11.3.2 直线与平面平行-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断， 仅凭 主观臆测和对图形的模糊认识作出选择 . A ， B 中 ， PQ∥ RS ， D 中， PQ 和 RS 共面 . ６. ABC 【解析】 经过两条平行直线有且只有一个平面， 选项 A 正确； 经过两条相交直线有且只有一个平面， 选项 B 正确； 空间四点不共面， 则其中任何三点不共线， 否则 直线与直线外一点确定一个平面， 这空间四点共面， 选项 C 正确； 若两条直线没有公共点， 可以互相平行， 不一定 是异面直线， 选项 D 错误 . 故选 ABC. 7． 135° 【解析】 由等角定理可知 β＝135°. 8． 相交 【解析】 直线 A 1 B 与直线外一点 E 确定的平面 为 A 1 BCD 1 ， EF奂 平面 A 1 BCD 1 ， 且两直线不平行 ， 故两直 线相交 ． 9. ④ 【解析】 由题图知， ①②③ 中 a ， b 是异面直线， ④ 中 a ， b 平行， 故填 ④. １0. 证明： 设 Q 是 DD 1 的中 点 ， 如图 ， 连接 EQ ， QC 1 ， ∵E 是 AA 1 的中点 ， ∴EQ = ∥ A 1 D 1 . 又 在矩形 A 1 B 1 C 1 D 1 中， A 1 D 1 = ∥ B 1 C 1 ， ∴EQ = ∥ B 1 C 1 ， ∴ 四边形 EQC 1 B 1 为 平行四边形， ∴B 1 E = ∥ C 1 Q. 又 ∵Q ， F 是矩形 DD 1 C 1 C 两边的 中点， ∴QD = ∥ C 1 F ， ∴ 四边形 DQC 1 F 为平行四边形， ∴C 1 Q = ∥ DF. 又 ∵B 1 E = ∥ C 1 Q ， ∴B 1 E = ∥ DF ， ∴ 四边形 B 1 EDF 为平行四 边形 . 11. C 【解析】 连接 A 1 B ， CH. 设正方体的棱长为 2 ， 则 EF= 1 2 A 1 B= 2 姨 ， GH= GC 2 +CH 2 姨 = 6 姨 ， ∴GH≠2EF. 设 M ， N 分别为 CC 1 和 A 1 D 1 的中点 ， 连接 MH ， HN ， NE ， FG ， GM ， 则六边形 EFGMHN 是过 E ， F ， G ， H 四点的平 面截正方体的截面， ∴EF 与 GH 是共面直线， 且 EF 与 GH 不平行， ∴EF 与 GH 是相交直线， 故选 C. 12. ABC 【解 析 】 由 中 位 线 定 理 ， 易 知 MQ∥BD ， ME∥BC ， QE∥CD ， NP∥BD. 有 MQ∥NP ， ∴M ， N ， P ， Q 四点共面， 故 A 正确； 根据等角定理， 得 ∠QME＝∠CBD ， 故 B 正 确 ； 由 等 角 定 理 ， 知 ∠QME＝∠CBD ， ∠MEQ＝ ∠BCD ， ∴△BCD∽△MEQ ， 故 C 正确； 由三角形的中位线 定理， 知 MQ = ∥ 1 2 BD ， NP = ∥ 1 2 BD ， ∴MQ = ∥ NP ， ∴ 四边形 MNPQ 为平行四边形， 故 D 不正确 . 13. AC＝BD AC＝BD 且 AC⊥BD 【解析 】 易知 EH∥ BD∥FG ， 且 EH＝ 1 2 BD＝FG ， 同理 EF∥AC∥HG ， 且 EF＝ 1 2 AC＝HG ， 显然四边形 EFGH 为平行四边形 . 要使 荀EFGH 为菱形需满足 EF＝EH ， 即 AC＝BD ； 要使四边形 EFGH 为正 方形需满足 EF＝EH 且 EF⊥EH ， 即 AC＝BD 且 AC⊥BD. 14. 10 姨 10 【 解 析 】 连 接 CD 1 ， 由 AD∥BC ， 则异面直线 AD 与 BD 1 所成角等于直线 BC 与 BD 1 所成角 ， 由 AC=4 ， BD= 2 ， 底 面 为 菱 形 ， 则 CD=BC = AC 2 2 - 2 + BD 2 2 - 2 姨 = 5 姨 ， 又该棱柱为 直四棱柱 ， 则 有 CD 1 = CD 2 +DD 2 1姨 =3 ， BD 1 = BD 2 +DD 2 1姨 =2 2 姨 ， 则 cos∠D 1 BC= BC 2 +BD 2 1 -CD 2 1 2BC · BD 1 = 4 4 10 姨 = 10 姨 10 ， 即异面直线 AD 与 BD 1 所 成角的余弦值为 10 姨 10 . 15. 证明 ： 在题图 （ 1 ） 中 ， ∵ 四边形 ABCD 为梯形 ， AB∥CD ， E ， F 分别为 BC ， AD 的中点， ∴EF∥AB 且 EF= 1 2 （ AB+CD ） . 