第二篇 解答题综合提升练5-6-【师大金卷】2025年高考数学一轮二轮衔接复习小卷练透阶段测试卷（新高考）

m·n 2√29 m·n 29 ,所以平面DEF =-e1[e413-a(x,-x)-1, x2一x1 3 2 +2+1 g,)-e[e44-u(-)-1门 x2一x1 与平面1C夹角的余弦值为2夏 设h(x)=e一x-1,则h'(x)=e-1, 4.[解](1)①该二维离散型随机变量(，)的所有可能取 令'(x)=0,解得x-0,当x<0时，h'(x)<0,h(x)单 值为：(0,0)，(0,1).(0,2).(0,3).(1,0)，(1,1)，(1.2)， 调递减：当x>0时，h(x)>0,h(x)单调递增，∴.当x≠ (2.0).(2,1).(3.0). 0时，h(x)>h(0)=0,即e-x-1>0,∴.e' ②依题意，0≤m十n≤3，P(=m,7=n)=P(=m刀 a(x2-x1)-1>0,e-3-u(-x2）-1>0,又 :P7=.显然P(=)=G(号)广（号）】 e>0,e>0. T:-T1 :-xI ∴g(x1)<0,g(x2)>0,∴.存在c∈(x1,x2),使得g(c) 则P=m=)=c(侵)（合） =Cg。· =0,又g(x)在(x1,x2)上单调递增，∴.函数g(x)在 (合），所以P(=m9=)=CG(2) (,x2)上存在唯一零点. 解答题综合提升练5 (号)·（号）= 27 CC 1.[解](1)依题意得，△PAC为正三角形，取PA中点N, 连接CN,则CN⊥PA,因为EF⊥平面PAB,PAC平面 9·m！n！(3-m-) PAB,所以EF⊥PA,所以EF∥CN,又因为E为PC的 (2)证明：由定义及全概率公式知，P(=a,)=P( a,)∩[(7=b)U(7=b,)U…U(7=b)U…]}=P[( 中点，所以F为PN的中点，则PF=子PA,因为ME∥ =a,)∩(n=b)]U[(g=u:)n(=b)]U…U[(=a,) 平面ABC,MFC平面PAB,平面PAB∩平面ABC= ∩(7=b]U…}=P[(=4,)∩(7=61)]+P[(E=a,） AB,即MF∥AB,也即PM=PB,A=十 n(7-6,]+…+PL=a,)n(y=门+=2P[ =a,)n(m=6,)]=P(ga,9=6,)=∑pn. 5.[证明](1)f(x)=a2e“,∴.f(0)=a=1,∴a=1, .f(x)=c', 设F(x)=e-ln(x+2)(x>-2),则F(x)=e- 1 十2设px)=e-r十2x>-2).则g(r)=e+ a十2)>0F)单调递增.又：F(-D=是- (2)因为EF⊥平面PAB,ABC平面PAB,所以EF ⊥AB, <0.F0)=e-专-号>0存在xE(-1.0)使得 由AB=AC=2,BC=2V2可知BC=AB+AC 则△ABC为等腰直角三角形，AB⊥AC, F)=0博c=中2i,=-hx+2.当xe △PAC为正三角形，取AC中点O,连接PO,则PO⊥ (-2,x)时，F(.x)<0,F(x)单调递减，当x∈(x, AC,取BC中点Q,连接OQ,则OQ∥AB, +o∞)时，F(x)>0,F(x)单调递增，∴.F(x)≥F(n)= 又因为EF与AC相交于平面PAC, 十2十=+2红1-+1D 所以AB⊥平面PAC.也即OQ⊥平面PAC, e-ln(x,+2)=1 %十2 x。+2 所以OQ,OC,OP两两相互垂直，以O为原点，OQ,OC OP所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立空间直角坐 >0..f(x)>ln(x+2). 标系.则A(0,-1,0),B(2,-1,0).C(0,1,0),P(0,0, (2:gr)=ue--e兰(u≠0. r1-t: .E(o号号）r(0,-,3)M(1- ∴g'(x)=a2e>0, g(x)在(1，x)上单调递增， ）i=（1号号)t-02.0.=(0.-是 又g(c)=ue1-e1-e x1一X2 ）设平面MAC的一个法向量a=(y,:),则n =ae1(r1-x)-(ei-e"2) =0a…=0.即++-0取：=2，则 e[ax,-x)+e'-1 2y=0. :x =-3,y=0, 数学答案一40 3,则P(=0) ()=器P=)=C×() -器P=2)=C××(）=品，P=3) 127 ()=高可得的“有效值H)=-(器g器+ e+品e品+动g司)-[83g3-6g2 所以n=(一√3,0,2)为平面MAC的一个法向量， +是(2g3-6lg2)-高g2=-0g3+6g2-号 所以cos(En=序·n 2 9记平 ×0.48+6×0.30=0.45,即的“有效值”约为0.45. 