第二篇 解答题综合提升练9-10-【师大金卷】2025年高考数学一轮二轮衔接复习小卷练透阶段测试卷（新高考）

新高考数学２５— ２　 解答题综合提升练９ １．(１３分)(２０２４􀅰广东高三第四次六校联考)已知椭圆C１,抛物线 C２ 的焦点均在x轴上,C１ 的中心和C２ 的顶点均为坐标原点O,从 C１,C２ 上分别取两个点,将其坐标记录于下表中: x ２ ２ １ ２ ２ y ３２ ２ ０ ２ ２ (１)求C１ 和C２ 的标准方程; (２)若C１ 和C２ 交于不同的两点A,B,求OA→􀅰OB→的值． ２．(１５分)(２０２４􀅰广东省深圳市高三第一次调研考试)设Sn 为数列 {an}的前n项和,已知a２＝４,S４＝２０,且{ Sn n }为等差数列． (１)求证:数列{an}为等差数列; (２)若数列{bn}满足b１＝６,且 bn＋１ bn ＝ an an＋２ ,设Tn 为数列{bn}的前 n项和,集合M＝{Tn|Tn∈N∗},求M(用列举法表示)． ３．(１５分)(２０２４􀅰广东省汕头市高三第一次模 拟)如图,三棱台ABC－A１B１C１ 中,侧面四 边形 ACC１A１ 为 等 腰 梯 形,底 面 三 角 形 ABC为正三角形,且AC＝２A１C１＝２．设D 为棱A１C１ 上的点． (１)若D 为A１C１ 的中点,求证:AC⊥BD; (２)若三棱台ABC－A１B１C１ 的体积为 ７ ８ ,且侧面ACC１A１⊥底面 ABC,试探究是否存在点D,使直线BD 与平面BCC１B１ 所成角的 正弦值为 １５ １０ ? 若存在,确定点D 的位置;若不存在,说明理由． ４．(１７分)(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ln x２－x＋ax＋b (x －１)３． (１)若b＝０,且f′(x)≥０,求a的最小值; (２)证明:曲线y＝f(x)是中心对称图形; (３)若f(x)＞－２当且仅当１＜x＜２,求b的取值范围． ５．(１７分)(２０２４􀅰广东省普通高等学校招生模拟测试(一))数值线 性代数又称矩阵计算,是计算数学的一个重要分支,其主要研究对 象包括向量和矩阵．对于平面向量a＝(x,y),其模定义为|a|＝ x２＋y２．类 似 地, 对 于 n 行 n 列 的 矩 阵 Ann ＝ a１１　a１２　a１３　􀆺　a１n a２１　a２２　a２３　􀆺　a２n a３１　a３２　a３３　􀆺　a３n ⋮　 ⋮　 ⋮　　　⋮ æ è ç ç ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ,其模可由向量模拓展为||A||＝( ∑ n i＝１ ∑ n j＝１ a２ij) １ ２ (其中aij为矩阵中第i行第j列的数,∑为求和符号),记作||A||F, 我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数,例如对于矩阵A２２＝ ( a１１　a１２ a２１　a２２ ) ＝ ( ２　４ ３　５ ) ,其 矩 阵 模||A||F ＝ ( ∑ n i＝１ ∑ n j＝１ a２ij ) １ ２ ＝ ２２＋４２＋３２＋５２＝３ ６．弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领 域有重要的应用． (１)∀n∈N∗,n≥３,矩阵Bnn＝ １　０　０　􀆺　０ ０ ２０ 􀆺 ０ ０ ０ ３ 􀆺 ０ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ０ ０ ０ 􀆺 n æ è ç ç ç ç ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ,求使||B||F ＞３ ５的n的最小值． (２)∀n∈N∗,n≥３,,矩阵Cnn＝ １　　cosθ　　　cosθ　　　　cosθ　 　 　􀆺　　　cosθ　　　　　cosθ ０　　－sinθ　　－sinθcosθ　　－sinθcosθ　　􀆺　　－sinθcosθ　　　－sinθcosθ ０ ０ sin２θ sin２θcosθ 􀆺 sin２θcosθ sin２θcosθ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ０ ０ ０ ０ 􀆺 (－１)n－２sinn－２θ (－１)n－２sinn－２θcosθ ０ ０ ０ ０ 􀆺 ０ (－１)n－１sinn－１θ æ è ç ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ , 求||C||F． (３)矩阵Dnn＝ lnn＋２n＋１　 　０　　　　０　　 　 􀆺 　０ ln(n＋１n ) ２ ２ ln(n＋１n ) ２ ２ ０ 􀆺 ０ 　　　　　　⋮ ln(４３) n－１ n－１ ln(４３) n－１ n－１ ln(４３) n－１ n－１􀆺 ０ ln(３２) n n ln(３２) n n ln(３２) n n 􀆺 ln(３２) n n æ è ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ , 证明:∀n∈N∗,n≥３,||D||F＞ n ３n＋９． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学２５—１ 新高考数学２６— ２　 解答题综合提升练１０ １．(１３分)(２０２４􀅰河南省郑州市高三第二次质量预测)已知函数 f(x)＝a(x２－lnx)＋(１－２a２)x(a≥０)． (１)若x＝１是函数y＝f(x)的极值点,求a的值; (２)求函数y＝f(x)的单调区间． ２．(１５分)(２０２４􀅰河南省新乡市 高三第二次模拟)根据国家电 影局统计,２０２４年春节假期(２ 月１０日至２月１７日)全国电影 票房为８０．１６亿元,观影人次为 １．６３亿,相比２０２３年春节假期 票房和人次分别增长了１８．４７％和２６．３６％,均创造了同档期新的 纪录．２０２４年２月１０日某电影院调查了１００名观影者,并统计了 每名观影者对当日观看的电影的满意度评分(满分１００分),根据 统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图(分组区间为[４０, ５０),[５０,６０),[６０,７０),[７０,８０),[８０,９０),[９０,１００])． (１)求这１００名观影者满意度评分不低于６０分的人数; (２)估计这１００名观影者满意度评分的第４０百分位数(结果精确 到０．１); (３)设这１００名观影者满意度评分小于７０分的频率为p１,小于８０ 分的频率为p２,若甲、乙两名观影者在春节档某一天都只观看一 部电影,甲观看A,B 影片的概率分别为p２,１－p２,乙观看A,B 影 片的概率分别为p１,１－p１,当天甲、乙观看哪部电影相互独立,记 甲、乙这两名观影者中当天观看A 影片的人数为X,求X 的分布 列及期望． ３．(１５分)(２０２４􀅰河南省四市联考高三下学期３月第三次质量检测) 在三棱锥P－ABC中,PB＝PC＝３,BC＝２,AB＝AC＝ ３,AD→＝ λAC→,λ∈(０,１)． (１)如图１,G为△PBC的重心,若DG∥平面PAB,求λ的值; (２)如图２,当λ＝１２ ,且二面角P－BC－A 的余弦值为－１４ 时,求 直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值． ４．(１７分)(２０２４􀅰河南省五市高三第一次联考)已知椭圆E:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的左、右焦点分别为F１,F２,其长轴长为６,离心率为 e且e＞１３ ,点D 为E 上一动点,△DF１F２ 的面积的最大值为２ ２, 过P(－３,０)的直线l１,l２ 分别与椭圆E 交于A,B 两点(异于点 P),与直线x＝８交于 M,N 两点,且 M,N 两点的纵坐标之和为 １１．过坐标原点O作直线AB 的垂线,垂足为H． (１)求椭圆E 的方程; (２)问:平面内是否存在定点Q,使得|HQ|为定值? 若存在,请求 出Q 点坐标;若不存在,请说明理由． ５．(１７分)(２０２４􀅰河南省开封市高三下学期第二次质量检测)在密 码学领域,欧拉函数是非常重要的,其中最著名的应用就是在 RSA加密算法中的应用．设p,q是两个正整数,若p,q的最大公 约数是１,则称p,q互素．对于任意正整数n,欧拉函数是不超过n 且与n互素的正整数的个数,记为φ(n)． (１)试求φ(３),φ(９),φ(７),φ(２１)的值; (２)设n是一个正整数,p,q是两个不同的素数．试求φ(３n),及 φ(pq)与φ(p)和φ(q)的关系; (３)RSA算法是一种非对称加密算法,它使用了两个不同的密钥: 公钥和私钥．