在题图 （ 2 ） 中， 易知 C′D′∥EF∥AB. ∵G ， H 分别为 AD′ ， BC′ 的中点， ∴GH∥AB 且 GH= 1 2 （ AB+C′D′ ） = 1 2 （ AB+CD ）， ∴GH∥EF ， GH=EF ， ∴ 四边形 EFGH 为平行 四边形 . 11.3.2 直线与平面平行 第 1 课时 直线与平面平行的判定定理 学习手册 变式训练 1. A 2. 证明 ： 如图 ， 取 PD 的中点 G ， 连 接 GA ， GN. ∵G ， N 分 别 是 △PDC 的 边 PD ， PC 的 中 点 ， ∴GN∥DC ， GN＝ 1 2 DC. ∵M 为平行四 边形 ABCD 的边 AB 的中点， ∴AM＝ 1 2 DC ， AM∥DC ， ∴AM∥GN ， AM＝ GN ， ∴ 四边形 AMNG 为平行四边形， ∴MN∥AG. 又 ∵MN埭 平 面 PAD ， AG奂 平面 PAD ， ∴MN∥ 平面 PAD. 3. 解 ： 当点 F 为棱 BB 1 的 中 点 时 ， 此 时 直线 A 1 B 与 平 面 EFC 1 平行 . 证明如下： ∵ 点 E ， F 分别为 棱 A 1 B 1 和 BB 1 的 中 点 ， ∴EF∥ A 1 B. ∵A 1 B埭 平面 EFC 1 ， EF奂 平 面 EFC 1 ， ∴A 1 B∥ 平面 EFC 1 ． 随堂练习 1. D 2. A 3. D 4. 相交 平行 5. SE=AE （答案不 唯一） Q F E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第 10 题答图 A 1 C D 1 C 1 B 1 D B A 第 14 题答图 M N P D G A B C 第 2 题答图 C 1 D 1 B 1 A 1 E D C BA F 第 3 题答图 62 参考答案 练习手册 1. C 【解析】 直线 m 与平面 琢 内的所有直线平行不可 能， 故 A 错误； 当直线 m 在平面 琢 内时， 满足直线 m 与 平面 琢 内的无数条直线平行 ， 但 m 与 琢 不平行 ， 故 B 错 误； 直线 m 与平面 琢 没有公共点， 能推出 m 与 琢 平行， 故 C 正确； 当直线 m 在平面 琢 内时， m 与 琢 不平行 . 故选 C. 2. A 【解析 】 在 a 上任取一点 A ， 则过 A 与 b 平行的 直线有且只有一条， 设为 b′. 又 ∵a∩b′＝A ， ∴a 与 b′ 确定一 个平面 琢 ， 即为过 a 与 b 平行的平面， 可知它是唯一的 . 3. D 【 解 析 】 ∵A 1 B 1 ∥CD ， ∴A 1 B 1 =CD ， ∴ 四 边 形 A 1 B 1 CD 为平行四边形 ， ∴A 1 D∥B 1 C. 又 B 1 C奂 平面 AB 1 C ， A 1 D埭 平面 AB 1 C ， ∴A 1 D∥ 平面 AB 1 C. 4. C 【解析 】 根据线面平行的判定定理和线面平行的 性质即可判断 ． 对于 A ， 若 a∥b ， b∥琢 ， 则 a∥琢 或 a奂琢 ， 故 A 错误； 对于 B ， 若 a∥b ， b奂琢 ， 则 a∥琢 或 a奂琢 ， 故 B 错误； 对于 C ， 若 a∥b ， b奂琢 ， a埭琢 ， 则 a∥琢 ， 故 C 正 确； 对于 D ， 若 a∥琢 ， b∥琢 ， 则 a∥b ， a 与 b 相交 ， 或 a 与 b 异面， 故 D 错误 ． 5. BC 【解析 】 A 中 ， 如图 ， 由中位线定理 MQ∥CD ， 而 CD∥AB ， 从而 MQ∥AB ， AB埭 平面 MNQ ， 有线面平 行； B 中， 如图， BC∩MN=O ， 在平面 ABC 上， OQ 与 AB 显然相交， 因此 AB 与平面 MNQ 相交， 不平行 . C 中， 如 图， C 是所在棱中点， 则 CQ∥MN ， 即 CQ奂 平面 MNQ ， 而 在底面 ABQ 上， 直线 CQ 与直线 AB 相交， AB 与平面 MNQ 相交， 不平行 . D 中， 如图， 由中位线定理得 MN∥CD ， 而 CD∥AB ， 从而 MN∥AB ， AB埭 平面 MNQ ， 有线面平行 . 6. D 【解析 】 连接 AB 1 交 A 1 B 于点 O ， 过 O 作 OP∥AC 1 交 B 1 C 1 于 点 P ， 则 O 是 AB 1 的中点 ， 如右图 示， ∵OP奂 面 A 1 PB ， AC 1 埭 面 A 1 PB ， ∴AC 1 ∥ 面 A 1 PB ， 即 P 为所求的点 ， 又在 △AB 1 C 1 中 ， OA B 1 A = PC 1 B 1 C 1 = 1 2 ， 而 B 1 C 1 =2 ， ∴PC 1 =1. 故选 D. 7. 0 或 1 【解析】 过直线 a 与交点作平面 β ， 设平面 β 与 琢 交于直线 b ， 则 a∥b ， 若所给 n 条直线中有 1 条是与 b 重合的 ， 则此直线与直线 a 平行 ， 若没有与 b 重合的 ， 则与直线 a 平行的直线有 0 条 . 8. 平行 【解析】 如图， 连接 BD ， 与 AC 交于点 O ， 连 接 OE. ∴OE 为 △BDD 1 的中位线， ∴BD 1 ∥OE. 又 BD 1 埭 平面 AEC ， OE奂 平面 AEC ， ∴BD 1 ∥ 平面 AEC. 9. 证明： 如图， 连接 BG 交 EC 于点 H ， 连接 FH. 则点 H 为 △BCD 的重心 ， 有 BH HG =2. ∵ BF FA = BH HG =2 ， ∴FH∥AG ， 且 FH奂 平面 CEF ， AG埭 平面 CEF ， ∴AG∥ 平面 CEF. 10. 证明 ： ∵E ， F 分别为 AB ， CD 的中点 ， ∴EB＝FD. 又 ∵EB∥FD ， ∴ 四边形 EBFD 为平行四边形 ， ∴BF∥ED. ∵DE奂 平面 ADE ， 而 BF埭 平面 ADE ， ∴BF∥ 平面 ADE. 11. A 1 D ， O 1 D 【解析】 如图所 示， 连接 O 1 B 1 ， OD ， AC. ∵A 1 B 1 ∥ CD ， ∴ 四边形 A 1 B 1 CD 为平行四 边形 ， ∴A 1 D∥B 1 C. ∵A 1 D埭 平 面 AB 1 C ， B 1 C奂 平面 AB 1 C ， ∴A 1 D∥ 平面 AB 1 C. ∵OD∥O 1 B 1 ， ∴ 四边形 O 1 DOB 1 为平行四边形 ， ∴O 1 D∥OB 1 . 又 O 1 D埭 平面 AB 1 C ， OB 1 埭 平面 AB 1 C ， ∴O 1 D∥ 平面 AB 1 C. 12. C 【解析】 连接 AC 交 BD 于点 E ， 易知 E 为 AC 的 中点， 连接 EM ， ∵SA∥ 平面 MDB ， SA奂 平面 SAC ， 平面 SAC∩ 平面 MDB＝ME ， SA∥EM ， 则有 M 为 SC 的中点， 即 SM MC ＝1. 13. ①③ 【解析】 ① 如图 （ 1 ）， 设 Q 为所在棱的中点， 连 接 MQ ， NQ ， PQ ， 则 NQ∥AB ， 且 NQ奂 平 面 MNP ， AB埭 平面 MNP ， ∴AB∥ 平面 MNP. ② 过 N 作 AB 的平行线交底面正方形于其中心 O ， NO埭 平面 MNP ， AB埭 平面 MNP ， ∴AB 与平面 MNP 不 平行 . ③ 易知 AB∥MP ， MP奂 平面 MNP ， AB埭 平面 MNP ， ∴AB∥ 平面 MNP. ④ 如图 （ 2 ） ， 过 M 作 MC∥AB ， ∵MC埭 平面 MNP ， AB埭 平面 MNP ， ∴AB 与平面 MNP 不平行 . Q M N A B D C Q M A B N O C C Q M N A B B Q M N A C D A B C D 第 5 题答图 A 1 B 1 C 1 D 1 O P D A B C 第 6 题答图 O D E A B C A 1 B 1 C 1 D 1 第 8 题答图 第 9 题答图 H D G F E A B C O D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 O 1 第 11 题答图 63 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 14. 平面 ABC ， 平面 ABD 【解析 】 连接 BN ， AM ， 并 延长交 CD 于点 E. 由题意易得 MN∥AB ， MN埭 平面 ABC ， AB奂 平面 ABC ， MN埭 平面 ABD ， AB奂 平面 ABD ， ∴MN∥ 平面 ABC ， MN∥ 平面 ABD. 15. 证明： 连接 MC ， 交 BD 于点 E ， ∵ DM AM =2 ， AD=3 ， ∴DM=2 ， AM=1. ∵AD∥BC ， ∴△MDE∽△CBE ， CE EM = BC DM = 2= CN NP ， ∴PM∥NE. ∵NE奂 平 面 BDN ， PM埭 平 面 BDN ， ∴PM∥ 平面 BDN. 16. （ 1 ） 证 明 ： 过 点 N 作 NE∥A 1 B 1 交 B 1 C 1 于点 E ， 过点 M 作 MF∥AB 交 BB 1 于点 F ， 连接 EF ， 则 NE∥MF. ∵NE∥A 1 B 1 ， ∴ NE A 1 B 1 ＝ C 1 N A 1 C 1 . 