4,[解](1)因为动直线1：x一my一3=0与x轴交于点 1EF·ln 3 B3,0).w:d-苦=1的右焦点为8,0，所以点B为 面PAB与平面MAC夹角为0，sin0=/1 1/42 W的右焦点. 7 设BC=p,|BD=q,因为C,D两点位于y轴的同侧， 所以平面PAB与平面MAC夹角的正弦值为厘。 所以1CD川=p十q, 因为tCD是|BC|,|BD的等比中项，所以(tlCD1) 2.[解](1)：4ae=4a1十a∴.4(a2-a,)=a,∴.4d=a:+ =|BCI·IBDI, 2d,即a,=2d,a,=d(n+1),h=2m+m2 ≤20子当且仪当g时 所以=四 -6=号4-音义+T=18a十 4 取等号，所以1-一名当1=一时p=g:所以1 4,+a+么=132d+3d+号+ 4=13.5d-13d 黄由= 解得y=土8，所以|BC=|BD= +6=0,解得d=2或d=号，又d>1d=2a 8,所以|CD1=16,由双曲线的定义得|AC=2+p=2 =2(n+1). +q=|AD1,IAC=10,所以|AC+|AD+1CD=10 (2)设数列{c.}公比为g(g>0),.a1=c1=2,a1=2c, +10+16=36,即△ACD的周长为36. 1=3.d=a2-a1=1.∴.an=n+1,∴.b=2m,又c3= 2a1+2=8, g-9 =4,g>0,g=2,c=2",∴. b 2 2 是A=1×(2)+2×(侵)+3×(2) +-2）+2)0 “2A-1×(侵)+2×()广+3x(2)广+ m-(合)+()广@ (2)证明：设C(x1y1),D(xy) ①-@：2A=1+(2)+(2)+…+(侵)） 由二m-30得(8m-1Dy+48my+64=0. {8.x2-y2=8, 因为直线I与W交于C,D两点， 1- 所以(8m2-1≠0， 4=256(m2+1D>0.且y+4=- 487m 8m2-1'y% (2）广A.=4-(+22） 8m由1=1，可得BC·BD1=CD',故 64 3.[解]1)由题意可知：P(X=1)=1-P(X=0)= 1 1十m1y·√1十m1y2|=(√1+m1y一2|)2， 又C,D两点位于y轴的异侧，所以y1y:>0,所以yy PY=01X=0)=1-PY=1X=0)=号，所以PY- 0)=P(Y=0|X=0)P(X=0)+P(Y=0|X=1)P(X= =6为.即5%=(+.所以5Xn (厂)广，解得-号，所以头-g,所以CD (2)由题意可知：当发送信号0时，接收为0的概率为 子，接收为1的概率为子可知：的可能取值有01,2 =BC·BD1=1+m=(+是)×号=16，所以 CD=4,不妨设点C在第二象限，根据双曲线定义，得 数学答案一41 (BC-AC=2·即4BDAC=2·解得1ACI= h(x)·一∞，所以h(x)在(0，x1)恰有一个零点x。,从 ADI-BDI=2.ADI-IBDI =2. 而f(x)至少有两个不动点，不符合题意：所以a的取值 1AD,所以△ACD是等腰三角形. 范围为[+）即集合B-[子+ ()证明：由(1)知，B-[片+所以a-minB- 子，此时，x)=nx++是，h(x)=lnx十 -x+子，由(1)知，M)在(0，十o)上单调递增， 所以，当x>1时，h(.x)>h(1)=0,所以f(.x)>x,即 5.[解](1)当a=0时，f)=号nx十1，其定义城为(0， 2>1.放若a,>1,则a1>1.因此，若存在正整数 N使得aw≤1，则av-1≤1，从而av-:≤1，重复这一过 +∞).由f(x)=x得lnx-x+1=0.设g(x) 程有限次后可得a1≤1，与4=2矛盾，从而，Vn∈N°， 之n-x+1.则g)=122,当x(0,号）时、 “,>1,下面我们先证明当x>1时，n<受x一1D,设 g'r)>0.当x∈（受，+o∞）时，gx)0:所以gm)在 c)=lnx-2+号re,+o.所以G()-} -3-2,3江<0，所以G(x)在(1，十c∞)上单调递减， (0,）上单调递增，在（合·+∞）上单调递减，注意到 2 2.x g1)=0,所以g)在[合+）上恰有一个零点1 所以G()<G(1)=0,即当>1时，lnx<号（x-1), 从面当>1时，nx++-x<2-子 1,且(2)>g1=0.