGH ， 再由面面平行的 性质得 BD∥ 平面 FGH. 证明： ∵ 三棱台中 EF∥BC ， H 为 BC 的 中点， 2DE=AB ， ∴EF∥BH 且 EF=BH ， ∴ 四边形 EFHB 为平行四边形， ∴FH∥EB. 又 ∵FH奂 平面 FGH ， BE埭 平面 FGH ， ∴BE∥ 平面 FGH. 同理可证 AB∥ 平面 FGH ， 又 ∵AB∩ BE=B ， BE奂 平面 ABED ， AB奂 平面 ABED ， ∴ 平面 ABED∥ 平面 FGH. 又 ∵BD奂 平面 ABED ， ∴BD∥ 平面 FGH. 变式训练 3 如图， 在三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， 底面 是边长为 2 的正三角形， 点 E ， F 分别是棱 CC 1 ， BB 1 上的点， 点 M 是线段 AC 上的动 点， EC＝2FB＝2 ， 当点 M 在何位置时， BM∥ 平面 AEF ？ M N P D F E A B C F G H E A B C D A 1 B 1 C 1 F E A B C F G E A B C D A 1 B 1 C 1 图 11-3-34 图 11-3-36 图 11-3-35 图 11-3-37 88 第十一章 立体几何初步 学 总结 利用面面平行的性质定理判断 两直线平行的步骤： （ 1 ） 先找两个平面， 使这两个平面分 别经过这两条直线中的一条 . （ 2 ） 判定这 两个平面平行 （此条件有时题目会直接给 出） . （ 3 ） 再找一个平面， 使这两条直线都 在这个平面上 . （ 4 ） 由定理得出结论 . 要点 2 线面平行、 面面平行的综合 应用 思考 2 线线、 线面、 面面间的平行 关系的判定和性质之间有着怎样的联系？ 例 4 已知平面 α∥β ， 点 P 为平面 α 、 平面 β 外一点， 过点 P 的直线 l 与 α ， β 分 别交于 A ， C ， 过 P 的直线 m 与 α ， β 分别 交于 B ， D ， 且 PA=8 ， AC=10 ， PD=9 ， 则 BD 的长为 . 分析： 依据面面平行的性质定理可得 AB∥CD ， 利用形似比求解 . 但 P 点与两平 面位置关系不确定， 所得图形不同 . 解析 ： （ 1 ） 当点 P 在两平面同侧时， ∵AC∩ BD=P ， ∴ 经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD. ∵α∥β ， α∩ 平面 PCD= AB ， β∩ 平面 PCD=CD ， ∴AB∥CD. ∴ PA AC = PB BD ， 即 8 10 = 9-BD BD ， ∴BD=5. （ 2 ） 当点 P 在两平面 之间时 ， 同理可证 AB∥ CD ， ∴ PA PC = PB PD ， 即 8 10-8 = BD-9 9 . ∴BD=45. 综上所述， BD=5 或 45. 变式训练 4 如图 ， 平面 α∥β∥γ ， 两条直线 l ， m 分别与平面 α ， β ， γ 相交于点 A ， B ， C 与 D ， E ， F. 已知 AB＝6 ， DE DF ＝ 2 5 ， 求 AC. 例 5 如图， 已知四 棱锥 P鄄ABCD 中 ， AB∥ CD ， O ， M 分别是 CD ， PC 的中点， PO⊥ 底面 ABCD ， 且 PO=OD=DA=AB=BC. （ 1 ） 求证： PA∥ 平面 OBM ； （ 2 ） 若 PO=2 ， 求三棱锥 M鄄PAB 的体积 . 分析： （ 1 ） 可证 OM∥PD ， 由线面平 行的判定可得 OM∥ 平面 PAD ， OB∥ 平面 PAD ， 根据面面平行的判定和性质可证 PA∥ 平面 OBM. （ 2 ） 由 V M鄄PAB =V P鄄MAB =V P鄄ABC - V M鄄ABC ， 可求三棱锥 M鄄PAB 的体积 . 解： （ 1 ） 证明： 在 △PCD 中， O 是 CD 的中点， M 是 PC 的中点， α β P A B C D α β P AB C D D F E A B C α β γ m l O P M A B C D 图 11-3-38 （ A ） 图 11-3-38 （ B ） 图 11-3-39 图 11-3-40 89 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 ∴OM∥PD. 又 ∵PD奂 平 面 PAD ， OM埭 平 面 PAD ， ∴ OM∥ 平面 PAD. ∵AB∥CD 且 AB= 1 2 CD=DO ， ∴ 四边形 ABOD 是平行四边形， ∴OB∥AD. ∵ AD奂 平面 PAD ， OB埭 平面 PAD ， ∴OB∥ 平面 PAD ， 而 OM∩OB=O ， ∴ 平面 OBM∥ 平面 PAD. 又 ∵PA奂 平面 PAD ， ∴PA∥ 平面 OBM. （ 2 ） 连接 MA ， AC ， 由 AB=BC=CO= OB=2 ， ∴△ABC 的面积 S= 3 姨 . 又 ∵PO=2 ， ∴ 三棱锥 P鄄ABC 的体积为 V P鄄ABC = 1 3 × S △ABC ×2= 1 3 × 3 姨 ×2= 2 3 姨 3 ， V M鄄ABC = 3 姨 3 . 故三棱锥 M鄄PAB 的体积为 V M鄄PAB =V P鄄MAB = V P鄄ABC -V M鄄ABC = 2 3 姨 3 - 3 姨 3 = 3 姨 3 . 