又 ∵MF∥AB ， ∴ MF AB ＝ B 1 M AB 1 . ∵A 1 N＝AM ， ∴C 1 N＝B 1 M. 又 ∵A 1 C 1 ＝AB 1 ， ∴ NE A 1 B 1 ＝ MF AB . 又 ∵AB＝A 1 B 1 ， ∴NE＝MF ， ∴ 四边 形 MNEF 是平行四边形， MN∥EF. 又 ∵MN埭 平面 BB 1 C 1 C ， EF奂 平面 BB 1 C 1 C ， ∴MN∥ 平面 BB 1 C 1 C. （ 2 ） 解 ： 设 B 1 E＝x （ 0<x<a ） ， ∵NE∥A 1 B 1 ， ∴ B 1 E B 1 C 1 ＝ A 1 N A 1 C 1 . 又 ∵MF∥AB ， ∴ B 1 F BB 1 ＝ B 1 M AB 1 . ∵A 1 N＝AM ， A 1 C 1 ＝AB 1 ＝ 2 姨 a ， B 1 C 1 ＝BB 1 ＝a ， ∴ B 1 E B 1 C 1 ＋ B 1 F BB 1 ＝ A 1 N A 1 C 1 ＋ B 1 M AB 1 . ∴ x a ＋ B 1 F a ＝1 ， ∴B 1 F＝a-x. 从而 MN＝EF＝ B 1 E 2 ＋B 1 F 2 姨 ＝ 2 x- a 2 2 * 2 + a 2 姨 姨 , 2 姨 . ∴ 当 x＝ a 2 时， MN 的长的最小值为 2 姨 2 a. 第 2 课时 直线与平面平行的性质定理 学习手册 变式训练 1. 证明： ∵AB∥ 平面 MNPQ ， 平面 ABC∩ 平面 MNPQ＝ MN ， 且 AB奂 平面 ABC ， ∴ 由线面平行的性质定理知 ， AB∥MN. 同理 AB∥PQ ， ∴MN∥PQ. 同理可得 MQ∥NP. ∴ 四边形 MNPQ 是平行四边形 . 2. 证 明 ： ∵AD∥BC ， AD埭 平 面 BCEF ， BC奂 平 面 BCEF ， ∴AD ∥ 平 面 BCEF. ∵AD 奂 平 面 ADEF ， 平 面 ADEF∩ 平面 BCEF＝EF ， ∴AD∥EF. 3. 证明： 连接 AC ， A 1 C 1 . 在 长 方 体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， AA 1 ∥CC 1 ， AA 1 ＝CC 1 ， ∴ 四边形 ACC 1 A 1 是平行四边形 ， ∴AC∥ A 1 C 1 . ∵AC埭 平面 A 1 BC 1 ， A 1 C 1 奂 平面 A 1 BC 1 ， ∴AC∥ 平面 A 1 BC 1 . ∵AC奂 平面 PAC ， 平面 A 1 BC 1 ∩ 平面 PAC＝MN ， ∴AC∥MN. ∵MN埭 平面 ABCD ， AC奂 平面 ABCD ， ∴MN∥ 平面 ABCD. 随堂练习 1. C 2. D 3. A 4. B 5. A 练习手册 1. D 【解析】 ∵ 直线 m∥ 直线 n ， 且 m∥ 平面 琢 ， ∴ 当 n 不在平面 琢 内时， 平面 琢 内存在直线 m′∥m圯n∥m′ ， 符 合线面平行的判定定理， 可得 n∥ 平面 琢 ， 当 n 在平面 琢 内 时， 也符合条件 . 2. D 【解析 】 平行于平面的直线， 和这个平面内的直 线平行或异面， A 错误； 平行于同一个平面的两条直线可 能平行、 相交或异面， B 错误； 与两个相交平面的交线平 行的直线也可能在其中一个平面内， C 错误； 设 a∥b ， a埭 琢 ， b埭琢 ， a∥琢 ； 过 a 作一平面 茁 ， 茁∩琢=c ， 则 a∥c ， 又 ∵a∥b ， ∴b∥c. 又 ∵b埭琢 ， c奂琢 ， ∴b∥琢. D 正确 . 故选 D. 3. A 【解析 】 由长方体的性质知 ， EF∥ 平面 ABCD ， ∵EF奂 平面 EFGH ， 平面 EFGH∩ 平面 ABCD＝GH ， ∴EF∥ GH. 又 EF∥AB ， ∴GH∥AB. 4. ABC 【解析】 A 选项， 若直线 l 平行于平面 琢 内的 无数条直线， 则 l 可能含于 琢 ， A 为假命题； B 选项， 若直 线 a 在平面 琢 外， 则可能 a 与 琢 相交， B 为假命题 ； C 选 项， 若直线 a∥b ， 直线 b∥琢 ， 则 a 可能含于 琢 ， C 为假命 题 ； D 选项 ， 由于直线 b∥琢 ， 不妨设 b奂茁 ， 琢∩茁=c ， 则 b∥c ， ∴a∥c ， ∴a 平行于平面 琢 内的无数条直线， D 为真 命题 . 故选 ABC. 5. 平行 6. 