具体而言: ①准备两个不同的、足够大的素数p,q; ②计算n＝pq,欧拉函数φ(n); ③求正整数k,使得kq除以φ(n)的余数是１; ④其中(n,q)称为公钥,(n,k)称为私钥． 已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(１８７,１７)．若 满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列{bn},数列 {cn}满足８０cn＝bn＋４７,求数列{tancn􀅰tancn＋１}的前n项和Tn． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学２６—１ a-…()=(合)()==-)+（合）++（日-】 (传.1- =12×(-)=12-异因为当片∈N时 1-2 =1,2,3,5,11.所以M={6,8,9,10,111. 3.[解](1)证明：取AC的中点M,连接DM,BM.则AC⊥ (合）]因此第长位成员侧过第二关的概率p, DM,AC⊥BM, 由DM∩BM-M,DM.BMC平面BDM,得AC⊥平面 (p:),十(p,)= [()()]由[（侵） BDM,又BDC平面BDM,所以AC⊥BD ()门<·相()）()广<品解得≥6则 =6,所以n=7. 解答题综合提升练9 1.[解](1)设抛物线C:的标准方程为y=2px(p>0),则 2=兰结合表格数据，因为号=2=4，所以点 2 (2)取A,C,中点N,连接MN,由(1)得∠NMB为二面 (1,2).(2,2√2)在抛物线C2上，且2p=4,解得p=2, 角平面A,一AC-B的平面角，由平面ACC,A,⊥平面 所以抛物线C,的标准方程为y=4x. ABC得∠NMB=90°，即NM⊥BM,以M为原点，直线 将点（，受）（区0）代人圆G的标准方程号十 MA,MB,MN分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系， 1 3 =1(a>6>0)中，得 2a24b =1 解得a=2,b 2 =1, =1 所以椭圆C,的标准方程为号十y=1. (2)根据对称性，可设A,B两点坐标分别为(x·y), (x一)，联立方程组少=知： {x2+2y2=2, 消去y得x2+8 一2=0，解得x1=-4-3W2,x2=一4十3√2，因为x= 设该楼台的高为6，由V=(+5+受)·h=名， 苦>≥0.所以=3厄-4 得=，则A1.0,0).B05,0).C(-1.0,0)。 所以OA·Oi=x-=x后-4x。=(32-4)2 4(3√2-4)=50-36√2. c(-0号》市=15.0.C=(合0 设平面BB,CC的法向量为n=(x,y,e), 2.[解](1)证明：设等差数列 的公差为山，则子-昌 Ci·n=x十3y=0, +3d.即S1+3d=5①. 因为S=a十a=S十4.所以由受-+d,得S十 取x=3,得n=(3,一1，一1)， 2d=4②， 由①②解得S,=2.d=1,所以三=n十1，即S.=n(n十 设叱.)（≤K) 1), 当n≥2时，a.=Sn-S。-1=n(n+1)-(n-1)n=2n, 则动=（一） 当n=1时，a1=S,=2,上式也成立，所以a.=2n(n∈ N),所以数列{a.}是等差数列. 于是cos(BD,n)= Bi·nl + 15 (2)由(1)可知.=4，=2n BD 10 b.aw+:21+4n+21 4 当n≥2时h.=6二` n 解得1一号或1=一吕（合去），所以存在点D满足条件、 XX号×6-片D·因为=6满足上式，所以6 此时D与A:重合. 4.[解](1)f(x)的定义域为(0,2). 若6=0，则f(x)=n2十a,f(x)=2: 数学答案一48 22+a=x2-a+a 2 (2-x)四 第n对角线上的平方和为cos20, 当x∈(0,2)时，x(2-x)∈(0,1]，f(x)m=2+a≥0， 则a≥-2. 所以1C=二8+1-sim)+…+- 故a的最小值为一2. sin+.+(1-sin'0)+cos 0=1+sin'0+sin'0 (2)证明：/f(2-x)=1n2二工+a(2-x)+b1-x)= +…十sin-0+(n-2)-sinw20-…-sinm-+20-… -sin0+cos0=1+(n-2)+sin0+cos0=1+(n-2) -n2-x a.x-b(x-1)°+2a=-f(x)+2a,故曲线y 十1=n.