又g(e) <0,所以 ge82）<0.所以x(x)在(0，号）上恰有一个零 互-1<x-10,即2-1< 点，即代在[是+四）上恰有一个不动点x=1, x-1.故-1<}（a.-1.即a1-1< 在(0，）恰有一个不动点x=x,所以A=x1,所 子a,-D.由于a,>1a>1.所以a-1>0a1 以A的元素个数为2，又因为x,<1,所以max4=1. 1>0,放1a1-1<号1a.-1,放≥2时，a,-1< (2)(1)当a=0时，由(1)知，A有两个元素，不符合 题意： a-1<是a-1<<la-- 当a>0时，fx)=2nx十ar+1-a,其定义域为(0. 十o),由fx)=x得nx+am2-x+1-a=0, 设A(x)=号nx十ar2-x+1-az∈(0，+∞)，则 Nu)-左+2ar-1=ar22+l,设F=a 2x 2x+1,则△=4-16a 解答题综合提升练6 ①当a≥时，4≤0，F(x)≥0.h'(x)≥0，所以(x)在 1.[解](1)由题意1+1十…十 1 1,当 a1aga±d3 44a+1 =12a (0,十∞)上单调递增，又h(1)=0,所以方(x)在(0， ≥2，m∈N°时，1十1+…十，1 1 十∞)上恰有一个零点x=1,即f(x)在(0，十∞)上恰有 aa:dd a每-1ar =1一20，两 一个不动点x=1,符合题意： 1 ②当0<a<时，4>0，故F(x)恰有两个零点西西 94+1-an=2,n≥2，因 (x<x2).又因为F(0)=1>0,F(1)=4a-1<0,所以 为0，为等差数列，在式子a4十4十叶，11一 4-ia 0<x1<1<x,当x∈(0，x1)时，F(x)>0,'(x)>0:当 x∈(x1,x2)时，F(x)<0,h'(x)<0:当x∈(x2,+o∞) 中令2得。1云所以一+号所以 2a. 时，F(x)>0,h'(x)>0:所以h(x)在(0，x1)上单调递 增，在(x1,)上单调递减，在(x2,十)上单调递增：注 意到h(1)=0,所以h(x)在(x,x2)恰有一个零点x 1,且h(x1)>h(1)=0,h(x2)<h(1)=0,又x→0时， 则a:=0,但这与a,≠0矛盾，舍去，所以a- 数学答案一42 （2)因为4，=-号所以山，=一子+合=-3，雨当≥ 合又AH/CD20说-分AH=1,H为 2,n∈N"时，a.+1一a,=2,所以此时a。=-3+2(n-2) =2m-7.所以此时3=-号+0-》-+20-卫 线段AB的中点，：PM=DM=35MH=号DM 2 3 n-6+3 ，·Rt△PMH中，PH=VPM-MF=6. 7 ,而n=1也满足上式，综上所述，{an}的前n 项和S=2-6n十 33 am∠PMH-H-2E.所以二面角P-AC-B的 正切值为22 2.[解](1)根据统计表格数据可得列联表如下： (2)连接CH,,△ABC为等边三角形，H为线段AB的 锻炼 中点，CH⊥AB, 性别 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为H:性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生 体育锻炼的经常性无关，根据列联表的数据计算可得 H B X=60XX16223X4)=140≈3.590>2.706 D 21×39×30×30 39 x1,根据小概率值a=0.1的独立性检验，推断H。不 又PH⊥平面ABCD,则HC,HB,HP两两垂直， 成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此 以H为坐标原点，HC,HB,HP所在直线分别为x轴， 推断犯错误的概率不超过0.1. y轴，：轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0, (2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似 -1.0),B(0,1,0).C(3,0.0),P(0,0.6).∴.CF 服从二项分布，易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者 的概率P-高-立·即可得X~(20:):放E0X0) 20×立-号.DX0=20×立×是-需 写）市=(0,2.0以.