平行 【解析】 如图， 根据正方体的性质可知 A 1 C 1 ∥ AC ， ∵A 1 C 1 埭 平面 ABCD ， AC奂 平面 ABCD ， ∴A 1 C 1 ∥ 平面 ABCD ， ∵ 平面 A 1 C 1 B∩ 平面 ABCD=l ， A 1 C 1 奂 平面 A 1 C 1 B ， ∴l∥A 1 C 1 . M N Q P A B M N C P A B （ 1 ） （ 2 ） 第 13 题答图 A B M N D F E C A 1 B 1 C 1 D 1 第 16 题答图 M N P D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 第 3 题答图 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 l 第 6 题答图 64 参考答案 7. 解： 如图， 由题意知 MB∥ 平 面 AEF ， 过 F ， B ， M 作平面 FBMN 交 AE 于点 N ， 连接 MN ， NF. ∵BF∥ 平面 AA 1 C 1 C ， BF奂 平面 FBMN ， 平 面 FBMN∩ 平面 AA 1 C 1 C=MN ， ∴BF∥ MN. ∵MB∥ 平 面 AEF ， MB奂 平 面 FBMN ， 平面 FBMN∩ 平面 AEF=FN ， ∴MB∥FN ， ∴ 四边形 BFNM 是平行四边形， ∴MN=BF=1. 而 EC∥FB ， EC=2FB=2 ， ∴MN∥EC ， MN= 1 2 EC=1 ， 故 MN 是 △ACE 的中位线 .∴M 是 AC 的中点时， MB∥ 平面 AEF. 8. （ 1 ） 证明： ∵AB∥CD ， AB埭 平面 PCD ， CD奂 平面 PCD ， ∴AB∥ 平面 PCD. 又 ∵ 平面 PAB∩ 平面 PDC=l ， 且 AB奂 平面 PAB ， ∴AB∥l . （ 2 ） 解： 存在点 M ， 使得 PA∥ 平面 MBD ， 此时 PM MC = 1 2 . 证明如 下： 连接 AC 交 BD 于点 O ， 连接 MO. ∵AB∥CD ， 且 CD= 2AB ， ∴ AB CD = AO OC = 1 2 . 又 ∵ PM MC = 1 2 ， PC∩AC=C ， ∴PA∥ MO. ∵PA埭 平面 MBD ， MO奂 平面 MBD ， ∴PA∥ 平面 MBD. 9. 2 2 姨 3 a 【解析】 连接 AC （图略 ） . 由线面平行的 性质知 MN∥PQ∥AC ， ∵AP＝ a 3 ， ∴ PQ AC ＝ 2 3 . 又 AC＝ 2 姨 a ， ∴PQ＝ 2 2 姨 3 a. 10. m n 【解析 】 ∵AC∥ 平面 EFGH ， AC奂 平面 ABC ， 平面 EFGH∩ 平面 ABC＝EF ， ∴AC∥EF ， 同 理 AC∥GH. AE EB ＝ CF BF ＝ FG n-FG ＝ m-EF EF ， 而 EF＝FG. ∴EF＝ mn m+n ， ∴ AE EB ＝ m-EF EF ＝ m n . 11. 1 2 【解 析 】 连 接 AC 交 BE 于 点 G ， 连 接 FG ， ∵PA∥ 平面 EBF ， PA奂 平面 PAC ， 平面 PAC∩ 平面 BEF＝ FG ， ∴PA∥FG ， ∴ PF FC ＝ AG GC . 又 ∵AD∥BC ， E 为 AD 的中 点， ∴ AG GC ＝ AE BC ＝ 1 2 ， ∴ PF FC ＝ 1 2 . 12. D 【解析】 如图， 过线段 A 1 B 上任一点 M 作 MH∥ AA 1 ， 交 AB 于点 H ， 过点 H 作 HG∥AC 交 BC 于点 G ， 过 点 G 作 CC 1 的平行线， 与 CB 1 一定有交点 N ， 且 MN∥ 平面 ACC 1 A 1 ， 则这样的 MN 有无数条 . 故选 D. 13. AC 【解析 】 如图 ， 易得 OM∥PD ， ∴OM∥ 平面 PCD ， OM∥ 平面 PDA ， 故 A ， C 正确 . 由图可知 OM 与平 面 PBC ， OM 与平面 PBA 均相交， 故 B ， D 错误 . 14. 2 39 姨 3 【解析】 如图所示， 若 D 为 BC 的中点， 又 G 是重心， 则 AG= 2 3 AD ， 由题意 BC∥琢 ， BC奂 平面 ABC ， 平面 ABC∩琢=MN ， 故 BC∥MN ， ∴ AG AD = MN BC = 2 3 ， 而 BC= AB 2 +AC 2 -2AB · ACcos60° 姨 = 39 姨 ， 综上， MN= 2 39 姨 3 . 15. 2 【解析 】 连接 AC 交 BD 于点 O ， 连接 PO （图 略） . ∵EF∥ 平面 PBD ， EF奂 平面 EACF ， 平面 EACF∩ 平 面 PBD＝PO ， ∴EF∥PO. 