变式训练 5 已知底面是平行四边形的四棱锥 P鄄ABCD ， 点 E 在 PD 上， 且 PE ∶ ED＝2 ∶ 1 ， 在棱 PC 上 是否存在一点 F ， 使 BF∥ 平面 AEC ？ 若存 在， 证明你的结论， 并说出点 F 的位置； 若 不存在， 请说明理由 . 总结 （ 1 ） 在遇到线面平行时， 常需 作出过已知直线与已知平面相交的辅助平 面， 以便运用线面平行的性质 . （ 2 ） 要灵活应用线线平行、 线面平行 和面面平行的相互联系、 相互转化 . 在解决 立体几何中的平行问题时， 一般都要用到 平行关系的转化， 转化思想是解决这类问 题的最有效的方法 . 数 学 文 化 我国古代数学名著 《九章算术》 对立体 几何也有深入的研究， 从其中的一些数学用 语可见， 譬如 “堑堵” 意指底面为直角三角 形， 且侧棱垂直于底面的三棱柱， “阳马” 指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四 棱锥 . 现有一如图所示的 “堑 堵 ” 即 三 棱 柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 ， 平面 α 过 “堑堵” 即三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 的 棱 BB 1 且 与 “阳马 ” 即四棱锥 B鄄A 1 ACC 1 的底面 A 1 ACC 1 平行， 平面 β 过 “堑堵” 即 三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 的棱 AA 1 且 β∩α=m ， 则 m 与 C 1 C 的位置关系如何？ 分析： 可证 m∥BB 1 ， m∥AA 1 ， 可证 m 与 C 1 C 平行 . 解： ∵α∥ 平面 A 1 ACC 1 ， 且平面 β∩α= m ， β∩ 平面 A 1 ACC 1 =AA 1 ， ∴m∥AA 1 ， 而 AA 1 ∥CC 1 ， ∴m∥CC 1 . O P M A B C D A B C A 1 B 1 C 1 图 11-3-41 图 11-3-42 90 参考答案 7. 解： 如图， 由题意知 MB∥ 平 面 AEF ， 过 F ， B ， M 作平面 FBMN 交 AE 于点 N ， 连接 MN ， NF. ∵BF∥ 平面 AA 1 C 1 C ， BF奂 平面 FBMN ， 平 面 FBMN∩ 平面 AA 1 C 1 C=MN ， ∴BF∥ MN. ∵MB∥ 平 面 AEF ， MB奂 平 面 FBMN ， 平面 FBMN∩ 平面 AEF=FN ， ∴MB∥FN ， ∴ 四边形 BFNM 是平行四边形， ∴MN=BF=1. 而 EC∥FB ， EC=2FB=2 ， ∴MN∥EC ， MN= 1 2 EC=1 ， 故 MN 是 △ACE 的中位线 .∴M 是 AC 的中点时， MB∥ 平面 AEF. 8. （ 1 ） 证明： ∵AB∥CD ， AB埭 平面 PCD ， CD奂 平面 PCD ， ∴AB∥ 平面 PCD. 又 ∵ 平面 PAB∩ 平面 PDC=l ， 且 AB奂 平面 PAB ， ∴AB∥l . （ 2 ） 解： 存在点 M ， 使得 PA∥ 平面 MBD ， 此时 PM MC = 1 2 . 证明如 下： 连接 AC 交 BD 于点 O ， 连接 MO. ∵AB∥CD ， 且 CD= 2AB ， ∴ AB CD = AO OC = 1 2 . 又 ∵ PM MC = 1 2 ， PC∩AC=C ， ∴PA∥ MO. ∵PA埭 平面 MBD ， MO奂 平面 MBD ， ∴PA∥ 平面 MBD. 9. 2 2 姨 3 a 【解析】 连接 AC （图略 ） . 由线面平行的 性质知 MN∥PQ∥AC ， ∵AP＝ a 3 ， ∴ PQ AC ＝ 2 3 . 又 AC＝ 2 姨 a ， ∴PQ＝ 2 2 姨 3 a. 10. m n 【解析 】 ∵AC∥ 平面 EFGH ， AC奂 平面 ABC ， 平面 EFGH∩ 平面 ABC＝EF ， ∴AC∥EF ， 同 理 AC∥GH. AE EB ＝ CF BF ＝ FG n-FG ＝ m-EF EF ， 而 EF＝FG. ∴EF＝ mn m+n ， ∴ AE EB ＝ m-EF EF ＝ m n . 11. 1 2 【解 析 】 连 接 AC 交 BE 于 点 G ， 连 接 FG ， ∵PA∥ 平面 EBF ， PA奂 平面 PAC ， 平面 PAC∩ 平面 BEF＝ FG ， ∴PA∥FG ， ∴ PF FC ＝ AG GC . 又 ∵AD∥BC ， E 为 AD 的中 点， ∴ AG GC ＝ AE BC ＝ 1 2 ， ∴ PF FC ＝ 1 2 . 12. D 【解析】 如图， 过线段 A 1 B 上任一点 M 作 MH∥ AA 1 ， 交 AB 于点 H ， 过点 H 作 HG∥AC 交 BC 于点 G ， 过 点 G 作 CC 1 的平行线， 与 CB 1 一定有交点 N ， 且 MN∥ 平面 ACC 1 A 1 ， 则这样的 MN 有无数条 . 故选 D. 13. AC 【解析 】 如图 ， 易得 OM∥PD ， ∴OM∥ 平面 PCD ， OM∥ 平面 PDA ， 故 A ， C 正确 . 