所以|1Cr=m. =f(x)关于点(1，a)对称中心 (3)证明：由题意知，证明Dp√3m十9 (3)由题知f(1)=a=-2. 此时)=n2产2一2x+M-1 等价于证明多+号十…+后>。 n+13m十9' fx)=2-.2。+-2+36(x-1)= 注意到左侧求和式之m生-m号+专十…十 (2-x) (2-x -2+w-=-r2+] 世 将右侧含有n的表达式表示为求和式有 2 记gx)=2+3hxe(0.2,易知g(x)在(01） (中2本)=（号）+（片吉）+…叶 上单调递减，在(1,2)上单调递增，g(1)=2十3b, 1 当6>- 号时，g≥0.了)≥0x)在0,2上单 ()+(2)- 故只需证1n士>，1 1 递增，又1)=2，故符合题意，当6K-号时，g1<0, n+万>(n+2)>(n+2)(m+3n+2 2 g(x)= x(2-x) +36=二36+60+2，令g()=0. x(2-x) ≥aEN成立，即证nV≥ 得-1+品 1nEN成立令=1十有则需证n≥1-子 因为长 号所以+元∈0， ∈(]成立记fx)=h+-1xe(,2]: 则了)=士-学>0在，]上恒成立所 所以当x(11√1+)时gx)<0x)<0 以x)在(1，受]上单调递增.所以f)>f1)=ln1 )在(1++品)上单调递减，故f(1 +1-1=0,所以n>1-在(1，受]上恒成立， +>n十2n≥1，n∈N成立，所以原不等式 √1+)<f1)=一2，不符合题意. 成立. 综上，b的取值范用为 解答题综合提升练10 5.[解](1)由题意得11B片=之之6=之k=1+2+3+ 1.[解](1)函数定义城为(0，十∞)，f(x)= …+(n-1)+n=(n+D 2a+1-2)x一a,因为x=1是函数y=f(x)的极 2 若11B11>35,则am十1D>45,即+n-90>0. 值点，所以f1)=1+a-2d=0,解得a=-之或a= 2 因式分解得(n一9)(n+10)>0.因为n∈N°，所以n> 1.因为a≥0，所以a=1.此时f(x)=2r--1 9.所以使1|B|x>35的n的最小值是10. (2)由题得第1对角线上的平方和为1十sin0+sin0+ 2z+1)x-业，令f(x)>0得x>1令f(x)<0得 …十sin2w-20=1-sing 0<x<1,.f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o∞)上单 1-sin'0' 调递增，所以x=1是函数的极小值点.所以a=1. 第2对角线上的平方和为cos(1+sin0+…+sin-0) (2)当a=0时，f(.x)=x,则函数f(x)的单调递增区间 cos.1 sin1-sin0. 为(0，+∞)，无单调递减区间.当a>0时，(x) 1-sin0 2ar2+1-2a2)x-a=2ax+1Dx-a）.因为4>0， 第k对角线上的平方和为cos(1十in0+…十sin-0) 所以2ax>≥0.令f(x)>0得x>a:令广(x)<0得0< =6os0.1m0=1-n*a+. x<4..函数f(x)的单调递减区间为(0，a),单调递增 1-sin'0 区间为(a,十o∞).综上可知，当a=0时，函数f(x)的单 数学答案一49 调递增区间为(0，十∞)，无单调递减区间，当a>0时， 函数f(x)的单调递减区间为(0，a),单调递增区间为 /3030 2 以sin0= /130 (d,+∞). 4X国 52 2.[解](1)由图可知，满意度评分不低于60分的频率为1 一(0.010+0.020)×10=0.7，所以这100名观影者满 4.[解](1)根据条件得，2a=6,a=3,当点D位于短轴顶点 意度评分不低于60分的人数为0.7×100=70. 时，△DF,F的面积最大，且(Saw,5,)m=c=2V2,由 (2)因为(0.010+0.020)×10=0.3<0.4，(0.010+ 0.020十0.030)×10=0.6>0.4，所以这100名观影者 b+e2=a=9.bc=22,解得b=2√2，c=1或b=1,d 满意度评分的第40百分位数位于第三组，则这100名 =2,2,又>号因此a=3,6=16=2区，故椭圆E的 观影者满意度评分的第40百分位数的估计值为60+ 0.030X0×10≈63,3. 