在 PA 1 上截取 PQ＝AP＝2 ， 连接 QC （图略 ）， 则 QC∥PO ， ∴EF∥QC ， ∴ 四边形 EFCQ 为平行 四边形 ， 则 CF＝EQ. 又 ∵AE＋CF＝8 ， ∴A 1 E＝CF＝EQ＝2 ， 故 CF＝2. 16. 解： 在折叠后的线段 AD 上存在一点 P ， 使得 CP∥ 平面 ABEF ， 此时 AP PD ＝ 3 2 . 以下为证明过程： 当 AP PD ＝ 3 2 时， AP AD ＝ 3 5 ， 过点 P 作 MP∥FD 交 AF 于点 M ， 连接 EM （图 略 ） ， 则有 MP FD ＝ AP AD ＝ 3 5 . ∵BE＝1 ， ∴FD＝5 ， ∴MP＝3. 又 ∵EC＝3 ， MP∥FD∥EC ， ∴ 四边形 MPCE 为平行四边形 ， ∴CP∥ME. 又 ∵CP埭 平面 ABEF ， ME奂 平面 ABEF ， ∴CP∥ 平面 ABEF 成立 . 11.3.3 平面与平面平行 第 1 课时 平面与平面平行的判定定理 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） 姨 （ 2 ） × （ 3 ） × 2. AB 3. 证明 ： ∵E ， G 分别是 PC ， BC 的中点 ， ∴EG∥PB ， 又 ∵EG埭 平面 PAB ， PB奂 平面 PAB ， ∴EG∥ 平面 PAB. ∵E ， F 分别是 PC ， PD 的中点 ， ∴EF∥CD. 又 ∵AB∥CD ， M N F E A B C A 1 B 1 C 1 第 7 题答图 第 8 题答图 P M A B C D O P D G F E A B C 第 11 题答图 M N H G A B C A 1 B 1 C 1 第 12 题答图 A 琢 MN G DC B M O P D A B C 第 13 题答图 第 14 题答图 65 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 掌握直线与平面的三种位置关系， 会 判断直线与平面的位置关系 . 2. 学会用图形语言、 符号语言表示三种 位置关系 . 3. 掌握直线与平面平行的判定定理， 并 能利用两个定理解决空间中的平行关系问题 . 要 点 精 析 要点 直线与平面平行的判定定理 文字语言： 平面外的一条直线与平面内 的一条直线平行， 则该直线与此平面平行 . 符号语言： a埭α ， b奂α ， a∥b圯a∥α. 图形语言： 思考 如果一条直线与两个平行平面 中的一个平行， 那么这条直线与另一平面 的位置关系是怎样的？ 例 1 如图， 在长方体 ABCD鄄A′B′C′D′ 的六个面所在的平面中， （ 1 ） 与 AB 平行的平面是 ； （ 2 ） 与 AA′ 平行的平面是 ； （ 3 ） 与 AD 平行的平面是 . 分析： 先在长方体中确定线线平行 ， 然后再根据线面平行的判定定理找到与相 应直线平行的平面 . 解析： （ 1 ） 由于 AB∥A′B′ ， AB埭 平面 A′B′C′D′ ， A′B′奂 平面 A′B′C′D′ ， 所以 AB∥ 平面 A′B′C′D′ . 同理证得 AB∥ 平面 DCC′D′. （ 2 ） 由于 AA′∥BB′ ， AA′埭 平面 BCC′B′ ， BB′奂 平面 BCC′B′ ， 所以 AA′∥ 平面 BCC′B′. 同理证得 AA′∥ 平面 DCC′D′. （ 3 ） 由于 AD∥A′D′ ， AD埭 平面 A′B′C′D′ ， A′D′奂 平面 A′B′C′D′ ， 所以 AD∥ 平面 A′B′C′D′. 同理证得 AD∥ 平面 BCC′B′. 变式训练 1 下列条件中能确定直线 a 与平面 α 平行 的是 （ ） A. a埭α ， b奂α ， a∥b B. b奂α ， a∥b C. b奂α ， c奂α ， a∥b ， a∥c D. b奂α ， A∈a ， B∈a ， C∈b ， D∈b ， 且 AC＝BD 例 2 如图， 在正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分 别是棱 BC ， C 1 D 1 的中点 . 求 证： EF∥ 平面 BDD 1 B 1 . 分析： “ E ， F 是中点” 这个条件很重 要， 让人想到利用三角形的中位线实现平 11.3.2 直线与平面平行 第 1课时 直线与平面平行的判定定理 α a b A′ B′ C′ D′ A B C D F E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 图 11-3-7 图 11-3-8 78 第十一章 立体几何初步 学 行线的传递， 再构造平行四边形来达到目的 . 