由图可知 OM 与平 面 PBC ， OM 与平面 PBA 均相交， 故 B ， D 错误 . 14. 2 39 姨 3 【解析】 如图所示， 若 D 为 BC 的中点， 又 G 是重心， 则 AG= 2 3 AD ， 由题意 BC∥琢 ， BC奂 平面 ABC ， 平面 ABC∩琢=MN ， 故 BC∥MN ， ∴ AG AD = MN BC = 2 3 ， 而 BC= AB 2 +AC 2 -2AB · ACcos60° 姨 = 39 姨 ， 综上， MN= 2 39 姨 3 . 15. 2 【解析 】 连接 AC 交 BD 于点 O ， 连接 PO （图 略） . ∵EF∥ 平面 PBD ， EF奂 平面 EACF ， 平面 EACF∩ 平 面 PBD＝PO ， ∴EF∥PO. 在 PA 1 上截取 PQ＝AP＝2 ， 连接 QC （图略 ）， 则 QC∥PO ， ∴EF∥QC ， ∴ 四边形 EFCQ 为平行 四边形 ， 则 CF＝EQ. 又 ∵AE＋CF＝8 ， ∴A 1 E＝CF＝EQ＝2 ， 故 CF＝2. 16. 解： 在折叠后的线段 AD 上存在一点 P ， 使得 CP∥ 平面 ABEF ， 此时 AP PD ＝ 3 2 . 以下为证明过程： 当 AP PD ＝ 3 2 时， AP AD ＝ 3 5 ， 过点 P 作 MP∥FD 交 AF 于点 M ， 连接 EM （图 略 ） ， 则有 MP FD ＝ AP AD ＝ 3 5 . ∵BE＝1 ， ∴FD＝5 ， ∴MP＝3. 又 ∵EC＝3 ， MP∥FD∥EC ， ∴ 四边形 MPCE 为平行四边形 ， ∴CP∥ME. 又 ∵CP埭 平面 ABEF ， ME奂 平面 ABEF ， ∴CP∥ 平面 ABEF 成立 . 11.3.3 平面与平面平行 第 1 课时 平面与平面平行的判定定理 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） 姨 （ 2 ） × （ 3 ） × 2. AB 3. 证明 ： ∵E ， G 分别是 PC ， BC 的中点 ， ∴EG∥PB ， 又 ∵EG埭 平面 PAB ， PB奂 平面 PAB ， ∴EG∥ 平面 PAB. ∵E ， F 分别是 PC ， PD 的中点 ， ∴EF∥CD. 又 ∵AB∥CD ， M N F E A B C A 1 B 1 C 1 第 7 题答图 第 8 题答图 P M A B C D O P D G F E A B C 第 11 题答图 M N H G A B C A 1 B 1 C 1 第 12 题答图 A 琢 MN G DC B M O P D A B C 第 13 题答图 第 14 题答图 65 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 ∴EF∥AB. ∵EF埭 平面 PAB ， AB奂 平面 PAB ， ∴EF∥ 平面 PAB. 又 EF∩EG＝E ， EF奂 平面 EFG ， EG奂 平面 EFG ， ∴ 平 面 EFG∥ 平面 PAB. 4. 证明 ： （ 1 ） ∵G ， H 分 别 是 A 1 B 1 ， A 1 C 1 的 中 点 ， ∴GH 是 △A 1 B 1 C 1 的 中 位线 ， ∴GH∥B 1 C 1 . 又 ∵B 1 C 1 ∥BC ， ∴GH∥BC ， ∴B ， C ， H ， G 四点共面 . （ 2 ） ∵E ， F 分别是 AB ， AC 的中点， ∴EF∥BC. ∵EF埭 平面 BCHG ， BC奂 平面 BCHG ， ∴EF∥ 平面 BCHG. ∵A 1 G∥ EB ， A 1 G＝EB ， ∴ 四边形 A 1 EBG 是平行四边形， ∴A 1 E∥GB. ∵A 1 E埭 平面 BCHG ， GB奂 平面 BCHG ， ∴A 1 E∥ 平面 BCHG. ∵A 1 E∩EF＝E ， A 1 E奂 平面 A 1 EF ， EF奂 平面 A 1 EF ， ∴ 平面 EFA 1 ∥ 平面 BCHG. 5. 证 明 ： ∵PM ∶ MA ＝BN ∶ ND ＝PQ ∶ QD ， ∴MQ∥AD ， NQ∥BP. 又 ∵BP奂 平面 PBC ， NQ埭 平面 PBC ， ∴NQ∥ 平面 PBC. ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形 ， ∴BC∥AD ， ∴MQ∥ BC. 又 ∵BC奂 平面 PBC ， MQ埭 平面 PBC ， ∴MQ∥ 平面 PBC. 又 ∵MQ∩NQ＝Q ， ∴ 平面 MNQ∥ 平面 PBC. 随堂练习 1. C 2. D 3. A 4. 平行 5. 平行 练习手册 1. D 【解析】 根据面面平行的判定、 线面平行的性质， 对选项逐个分析判断即可得解 . 对于 A ， 当 琢∩茁=a ， l∥ m∥a 时， 不能推出 琢∥茁 ； 对于 B ， 当 琢∩茁=a ， 且在 琢 内， 在交线 a 的一侧有两点， 另一侧有一个点， 三点到 茁 的距 离相等时， 不能推出 琢∥茁 ； 对于 C ， 当 l 与 m 平行时， 不 能推出 琢∥茁 ； 对于 D ， ∵l ， m 是两条异面直线， 且 l∥琢 ， m∥琢 ， l∥茁 ， m∥茁 ， 可得出平面 琢 内有两条相交线分别平 行于 l ， m ， 从而这两条相交线分别平行于平面 茁 ， 则 琢∥ 茁 ， 故 D 项正确 . 