0.4-0.3 方程为号十少=1. (3)由图可知，p1=1-(0.020+0.015+0.005)×10= (2存在定点Q(-是，）使得QH=为定值， 0.6,同理p:=0.8,而X的可能取值为0,1,2，则P(X =0)=(1-p)(1-p1)=0.2×0.4=0.08,P(X=1)= 理由如下： p(1-p1)+p(1-p2)=0.8×0.4+0.6×0.2=0.44 P(X=2)=p2p,=0.8×0.6=0.48, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.08 0.440.48 故E(X)=0×0.08+1×0.44+2×0.48=1.4. 由题意过点P的直线1与椭圆E交于A点，与直线x 3.[解](1)如图，连接CG并延长与PB交于点E,连接 =8交于M点，l2与椭圆E交于B点，与直线x=8交 AE,所以平面CAE∩平面PAB 于N点， =AE.因为DG∥平面PAB,DG 如图，设A(x1y),B(x2,yg),M(8,t1),V(8,t). C平面ACE,所以DG∥AE.又 y 因为G为△PBC的重心，所以 根据条件有，t1+2=11,且 x1+311 cG=号C所以CD=号CA. G 十3 +3 所以市=号花，即A=子 年3+合=10. (2)设O为BC的中点，连接 D 由条件知，直线AB的斜率不为0，故可设直线AB的方 AO,PO.因为PB=PC,AB 程为lw:x=my十， AC,所以BC⊥AO,BC⊥ PO:又AO∩P0=O,AO, 南0++气+之 (1+3)(x+3) POC平面PAO,所以BC⊥ y(my十1十3)十y2(my1十n十3) 平而PAO,又BCC平面 (my+n+3)(my:+n+3) ABC,所以平面PAO⊥平面 2my1y:+(n+3)(y+y) ABC,过点O在平面PAO m1+m(n+3)(y+为)+(m+3)=1@, 内作AO的垂线OZ,如图所 示，分别以OA,心，O立为x 0 联立与+V=1·整理得(m+9)y+2my十r-9= 轴、y轴、x轴的正方向建立 x=ny十n, 空间直角坐标系，所以 0,该方程有两个不同的实数根当·”，则△=4mn A(2,0.0),C(0,1.0),B(0 4(n2-9)(m+9)>0,由韦达定理可得y十 -1.0.因为=合，所以D(受，号0】 -2mn 1 .因为∠POA 十g=”一9，代人②中整理得二18m一6n以 m+91 9(n+3) 是二面角P一BC一A的平面角，二面角P一BC-A的 1,又n≠一3，化简得m=一 (n+3.因此1e=my 余弦值为-，0P=2区，所以P(-号0，） 2 所 +n= 号a+3y+n=(-受号.即直线AB 以P市-(，-0）o亦=(- 2 , 过定点R(-3,号)过原点0作直线AB的垂线，垂足 =(0,1,0).不妨设平面PBC的法向量n=(x,y,x),所 为H,则点H在以OR为直径的圆上，则OR的中点到 以 a·O=0所以 {n,O元-0， + 2 =0可取n H的距离等于号OR=为定值，因此存在定点即 y=0, (15,0,1),设直线PD与平面PBC所成的角为0，所 为OR的中点Q(-号，号），使得QH=20R- 数学答案一50 为定值 青年人中老年人合计 5.[解](1)由欧拉函数的定义知，不超过3且与3互素的 对短视频剪接成长视频的APP有需求 300 250 550 正整数有1.2，则9(3)=2，不超过9且与9互素的正整 对短视频剪接成长视频的APP无需求 100 350 450 数有1,2,4,5,7,8，则g(9)=6,不超过7且与7互素的 合计 400 600 1000 正整数有1,2,3,4,5,6，则g(7)=6,不超过21且与21 互素的正整数有1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20，则 可得x 1000×(300×350-100×250) ≈107.744> 550×450×400×600 g(21)=12,所以p(3)=2,9(9)=6,9(7)=6,g(21) 10.828. =12. 根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断H。不 (2)在不大于3的正整数中，只有3的倍数不与3互 成立，所以对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年 素，而3的倍数有3"1个，因此9(3)=3-3”1=2· 人与中老年人有差异. 3"'.由p,q是两个不同的素数，得g(p)=p一1，g(q) 3.