证明： 取 D 1 B 1 的中点 O ， 连接 OF ， OB. ∵F 为 C 1 D 1 的中点， ∴OF∥B 1 C 1 且 OF＝ 1 2 B 1 C 1 . 又 ∵BE∥B 1 C 1 ， BE＝ 1 2 B 1 C 1 ， ∴OF∥BE 且 OF＝BE ， ∴ 四边形 OFEB 是平行四边形， ∴EF∥ BO. ∵EF埭 平面 BDD 1 B 1 ， BO奂 平面 BDD 1 B 1 ， ∴EF∥ 平面 BDD 1 B 1 . 变式训练 2 如图， 四边形 ABCD 是平行四边形， P 是平面 ABCD 外一点 ， M ， N 分别是 AB ， PC 的中点 . 求证： MN∥ 平面 PAD. 例 3 如图， 在三棱锥 S鄄ABC 中， 已知 △SAC 是正三角形， G 为 △SAC 的重心， D ， E 分别为 SC ， AB 的中点， F 在 AB 上， 且 AF= 1 3 AB. 求证： DE∥ 平面 SGF. 分析： 三角形的重心是其三条中线的交 点， 它的比例性质可以用来证明线线平行 . 证明： 如图， 连接 AD ， ∵D 为 SC 的中点， G 为 △SAC 的重心， ∴ 点 G 一定在 AD 上， 且 AG AD = 2 3 . ∵E 为 AB 的中点， ∴AE= 1 2 AB. 又 ∵AF= 1 3 AB ， ∴ AF AE = 2 3 ， ∴ AG AD = AF AE ， 则 GF∥DE. ∵ GF奂 平面 SGF ， DE埭 平面 SGF ， ∴DE∥ 平面 SGF. 变式训练 3 如图， 已知正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 ， 点 M N P D A B C S F G H E A B C D F E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O 图 11-3-9 图 11-3-10 S F G E A B C D 图 11-3-11 图 11-3-12 79 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 E 是棱 A 1 B 1 的中点 . 在棱 BB 1 上找一个点 F ， 使直线 A 1 B 与平面 EFC 1 平行并证明 . 反思： 证明直线与平面平行的两种方法 . （ 1 ） 定义法： 证明直线与平面没有公 共点， 一般直接证明较为困难， 往往借助 反证法来证明 . （ 2 ） 定理法： 平面外一条直线与平面 内的一条直线平行 . 数 学 文 化 在 《九章算术》 中， 将 底面为长方形且有一条侧棱 与底面垂直的四棱锥称之为 阳马 . 若四棱锥 P鄄ABCD 为 阳马 ， 侧棱 PA⊥ 矩形 ABCD 所在的平面 （如图）， 则判断图中 BC 与平面 PAD 的位置 关系 . 解： BC 与平面 PAD 平行， 理由如下： 在矩形 ABCD 中， BC∥AD. ∵BC埭 平面 PAD ， AD奂 平面 PAD ， ∴BC∥ 平面 PAD. P A B C D C 1 D 1 B 1 A 1 E D C BA 图 11-3-13 图 11-3-14 80 第十一章 立体几何初步 学 学 习 目 标 1. 掌握直线与平面的三种位置关系， 会 判断直线与平面的位置关系 . 2. 学会用图形语言、 符号语言表示三种 位置关系 . 3. 掌握直线与平面平行的性质定理， 并 能利用两个定理解决空间中的平行关系问题 . 要 点 精 析 要点 直线与平面平行的性质定理 文字语言： 一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行 . 释义： 若一条直线与一个平面平行， 这 条直线与平面内直线的位置关系不可能是相 交， 所以， 该直线与平面内直线的位置关系 还有两种， 即平行或异面 . 怎样在平面内作 一条直线与该直线平行呢？ 经过这条直线的 平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线 平行 . 符号语言： a∥α ， a奂β ， α∩β=b圯a∥b （即线面平行 圯 线线平行）； 图形语言： 应用线面平行性质定理的要诀： “见到 线面平行， 先过这条直线作一个平面找交线 . ” 思考 运用线面平行的性质定理时 ， 应先确定什么？ 