故选 D. 2. B 【解析】 假设过点 P 且平行于平面 琢 的平面有两个 茁 ， 酌 ， 则由面面平行的性质知 茁∥酌 ， 又 茁 ， 酌 都过 P 点， 故 茁 ， 酌 重合， ∴ 过点 P 且平行于平面 琢 的平面只有一个 . 故选 B. 3. D 【解析】 利用异面直线与平行平面之间的关系即 可判断出结论 . 由 a奂琢 ， b奂茁 ， b∥琢 ， 则 “ a 与 b 为异面直 线” 圯琢∥茁 ， 或 琢 与 茁 相交 ； 反之也不成立 ， 可能 a∥b. ∴ “ a 与 b 为异面直线” 是 “ 琢∥茁 ” 的既不充分也不必要条 件 . 故选 D. 4. B 【解析 】 在 B 中 ， 如图所示 ， 连接 MN ， PN ， ∵A ， B ， C 为所在棱的中 点， ∴AB∥MN ， AC∥PN. 又 ∵MN∥DE ， PN∥EF ， ∴AB∥DE ， AC∥EF. ∵AB埭 平 面 EFD ， DE奂 平面 EFD ， ∴AB∥ 平 面 EFD ， 同理 AC∥ 平面 EFD. ∵AB∩AC=A ， ∴ 平面 ABC∥ 平 面 DEF. 故选 B. 5. AD 【解析】 A 项可得出平面 琢 内有两条相交线分别 平行于 m ， n ， 从而这两条相交线分别平行于平面 茁 ， 则 琢∥ 茁 ， 故 A 正确 . 若 琢∩茁=l ， m 是平面 琢 ， 茁 外的直线， 当 m∥l 时， 满足 m∥琢 ， m∥茁 ， 不满足 琢∥茁 ， ∴B 、 C 不正确； 当 m∥n 时， n奂琢 ， m奂琢 时， 不能得出 m∥琢 ， 故 D 正确 . 6. 4 【解析】 由于六棱柱 ABCDEF鄄A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 的底面 是正六边形， ∴ 上、 下底面平行， 侧面有 3 对相互平行的 面， 故有 4 对 . 7. 平行 【解析 】 如图 ， 在 △PAB 中 ， ∵D ， E 分别是 PA ， PB 的中点 ， ∴DE∥AB. 又 DE埭 平面 ABC ， AB奂 平 面 ABC ， 因此 DE∥ 平面 ABC. 同理可 证 EF∥ 平面 ABC. 又 ∵DE∩EF＝E ， DE ， EF奂 平 面 DEF ， ∴ 平面 DEF∥ 平 面 ABC. 8. 3 2 姨 4 ， 5 姨 2 2 , 【解 析 】 如图所示， 取 AD 的中点 G ， 取 CD 的中点 H ， 连接 D 1 G ， D 1 H ， GH ， AC ， 由三角形的中位线的性质 ， 可得 EF∥AC ， GH∥AC ， 则 GH∥ EF. 又由 EF奂 平面 C 1 EF ， GH埭 平 面 C 1 EF ， 可得 GH∥ 平面 C 1 EF ， 连 接 GF ， 可得 GF∥C 1 D 1 且 GF=C 1 D 1 ， 则四边形 GFC 1 D 1 为平 行四边形 ， 可得 GD 1 ∥C 1 F. ∵C 1 F奂 平面 C 1 EF ， D 1 G埭 平面 C 1 EF ， ∴D 1 G∥ 平面 C 1 EF. 又 ∵D 1 G∩GH=G ， D 1 G ， GH奂 平 面 D 1 GH ， ∴ 平 面 D 1 GH∥ 平 面 C 1 EF. 由 直 线 D 1 P 与 平 面 EFC 1 无公共 点 ， ∴ 点 P 在线 段 GH 上 ， 当 P 为 GH 的 中 点 时 ， D 1 P 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为 DD 2 1 +DP 2 姨 = 1 2 + 2 姨 4 4 / 2 姨 = 3 2 姨 4 ， 当点 P 与点 G 或 H 重合时 ， D 1 P 取得最大值， 最大值为 1 2 + 1 2 4 / 2 姨 = 5 姨 2 ， ∴ 线段 D 1 P 的 取值范围是 3 2 姨 4 ， 5 姨 2 2 , . 9. （ 1 ） 证明 ： 如图 ， 连接 A 1 C 1 ， AC ， 由 E ， F ， G 分 别为所在棱的中点 ， ∴A 1 C 1 ∥GF ， EF∥BC 1 . 由 AD 1 ∥BC 1 ， ∴AD 1 ∥EF. 又 AD 1 奂 平面 ACQ ， EF埭 平面 ACQ ， ∴EF∥ 平 面 ACQ. 又 ∵A 1 C 1 ∥AC ， ∴GF∥AC. 又 ∵AC奂 平面 ACQ ， GF埭 平面 ACQ ， ∴GF∥ 平面 ACQ. 又 ∵GF∩EF=F ， ∴ 平面 EFG∥ 平面 ACQ. 第 4 题答图 F E A B D C M P N P F E A B C D 第 7 题答图 第 8 题答图 F G H E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 P P M F G H E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Q N 第 9 题答图 66 参考答案 （ 2 ） 解： 线段 CD 上存在一点 P ， 当 DP= 1 3 DC 时， 满 足 DQ∥ 平面 D 1 PH. 证明如下： 连接 PH 并延长交 AB 于点 M ， 连接 D 1 M ， 则平面 D 1 PH 与平面 D 1 PM 为同一平面 . 由 H 为 AC 的中点， 则 △AMH 与 △CPH 全等 . 