设平面ABF的法向量为n=( (3)易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以 1n·AB=0. 2y=0, Y的所有可能取值为0,1,2,3：且Y服从超几何分布： n·Bt-0, 3y+6 2 =0, Py=)=20:PY=)=C=品3 C。 12040 令x=1.可得n=(1,0,-√2). P(Y=2) 120=0,Py-3)=CC=35 CC_21×3=21 假设棱BC上存在满足要求的点Q,设B顶=ABC,A∈ C 120 [0.1].BC=(W5,-1,0).Bd=(3.-,0),.F 7 =24 ,1-,- )因为直线FQ与 故所求分布列为 平面ABF所成的角为号，：sin号 F范·n Y 2 1Fδ1n 0 3 3A P 21 7 2 120 40 4 24 2v3 3 +1-0+(-) 1 2×器+3× 可得EY)=0×120+1X0 =2.1. 整理得：8以-18x+9=0,解得入=子或入=名（舍去）。 3.[解](1)如图，过点H作HM⊥AC于点M,连接 PM.DM, 所以动=子武.则8提=3 PH⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,.PH⊥AC, 又HM⊥AC,HM∩PH=H,HM,PHC平面PMH, 所以当器-3时，FQ与平面ABF所成的角为子 .AC⊥平面PMH, 4.[解](1)因为△PQF的周长为8，所以4a=8,解得a=2, :PMC平面PMH,.AC⊥PM,∴.AC⊥DM. 焦距为2√3，c=√5，所以6=a2一c2=4-3=1,所以椭 ∴·∠PMH为二面角P一AC-B的平面角. ,AB=BC,∠ABC=60°， 圆E的方程为天十y=1. ∴.△ABC为等边三角形，AC=2. (2)当直线m斜率不存在时.为x=一1或x=1,当x= 又R△DMC中，∠DCM=60,CD=3.CM=2,AM 1时.R)s,-)则s=后 数学答案一43 当x=一1时，同理RS=5, 1 ->1- 当直线m斜率存在时，设斜率为k,则直线m的方程为 y=kx+t, (n十k)tann干k 因为原点0到直线m的距离为定值1，所以一山 1 1 >n一 √+I 台(n十k)ann十k 1 2m+T2n+3+21+3 1,则k十1=，设R(x1·y),S(x2,y2),联立椭圆与直 1 1 2n+5+…+4n-4n+)=2m++4n+ 线方程 后+= y=kx+t, 而n一 1 消元得(42+1).x2+8kt.x十4(2-1)=0， 「△=(8k)2-4×4(-1)(4k2+1)>0, 0,即证得 l(n十k)an十表 1 ->4+2 8kt 所以 x1+=一 4k+1' 4(2-1) i 解答题综合提升练7 由k2十1=，得k2=t-1>0,∴>1， RS引=√(1+k)[(x1+x)-4x1x] [解1因为“生出出片由正弦定理时得+ 3(1-1) 一名整理得公十口一心=k,由余弦定理可得A 3(+3)(-1) 公士4-子又因为AE0,.所以A-导 2bc 令4=4-3，(>1)，则1RS= (2)设AM的延长线交BC于点D,因为点M为△ABC 的重心，所以点D为BC中点，又因为AM=2√3，所以 AD=33.在△ABC中，由b6十c2-a=bc和a=6,可 由0<女<1.所以当女一号时，kS1=2,所以Rs 得bc=b2+c2一36.在△ABD和△ACD中，有 cos∠ADB=一cos∠ADC,由余弦定理可得 的最大值为2. 5.[解](1)令f(.x)=sinx,则f(x)=cosx,/'"(x)=-sinx, 3+33-c=-3+33)_,放6+=72， 2X3×3W5 2×3×35 fm(x）=-cosT,f(x)=sin,… 故f(0)=0,/(0)=1,(0)=0,(0)=-1,(0) 所以bc=6+c2-36=72-36=36,所以△ABC的面积 =0,… 为2 lsinA=号×36×n号-9v原. 2 由麦克劳林公式可得sinx=x一3十5一7 十 故血宁=合一高+0,48 2结论0sr≥1一专 证明如下： 令g0=cosr-1+号>0， D C 令h(x)=g(x)=-sinx+x,'(x)=-cosx+1≥0， 2.