例 1 如图 ， 已知 A ， B ， C ， D 四点不共面， 且 AB∥α ， CD∥α ， AC∩α＝E ， AD∩α＝F ， BD∩α＝H ， BC∩α＝G ， 则四边 形 EFHG 的形状是 . 分析： 见到 “线面平行” 这个已知条 件， 要先过这条直线找一个过它的平面， 然后再找该平面与已知平面的交线 . 解 析 ： ∵AB∥α ， 平 面 ABC∩α ＝EG ， AB奂 平面 ABC ， ∴EG∥AB. 同理 FH∥AB ， ∴EG∥FH. 又 ∵CD∥α ， 平面 BCD∩α＝GH ， CD奂 平面 BCD ， ∴GH∥CD. 同理 EF∥CD ， ∴GH∥EF ， ∴ 四边形 EFHG 是平行四边形 . 变式训练 1 如图， 用平行于四面体 ABCD 的一组对 棱 AB ， CD 的平面截此四面体， 求证： 四边 形 MNPQ 是平行四边形 . 例 2 如图， ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 是棱长为 a 的正方体， M ， N 分别是下底面的棱 A 1 B 1 ， B 1 C 1 的中点， P 是上底面的棱 AD 第 2课时 直线与平面平行的性质定理 α β a b α F G H E A B C D M N Q P D A B C P Q M N A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 图 11-3-15 图 11-3-16 图 11-3-17 81 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 上的一点， AP＝ a 3 ， 过 P ， M ， N 的平面交上 底面于 PQ ， Q 在 CD 上， 则 PQ＝ . 分析： 首先发现直线 MN 平行于上底 面， 然后应用线面平行性质定理确定 Q 的 位置 . 解析： ∵MN∥ 平面 AC ， 平面 PMNQ∩ 平面 AC＝PQ ， MN奂 平面 PQNM ， ∴MN∥PQ. 连接 AC ， A 1 C 1 ， 根据平行直 线的传递性得到 PQ∥AC ， 易知 DP＝DQ＝ 2a 3 ， 故 PQ＝ PD 2 +DQ 2 姨 ＝ 2 姨 DP＝ 2 2 姨 a 3 . 变式训练 2 如图， 在五面体 EF鄄ABCD 中， 已知四边 形 ABCD 为梯形， AD∥BC ， 求证： AD∥EF. 例 3 如图， 在四棱 锥 P鄄ABCD 中， 底面 ABCD 是平行四边形， AC 与 BD 交于点 O ， M 是 PC 的中 点 ， 在 DM 上取一点 G ， 过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH. 求证： AP∥GH. 分析： 本题先从中点出发证明 AP∥ 平 面 BDM ， 然后由线面平行 圯 线线平行 . 证明： 如图， 连接 MO. ∵ 四边形 ABCD 是平 行四边形， ∴O 是 AC 的 中点 . 又 ∵M 是 PC 的中点， ∴AP∥OM. 又 ∵AP埭 平面 BDM ， OM奂 平面 BDM ， ∴AP∥ 平面 BDM. 又 ∵AP奂 平面 APGH ， 平面 APGH∩ 平 面 BDM=GH ， ∴AP∥GH. 变式训练 3 如图， 在长方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， 点 P∈BB 1 （ P 不与 B ， B 1 重合）， PA∩A 1 B＝M ， PC∩BC 1 ＝N. 求证： MN∥ 平面 ABCD. 数 学 文 化 在 《九章算术》 中， 将底面为长方形且 有一条侧棱与底面垂直的 四棱锥称为阳马 . 若四棱 锥 P鄄ABCD 为阳马， 侧棱 PA⊥ 矩形 ABCD 所在的平 面 （如图）， 若平面 PAD 与平面 PBC 相交于 直线 PE ， 则判断图中 BC 与 PE 的位置关系 . 解： BC 与 PE 平行 . 理由如下： 在矩形 ABCD 中， BC∥AD. ∵BC埭 平面 PAD ， AD奂 平面 PAD ， ∴BC∥ 平面 PAD. 又 ∵BC奂 平面 PBC ， 平面 PBC∩ 平面 PAD＝PE ， ∴BC∥PE. O P M G H A B C D M N P D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 P E A B C D O P M G H A B C D D F E A B C 图 11-3-18 图 11-3-19 图 11-3-20 图 11-3-21 图 11-3-22 82