则 AM= 2 3 AB= 2 3 CD. 取线段 D 1 M 的中点 N ， 连接 QN. 由 Q ， N 分别为 AD 1 ， D 1 M 的中点 ， ∴QN= 1 2 AM= 1 3 AB= 1 3 DC 且 QN∥AM. 又 ∵DP∥AM 且 DP= 1 3 DC ， 即 QN∥DP 且 QN=DP ， ∴ 四边形 QDPN 为平 行四边形 ， 故 QD∥NP. 又 ∵QD埭 平面 D 1 PH ， NP奂 平面 D 1 PH ， ∴DQ∥ 平面 D 1 PH. 10. 解： 能作出满足条件的平面 α ， 其作法如下： 如图， 连接 BD 1 ， 取 AA 1 的中点 M ， 连接 D 1 M ， 则 BD 1 与 D 1 M 所确定的平面即为满足条件的平面 α. 证明 ： 连接 BD 交 AC 于点 O ， 连接 PO ， 则 O 为 BD 的中点 . 又 P 为 DD 1 的中点 ， 则 PO∥D 1 B. ∵BD 1 埭 平 面 PAC ， OP奂 平面 PAC ， ∴D 1 B∥ 平 面 PAC. 又 ∵M 为 AA 1 的 中 点 ， ∴D 1 M∥PA. 又 ∵D 1 M 埭 平 面 PAC ， PA奂 平面 PAC ， 从而 D 1 M∥ 平面 PAC. 又 ∵D 1 M∩D 1 B＝D 1 ， D 1 M奂α ， D 1 B奂α ， ∴ 平面 α∥ 平面 PAC. 11. M∈ 线段 FH 【解析】 ∵HN∥BD ， HF∥DD 1 ， HN∩ HF＝H ， BD∩DD 1 ＝D ， ∴ 平面 NHF∥ 平面 B 1 BDD 1 ， 故线段 FH 上任意一点 M 与 N 连接， 有 MN∥ 平面 B 1 BDD 1 . 12. 证明 ： ∵PM ∶ MA＝BN ∶ ND＝PQ ∶ QD ， ∴MQ∥AD ， NQ∥BP ， 而 BP奂 平面 PBC ， NQ埭 平面 PBC ， ∴NQ∥ 平面 PBC. 又 ∵ 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， ∴BC∥AD ， ∴MQ∥BC ， 而 BC奂 平面 PBC ， MQ埭 平面 PBC ， ∴MQ∥ 平 面 PBC. 又 MQ∩NQ＝Q ， MQ ， NQ奂 平面 MNQ ， ∴ 平面 MNQ∥ 平面 PBC. 13. 证明： （ 1 ） 如图， 连接 AE ， 则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O ， 连接 MO ， 则 MO 为 △ABE 的中位线 ， ∴BE∥ MO. 又 ∵BE埭 平面 DMF ， MO奂 平面 DMF ， ∴BE∥ 平面 DMF. （ 2 ） ∵N ， G 分别为边 AD ， EF 的中点， ∴DE∥GN. 又 ∵DE埭 平面 MNG ， GN奂 平面 MNG ， ∴DE∥ 平面 MNG. 又 ∵M 为 AB 的中点 ， ∴MN 为 △ABD 的中位线 ， ∴BD∥MN. 又 ∵MN奂 平面 MNG ， BD埭 平面 MNG ， ∴BD∥ 平面 MNG. 又 ∵DE ， BD奂 平面 BDE ， DE∩BD＝D ， ∴ 平面 BDE∥ 平面 MNG. 14. Q 为 CC 1 的中点 【解析】 当 Q 为 CC 1 的中点时， 平 面 D 1 BQ∥ 平面 PAO. 证明如下 ： ∵Q 为 CC 1 的中点 ， P 为 DD 1 的中点， ∴QB∥PA ， ∵P ， O 分别为 DD 1 ， DB 的中点， ∴D 1 B∥PO. 又 ∵D 1 B埭 平面 PAO ， PO奂 平面 PAO ， QB埭 平 面 PAO ， PA奂 平面 PAO ， ∴D 1 B∥ 平面 PAO ， QB∥ 平面 PAO. 又 ∵D 1 B∩QB ＝B ， D 1 B ， QB奂 平 面 D 1 BQ ， ∴ 平 面 D 1 BQ∥ 平面 PAO. 15. 解： 存在， 当 F 是棱 PC 的中点时 ， BF 所在平面与平面 AEC 平行 . 证明如下： 取 PE 的中点 M ， 连接 FM. ∵F 是 PC 的 中 点 ， ∴FM∥CE. ∵FM 埭 平 面 AEC ， CE 奂 平 面 AEC ， ∴FM∥ 平面 AEC. 由 EM＝ 1 2 PE ＝ED ， 得 E 是 MD 的 中 点 ， 连 接 OE ， ∴OE∥BM. ∵MB埭 平面 AEC ， OE奂 平面 AEC ， ∴BM∥ 平面 AEC. 由 FM∩BM＝M ， FM∥ 平面 AEC ， BM∥ 平面 AEC ， FM ， BM奂 平面 FBM ， ∴ 平面 FBM∥ 平面 AEC. 第 2 课时 平面与平面平行的性质定理 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） × （ 2 ） √ （ 3 ） × （ 4 ） √ 2. 证明 ： ∵D ， E 分别是 PA ， PB 的中点 ， ∴DE∥AB. 又 ∵DE埭 平面 ABC ， AB奂 平面 ABC ， ∴DE∥ 平面 ABC ， 同 理 DF∥ 平面 ABC ， 且 DE∩DF＝D ， DE ， DF奂 平面 DEF ， ∴ 平面 DEF∥ 平面 ABC. 又 ∵ 平面 PCM∩ 平面 DEF＝NF ， 平面 PCM∩ 平面 ABC＝CM ， ∴NF∥CM. 3. 