[解](1)因为6.67648.2605<74.6846，所以指数函数模 故h(x)在[0，十∞)上单调递增，h(x)≥h(0)=0, 型误差平方和最小，因为0.9736<0.9971<0.9976，所以 故g(x)在[0，十∞)上单调递增，g(x)≥g(0)=0, 指数函数模型R最大，所以指数函数模型是最优模型， 即证得os一1+号>≥0，即6as≥1-号 (2)因为x0)=6G)=kG,e,所以e=元，因为 (3)证明：由2)可得当x≥0时，c0sx≥1-号，且由M )=J)=Je,所以e=立，所以 (x)>0得sinx≤x,当且仅当x=0时取等号，故当x 1 ,所以体重y关于身高x 0时，cosx>1- 2.sin <t, m十k)tan十k 1 1 的函数核型为=(G)广品 cos- n十k cosn十k 1 (3)把x=50cm代人y=2.004e,得y≈2.004× 1 (n十k)sinn十天 n+). =c08 n千6>1 2.67781≈5.3663(kg)∈[5.6)不符合实际，把k2J。· n+k 2 2 2(m+k,而2(m+6行=2n十2<2m+26-可 ()=a01,=2129代人=（）广 1 1 得y=0.001.x21”,把x=50cm代入y=0.001.x219,得 （2m+2k-10(21+2h+D2m+2k12m+26+,即 y≈0.001×3739.07≈3.7391(kg)∈[2.5,4)符合实 数学答案一44新高考数学２１— ２　 解答题综合提升练５ １．(１３分)(２０２４􀅰福建省泉州市高三质量监 测(三))如图,在三棱锥P－ABC 中,PA ＝PC＝AB＝AC＝２,BC＝２ ２,E 为PC 的中 点,点 F 在 PA 上,且 EF⊥ 平 面 PAB,PM→＝λPB→(λ∈R)． (１)若MF∥平面ABC,求λ; (２)若λ＝１２ ,求平面PAB 与平面MAC 夹角的正弦值． ２．(１５分)(２０２４􀅰福建省龙岩市高中毕业班三月质量检测)设等差 数列{an}的公差为d(d＞１),令bn＝ ２(n２＋n) an ,记Sn,Tn 分别为数 列{an},{bn}的前n项和． (１)若４a２＝４a１＋a３,S２＋T２＝１３,求数列{an}的通项公式; (２)若数列{cn}是公比为正数的等比数列,a１＝c１＝２,a２＝２c１－１, c３＝２a２＋２,求数列{ bn cn} 的前n项和An． ３．(１５分)(２０２４􀅰福建省漳州市部分学校高三下学期普通高考模拟 测试)在数字通信中,信号是由数字０和１组成的序列,发送每个 信号数字之间相互独立．由于随机因素的干扰,发送的信号０或１ 有可能被错误地接收为１或０． (１)记发送信号变量为X,接收信号变量为Y,且满足P(X＝０)＝ １ ２ ,P(Y＝１|X＝０)＝１３ ,P(Y＝０|X＝１)＝１４ ,求P(Y＝０); (２)当发送信号０时,接收为０的概率为３４ ,定义随机变量η的“有 效值”为H(η)＝－∑ n i＝１ P(η＝xi)lgP(η＝xi)(其中xi 是η的所有可 能的取值,i＝１,２,􀆺,n),发送信号“０００”的接收信号为“y１y２y３”, 记ξ为y１,y２,y３ 三个数字之和,求ξ的“有效值”．(lg３≈０．４８, lg２≈０．３０) ４．(１７分)(２０２４􀅰福建省福州市高三下学期质量检测)已知双曲线 W:x２－y ２ ８＝１ ,A(－３,０),动直线l:x－my－３＝０与x轴交于点 B,且与 W 交于C,D 两点,t|CD|是|BC|,|BD|的等比中项, t∈R． (１)若C,D 两点位于y 轴的同侧,求t取最小值时△ACD 的周长; (２)若t＝１,且C,D 两点位于y 轴的异侧,证明:△ACD 为等腰三 角形． ５．(１７分)(２０２４􀅰福建省高三下学期适应性测试)对于函数f(x),若 实数x０ 满足f(x０)＝x０,则称x０ 为f(x)的不动点．已知a≥０,且 f(x)＝１２lnx＋ax ２＋１－a 的不动点的集合为A．以 minM 和 maxM 分别表示集合M 中的最小元素和最大元素． (１)若a＝０,求A 的元素个数及 maxA; (２)当A 恰有一个元素时,a的取值集合记为B． (ⅰ)求B; (ⅱ)若a＝minB,数列{an}满足a１＝２,an＋１＝ f(an) an ,集合Cn＝ { ∑ n k＝１ |ak－１|, ４ ３},n∈N ∗．求证:∀n∈N∗,maxCn＝ ４ ３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学２１—１ 新高考数学２２— ２　 解答题综合提升练６ １．