[解](1)证明：如图，连接DC,因为四边形D,DCC为 =g一1，在不超过pq一1的正整数中，p的倍数有q一1 菱形，∠DDC=120°，所以∠DCC,=60°，所以DC1=2, 个，g的倍数有p一1个，于是g(pg)=pg一1一（p-1) -(q-1)=pq-p-q十1=(p-1)(q-1),所以g(pg) 因为AD=DC=2,AC,=2√2，所以AD+DC=AC, 所以AD⊥DC,又AD⊥DC,DC∩DC=D,DC.DC,C =g(p)·9(q). 平面CDD,C,所以AD⊥平面CDD,C,,所以AD⊥ (3)计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是 (187,17),则n=187,g=17,从而p=11,由(2)得，g(n) DE,因为四边形DDCC,为菱形，且∠D,DC=120°，所 =g(187)=(11×17)=g(11)g(17)=10×16=160,即 以DD,=DC=DC,因为E为棱C1D,的中点，所以 DE⊥CD,,又CD∥CD,所以DE⊥CD,因为DE⊥ 正整数友满足的条件为：17k=160x十1，x∈N,k=9.x十 AD,AD∩DC=D,AD,IDCC平面ABCD,所以DE⊥平 x+10.令y=x+1D.则17y=x+1x=2+ 面ABCD. (2)以D为坐标原点，D才，D式，DE分别为x轴、y轴、 号(3y-10.令=7(8y-10.则7=3y-1y=2x+ 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D一xy%. 号（e+10.取=3m-1.则y=7m-2x=17m-5,k= 160m-47,于是b,=160m-47,因此80cm=b,十47 160n,即cw=2,tan c·tan c+1=tan2n·tan(2n+2) =lan(2n+2)-an2-1,T.=1anc1·tan ca十tamc tan 2 ·tanc3+…+tanc.·tanc.+1-tan2·tan4+tan4· tan6十.十tan2n·tan(2n+2)= tan 4-tan 2+tan 6-tan 4+...+tan(2n+2)-tan 2n B tan 2 tan(2n+2)-tan 2 1=an(2n+2) 易知DE=5,所以D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0), tan 2 tan 2 C(0,2,0),E(0,0,w3),C1(0,1,3),D1(0,-13),所 解答题综合提升练11 以CC,=(0,-15),DC=(0,2,0),AE-(-2,05), Dj=(2,2,0).DA=(2,0,0),Dd=(0,-1,3),设C3 1.[解](1)等差数列{a.}中，由a,十a,+a1=84,得a1+ =1CC=(0,-3)(0≤1≤1)，则D亦=D心+C萨= 2a,=84,而a,=33,解得a1=18,因此数列{a.}的公差 (0,2一t,W3t),因为AE∥平面BDF,所以存在唯一的 d=2二4=5，a,=a,十(n-4)d=5n-2,所以数列 7一4 A,∈R,使得AE-1D克+：D求=A(2,2,0)+u(0,2-1, (an}的通项公式是4，=5n-2. 3)=(2A,2入+2-tgN5t).所以2入=-2,2A+2 (2)由(1)知，k∈N,,由5<an<5,得5<5-2< 5,整理得5+ 号<<十号，因此正整数n满 -0-.解得1-号所以D-(o,言2等) DB=DD,+D,B=DD+D范=(2,1,3)，设平面 足5-1十1≤n≤5-1，从而得6=5-1一5-1，所以 6的前6项和为T,=52尘-(6 BDF的法向量为n=(1y·),则 D耐·n=0·所以 DB·n=0, 25-1 24 -6×5+1)(k∈N+). 3十23=0取=-3，则=3.=2，石.极 4 2.[解]1)由题意可得2u+十a+6)=40·解得a 2.1+2y1=0, 1a+4b=250, =b=50. n=(3,一3,2√3)，设平面AB,D的法向量为m=(x2, (2)零假设为H。:对短视频剪接成长视频APP的需求， ·),则 减m=0:所以2=0 青年人与中老年人没有差异，由已知得，如下2×2列 DB·m=0, 取 (2.x2+十31=0. 联表： y=3,则x2=0,2=一√3，故m=(0,3,一√3)，设平面 数学答案一51