解： 如图， 取 EC 的中点 P ， AC 的中点 Q ， 连接 PQ ， PB ， BQ ， 则 PQ∥AE. ∵EC＝2FB＝2 ， ∴PE＝BF. ∴ 四 边 形 BFEP 为 平 行 四 边 形 ， ∴PB∥EF. 又 ∵AE ， EF奂 平面 AEF ， PQ ， PB埭 平面 AEF ， ∴PQ∥ 平 面 AEF ， PB∥ 平面 AEF. 又 PQ∩PB＝ P ， PQ ， PB奂 平 面 PBQ ， ∴ 平 面 PBQ∥ 平面 AEF. 又 BQ奂 平面 PBQ ， ∴BQ∥ 平面 AEF. 故点 Q 即为所求的点 M ， 即点 M 为 AC 的中点时 ， BM∥ 平面 AEF. 4. 解 ： 由题图可知 DE DF ＝ AB AC 圯AC＝ DF DE · AB＝ 5 2 ×6＝ 15. 5. 解 ： 存在点 F ， 证明如下 ： 当 F 为 PC 的中点时 ， A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D P M O 第 10 题答图 M N O D F E A B C G 第 13 题答图 M O P D F E A B C 第 15 题答图 Q P F E A B C A 1 B 1 C 1 第 3 题答图 67 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 BF∥ 平面 AEC. 证明如下 ： 如图 ， 连接 BD 交 AC 于点 O ， 连接 OE ， 过 B 点作 OE 的平行线交 PD 于点 G ， 过点 G 作 GF∥CE ， 交 PC 于点 F ， 连接 BF. ∵BG∥OE ， BG埭 平面 AEC ， OE奂 平面 AEC ， ∴BG∥ 平面 AEC. 同 理 ， GF∥ 平 面 AEC. 又 ∵BG∩GF＝G. ∴ 平面 BGF∥ 平面 AEC. ∴BF∥ 平面 AEC. ∵BG∥OE ， O 是 BD 的中点 ， ∴E 是 GD 的中点 . 又 ∵PE ∶ ED＝2 ∶ 1 ， ∴G 是 PE 的中点 . 而 GF∥CE ， ∴F 为 PC 的中点 . 综上， 当点 F 是 PC 的中点时， BF∥ 平面 AEC. 随堂练习 1. B 2. D 3. A 4. 充分不必要 5. 5 姨 2 练习手册 1. C 【解析】 因为平面 α∥ 平面 β ， 直线 l∥α ， 所以直 线 l 可能和平面 β 平行， 也可能在平面 β 内 ． 故选 C. 2. B 【解析 】 根据平面与平面平行的性质 ， 可得两个 平行平面与同一平面相交， 则所得两条交线平行 . 故选 B. 3. A 【解析 】 由题意知 P ， A ， B ， C ， D 在同一平面 内， 且平面 PBD∩ 平面 α=AC ， 平面 PBD∩ 平面 β=BD ， ∵ 平面 α∥ 平面 β ， ∴AC∥BD. 故选 A. 4. B 【解析 】 由长方体的性质 ： 各对面平行 ， 易知 HG∥EF ， EH∥FG ， ∴ 四边形 EFGH 为平行四边形 . 故选 B. 5. BCD 【解析 】 平行于同一直线的两平面可能平行 ， 也可能相交， A 不正确； 由面面平行的性质及平行线的性 质可知 B 、 C 、 D 正确 . 6. 充分不必要 【解析】 根据面面平行的性质定理， 两 平面平行 ， 一个平面内的任意直线与另一个平面平行 . 反 之， 两平面平行的判定定理为： 一个平面内的两条相交直 线与另一个平面平行， 则两平面平行 . 故 “平面 α∥ 平面 β ” 是 “平面 α 内有无数条直线与平面 β 平行” 的充分不必要 条件 . 7. 2 【解析 】 如图 ， ∵D ， E 分 别是 PA ， PB 的中点 ， ∴DE∥AB. 又 ∵DE埭 平 面 ABC ， AB奂 平 面 ABC ， ∴DE∥ 平面 ABC. 同理 DF∥ 平 面 ABC. 又 ∵DE∩DF =D ， DE ， DF奂 平面 DEF ， ∴ 平面 DEF∥ 平面 ABC. 又 ∵ 平面 PCM∩ 平面 DEF= FN ， 平面 PCM∩ 平面 ABC=CM ， ∴FN∥CM. 又 ∵CM=4 ， ∴FN ∶ CM=1 ∶ 2. 又 ∵CM=4 ， ∴FN=2. 8. 9 8 【解析 】 取棱 BC 的中点 M ， 连接 AD 1 ， D 1 G ， GM ， MA ， 根据题意， 结合线面、 面面平行的性质 ， 得到 满足条件的截面为等腰梯形 AD 1 GM. 由正方体的棱长为 1 ， 可求得该梯形的上底为 2 姨 2 ， 下底 为 2 姨 ， 高为 3 2 姨 4 ， 利用梯形的 面 积 公 式 可 求 得 截 面 面 积 S = 1 2 × 2 姨 2 + 2 姨 姨 ( × 3 2 姨 4 = 9 8 . 9. 证明： ∵ 平面 AB 1 M∥ 平面 BC 1 N ， 平面 ACC 1 A 1 ∩ 平 面 AB 1 M=AM ， 平面 BC 1 N∩ 平面 ACC 1 A 1 =C 1 N ， ∴C 1 N∥AM. 又 ∵AC∥A 1 C 1 ， ∴ 四边形 ANC 1 M 为平行四边形 ， ∴AN= C 1 M= 1 2 A 1 C 1 = 1 2 AC ， ∴N 为 AC 的中点 . 10. 