(１３分)(２０２４􀅰湖北省武汉市高中毕业班二月调研考试)各项均 不为０的数列{an}对任意正整数n 满足: １ a１a２ ＋ １a２a３ ＋􀆺＋ １ anan＋１ ＝１－ １２an＋１ ． (１)若{an}为等差数列,求a１; (２)若a１＝－ ２ ７ ,求{an}的前n项和Sn． ２．(１５分)(２０２４􀅰湖北省七市州高三下学期３月联合统一调研测试) 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况,统计了全校所有学 生在一年内每周参加体育锻炼的次数,现随机抽取了６０名同学在 某一周参加体育锻炼的数据,结果如下表: 一周参加体育锻炼次数 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ 合计 男生人数 １ ２ ４ ５ ６ ５ ４ ３ ３０ 女生人数 ４ ５ ５ ６ ４ ３ ２ １ ３０ 合计 ５ ７ ９ １１ １０ ８ ６ ４ ６０ (１)若将一周参加体育锻炼次数为３次及３次以上的,称为“经常 锻炼”,其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下２×２列联表,并依 据小概率值α＝０．１的独立性检验,能否认为性别因素与学生体育 锻炼的经常性有关系; 性别 锻炼 不经常 经常 合计 男生 女生 合计 (２)若将一周参加体育锻炼次数为０次的称为“极度缺乏锻炼”, “极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概 率,在全校抽取２０名同学,其中“极度缺乏锻炼”的人数为X,求 E(X)和D(X); (３)若将一周参加体育锻炼６次或７次的同学称为“运动爱好者”, 为进一步了解他们的生活习惯,在样本的１０名“运动爱好者”中, 随机抽取３人进行访谈,设抽取的３人中男生人数为Y,求Y 的分 布列和数学期望． 附:χ２＝ n(ad－bc)２ (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) ,n＝a＋b＋c＋d． α ０．１ ０．０５ ０．０１ xα ２．７０６ ３．８４１ ６．６３５ ３．(１５分)(２０２４􀅰湖北省高中名校联盟高 三第三次联考综合测评)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB＝BC＝２３CD＝ ２,∠ABC＝π３． 将△ADC 沿对角线AC 折到△APC 的位置,点P 在平面ABC 内的射影H 恰好落在直线AB 上． (１)求二面角P－AC－B 的正切值; (２)点F为棱PC 上一点,满足PF＝２FC,在棱BC 上是否存在一 点Q,使得直线FQ 与平面ABF 所成的角为π３ ? 若存在,求出BQ QC 的值;若不存在,请说明理由． ４．(１７分)(２０２４􀅰湖南省衡阳市高三第二次联考)已知椭圆E:x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝１(a＞b＞０)的左、右焦点分别为F１,F２,|F１F２|＝２ ３,过F１ 的直线l与E 交于P,Q 两点,△PQF２ 的周长为８． (１)求E 的方程; (２)若直线m 与E 交于R,S两点,且原点O到直线m 的距离为定 值１,求|RS|的最大值． ５．(１７分)(２０２４􀅰湖北省八市高三下学期３月联考)英国数学家泰勒 发现的泰勒公式有如下特殊形式:当f(x)在x＝０处的n(n∈N∗) 阶导数都存在时,f(x)＝f(０)＋f′(０)x＋f″ (０) ２! x ２＋f (３)(０) ３! x ３＋􀆺 ＋f (n)(０) n! x n＋􀆺．注:f″(x)表示f(x)的２阶导数,即为f′(x)的导 数,f(n)(x)(n≥３)表示f(x)的n阶导数,该公式也称麦克劳林公式． (１)根据该公式估算sin１２ 的值,精确到小数点后两位; (２)由该公式可得:cosx＝１－x ２ ２!＋ x４ ４!－ x６ ６!＋ 􀆺．当x≥０时,试比 较cosx与１－x ２ ２ 的大小,并给出证明; (３)设n∈N∗,证明:∑ n k＝１ １ (n＋k)tan １n＋k ＞n－ １４n＋２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学２２—１