解： ① 错误， 由面面平行的性质定理知， 当 BC 固 定 时 ， 在 倾 斜 的 过 程 中 ， AD∥FG∥EH∥BC 且 平 面 AEFB∥ 平面 DHGC ， ∴ 水的部分应呈棱柱状 . ② 错误 ， 在 容器倾斜的过程中 ， 平面四边形 EFGH 的面积改变 . ③ 正 确， ∵A 1 D 1 ∥AD∥CB∥EH ， A 1 D 1 埭 平面 EFGH ， EH奂 平面 EFGH ， ∴A 1 D 1 ∥ 平面 EFGH. ④ 正确， ∵ 水量是定值， 且高 不变， ∴ 底面 ABFE 的面积不变， ∴ 当 E∈AA 1 时， AE+BF 是定值 . 综上正确的有 ③④. 11. D 【解析】 由面面平行的性质， 不论 A ， B 如何运 动， 动点 C 均在过点 C 且与 α ， β 都平行的平面上 . 12. CD 【解析】 对于选项 A ， 若存在一条直线 a ， a∥ α ， a∥β ， 则 α∥β 或 α 与 β 相交， 故选项 A 不是 α∥β 的 充分条件； 对于选项 B ， 若存在一条直线 a ， a奂α ， a∥β ， 则 α∥β 或 α 与 β 相交， 故选项 B 不是 α∥β 的充分条件 ； 对于选项 C ， 平行于同一个平面的两个平面显然是平行的， 故选项 C 是 α∥β 的一个充分条件； 对于选项 D ， 可以通 过平移把两条异面直线平移到其中一个平面内， 成为相交 直线， 则有 α∥β ， ∴ 选项 D 是 α∥β 的一个充分条件 . 故选 CD. 13. ①②③④ 【解析】 先把平面展开图还原为一个四棱 锥， 再根据直线与平面、 平面与平面平行的判定定理判断 即可 . 14. ①②③④ 【解析】 将展开图还原成如图 （ 1 ） 所示 的正方体 . 如图 （ 2 ）， 在正方体中 ， ∵BM∥AN ， ∴BM∥ 平 面 ADE ， 同理可证 CN∥ 平面 ABF ， ∴①② 正确 . 易知 BM∥ 平面 AFN ， BD∥ 平面 AFN ， ∴ 平面 BDM∥ 平面 AFN ， 同 理可证平面 BDE∥ 平面 NCF ， ∴③④ 正确 . O P D G F E A B C 第 5 题答图 P M N F E A B C D 第 7 题答图 第 8 题答图 F G E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M M N D F E A B C M N D F E A B C （ 1 ） （ 2 ） 第 14 题答图 68 参考答案 15. 点 D 处 【解析 】 如图 ， 连接 B 1 D 1 ， BD ， 设 B 1 D 1 ∩A 1 C 1 ＝ M ， BD∩AC＝O ， 连接 ME ， B 1 O. ∵ 平面 AB 1 C∥ 平面 A 1 EC 1 ， 平面 AB 1 C∩ 平面 BDD 1 B 1 ＝B 1 O ， 平面 A 1 EC 1 ∩ 平 面 BDD 1 B 1 ＝ME ， ∴B 1 O∥ME. 又四边形 B 1 MDO 为平行四边形， 则 B 1 O∥MD. ∴ 得到点 E 与点 D 重合 . 16. 解： （ 1 ） 如图所示， 取 D 1 为线段 A 1 C 1 的中点 ， 此时 A 1 D 1 D 1 C 1 ＝1. 连 接 A 1 B ， 交 AB 1 于 点 O ， 连 接 OD 1 . 由 棱 柱 的 性 质 知 ， 四 边 形 A 1 ABB 1 为平行四边形 ， ∴ 点 O 为 A 1 B 的中点 . 在 △A 1 BC 1 中 ， 点 O ， D 1 分别为 A 1 B ， A 1 C 1 的中点 ， ∴OD 1 ∥BC 1 . 又 ∵OD 1 奂 平面 AB 1 D 1 ， BC 1 埭 平面 AB 1 D 1 ， ∴BC 1 ∥ 平面 AB 1 D 1 . ∴ 当 A 1 D 1 D 1 C 1 ＝1 时， BC 1 ∥ 平面 AB 1 D 1 . （ 2 ） 由平面 BC 1 D∥ 平面 AB 1 D 1 ， 且平面 A 1 BC 1 ∩ 平面 BC 1 D＝BC 1 ， 平面 A 1 BC 1 ∩ 平面 AB 1 D 1 ＝D 1 O 得 BC 1 ∥D 1 O ， ∴ A 1 D 1 D 1 C 1 ＝ A 1 O OB ， 又由题 （ 1 ） 可知 A 1 D 1 D 1 C 1 ＝ DC AD ， A 1 O OB ＝1 ， ∴ DC AD ＝1 ， 即 AD DC ＝1. 阶段性练习卷 （七） 1. D 【解析】 ∵ 直线 a 与点 B 可确定一个平面， 该平面与 平面 茁 的交线即为在平面 茁 内过点 B ， 且与直线 a 平行的直 线， ∴ 只有唯一一条 . 故选 D. 2. D 【解析】 A 中， 分别连接 PS ， QR ， 易证 PS∥QR ， ∴P ， S ， R ， Q 四点共面 ； B 中， 分别连接 PS ， QR ， 由图 知， PS 与 QR 相交， ∴P ， S ， R ， Q 四点共面； C 中， 分别 连接 PQ ， RS ， 易证 PQ∥RS ， ∴P ， Q ， R ， S 四点共面； D 中， 分别连接 PQ ， RS ， ∵PQ ， RS 异面， ∴P ， S ， R ， Q 四 点不共面 . 故选 D. 3. B 【解析】 如果三条直线交于一点， 则此时三条直 线不一定在同一平面内， 故 A 错误； 若四点不共面， 则一 定不存在三点共线， 若有三点共线， 则第四点与此直线确 定一个平面， 这样就会出现四点共面， 与已知条件不符合， 故 B 正确 ； 在空间中四边相等的四边形可能是空间四边 形 ， 故 C 错误 ； 空间四边形中也存在三个角是直角的情 况， 故 D 错误 . 故选 B. 4. B 【 解 析 】 在 正 方 体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 平 面 ABCD∥ 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 ， 且平面 B 1 D 1 P∩ 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 =B 1 D 1 ， 平面 B 1 D 1 P∩ 平面 ABCD=l ， ∴l∥B 1 D 1 . 5. C 【解析】 MN 和 AP 是异面直线， 故 A 中结论不正 确 ； MN 和 BD 1 是异面直线 ， 故 B 中结论不正确 ； 连接 AC ， 与 BD 交于点 O ， 连接 OD 1 ， ON ， ∵ 正方体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 中， M ， N 分别是 C 1 D 1 ， BC 的中点， ∴ON∥CD∥ D 1 M ， ON= 1 2 CD=D 1 M ， ∴ 四边形 MNOD 1 为平行四边形 ， ∴MN ∥OD 1 . ∵MN 埭 平 面 BB 1 D 1 D ， OD 1 奂 平 面 BB 1 D 1 D ， ∴MN∥ 平面 BB 1 D 1 D ， 故 C 中结论正确； 由选项 C 知 MN∥ 平面 BB 1 D 1 D ， 而平面 BB 1 D 1 D 和平面 BDP 相交， 故 D 中结 论不正确 . 故选 C. 6. A 【解析】 连接 A 1 C 1 ， 设平面 AB 1 C∩ 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 = m. ∵EF∥ 平面 AB 1 C ， EF奂 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 ， 平面 AB 1 C∩ 平 面 A 1 B 1 C 1 D 1 =m ， ∴EF∥m. 又 ∵ 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 ∥ 平面 ABCD ， 平面 AB 1 C∩ 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 =m ， 平面 AB 1 C∩ 平面 ABCD= AC ， ∴m∥AC ， ∴EF∥AC. 又 ∵A 1 C 1 ∥AC ， ∴EF∥A 1 C 1 . ∵E 为 A 1 D 1 的中点， ∴EF= 1 2 A 1 C 1 = 2 姨 . 7. AC 【解析】 空间中不共线的三点确定一个平面， 故 A 正确 ； 若两个平面平行， 则这两个平面没有公共点， ∴ 其中一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共 点， 即直线平行于另一个平面， C 正确 . 故选 AC. 8. BD 【解析 】 连接 AC ， BD. ① 当点 P 在 BA 的延长 线上 ， 即 P 在平面 α （ 茁 在 α 的下方 ） 上方时 ， ∵α∥茁 ， 平面 PBD∩ 平面 α=AC ， 平面 PBD∩ 平面 茁=BD ， ∴AC∥ BD ， ∴ PA PB = AC BD . ∵PA=6 ， AB=2 ， BD=12 ， ∴ 6 8 = AC 12 ， 解 得 AC=9. ② 当点 P 在 AB 的延长线上， 即 P 在平面 茁 （ α 在 茁 的 下方） 的上方时， 类似 ① 中的方法， 可得 PB PA = BD AC ， ∵PA= 6 ， AB=2 ， BD=12 ， ∴ 4 6 = 12 AC ， 解得 AC=18. 综上可得 ， AC=9 或 18. 故选 BD. 9. 6 cm 【解析 】 连接 AF 交平面 茁 于点 G ， 连接 CF ， BG ， EG ， AD （图略） . ∵AC∩AF=A ， ∴ 直线 AC 和 AF 确 定一个平面 AFC ， 则平面 AFC∩茁=BG ， 平面 AFC∩γ=CF. 又 ∵茁∥γ ， ∴BG∥CF. ∴ AB BC = AG GF . 同理可证 DE EF = AG GF ， ∴ AB BC = DE EF ， ∴ 2 3 = 4 EF ， ∴EF=6 cm. 10. ①④ 11. 3 2 姨 4 ， 5 姨 2 2 ( 【解析 】 如图所示 ， 分别取棱 BB 1 ， B 1 C 1 的 中 点 M ， N ， 连 接 MN ， BC 1 . ∵M ， N ， E ， F 分 别 为 所 在 棱 的 中 点 ， ∴MN∥BC 1 ， EF∥BC 1 ， ∴MN∥EF. 又 ∵MN埭 平 面 AEF ， EF奂 平 面 AEF ， ∴MN∥ 平面 AEF. 连接 NE ， A 1 N ， A 1 M ， ∵AA 1 ∥NE ， M O D E A B C A 1 B 1 C 1 D 1 第 15 题答图 A 1 B 1 C 1 D 1 O D A B C 第 16 题答图 M N O D F E A B C A 1 B 1 C 1 D 1 第 11 题答图 69